第七讲 解析几何新题型的解题技巧
(完整版)解析几何考点和答题技巧归纳
解析几何考点和答题技巧归纳一、解析几何的难点从解题的两个基本环节看：1、翻译转化：将几何关系恰当转化（准确，简单），变成尽量简单的代数式子（等式 / 不等式），或反之…2、消元求值：对所列出的方程 / 不等式进行变形，化简，消元， 计算，最后求出所需的变量的值/范围 等等难点：上述两个环节中 ⎩⎪⎨⎪⎧变量、函数/方程/不等式的思想灵活性和技巧性分类讨论综合应用其他的代数几何知不小的计算量二、复习建议分两个阶段，两个层次复习： 1、基础知识复习：落实基本问题的解决，为后面的综合应用做好准备。
这个阶段主要突出各种曲线本身的特性，以及解决解析问题的一般性工作的落实，如： ① 直线和圆：突出平面几何知识的应用（d 和r 的关系！）；抛物线：突出定义在距离转化上的作用，以及设点消元上与椭圆双曲线的不同之处。
② 圆锥曲线的定义、方程、基本量（a 、b 、c 、p ）的几何意义和计算③ 直线和圆锥曲线的位置关系的判断（公共点的个数）④ 弦长、弦中点问题的基本解法⑤ 一般程序性工作的落实：设点、设直线（讨论？形式？）、联立消元、列韦达结论… 中的计算、讨论、验…2、综合复习：重点攻坚翻译转化和消元求值的能力① 引导学生在 “解题路径规划”的过程中理解解析法：变量、等式（方程/函数）、不等式的思想② 积累常见的翻译转化, 建立常见问题的解决模式③ 一定量的训练, 提高运算的准确性、速度, 提高书写表达的规范性、严谨性● 具体说明1、引导学生在“解题路径规划”的过程中理解解析法：变量、等式(方程/函数)、不等式的思想建议在例题讲解时，总是在具体计算之前进行“解题路径规划”：① 条件和结论与哪几个变量相关？解决问题需要设哪些变量？② 能根据什么条件列出几个等式和不等式？它们之间独立吗？够用了吗？③ 这些等式/不等式分别含有什么变量？如何消元求解最方便？④ 根据这些等式和不等式，能变形、消元后得到什么形式的结论（能消掉哪些变量？得到两个变量的新等式/不等式？变量的范围？求出变量的值？)好处： ①选择合适的方法；②避免中途迷失[注] 关于消元常用的消元法： ⎩⎪⎨⎪⎧代入消元加减/乘除消元韦达定理整体代入消掉交点坐标 点差法 弦中点与弦斜率的等量关系 ……换元,消元的能力非常重要2、积累常见翻译转化，建立常见问题的解决模式（1）常见的翻译转化：① 点在曲线上 点的坐标满足曲线方程② 直线与二次曲线的交点⎣⎢⎡点坐标满足直线方程点坐标满足曲线方程x 1 + x 2 = …‚ x 1x 2= …y 1 + y 2 = …‚ y 1y 2 = … ③ 两直线AB 和CD 垂直 01AB CD AB CD k k ⎡⋅=⎢⋅=-⎣④ 点A 与B 关于直线l 对称⎩⎨⎧中: AB 的中点l 垂: AB ⊥l ⑤ 直线与曲线相切 ⎣⎡圆: d = r 一般二次曲线: 二次项系数 ≠ 0 且∆ = 0⑥ 点(x 0,y 0)在曲线的一侧/内部/外部 代入后 f (x 0,y 0) > 0或f (x 0,y 0) < 0⑦ ABC 为锐角 或 零角 BA → ∙ BC → > 0⑧ 以AB 为直径的圆过点C⎣⎢⎡CA → ∙ CB → = 0|CA |2 + |CB |2 = |AB |2 ⑨ AD 平分BAC → ⎣⎢⎢⎡AD ⊥x 轴或y 轴时:k BA = − k AC AD 上点到AB 、AC 的距离相等AD →∥(AB → + AC →)⑩ 等式恒成立系数为零或对应项系数成比例○11 A 、B 、C 共线 → ⎣⎢⎢⎡AB →∥BC→k AB = k BC C 满足直线AB 的方程……[注] 关于直线与圆锥曲线相交的列式与消元：① 如果几何关系与两个交点均有关系，尤其是该关系中，两个交点具有轮换对称性，那么可优先尝试利用韦达定理得到交点坐标的方程，然后整体消元如果几何关系仅与一个交点相关, 那么优先尝试“设点代入”（交点坐标代入直线方程和曲线方程）；② 如果几何关系翻译为交点的坐标表示后， 与x 1 + x 2, y 1 + y 2相关 （如：弦的中点的问题)，还可尝试用 “点差法”（“代点相减” 法） 来整体消元，但仍需保证∆ > 0（2）建立常见题型的“模式化”解决方法 （不能太过模式化，也不能没有模式化）如：① 求曲线方程： ⎩⎪⎨⎪⎧待定系数法直译法定义法相关点法参数法… 难度较大，上海常考的是待定系数法、定义法和相关点法。
破解解析几何问题常见的技巧
4
所以△ F 1 MN 内切圆半径 r 最大，即 △1 最大.
设直线 l 的方程为 x ＝ my ＋ 3 （ m ≠0），
＝＋ 3，
2＋4） y 2＋2 3 my －1＝0，Δ＞0显然
由ቐ 2
得（
m
＋ 2 = 1，
4
−2 3
−1
成立，则 y 1＋ y 2＝ 2 ， y 1 y 2＝ 2 ，
消去
y
，得63
x
2
4
4
2
− =1
9
193＝0，∵Δ＝1262－4×63×（－193）＞0，且 x 1 x 2＜0，∴直线 AB
与双曲线的两支分别相交，∴D满足题意.故选D.
高中总复习·数学
解法分析
解析几何是高中数学中用代数方法研究几何问题的重要分支，解题的
第一步通常是把几何条件转化为代数语言，即转化为方程或函数问
值域容易确定的另一函数，求得其值域，从而求得原函数的值域，形
如 y ＝ ax ＋ b ± ＋ （ a ， b ， c ， d 均为常数，且 ac ≠0）的函数
常用此法求解，但在换元时一定要注意新元的取值范围，以保证等价
转化，这样目标函数的值域才不会发生变化.
高中总复习·数学
技巧5
妙借向量，更换思路
12
12
则 2 ＋ 2 ＝1，
22
22
＋ 2 ＝1，
2
②
①
.
