线性控制系统理论

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– 约当规范性判据
– 能观测性指数
• 连续时间线性时变系统的能控性和能观测性判据 – 能控性判据(*) – 能观测性判据(*)
• 离散时间线性系统的能控性和能观测性判据
– 时变系统的能控性和能达性判据 – 时不变系统的能控性和能达性判据 – 时变系统的能观测性判据 – 时不变系统的能观测性判据
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线性系统理论大纲
• 状态和线状性态空系间统的状态空间描述
– 系统动态过程的两类数学描 述
– 状态和状态空间的定义(*)
• 连续变量动态系统按 状态空间描述的分类
– 线性系统和非线性系统 – 时变系统和时不变系统 – 连续时间系统和离散时间系
统 – 确定性系统和不确定性系统
• 由系统输入输出描述 导出状态空间描述
– 自治系统.平衡状态和受扰运动
– 李亚普诺夫意义下的稳定 – 渐近稳定 – 不稳定
• 李亚普诺夫第二方法的主要定理(*)
– 大范围渐近稳定的判别定理 – 小范围渐近稳定的判别定理 – 李亚普诺夫意义下稳定的判别定理 – 不稳定的判别定理
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• 构造李亚普诺夫函数的规则化方法
• 连续时间线性系统的状态运动稳定性判据 (*)
• 能控性和能观测性的定义(*) – 对能控性和能观测性的直观讨论 – 能控性的定义 – 能观测性的定义
• 连续时间线性时不变系统的能控性判据 – 格拉姆矩阵判据(*) – 秩判据(*) – PBH判 – 约当规范性判据 – 能控性指数
• 连续时间线性时不变系统的能观测性判据 – 格拉姆矩阵判据(*) – 秩判据(*) – PBH判
首先，定出系统状态转移矩阵Φ(t , t0)。为此，通过求解系统自
治状态方程组
x1 x2
0 tx1
得到
x1 x2
C1 0.5C12t2
C2
,代入
t0,
C1 C2
x1(t0 ) x2(t0 )
0.5x1(t0
)t02
得到
x1(t) x1(t0 )
x2 (t) 0.5x1(t0 )t2 0.5x1(t0 )t02 x2 (t0 ) 再任取两组线性无关初始状态变量：
• 离散时间线性系统的能控性和能观测性判 据
– 时变系统的能控性和能达性判据 – 时不变系统的能控性和能达性判据 – 时变系统的能观测性判据 – 时不变系统的能观测性判据
• 对偶性
– 对偶系统 – 对偶性原理
• 离散化线性系统保持能控性和能观测性的 条件
– 问题的提法 – 能控性和能观测性保持条件
• 状态反馈和输出反馈
– 状态反馈(*) – 输出反馈 – 状态反馈和输出反馈的比较(*)
• 状态反馈极点配置：单输人情形(*)
– 问题的提法 – 期望闭环极点组 – 极点配置定理 – 极点配置算法(*)
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• 全维状态观测器
– 状态重构和状态观测器
• 降维状态观测器
– 降维状态观测器的基本特性
– 降维状态观测器：综合方案I
• 线性系统在坐标变换下的特性 – 坐标变换的几何含义和代数表征 – 线性时不变系统在坐标变换下的特性(*) – 线性时变系统在坐标变换下的特性
• 组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵(*)
– 子系统的并联 – 子系统的串联 – 子系统的反馈联接
线性系统的运动分析
• 连续时间线性时不变系统的运动分析 • 连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵(*) • 定义 • 和系统矩阵A的关系 • 和基本解阵的关系 • 状态转移矩阵的性质 • 连续时间线性时不变系统的脉冲响应矩阵
x1(t0 ) 0, x1(t0 ) 2,
x2 (t0 ) 1 x2 (t0 ) 0
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以导出两个线性无关解：
x1
t
0 1
，
x2
t
t
2
2
t02
基此，得到系统的一个基本解阵（由自治方程的 n 个线性无关
的解为列构成）：
t x1
x2
0 1
2
t2
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t02
于是，利用状态转移矩阵关系式（3.148），即可定出状态转移
– 线性时不变系统的稳定判据 – 线性时变系统的稳定判据
• 离散时间系统状态运动的稳定性及其判据
– 离散时间非线性时不变系统的李亚普诺夫主稳 定性定理
– 离散时间线性时不变系统的稳定判据
线性反馈系统的时间域综合
• 引言
– 综合问题的提法(*) – 性能指标的类型 – 研究综合问题的思路(*) – 工程实现中的一些理论问题
• 基于观测器的状态反馈控制系统的特性
– 基于观测器的状态反馈系统的构成 – 基于观测器的状态反馈系统的特性 – 综合举例
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习题
例
设 y 5y8y6y 3u
求（A，B，C，D）
解：选
x1 y
..
x3 y
.
x2 y
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则： x1 x2 x2 x3
x 3 6 x 1 8 x2 5 x 3 3 u
– 由输入输出描述导出状态空 间描述（*)
– 由方块图描述导出状态空间 描述(*)
2
• 线性时不变系统的特征结构 – 特征多项式(*) – 特征值(*) – 特征向量和广义特征向量
• 状态方程的约当规范形 – 特征值为两两相异的情形(*)
• 由状态空间描述导出传递函数矩阵 – 传递函数矩阵 – G(s)基于(A,B,C,D)的表达式(*)
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• 能控规范形和能观测规范形：单输入单输 出情形
– 能控性能观测性在线性非奇异变换下的属性 – 能控规范形 – 能观测规范形
系统运动的稳定性
• 外部稳定性和内部稳定性(*)
– 外部稳定性 – 内部稳定性 – 内部稳定性和外部稳定性的关系
• 李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念
– 李亚普诺夫第一方法和第二方法
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• 连续时间线性时变系统的运动分析
– 状态转移矩阵(性质) (*) – 系统的状态响应(*) – 脉冲响应矩阵
• 连续时间线性系统的时间离散化
– 问题的提出 – 基本约定 – 基本结论
• 离散时间线性系统的运动分析
– 迭代法求解状态响应 – 状态响应的解析关系式 – 脉冲传递函数矩阵
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线性系统的能控性能观性
y x1
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状态空间表达式为
x1 0 1 0x1 0
xx3206
0 8
1x20u 5x3 3
a0 a1 a2
b0
x1
y 1
0
0
x
2
x3
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例：给定一个连续时间线性时变系统：
0
x
t
0 0
x
1 1
u
，
x(1)
1 2
，t0=1,
t∈[1,10]
其中，u 为作用于时刻τ=1 的单位阶跃函数 1(t-1)，求解。