浙教版九年级下册数学21 直线和圆的位置关系 共22张

∴△ACE∽△ABC ．
∴
，
∴
∵DC=BC=3，
∴ED＝
．
∴tan ∠DCE=
．
5.如图甲，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，⊙O的 弦AE交于BC于D．
(1)求证：AB?AC=AD?AE； （2）在（1）的条件下当弦AE的延长线与BC的延 长线相交于点D时，上述结论是 否还成立？若成立， 请给予证明．若不成立，请说明理由．
∴AD＝ ．
3.如图，直线EF交⊙O于A、B两点，AC是⊙O直 径，DE是⊙O的切线，且DE⊥EF，垂足为E． （1）求证：AD平分∠CAE； （2）若DE=4cm，AE=2cm， 求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD，得出∠OAD=∠ODA，再 证明∠EAD=∠ODA，得出结论； （2）连接CD，证明△AED∽△ADC，根据勾股 定理和相似三角形的性质求出半径．
△AEB ∽△ABD ，进而可使问题解决．
【解答】（1）证明：连接CE，
∵AB=AC ，
∴
，
∴∠AEC=∠ACD；
又∵∠EAC=∠DAC，
∴△AEC∽△ACD，
∴
，即AC2=AD?AE；
又∵AB=AC ，
∴AB?AC=AD?AE．
（2）答：上述结论仍成立．
证明：连接BE，
∵AB=AC ，
∴
，
∴∠AEB=∠ABD ；
【解答】解：（1）BE平分∠ABC ． 理由：∵CD=AC， ∴∠D=∠CAD． ∵AB=AC ， ∴∠ABC= ∠ACB ∵∠EBC=∠CAD， ∴∠EBC= ∠D=∠CAD ． ∵∠ABC= ∠ABE+ ∠EBC，∠ACB= ∠D+∠CAD， ∴∠ABE= ∠EBC，
即BE平分∠ABC ．
（2）由（1）知∠CAD=∠EBC=∠ABE ．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°．
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=∠OCE=90°．
∴OC∥AE．
∴∠OCA= ∠CAD ．
∴∠CAD=∠BAC ．
∴
．
∴DC=BC．
（2）解：∵AB 是⊙O的直径，
∴∠ACB=90 °．
∴BC=
∵∠CAE=∠BAC ，∠AEC=∠ACB=90 °，
【分析】（1）连接OC，求证DC=BC可以证明
∠CAD=∠BAC ，进而证明
；
（2）AB=5 ，AC=4，根据勾股定理就可以得到
BC=3，易证△ACE∽△ABC ，则∠DCE=∠BAC ，
则tan ∠DCE的值等于tan ∠BAC ，在直角△ABC 中
根据三角函数的定义就可以求出．
【解答】 （1）证明：连接OC．
【分析】（1）要证明AB?AC=AD?AE成立，只要
能证得
，再用AB=AC ，结合圆，等弧对等
角，观察本题无平行关系，首先考虑三角形的相
似．连接CE，可证明△Baidu NhomakorabeaEC∽△ACD，问题解
决．
（2）假设结论仍成立，考虑作辅助线，看是否有
三角形相似，能说明与AB?AC=AD?AE有关的成
比例的线段关系．连接BE，可证得
【解答】（1）证明：∵AB 为半圆O的直径， ∴∠BCA=90 °．
又∵BC∥OD， ∴OE⊥AC． ∴∠D+∠DAE=90°． ∵∠D=∠BAC ， ∴∠BAC+ ∠DAE=90°． ∴AD是半圆O的切线．
（2）解：∵OE⊥AC ∴AC=2CE=2 ． 在Rt△ABC 中， AB= ∵∠D=∠BAC ，∠ACB= ∠DAO=90°， ∴△DOA∽△ABC ． ∴
【解答】 （1）证明：连接OD， ∵OD=OA， ∴∠ODA=∠OAD， ∵DE是⊙O的切线， ∴∠ODE=90°，OD⊥DE，
又∵DE⊥EF， ∴OD∥EF， ∴∠ODA=∠DAE， ∴∠DAE=∠OAD， ∴AD平分∠CAE；
（2）解：连接CD， ∵AC是⊙O直径， ∴∠ADC=90°，
在Rt△ADE中，DE=4cm，AE=2cm ， ∴根据勾股定理得：AD= cm ，
∵∠AEF=∠AEB
∴△BEA ∽△AEF．
∴
，
∵AE=6，BE=8．
∴EF=
．
2.如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过 点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于 点D，且∠D=∠BAC． （1）求证：AD是半圆O的切线； （2）若BC=2，CE= ，求AD的长．
【分析】（1）要证AD是半圆O的切线只要证明 ∠DAO=90°即可； （2）由两组角对应相等的两个三角形相似可得到 △DOA∽△ABC ，据相似三角形的对应边成比例 可得到AD的长．
又∵∠EAB= ∠DAB
∴△AEB ∽△ABD ，
∴
，即AB 2=AD?AE．
又∵AB=AC ， ∴AB?AC=AD?AE．
6.如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm， ∠ABC=60度． （1）求⊙O的 直径； （2）若D是AB 延长线上一点， 连接CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切； （3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方 向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿 BC方向运动，设运动时间为t（s）（0＜t＜2）， 连接EF，当t为何值时，△BEF为直角三角形．
专题讲座
圆有关的 计算和证明
1.如图，⊙O是等腰三角形 ABC的外接圆，AB=AC，延长 BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O 于点E，连接BE与 AC交于点 F． （1）判断BE是否平分 ∠ABC，并说明理由； （2）若AE=6，BE=8，求EF的长．
【分析】 （1）BE 平分∠ABC ．由已知中边的相等，可得 ∠CAD= ∠D，∠ABC= ∠ACB ，再利用同弧所对的圆周角 相等，可得 ∠CAD= ∠D=∠DBE ，即有 ∠ABE+ ∠EBD= ∠CAD+ ∠D，利用等量减等量差相等，可 得∠EBD= ∠D=∠ABE ，故得证． （2）有（1）中的所证条件 ∠ABE= ∠FAE，再加上两个 三角形的公共角，可证△ BEA ∽△AEF ，利用比例线段可 求EF．
由（1）知：∠DAE=∠OAD，∠AED=∠ADC=90°， ∴△ADC∽△AED， ∴ ∴AC=10 cm ， ∴⊙O的半径是5 cm ．
4.如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径， 点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E， 且 AE⊥CE，连接CD． （1）求证：DC=BC； （2）若AB=5，AC=4，求tan∠DCE的值．