高中总复习·数学
①－②得
（1 ＋2 )(1 −2 ）
1 −2
当
＝－1时
1 −2
2
＋
（1 ＋2 )(1 −2 ）
2
高中数学学习中的解析几何解题技巧
高中数学学习中的解析几何解题技巧解析几何是数学中的一个重要分支，也是高中数学中的一项重要内容。
在学习解析几何时，很多学生常常会遇到解题困难的情况。
本文将介绍一些高中数学学习中解析几何解题的技巧，帮助学生更好地应对解析几何题目。
一、利用图形性质确定方程解析几何问题常常涉及到图形的方程，而方程又是解题的基础。
在解析几何问题中，我们可以通过观察图形的性质，来确定方程的形式。
例如，当求解过点A和B的直线方程时，我们可以根据直线的斜率来确定方程的形式。
如果我们已知直线经过点A(-3,5)和B(2,4)，我们可以利用两点间的斜率公式来求解直线的斜率，即\[k = \frac{{y_2-y_1}}{{x_2-x_1}} = \frac{{4-5}}{{2-(-3)}} = -\frac{1}{5}\]然后可以通过直线的斜率和已知点的坐标，使用点斜式或者斜截式公式得到直线的方程。
二、利用向量运算简化计算在解析几何中，向量是一项重要的工具。
通过向量的加减和数乘等运算，可以简化计算过程。
例如，当求解两条直线的夹角时，我们可以利用向量的点积公式来求解。
设两条直线的方程分别为\[ax+by+c=0\]和\[px+qy+r=0\]，则两条直线的夹角\(\theta\)满足：\[\cos{\theta}=\frac{{|ap+bq|}}{{\sqrt{{a^2+b^2}}\sqrt{{p^2+q^2}}}}\]通过向量的点积公式，我们可以利用方程的系数来求解直线的夹角，而无需对方程进行直接求解。
三、利用平移旋转变换简化题目解析几何中的平移、旋转等变换是解题过程中常常用到的工具。
通过适当的变换，可以将复杂的题目转化为简单的形式，便于求解。
例如，我们在求解直线与圆的位置关系时，可以通过平移变换将圆心移到坐标原点，从而简化题目。
设直线的方程为\(ax+by+c=0\)，圆的方程为\((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)，我们可以通过平移变换将圆的方程转化为\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)，其中\(a\)和\(b\)为圆心的坐标。
解析几何解答题技巧
解析几何解答题技巧
解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究空间中点、线、面等几何对象在坐标系中的表示和性质。
在解析几何的解答题中，需要注意以下几点技巧：
1. 建立坐标系：根据题目的具体情况，选择适当的坐标系，如直角坐标系、极坐标系或参数方程。
坐标系的建立有助于将几何问题转化为代数问题，便于进一步求解。
2. 设点坐标：根据题目要求，设出未知点的坐标。
设点坐标时需要注意，所设的坐标应尽量满足题目的条件，便于求解。
3. 列出方程：根据题目的已知条件和设定的坐标，列出所需的方程。
列方程时需要注意，方程应尽可能简单，便于求解。
4. 解方程：根据所列的方程，解出未知数的值。
解方程时需要注意，解方程的方法应尽可能简单，便于计算。
5. 验证答案：解出答案后，需要进行验证，确保答案符合题目的条件和已知条件。
验证答案时需要注意，答案应尽可能准确，避免出现误差。
6. 总结答案：最后需要对答案进行总结，写出完整的答案。
总结答案时需要注意，答案应尽可能清晰，便于阅读和理解。
总之，在解析几何的解答题中，需要注意建立坐标系、设点坐标、列出方程、解方程、验证答案和总结答案等技巧。
同时还需要注意计算准确、思路清晰、表达简洁等要求。
解答解析几何问题的几个“妙招”
解题宝典仔细研究可以发现，解析几何问题通常具有以下几个特点：（1）解题过程中的运算量较大；（2）选择题和填空题侧重于考查抛物线、椭圆、双曲线的定义和几何性质，解答题侧重于考查直线与椭圆、抛物线、双曲线的位置关系；（3）可从代数和几何两个角度入手，寻找解题的思路.在解答解析几何问题时，我们要抓住解析几何问题的特点，选用一些技巧来简化运算，提升解题的效率.一、巧用定义在解答与圆锥曲线定义有关的问题时，要将问题中的动点、定点、定直线与圆锥曲线上的点、焦点、准线等关联起来，根据圆锥曲线的定义来建立关于动点的关系式，求得各个参数a 、b 、c 、p 、r 的值，便可求得动点的轨迹方程或焦半径的长.例1.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为-3的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若 AF 1·AF 2=0，a =3-1，则F 2的坐标为.解：因为 AF 1·AF 2=0，所以AF 1⊥AF 2，因为k AF 2=-3，所以∠AF 1F 2=π6，则AF 1=3c ，AF 2=c ，由双曲线的定义得AF 1-AF 2=3c -c =2a ，则c =3=2，所以F 2已知条件中涉及了双曲线的两个焦半径AF 1、AF 2，于是联想到双曲线的定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹，据此建立关于AF 1、AF 2的关系式，即可解题.运用圆锥曲线的定义来解题，能快速建立起焦点弦、参数之间的联系，起到简化运算的效果.二、数形结合在解答解析几何问题时，根据题意画出相应的曲线、直线，并将数量关系转化为几何关系，这样把数形结合起来，可使问题变得更加直观，便于分析.运用数形结合法解题，关键是画出相应的平面几何图形，灵活运用平面几何知识，如三角形、圆、平行四边形、梯形的性质来求解.例2.（2021年高考数学上海卷，第11题）已知抛物线C ：y 2=2px （p >0），若第一象限内的点A ，B 在抛物线C 上，焦点为F ，且|AF |=2，|BF |=4，|AB |=3，则直线AB 的斜率为______.解：如图所示，过点A ,B 作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为P ，Q ，作AM ⊥BQ ,垂足为M ，根据抛物线的定义可知|AP |=|MQ |=|AF |=2，|BQ |=|BF |=4，则|BM |=2，在Rt△AMB 中,由|AB |=3可得|AM |=|AB |2-|BM |2=5,所以直线AB 的斜率k =tan ∠ABM =|AM ||BM |=根据题目中所给的条件，作出相应的平面几何图形，将题目中的数量关系转化为几何关系，便可将数形结合起来，通过合理添加辅助线，构造出直角三角形，根据直角三角形的性质和勾股定理就能求得直线AB 的斜率.三、设而不求设而不求是指设出相关的参数，但不求出参数的具体值，得到直线的方程、曲线的方程、点的坐标等，将其代入题设中进行运算，最后通过消元求得问题的答案.利用设而不求法解答解析几何问题，只需设出相关的参数，根据题意建立关系式，合理进行整体代换、消元即可.例3.（2021年福建省福州市高考数学调研试卷）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点.正方形OPBQ 的顶点P ，Q 在椭圆C 上.（1）求C 的离心率；（2）若a=2，直线l 过点（1，0）且x 轴不重合，与椭圆C 交于M ，N 两点（M 在x 轴上方），直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，试判断k 1k 2是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.解：（1）略；（2）当a =2时，b =，所以椭圆C 的方程为x 2+3y 2=4，设直线l 的方程为x =my +1，m ≠0，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，则y 2<0<y 1，由题意可得ìíîx =my +1,x 2+3y 2=4,消去x 可得(m 2+3)y 2+2my -3=0，得y 1+y 2=-2m m 2+3，y 1y 2=-3m 2+3，林毓琴41解题宝典N k OM 42。
高中数学解析几何解题技巧
高中数学解析几何解题技巧解析几何是高中数学中的一大难点，也是考试中的重点内容之一。
掌握解析几何的解题技巧，不仅可以提高解题效率，还能够在考试中获得更好的成绩。
本文将从直线、圆和曲线三个方面介绍解析几何的解题技巧，并通过具体题目的分析来说明每个考点。
一、直线的解析几何解题技巧直线是解析几何中最基础的图形，其解题技巧主要包括确定直线的方程和求直线的性质。
在确定直线的方程时，常用的方法有点斜式和两点式。
例如，已知直线过点A(1,2)且斜率为3，求直线的方程。
根据点斜式的公式y-y₁ = k(x-x₁)，代入已知条件，可以得到直线的方程为y-2=3(x-1)。
在求直线的性质时，常用的方法有平行和垂直关系的判断。
例如，已知直线l₁的方程为y=2x+1，直线l₂与l₁平行且过点(2,3)，求l₂的方程。
根据平行关系的性质可知，l₂的斜率与l₁的斜率相等，因此l₂的方程为y=2x+b。
代入过点(2,3)的条件，可以解得b=-1，所以l₂的方程为y=2x-1。
二、圆的解析几何解题技巧圆是解析几何中的另一个重要图形，其解题技巧主要包括确定圆的方程和求圆的性质。
在确定圆的方程时，常用的方法有标准式和一般式。
例如，已知圆心为(2,-3)且经过点(1,2)，求圆的方程。
根据标准式的公式(x-a)²+(y-b)²=r²，代入已知条件，可以得到圆的方程为(x-2)²+(y+3)²=18。
在求圆的性质时，常用的方法有判断点与圆的位置关系和求切线的斜率。
例如，已知圆的方程为(x-2)²+(y+3)²=18，点P(4,-1)在圆上，求点P处切线的斜率。
根据点与圆的位置关系的性质可知，点P处切线的斜率等于圆的斜率，即-(x-2)/(y+3)。
代入点P的坐标，可以求得点P处切线的斜率为-2/4=-1/2。
三、曲线的解析几何解题技巧曲线是解析几何中的较为复杂的图形，其解题技巧主要包括确定曲线的方程和求曲线的性质。
8.解析几何新题型的解题技巧
