周期信号的傅里叶变换

n
又
1 Fn T1
fT (t) T (t) FT w1 (w nw1) n
可见，在周期单位冲激序列的傅里叶变换中只包含位于 =0,1, 21, n1, 频率处的冲激函数，其强度大 小相等，均等于1 。
例3-11
求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数和 傅里叶变换。
f (t)
E
…
…
T
0
T
单脉冲的傅里叶变换F0():为非周期信号直接用傅里 叶变换定义公式。
T1
F0 (w)
2 T1
f (t)e jwtdt
2
（单脉冲的傅里叶变换式）
❖ 2.利用单脉冲信号求周期信号的傅里叶变换
周期信号与单脉冲信号的关系：
或写成
1 Fn (w) T1 F0 (w) wnw1
Fn
1 T1
T1
2 T1
二、一般周期信号的傅里叶变换
令周期信号f(t)的周期为T1，角频率为1=2f1
e 一般周期信号：f (t)
F jn1t n
n
F 2 Fn n1 n
其中：
Fn
1 T1
T1
2 T1
f (t)e jwtdt
2
1.单脉冲信号的傅里叶变换
单脉冲信号：从周期脉冲信号f(t)中截取一个周 期，得到单脉冲信号。
2
f
(t
)e
jwt
dt
wnw1
周期信号的傅里叶级数的系数Fn等于单脉冲信号的傅里 叶变换F0()在n1频率点的值乘以1/T1。
可利用单脉冲的傅里叶变换方便求出周期性信号的傅里 叶级数的系数。
例3-10 单位冲激函数的间隔为T1，用符号T(t)
表示周期单位冲激序列：
T (t) (t nT1) n
目的：把周期信号与非周期信号的分析方法统一起来， 使傅里叶变换得到广泛应用。
一、正弦、余弦周期信号的傅里叶变换
e Q f (t) j0t F F( m0 ), 0 0 1F2 (t) e j0t F 2 ( m0 ), 0 0
余弦信号：cos(1t) F ( 1) ( 1) 正弦信号：sin(1t) F j ( 1) ( 1)
思考题
1.正弦、余弦信号的傅里叶变换公式？ 2. 一般周期信号的傅里叶变换公式？
§3.8 周期信号的傅里叶变换
主要内容
•正弦、余弦信号的傅里叶变换 •一般周期信号的傅里叶变换
重点：正弦、余弦信号的傅里叶变换
难点：一般周期信号的傅里叶变换
周期信号-----傅里叶级数
穷周 大期
无
积求 分和
变 求
非周期信号------傅里叶变换
周期信号不满足绝对可积条件，但在允许冲激函 数存在并认为它有意义的前提下，绝对可积条件就成为 不必要的限制。也就有周期信号的傅里叶变换。
F e jnw1t n
n
Fn
T (t)
1 T1
T1
f 2
T1
1 2
(t )e e jnw1t
T1 n
jwt dt
1 T1
可见，在周期单位冲激序列的傅里叶级数中只包含位于
=0,1, 21, n1, 的频率分量，且分量大小相等， 均等于1/T1。
求T(t)的傅里叶变换。
fT (t) FT 2 Fn (w nw1)
求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。
解：画波形
(t)
1
F (w)
1
0t
(t)
1
FS
0
w
1 Fn
T1
T1 0 T1 t
0 2w1 w1 w1 2w1
w
(t)
1
FT
F (w)
w1
T1 0 T1 t
0 2w1 w1 w1 2w1
w
T(t)是周期函数，求其傅里叶级数：
T (t)
2
)
求得周期矩形脉冲信号的傅里叶级数：
f (t) E Sa( nw1 )e jnw1t
T1 n
2
最后求周期矩形脉冲信号的傅里叶变换F(w)。
fT (t) FT 2 Fn (w nw1) n
F (w)
Ew1
n
Sa(
nw1
2
)
(w
nw1 )
看出：周期信号频谱是离散的； 非周期信号的频谱是连续。
1 f (t) cos w1t
频谱
F (w)
0
t
1 f (t) sin w1t
0
t
w0 0
w0 w
jF(w)
w0
0
w0 w
例子 有限长的余弦信号
f (t)
E
其频谱图为：
0
2
E G(w)
2
t
2
w0
0
w0
w0
2
w
有限长余弦信号f0(t)的宽度增大时，频谱F0()越来越集 中到1的附近，当 ，有限长余弦信号就变成无穷长余弦 信号，此时频谱在1处成为无穷大，而在其他频率处均为零。 即此时频谱变为位于1的两个冲激函数。
t
22
解：先求F0矩(w形) 单E脉 冲 Sa信( w号2f)0(t)的傅里叶变换F0(w)
f0 (t)
1
F0 (w)
E
0
t
2
2
2 0 2
w
再求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数Fn
f (t)
E Fn
E
T1
…
…
2
2 Hale Waihona Puke Baidu
T
0
T
t
0 2
w
22
T1
Fn
1 T1
F0 (w)
w nw1
E
T1
Sa( nw1