第七讲 解析几何新题型的解题技巧【例题解析】 考点1.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之.例1．（2006年安徽卷）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.解答过程：椭圆22162x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D.考点2. 求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之.例2．（2007年四川卷文)已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于A.3B.4C.32D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用.解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b⎧=-+⇒++-=⇒+=-⎨=+⎩，进而可求出AB 的中点11(,)22M b --+，又由11(,)22M b --+在直线0x y +=上可求出1b =，∴220x x +-=，由弦长公式可求出AB ==故选C例3．（2006年四川卷）如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F PF P F PF P F P F ++++++=____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. 解答过程：由椭圆2212516x y +=的方程知225, 5.a a =∴=∴12345677277535.2a PF P F P F P F P F P F P F a ⨯++++++==⨯=⨯= 故填35.考点3. 曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用: (1)椭圆的离心率e ＝ac ∈(0,1) (e 越大则椭圆越扁);(2) 双曲线的离心率e ＝ac ∈(1, ＋∞) (e 越大则双曲线开口越大).结合有关知识来解题.例4．（2007年全国卷）文（4）理（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)-，(4,0)，则双曲线方程为A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．221106x y -=D ．221610x y -= 考查意图:本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念. 解答过程：2,4,c e c a===所以22,12.a b ∴==故选(A). 小结: 对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念，要注意认真掌握.尤其对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会.例5．（2006年广东卷）已知双曲线9322=-y x ,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） A.2 B.332 C. 2 D.4考查意图: 本题主要考查双曲线的性质和离心率e ＝a c ∈(1, ＋∞) 的有关知识的应用能力.解答过程：依题意可知 3293,322=+=+==b a c a ． 考点4.求最大(小)值求最大(小)值, 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大(小)值:特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.例6．(2006年山东卷)已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 .考查意图: 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小)值的方法. 解:设过点P (4,0)的直线为()()224,8164,y k x k x x x =-∴-+=()()122222222122284160,8414416232.k x k x k k y y x x k k ∴-++=+⎛⎫∴+=+=⨯=+≥ ⎪⎝⎭故填32.考点5 圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心. 例7．（2007年广东卷文）在平面直角坐标系xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为22的圆C 与直线y =x 相切于坐标原点O .椭圆922y ax +=1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.（1）求圆C 的方程；（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长.若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.[考查目的]本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力． [解答过程] (1) 设圆C 的圆心为 (m, n)则,m n n =-⎧⎪⎨⎪⎩ 解得2,2.m n =-⎧⎨=⎩ 所求的圆的方程为 22(2)(2)8x y ++-= (2) 由已知可得 210a = ， 5a =．椭圆的方程为 221259x y += , 右焦点为 F( 4, 0) ;假设存在Q点()2,2θθ-++使QF OF =,4．整理得 s i n 3c o s 2θθ=+ 代入 22sin cos 1θθ+=． 得:210cos 70θθ++=,cos 1θ=-．因此不存在符合题意的Q 点. 例8．（2007年安徽卷理）如图,曲线G 的方程为)0(22≥=y x y .以原点为圆心，以)0(>t t 为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的 正半轴相交于 A 与点B . 直线AB 与 x 轴相交于点C .（Ⅰ）求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标c 的关系式；（Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2+a ,求证：直线CD 的斜率为定值. [考查目的]本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的 两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系 ，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力. [解答过程]（I ）由题意知，).2,(a a A因为.2,||22t a a t OA =+=所以由于.2,02a a t t +=>故有 （1）由点B （0，t ），C （c ，0）的坐标知，直线BC 的方程为.1=+ty cx又因点A 在直线BC 上，故有,12=+ta ca将（1）代入上式，得,1)2(2=++a a a ca 解得 )2(22+++=a a c .（II ）因为))2(22(++a a D ，所以直线CD 的斜率为1)2(2)2(2))2(22(2)2(22)2(2-=+-+=+++-++=-++=a a a a a a c a a k CD ，所以直线CD 的斜率为定值. 例9．已知椭圆2222x y E :1(a b 0)a b+=>>，AB 是它的一条弦，M(2,1)是弦AB 的中点，若以点M(2,1)为焦点，椭圆E 的右准线为相应准线的双曲线C 和直线AB 交于点N(4,1)-，若椭圆离心率e 和双曲线离心率1e 之间满足1ee 1=，求： （1）椭圆E 的离心率；（2）双曲线C 的方程.解答过程：（1）设A 、B 坐标分别为1122A(x ,y ),B(x ,y )，则221122x y 1a b +=，222222x y 1a b +=，二式相减得：21212AB 21212y y (x x )b k x x (y y )a-+==-=-+2MN 22b 1(1)k 1a 24---===--， 所以2222a 2b 2(a c )==-，22a 2c =，则c e a=；（2）椭圆E的右准线为2a x 2c c ===，双曲线的离心率11e e==设P(x,y)是双曲线上任一点，则：|PM ||x 2c |=-两端平方且将N(4,1)-代入得：c 1=或c 3=，当c 1=时，双曲线方程为：22(x 2)(y 1)0---=，不合题意，舍去； 当c 3=时，双曲线方程为：22(x 10)(y 1)32---=，即为所求. 小结：（1）“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；（2）求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义. 考点6 利用向量求曲线方程和解决相关问题利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算. 典型例题：例10．(2006年山东卷）双曲线C 与椭圆22184x y +=有相同的焦点，直线y =x 3为C 的一条渐近线.(1)求双曲线C 的方程；(2)过点P (0,4)的直线l ，交双曲线C 于A,B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合）.当12PQ QA QB λλ==，且3821-=+λλ时，求Q 点的坐标.考查意图: 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力.解答过程：（Ⅰ）设双曲线方程为22221x y a b-=,由椭圆22184x y +=,求得两焦点为(2,0),(2,0)-，∴对于双曲线:2C c =，又y 为双曲线C 的一条渐近线∴b a=解得 221,3a b ==，∴双曲线C 的方程为2213y x -=（Ⅱ）解法一：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零.设l 的方程：114,(,)y kx A x y =+，22(,)B x y ,则4(,0)Q k-.1PQ QA λ=,11144(,4)(,)x y kkλ∴--=+.111111114444()44x k k x k k y y λλλλ⎧=--⎧⎪-=+⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪-==-⎩⎪⎩11(,)A x y 在双曲线C 上， ∴2121111616()10k λλλ+--=.∴222211161632160.3k k λλλ++--=∴2221116(16)32160.3k k λλ-++-=同理有：2222216(16)32160.3k k λλ-++-=若2160,k -=则直线l 过顶点，不合题意.2160,k ∴-≠ 12,λλ∴是二次方程22216(16)32160.3k x x k -++-=的两根.122328163k λλ∴+==--,24k ∴=，此时0,2k ∆>∴=±. ∴所求Q 的坐标为(2,0)±.解法二：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零 设l 的方程，11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k-.1PQ QA λ=， Q ∴分PA 的比为1λ.由定比分点坐标公式得1111111111144(1)14401x x k k y y λλλλλλλ⎧⎧-==-+⎪⎪+⎪⎪→⎨⎨+⎪⎪=-=⎪⎪+⎩⎩下同解法一解法三：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零 设l 的方程：11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k-.12PQ QA QB λλ==， 111222444(,4)(,)(,)x y x y kkkλλ∴--=+=+.11224y y λλ∴-==， 114y λ∴=-，224y λ=-，又1283λλ+=-， 121123y y ∴+=,即12123()2y y y y +=.将4y kx =+代入2213y x -=得222(3)244830k y y k --+-=.230k -≠，否则l 与渐近线平行.212122224483,33k y y y y k k -∴+==--.222244833233k k k -∴⨯=⨯--.2k ∴=±(2,0)Q ∴±.解法四：由题意知直线l 得斜率k 存在且不等于零，设l 的方程：4y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ,则4(,0)Q k-1PQ QA λ=,11144(,4)(,)x y kkλ∴--=+.∴1114444k kx x k λ-==-++.同理 1244kx λ=-+.1212448443kx kx λλ+=--=-++.即 2121225()80k x x k x x +++=. （*）又 22413y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 得22(3)8190k x kx ---=.当230k -=时，则直线l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，230k -≠.由韦达定理有： 12212283193k x x k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩代入（*）式得24,2k k ==±.∴所求Q 点的坐标为(2,0)±.例11．（2007年江西卷理）设动点P 到点A (－l ，0)和B (1，0)的距离分别为d 1和d 2，∠APB ＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得d 1d 2 sin 2θ＝λ． （1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；（2）过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点,试确定λ的范围, 使·＝0,其中点O 为坐标原点．[考查目的]本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．[解答过程]解法1：（1）在PAB △中，2AB =，即222121222cos2d d d d θ=+-，2212124()4sin d d d d θ=-+，即122d d -（常数）， 点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长2a =方程为：2211x y λλ-=-．（2）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．即2111101λλλλλ-=⇒+-=⇒-01λ<<，所以λ ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦， 由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦，所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--． 于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x kλλλ=--=--． 因为0=⋅，且M N ，在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)2101131001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩．23λ<．解法2：（1）同解法1（2）设11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()E x y ，． ①当121x x ==时，221101MB λλλλλ=-=⇒+-=-，C BA oy x因为01λ<<，所以λ=②当12x x ≠时，002222212111111y x k y x y x MN ⋅-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--λλλλλλ． 又001MNBE y kk x ==-．所以22000(1)y x x λλλ-=-；由2MON π=∠得222002MN x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由第二定义得2212()222MN e x x a ⎛⎫+-⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭220001(1)21x x λλ==+---． 所以222000(1)2(1)(1)y x x λλλλ-=--+-．于是由22000222000(1),(1)2(1)(1),y x x y x x λλλλλλλ⎧-=-⎪⎨-=--+-⎪⎩得20(1).23x λλ-=-因为01x >，所以2(1)123λλ->-，又01λ<<，23λ<<23λ<．考点7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用解析几何知识建立等量关系容易.例12．设椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在xC(1,0)-的直线交椭圆E 于A 、B 两点，且CA 2BC =，求当AOB ∆的面积达到最大值时直线和椭圆E 的方程.222x 3y t(t 0)+=>，直线方程为my x 1=+，由222x 3y t my x 1⎧+=⎨=+⎩得：22(2m 3)y 4my 2t 0+-+-=，设1122A(x ,y ),B(x ,y )， 则1224m y y 2m 3+=+…………① 又CA 2BC =，故1122(x 1,y )2(1x ,y )+=---，即12y 2y =-…………② 由①②得：128m y 2m 3=+，224m y 2m 3-=+，则AOB 1221mS |y y |6||22m 3∆=-=+＝632|m ||m |≤+， 当23m 2=，即m =AOB ∆面积取最大值，此时2122222t 32m y y 2m 3(2m 3)-==-++，即t 10=，所以，直线方程为x 10+=，椭圆方程为222x 3y 10+=.小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易. 例13．已知PA (x y)=，PB (x y)=，且|P A||P B|6+=， 求|2x 3y 12|--的最大值和最小值.解答过程：设P(x,y)，A(，，因为|PA ||PB|6+=，且|AB|6=，所以，动点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长为6的椭圆， 椭圆方程为22x y 194+=，令x 3cos ,y 2sin =θ=θ，则|2x 3y 12|--＝|)12|4πθ+-，当cos()14πθ+=-时，|2x 3y 12|--取最大值12+当cos()14πθ+=时，|2x 3y 12|--取最小值12-小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算. 考点8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题.例14．（2006年福建卷） 已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点.（I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程； （II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点， 线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围. 考查意图:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考 查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.解答过程：（I ）222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==∴=-=- 圆过点O 、F ，∴圆心M 在直线12x =-上.设1(,),2M t -则圆半径13()(2).22r =---=由,OM r =3,2解得t=∴所求圆的方程为2219()(.24x y ++=（II ）设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+≠ 代入221,2x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-=直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根. 记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y则21224,21k x x k +=-+ AB ∴的垂直平分线NG 的方程为001().y y x x k-=--令0,y =得222002222211.21212124210,0,2G G k k k x x ky k k k k k x =+=-+=-=-+++++≠∴-<< ∴点G 横坐标的取值范围为1(,0).2-例15．已知双曲线C ：2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x 轴正半轴上，且满足|OA |,|OB|,|OF|成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ，（1）求证：PA OP PA FP ⋅=⋅；（2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D,E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围. 解答过程：（1）因|O A |,O B |,O F |成等比数列，故22|OB |a |OA |c |OF |==，即2a A (,0)直线l ：a y (x c)b=--，由2a y (x c)a ab b P(,)bc c y x a ⎧=--⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩， 故：22ab a ab b ab PA (0,),OP (,),FP (,)c c c c c =-==-，则：222a b PA OP PA FP c⋅=-=⋅，即PA OP PA FP ⋅=⋅；（或PA (OP FP)PA (PF PO)PA OF 0⋅-=⋅-=⋅=，即PA OP PA FP ⋅=⋅）（2）由44422222222222222a y (x c)a a a c (b )x 2cx (a b )0bb b b b x a y a b ⎧=--⎪⇒-+-+=⎨⎪-=⎩， 由4222212422a c (ab )b x x 0a b b -+=<-得：4422222b a b c a a e 2e >⇒=->⇒>⇒> （或由DF DO k k >⇒a b b a->-⇒22222b c a a e 2e =->⇒>⇒>小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积，必须先恰当地求出各个点的坐标.例16．已知a (x,0)=，b (1,y)=，(a 3b)(a 3b)+⊥-， （1）求点P(x,y)的轨迹C 的方程；（2）若直线y kx m(m 0)=+≠与曲线C 交于A 、B 两点，D(0,1)-，且|AD ||BD |=， 试求m 的取值范围.解答过程：（1）a 3b+＝(x,0),y)(x =，a 3b-＝(x,0),y)(x =，因(a 3b)(a 3b)+⊥-，故(a 3b)(a 3b)0+⋅-=，即22(x (x x 3y 30⋅=--=，故P 点的轨迹方程为22x y 13-=.PQCBA xy O（2）由22y kx mx 3y 3=+⎧⎨-=⎩得：222(13k )x 6kmx 3m 30----=，设1122A(x ,y ),B(x ,y )，A 、B 的中点为00M(x ,y )则22222(6km)4(13k )(3m 3)12(m 13k )0∆=----=+->，1226km x x 13k +=-，1202x x 3km x 213k +==-，002m y kx m 13k =+=-， 即A 、B 的中点为223km m(,)13k 13k--， 则线段AB 的垂直平分线为：22m 13kmy ()(x )13k k 13k -=----， 将D(0,1)-的坐标代入，化简得：24m 3k 1=-，则由222m 13k 04m 3k 1⎧+->⎪⎨=-⎪⎩得：2m 4m 0->，解之得m 0<或m 4>， 又24m 3k 11=->-，所以1m 4>-， 故m 的取值范围是1(,0)(4,)4-+∞. 小结：求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生增根现象. 考点9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立. 例17．已知A,B,C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心O ，且AC BC 0⋅=，|BC|2|AC|=， （1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上的两点P,Q 使PCQ ∠的平分线垂直于OA ，是否总存在实数λ，使得PQ λAB =？请说明理由；解答过程：（1）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立 平面直角坐标系，则A(2,0)，设椭圆方程为222x y14b+=，不妨设C 在x 轴上方，由椭圆的对称性，|BC|2|AC|2|OC||AC||OC|==⇒=， 又AC BC 0⋅=AC OC ⇒⊥，即ΔOCA 为等腰直角三角形，由A(2,0)得：C(1,1)，代入椭圆方程得：24b 3=， 即，椭圆方程为22x 3y 144+=； （2）假设总存在实数λ，使得PQ λAB =，即AB //PQ ， 由C(1,1)得B(1,1)--，则AB 0(1)1k 2(1)3--==--，若设CP ：y k(x 1)1=-+，则CQ ：y k(x 1)1=--+，由22222x 3y 1(13k )x 6k(k 1)x 3k 6k 1044y k(x 1)1⎧+=⎪⇒+--+--=⎨⎪=-+⎩， 由C(1,1)得x 1=是方程222(13k )x 6k(k 1)x 3k 6k 10+--+--=的一个根，由韦达定理得：2P P 23k 6k 1x x 113k --=⋅=+，以k -代k 得2Q 23k 6k 1x 13k +-=+，故P Q P Q PQ P QP Qy y k(x x )2k1k x x x x 3-+-===--，故AB //PQ ， 即总存在实数λ，使得PQ λAB =.评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题. 考点10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围.例18．设G 、M 分别是ABC ∆的重心和外心，A(0,a)-，B(0,a)(a 0)>，且G M A B =λ，（1）求点C 的轨迹方程；（2）是否存在直线m ，使m 过点(a,0)并且与点C 的轨迹交于P 、Q 两点，且OP OQ 0⋅=？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由.解答过程：（1）设C(x,y)，则x yG(,)33，因为GM AB =λ，所以GM //AB ，则x M(,0)3，由M 为ABC ∆的外心，则|MA ||MC |== 整理得：2222x y 1(x 0)3a a+=≠；（2）假设直线m 存在，设方程为y k(x a)=-，由2222y k(x a)x y1(x 0)3a a =-⎧⎪⎨+=≠⎪⎩得：22222(13k )x 6k ax 3a (k 1)0+++-=， 设1122P(x ,y ),Q(x ,y )，则21226k a x x 13k +=+，221223a (k 1)x x 13k -=+，22212121212y y k (x a )(x a )k [x x a (x x )a ]=--=-++＝2222k a 13k-+， 由OP OQ 0⋅=得：1212x x y y 0+=，即2222223a (k 1)2k a 013k 13k--+=++，解之得k = 又点(a,0)在椭圆的内部，直线m 过点(a,0)， 故存在直线m，其方程为y a)=-.小结：（1）解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的结果，然后做出正确的判断；（2）直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题. 【专题训练与高考预测】 一、选择题1．如果双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是1y x 3=±，那么双曲线方程是（）A ．22x y 1369-= B ．22x y 1819-= C ．22x y 19-= D ．22x y 1183-=2．已知椭圆2222x y 13m 5n +=和双曲线2222x y 12m 3n-=有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方程为（ ）A.x =B. y =C. x =D. y =3．已知12F ,F 为椭圆2222x y 1(a b 0)a b+=>>的焦点，M 为椭圆上一点，1MF 垂直于x 轴， 且12FMF 60∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A.12 4．二次曲线22x y 14m+=，当m [2,1]∈--时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A. B. C. D.5．直线m 的方程为y kx 1=-，双曲线C 的方程为22x y 1-=，若直线m 与双曲线C 的右支相交于不重合的两点，则实数k 的取值范围是（ ）A.( B. C.[ D.[16．已知圆的方程为22x y 4+=，若抛物线过点A(1,0)-，B(1,0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程为（ ）A. 22x y 1(y 0)34+=≠ B. 22x y 1(y 0)43+=≠C. 22x y 1(x 0)34-=≠D. 22x y 1(x 0)43-=≠二、填空题7．已知P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，若021=⋅PF PF21tan 21=∠F PF ，则椭圆的离心率为 ______________ .8．已知椭圆x 2+2y 2=12，A 是x 轴正方向上的一定点，若过点A ，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为3134，点A 的坐标是______________ .9．P 是椭圆22x y 143+=上的点，12F ,F 是椭圆的左右焦点，设12|PF ||PF |k⋅=，则k 的最大值与最小值之差是______________ . 10．给出下列命题：FQoyx①圆22(x 2)(y 1)1++-=关于点M(1,2)-对称的圆的方程是22(x 3)(y 3)1++-=；②双曲线22x y 1169-=右支上一点P 到左准线的距离为18，那么该点到右焦点的距离为292；③顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点(4,3)--的抛物线方程只能是29y x 4=-；④P 、Q 是椭圆22x 4y 16+=上的两个动点，O 为原点，直线OP,OQ 的斜率之积为14-，则22|OP ||OQ|+等于定值20 .把你认为正确的命题的序号填在横线上_________________ . 三、解答题11．已知两点，B(，动点P 在y 轴上的射影为Q ，2PA PB 2PQ ⋅=， （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设直线m 过点A ，斜率为k，当0k 1<<时，曲线E 的上支上有且仅有一点C 到直线m k 的值及此时点C 的坐标.12．如图，1F (3,0)-，2F (3,0)是双曲线C 的两焦点，直线4x 3=是双曲线C 的右准线，12A ,A是双曲线C 的两个顶点，点P 是双曲线C 右支上异于2A 的一动点，直线1A P 、2A P 交双曲线C 的右准线分别于M,N 两点， （1）求双曲线C 的方程；（2）求证：12FM F N ⋅是定值.13．已知OFQ ∆的面积为S ，且OF FQ 1⋅=，建立如图所示坐标系， （1）若1S 2=，|OF|2=，求直线FQ 的方程；（2）设|OF|c(c 2)=≥，3S c 4=，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆过点Q ，求当|OQ |取得最小值时的椭圆方程.14．已知点H(3,0)-，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足HP PM 0⋅=，3PM MQ 2=-，（1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；（2）过点T(1,0)-作直线m 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在x0E(x ,0)，使得ABE ∆为等边三角形，求0x 的值.15．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M 向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，向量AB 与OM 是共线向量． （1）求椭圆的离心率e ；（2）设Q 是椭圆上任意一点， 1F 、2F 分别是左、右焦点，求∠21QF F 的取值范围；16．已知两点M （-1，0），N （1，0）且点P 使⋅⋅⋅,,成公差小于零的等差数列， （Ⅰ）点P 的轨迹是什么曲线？（Ⅱ）若点P 坐标为),(00y x ，θ为与的夹角，求tanθ．【参考答案】一. 1．C .提示，设双曲线方程为11(x y)(x y)33+-=λ，将点代入求出λ即可.2．D .因为双曲线的焦点在x 轴上，故椭圆焦点为，双曲线焦点为，由22223m 5n 2m 3n-=+得|m|n |=，所以，双曲线的渐近线为y == .3．C .设1|MF |d =，则2|MF |2d =，12|FF |，1212|FF |c 2c e a 2a |MF ||MF |====+. 4.C .1>，故选C ；或用2a 4=，2b m =-来计算.5．B .将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组. 6．B .数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义.二.7．解：设c 为为椭圆半焦距，∵021=⋅PF PF ，∴21PF ⊥ .又21tan 21=∠F PF ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+212)2(122122221PF PF a PF PF c PF PF解得：25()9,cc e a a === ． 选D ． 8． 解：设A （x 0，0）（x 0＞0），则直线l 的方程为y=x-x 0，设直线l 与椭圆相交于P （x 1，y 1），Q （x 2、y 2），由 y=x-x 0 可得3x 2-4x 0x+2x 02-12=0， x 2+2y 2=12 34021x x x =+，31222021-=⋅x x x ，则20202021221212363234889164)(||x x x x x x x x x -=--=-+=-．∴||13144212x x x -⋅+=，即202363223144x -⋅⋅=．∴x 02=4，又x 0＞0，∴x 0=2，∴A （2，0）．9．1；22212k |PF ||PF |(a ex)(a ex)a e x =⋅=+-=- .10．②④.三. 11．解（1）设动点P 的坐标为(x,y)，则点Q(0,y)，PQ (x,0)=-，PA (2x,y)=-，PB (x,y)=-，22PA PB x 2y ⋅=-+，因为2PA PB 2PQ ⋅=，所以222x 2y 2x -+=， 即动点P 的轨迹方程为：22y x 2-=； （2）设直线m ：y k(x k 1)=<<，依题意，点C 在与直线m 平行，且与m设此直线为1m :y kx b =+2b 2+=，……①把y kx b =+代入22y x 2-=，整理得：222(k 1)x 2kbx (b 2)0-++-=，则22224k b 4(k 1)(b 2)0∆=---=，即22b 2k 2+=，…………②由①②得：k =b =此时，由方程组22y y x 2⎧=⎪⎨⎪-=⎩. 12．解：（1）依题意得：c 3=，2a 4c 3=，所以a 2=，2b 5=， 所求双曲线C 的方程为22x y 145-=； （2）设00P(x ,y )，11M(x ,y )，22N(x ,y )，则1A (2,0)-，2A (2,0)，100A P (x 2,y )=+，200A P (x 2,y )=-，1110A M (,y )3=，222A N (,y )3=-，因为1A P 与1A M 共线，故01010(x 2)y y 3+=，01010y y 3(x 2)=+，同理：0202y y 3(x 2)=--， 则1113F M (,y )3=，225F N (,y )3=-， 所以12FM F N ⋅＝1265y y 9-+＝202020y 6599(x 4)---＝20205(x 4)206541099(x 4)-⨯--=-- . 13．解：（1）因为|OF|2=，则F (2,0)，OF (2,0)=，设00Q(x ,y )，则00FQ (x 2,y )=-，0OF FQ 2(x 2)1⋅=-=，解得05x 2=，由0011S |OF ||y ||y |22=⋅==，得01y 2=±，故51Q(,)22±， 所以，PQ 所在直线方程为y x 2=-或y x 2=-+；（2）设00Q(x ,y )，因为|OF|c(c 2)=≥，则00FQ (x c,y )=-， 由0OF FQ c(x c)1⋅=-=得：01x c c=+， 又013S c |y |c 24==，则03y 2=±， 13Q(c ,)c 2+±，2219|OQ |(c )c 4=++，易知，当c 2=时，|OQ |最小，此时53Q(,)22±，设椭圆方程为2222x y 1,(a b 0)a b +=>>，则2222a b 425914a4b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得22a 10b 6⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以，椭圆方程为22x y 1106+= . 14．解：（1）设M(x,y)，由3PM MQ 2=-得：y P(0,)2-，xQ(,0)3， 由HP PM 0⋅=得：y3y(3,)(x,)022-=，即2y 4x =， 由点Q 在x 轴的正半轴上，故x 0>，即动点M 的轨迹C 是以(0,0)为顶点，以(1,0)为焦点的抛物线，除去原点； （2）设m:y k(x 1)(k 0)=+≠，代入2y 4x =得：2222k x 2(k 2)x k 0+-+=…………①设11A(x ,y )，22B(x ,y )，则12x ,x 是方程①的两个实根，则21222(k 2)x x k -+=-，12x x 1=，所以线段AB 的中点为222k 2(,)k k-， 线段AB 的垂直平分线方程为22212k y (x )k k k --=--，令y 0=，022x 1k=+，得22E(1,0)k+，因为ABE ∆为正三角形，则点E 到直线AB的距离等于|AB |2，又|AB |k =，011x 3= .15．解：（1）∵ab yc x c F M M 21,),0,(=-=-则，∴acb k OM 2-= .∵AB OM a b k AB 与,-=是共线向量，∴a b ac b -=-2，∴b=c,故22=e .（2）设1122121212,,,2,2,FQr F Q r F QF r r a F F c θ==∠=∴+==22222221212122121212124()24cos 11022()2r r c r r r r c a a r r r r r r r r θ+-+--===-≥-=+当且仅当21r r =时，cosθ=0，∴θ]2,0[π∈ .16．解：（Ⅰ）记P （x,y ），由M （-1，0）N （1，0）得(1,),PM MP x y =-=---),1(y x ---=-=， )0,2(=-= . 所以 )1(2x MN MP +=⋅ . 122-+=⋅y x ， )1(2x NP NM -=⋅ .于是， ⋅⋅⋅,,是公差小于零的等差数列等价于⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+0)1(2)1(2)]1(2)1(2[21122x x x x y x 即 ⎩⎨⎧>=+0322x y x . 所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆. （Ⅱ）点P 的坐标为),(00y x 。
解析几何求解技巧
解析几何求解技巧解析几何是高等数学的重要分支之一，它主要研究几何图形的性质和相关问题的解法。
解析几何的求解技巧是解决几何问题的关键，下面将介绍几种常用的解析几何求解技巧。
一、坐标法：坐标法是解析几何中最常见的求解技巧。
它利用坐标系和坐标代数的方法，通过确定几何图形上的点的坐标，将几何问题转化为代数方程的求解问题。
具体的求解步骤可以概括为：1. 建立坐标系。
根据题目所给条件，确定适当的坐标系，并选择合适的单位长度。
2. 确定几何图形上的点的坐标。
根据题目所给条件，推导出几何图形上点的坐标关系。
可以运用平面几何中的基本性质和定理，通过代数方法求解。
3. 转化为代数方程。
根据几何图形的性质和定理，将几何问题转化为代数方程的求解问题。
这一步骤需要灵活应用代数方程的解法技巧。
4. 求解代数方程。
根据所得的代数方程，运用代数解法将方程求解。
5. 检验结果。
将求得的解代入原方程中，验证是否满足题目所给条件。
如果满足，即为几何问题的解；如果不满足，需重新检查求解过程。
二、向量法：向量法是解析几何中另一种常用的求解技巧。
它运用向量的概念和运算，通过向量的相等、垂直、平行等性质，推导出几何图形和问题的解法。
具体的求解步骤可以概括为：1. 确定坐标系和向量的表示。
建立适当的坐标系，确定向量的表示方法。
常用的表示方法有坐标表示法、定点表示法和参数表示法等。
2. 利用向量的性质和运算推导条件。
根据题目所给条件，利用向量的性质和运算，推导出几何图形上的条件和关系。
3. 利用向量之间的关系求解。
根据所得的几何图形上的条件，利用向量的关系，运用向量的加减、数量积、向量积等运算进行求解。
4. 检验结果。
将求得的解代入原方程中，验证是否满足题目所给条件。
如果满足，即为几何问题的解；如果不满足，需重新检查求解过程。
三、分析法：分析法是解析几何中辅助性的求解技巧。
它通过对几何图形的分析，将几何问题转化为具有明确几何意义的问题，并通过几何性质和定理的应用，求解问题。
解析几何的解题思路方法与策略精编WORD版
解析几何的解题思路方法与策略精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】解析几何的解题思路、方法与策略高三数学复习的目的，一方面是回顾已学过的数学知识，进一步巩固基础知识，另一方面，随着学生学习能力的不断提高，学生不会仅仅满足于对数学知识的简单重复，而是有对所学知识进一步理解的需求，如数学知识蕴涵的思想方法、数学知识之间本质联系等等，所以高三数学复习既要“温故” ，更要“知新” ，既能引起学生的兴趣，启发学生的思维，又能促使学生不断提出问题，有新的发现和创造，进而培养学生问题研究的能力．以“圆锥曲线与方程”内容为主的解题思想思路、方法与策略是高中平面解析几何的核心内容，也是高考考查的重点．每年的高考卷中，一般有两道选择或填空题以及一道解答题，主要考查圆锥曲线的标准方程及其几何性质等基础知识、基本技能及基本方法的灵活运用，而解答题注重对数学思想方法和数学能力的考查，重视对圆锥曲线定义的应用，求轨迹及直线与圆锥曲线的位置关系的考查．解析几何在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点．通过以圆锥曲线为主要载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强．基于解析几何在高考中重要地位，这一板块知识一直以来都是学生在高三复习中一块“难啃的骨头”．所以研究解析几何的解题思路，方法与策略，重视一题多解，一题多变，多题一解这样三位一体的拓展型变式教学，是老师和同学们在高三复习一起攻坚的主题之一．本文尝试以笔者在实际高三复习教学中，在教辅教参和各类考试中遇到的几道题目来谈谈解析几何解题思路和方法策略．一、一道直线方程与面积最值问题的求解和变式例1 已知直线l 过点(2,1)M - ，若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，O 为坐标原点.（1）设AOB ∆的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程；（2）求OA OB +最小值；（3）求M MA B ⋅最小值．解：方法一：∵直线l 交x 轴负半轴，y 轴正半轴，设直线l的方程为(2)1(0)y k x k =++>，∴）（0,12kk A -- )12,0(+k B ，（1）∴422122)12(2≥++=+=k k k k S , ∴当1)22=k （时，即412=k ，即 21=k 时取等号，∴此时直线l 的方程为221+=x y . （2）3223211221+≥++=+++=+k kk k OB OA ，当且仅当22k =时取等号； （3）4212)1)(11(24411222222≥++=++=+⋅+=⋅k kk k k k MB MA ， 当且仅当1k =时取等号；方法二：设直线截距式为)0,0(1><=+b a b y a x ，∵过点(2,1)M -，∴112=+-ba （1）∵abb a -≥+-=22121，∴822≥-⇒≥-ab ab ，∴42121≥-==∆ab b a S AOB ； （2）322)2(3))(12(+≥+-=+-+-=+-=+=+baa b b a b a b a b a OB OA ； （3）5)12)(2(52)1()2(2-+-+-=-+-=-++-=⋅-=⋅ba b a b a b a MB MA MB MA 422≥-+-=abb a ． （3）方法三： θsin 1=MA ，θcos 2=MB ， ∴42sin 4cos sin 2≥==⋅θθθMB MA ，当且仅当12sin =θ时最小，∴4πθ=．变式1：原题条件不变，（1）求△AOB 的重心轨迹；（2）求△AOB 的周长l 最小值．解：（1）设重心坐标为(,)x y ，且(,0)A a ，(0,)B b ，则3a x =，3b y =，又∵112=+-ba ，∴13132=+-yx ， ∴2332312332)23(3123+-=+-+=+=x x x x x y ，该重心的轨迹为双曲线一部分； （2）令直线AB 倾斜角为θ，则20πθ<<，又(2,1)M -，过M 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足为,E F ,则θsin 1=MA ， θcos 2=MB ，θtan 1=AE ，θtan 2=BF ∴)20(tan 2tan 1cos 2sin 13πθθθθθ<<++++=l)420(12cot )2cot 1(22cot 3πθθθθ<<-+++=，令12cot-=θt ， 则t>0， ∴周长10)2(213≥++++=tt t l ∴32cot 212cot =⇒=-θθ。
数学解析几何题解题技巧
数学解析几何题解题技巧解析几何作为高中数学重要的一部分，是数学中的一门重要学科。
解析几何题目通常涉及到点、线、面等几何元素，并结合数学分析的方法进行求解。
解析几何题解题技巧的掌握对于学生的考试成绩和数学水平有着重要的影响。
本文将介绍一些解析几何题解题的常见技巧和方法。
一、坐标表示法在解析几何中，常常使用坐标表示法来解决问题。
坐标表示法利用数轴上的点与数的对应关系，将几何问题转化为数学问题进行求解。
在解析几何题目中，常用的坐标表示法包括直角坐标系、极坐标系等。
直角坐标系是最常见的坐标表示法之一。
在直角坐标系中，我们用x和y两个坐标轴来表示二维平面上的点。
在解析几何题目中，可以通过设定坐标原点，确定x轴和y轴的正负方向，来表示点的位置。
利用直角坐标系，我们可以计算线的斜率、距离等问题，从而解决解析几何题目。
极坐标系是另一种常用的坐标表示法。
在极坐标系中，我们用极径和极角来表示平面上的点。
极径表示点到坐标原点的距离，极角表示点与极轴的夹角。
利用极坐标系，我们可以更方便地表示圆、曲线等等问题，从而解决解析几何题目。
二、方程表示法方程表示法是解析几何题目中另一个重要的解题方法。
通过建立方程，可以用代数的方法求解几何问题。
在解析几何题目中，常常利用点、线、曲线的方程来表示几何元素的性质和关系。
例如，对于一条直线，可以通过两点式、点斜式、一般式等不同形式的方程来表示。
在解析几何题目中，可以通过已知条件，建立直线的方程，并结合其他几何元素的方程，解得问题的答案。
对于一条曲线，通常可以通过解析几何的知识，建立其方程，并通过求解方程，得到曲线上的点坐标等问题。
在解析几何题目中，方程表示法是解决问题的重要手段之一。
三、向量表示法向量表示法是解析几何题目中另一个常用的技巧。
向量表示法利用向量的性质和运算，可以更方便地表示点、线、面等几何元素，从而解决解析几何问题。
在解析几何题目中，常常通过设立向量的起点和终点，来表示点或线段。
解析几何解答题的答题策略和技巧
解析几何解答题的答题策略和技巧解析几何解答题答题策略和技巧解析几何题目的解答通常涉及到代数和几何原理相结合。
要有效解决这些问题，遵循以下策略和技巧至关重要：理解题意仔细阅读题目，并确保理解要求。
确定您需要找到的内容，例如点的坐标、线的方程或图形的性质。
选择适当的坐标系根据问题中的信息，选择合适的坐标系。
笛卡尔坐标系（直线坐标系）通常用于描述二维空间，而极坐标系则适用于某些涉及角度或极半径的问题。
建立方程或不等式使用代数和几何原理建立方程或不等式。
这可能包括使用点-斜率形式、斜截距形式、点-线距离公式或其他相关概念。
求解方程或不等式运用代数技巧求解方程或不等式。
这可能涉及因子分解、平方、化简或三角函数的使用。
验证解将找到的解代回原始方程或不等式中，以确保其满足问题条件。
几何直觉在求解过程中，运用几何直觉来了解图形的形状和位置。
这可以帮助您做出假设和做出明智的决策。
技巧和注意事项简化问题：如果可能，将复杂的问题分解成更简单的部分，以便更容易解答。
利用对称性：在某些情况下，图形或方程可能具有对称性。
利用这些对称性可以简化问题。
使用图形计算器：图形计算器可以用于可视化图形并检查解。
保持整洁和有条理：使用清晰的数学符号并以有条理的方式显示您的工作步骤。
复查解：在完成解决方案后，花时间复查您的工作，以确保准确性和一致性。
特定类型问题的技巧点和线：使用点-斜率形式、斜截距形式或点-线距离公式求解点的坐标或线的方程。
圆：使用标准圆方程或圆心和半径来确定圆的性质。
双曲线：使用双曲线的标准方程或渐近线来求解焦点、顶点和渐近线。
抛物线：使用抛物线的标准方程来确定顶点、焦点和准线。
椭圆：使用椭圆的标准方程来确定中心、半轴和焦距。
通过遵循这些策略和技巧，您可以大大提高解析几何问题的解答能力。
记住，熟能生巧，因此定期练习和学习相关概念至关重要。
数学几何与解析几何题解题技巧总结
数学几何与解析几何题解题技巧总结数学几何和解析几何是数学中非常重要的分支，它们有着广泛的应用领域，如物理学、工程学、计算机图形学等。
解决数学几何和解析几何问题需要一定的技巧和方法，下面将总结一些常用的解题技巧。
一、数学几何题解题技巧1. 图形的性质分析法在解决数学几何题目时，首先要对给定的图形进行性质分析。
通过观察图形的形状、角度、边长等特征，可以找到一些规律和关系，从而帮助解决问题。
例如，在判断一个四边形是否为矩形时，可以观察其四个角是否都为直角，四条边是否相等等。
2. 利用相似三角形相似三角形是数学几何中常用的重要概念。
当两个三角形的对应角相等，对应边成比例时，可以判断它们为相似三角形。
利用相似三角形的性质，可以求解一些难题。
例如，当两个三角形相似时，可以利用相似比例关系求解未知边长或角度。
3. 利用平行线和垂直线的性质平行线和垂直线是几何中常见的重要概念。
利用平行线和垂直线的性质，可以解决一些几何问题。
例如，当两条直线平行时，它们的对应角相等；当两条直线垂直时，它们的斜率乘积为-1。
4. 利用勾股定理和三角函数勾股定理是解决直角三角形问题的基本工具。
当一个三角形中有一个直角，可以利用勾股定理求解未知边长。
此外，三角函数也是解决三角形问题的重要工具，例如正弦定理、余弦定理等。
二、解析几何题解题技巧1. 坐标系的建立解析几何中，常常需要建立坐标系来描述几何图形。
建立坐标系可以将几何问题转化为代数问题，从而更容易求解。
在建立坐标系时，需要选择合适的原点和坐标轴方向，使得问题的求解更加简便。
2. 利用距离公式和中点公式距离公式和中点公式是解析几何中常用的工具。
距离公式可以求解两点之间的距离，中点公式可以求解线段的中点坐标。
利用这两个公式，可以计算线段的长度、判断三角形是否为等边三角形等。
3. 利用直线和曲线的方程直线和曲线的方程是解析几何中的重要工具。
通过求解直线和曲线的交点，可以解决一些几何问题。
数学解析几何题的解题思路和技巧
数学解析几何题的解题思路和技巧数学是一门抽象而又具体的学科，而解析几何则是数学中的一个重要分支。
解析几何通过运用代数和几何的方法研究几何图形的性质和变换规律，是数学中的一种重要工具。
在解析几何中，我们常常需要解决一些具体的问题，下面将介绍一些解析几何题的解题思路和技巧。
一、直线和平面的交点问题在解析几何中，直线和平面的交点问题是比较常见且基础的问题。
解决这类问题的关键在于找到直线和平面的方程，并求解它们的交点。
以一个具体的例子来说明。
假设有一条直线L：y = 2x + 3和一个平面P：2x + y - z = 1，我们需要求解它们的交点。
首先，我们可以将直线L的方程和平面P的方程联立，得到一个含有两个未知数x和y的方程组：2x + y - z = 1，y = 2x + 3。
然后，我们可以通过代入法或消元法求解这个方程组。
将y = 2x + 3代入平面P的方程中，得到2x + (2x + 3) - z = 1，化简得到4x - z = -2。
接下来，我们可以将这个方程代入直线L的方程中，得到y = 2x + 3，化简得到y = 2x + 5。
最后，我们可以将y = 2x + 5代入平面P的方程中，得到2x + (2x + 5) - z = 1，化简得到4x - z = -4。
综上所述，我们得到了两个方程4x - z = -2和4x - z = -4，它们的解为x = 1，z = 6。
因此，直线L和平面P的交点为(1, 5, 6)。
二、直线与曲线的交点问题除了直线和平面的交点问题，直线与曲线的交点问题也是解析几何中常见的问题。
解决这类问题的关键在于找到直线和曲线的方程，并求解它们的交点。
以一个具体的例子来说明。
假设有一条直线L：y = 2x + 3和一个曲线C：y =x^2，我们需要求解它们的交点。
首先，我们可以将直线L的方程和曲线C的方程联立，得到一个含有一个未知数x的方程：x^2 = 2x + 3。
解析几何解题技巧归纳
解析几何解题技巧归纳解析几何是几何学题目的解答和分析。
它涉及到在给定的几何形状和条件下，用逻辑和推理的方法解决几何问题。
解析几何解题技巧是在解析几何题目中的一些常用方法和技巧，用于快速和准确地解决问题。
下面将总结几个常用的解析几何解题技巧。
1.图形的性质和相似性：在解析几何中，了解图形的性质和相似性是非常重要的。
通过观察图形的属性，可以获得有关图形的重要信息。
例如，对于一道问题，如果已知一个图形是一个直角三角形，那么可以迅速推断出两条边是垂直的。
另外，相似性也是解析几何中常用的技巧。
当一个图形与另一个图形相似时，它们的属性和比例关系也是相似的。
2.平移和旋转：平移和旋转是解析几何中常用的技巧，可以通过改变图形的位置和方向来解决问题。
通过将图形平移或旋转，可以使问题更加易于解决。
例如，如果已知两条直线相交于一个点，可以通过将其中一条直线平移到与另一条直线重合来简化问题，并推导出其他性质。
3.弧和角度：在解析几何中，弧和角度是常见的概念。
了解弧和角度的性质和关系可以帮助我们解决几何问题。
例如，当涉及到圆弧和圆心角时，可以使用圆内外角定理和同弧相等定理来解决问题。
此外，了解其他特殊角度的性质，如直角、锐角和钝角，也有助于解决问题。
4.坐标系和方程：坐标系和方程是解析几何中常用的工具。
通过在坐标系中引入坐标和方程，可以将几何问题转化为代数问题。
通过求解方程，可以确定几何图形的特性。
例如，通过设置适当的坐标系和方程，可以求解两条直线的交点或两个图形的相交区域。
5.矩阵和向量：矩阵和向量是解析几何中的一种数学工具，可以用于表示和转换几何对象。
通过使用矩阵和向量的运算，可以实现图形的平移、旋转、缩放等。
例如，将一个向量乘以一个矩阵可以实现图形的旋转。
此外，矩阵和向量还可以用于解决线性方程组等代数问题。
6.直观推理和逻辑推论：解析几何经常需要进行直观推理和逻辑推论。
通过观察和分析图形的性质，进行逻辑推理，可以得出结论。
高中数学解析几何解题技巧
高中数学解析几何解题技巧
高中数学解析几何解题技巧主要包括以下几个方面：
1. 理解基本概念：解析几何的基本概念是解题的基础，包括直线、平面、向量、点、线段等。
在解题过程中，要确保对这些基本概念的理解准确。
2. 熟悉性质定理：解析几何中有许多性质定理，例如平行线性质、垂直线性质、相似三角形性质等。
熟悉这些性质定理，可以帮助理解和解决解析几何题目。
3. 运用向量法解题：向量法是解析几何中常用的一种解题方法。
通过引入向量的概念，可以简化解析几何题目的计算过程，提高解题效率。
4. 利用几何变换：几何变换是解析几何中常用的一种方法，包括平移、旋转、镜像等。
通过利用几何变换，可以将原题转化为更简单的几何问题进行求解。
5. 善用相似性质：相似性质在解析几何中有着重要的应用。
通过发现和利用图形的相似性质，可以得到一些有用的信息，从而解决解析几何题目。
6. 注意特殊情况：解析几何题目中经常会涉及到一些特殊情况，例如对称性、平行四边形、等腰三角形等。
在解题过程中，要特别注意这些特殊情况，以充分利用它们带来的信息。
7. 多画图辅助：在解析几何题目中，通过画图可以更好地理解和分析题目。
因此，解析几何解题过程中，多画图进行辅助，有助于
提高解题的思路和准确性。
8. 注意技巧和方法：解析几何题目中有一些常用的技巧和方法，例如相似比例、平行线截比、垂直线截比等。
要熟悉这些技巧和方法，并在解题过程中加以运用。
最后，解析几何题目的解题技巧需要通过大量的练习和实践来逐渐掌握和提高。
不断总结经验，加强对解析几何知识的理解和掌握，才能在解析几何题目中游刃有余。
解析几何解题技巧归纳
解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究平面和空间中的点、直线、曲线以及它们之间的关系。
在解析几何中，解题技巧的掌握对于提高解题效率和准确性至关重要。
下面将从以下几个方面对解析几何解题技巧进行归纳总结。
1. 理解基本概念和性质解析几何的基本概念包括点、直线、曲线等，而基本性质则包括距离、角度、斜率等。
在解题过程中，首先要对题目中涉及的基本概念和性质有清晰的理解，这样才能准确地运用相关公式和方法进行求解。
2. 利用坐标系解析几何中，坐标系是解决问题的重要工具。
通过建立合适的坐标系，可以将问题转化为代数方程或函数的形式，从而利用代数方法进行求解。
在建立坐标系时，要考虑到题目的特点和要求，选择合适的坐标系类型，如直角坐标系、极坐标系等。
3. 利用几何性质解析几何中的几何性质是解题的关键。
通过观察和分析几何图形的性质，可以得出一些结论和关系，从而简化问题的求解过程。
例如，利用平行线的性质可以解决与平行线相关的题目；利用垂直线的性质可以解决与垂直线相关的题目等。
4. 利用相似三角形相似三角形是解析几何中常用的一个工具。
通过构造相似三角形，可以将问题转化为已知条件和未知量之间的关系，从而进行求解。
在构造相似三角形时，要注意选择合适的基准点和基准线，以及利用已知条件和几何性质进行推导。
5. 利用对称性对称性是解析几何中的一个重要性质。
通过利用对称性，可以将问题转化为已知条件和未知量之间的关系，从而进行求解。
在利用对称性时，要注意选择合适的对称轴和对称中心，以及利用已知条件和几何性质进行推导。
6. 利用参数方程参数方程是解析几何中常用的一种表示方法。
通过将问题转化为参数方程的形式，可以简化问题的求解过程。
在利用参数方程时，要注意选择合适的参数和参数范围，以及利用已知条件和几何性质进行推导。
7. 利用三角函数三角函数是解析几何中常用的一个工具。
通过利用三角函数，可以将问题转化为已知条件和未知量之间的关系，从而进行求解。
谈谈解答解析几何问题的三个办法
解析几何是高中数学中的重要模块，解析几何问题的分值在高考试卷中占比较大.解析几何问题的常见命题形式有：求曲线的方程、求曲线中线段的最值、求参数的取值范围、判断点的存在性等.解析几何问题对同学们的逻辑思维和运算能力有较高的要求.下面介绍三个解答解析几何问题的技巧，以帮助同学们简化问题，提高解题的效率.一、巧用参数法有些解析几何问题较为复杂，涉及了较多的变量，为了便于解题，我们可引入合适的参数，设出相关点的坐标、直线的斜率、方程、曲线的方程等，然后将其代入题设中进行运算、推理，再通过恒等变换，消去参数或求得参数的值，便可求得问题的答案.例1.已知过椭圆C ：x 29+y 2=1左焦点F 1的直线交椭圆于M ,N 两点，设∠F 2F 1M =α(0≤α≤π).当α的值为何时，|MN |为椭圆C 的半长轴、半短轴长的等差中项？解：设过F 1的直线参数方程为：{x =-22+t cos α，y =t sin α，将其代入椭圆方程中可得()1+8sin 2αt 2-()42cos αt-1=0.则t 1+t 2=,t 1t 2=-11+8sin 2α，所以||MN =||t 1-t 2=()t 1+t 22-4t 1t 2=61+8sin 2α=2，可得sin 2α=14，解得α=π6或5π6.要求得|MN |，需知晓直线的方程，于是引入参数t 、α，设出直线MN 的参数方程，然后将其与椭圆的方程联立，构建一元二次方程，根据韦达定理和弦长公式求得|MN |，再根据等差中项的性质建立关系，求得α的值.运用参数法解题，只需引入参数，根据题意建立关系式，这样能有效地降低解题的难度.二、妙用射影性质射影性质是图形经过任何射影对应(变换)都不变的性质.若遇到涉及多条共线线段或平行线段的解析几何问题，我们可以巧妙利用射影性质来解题.首先根据题意画出相应的图形，然后在x 轴或y 轴上画出各条线段的射影，如此便可将问题中线段的长度、数量问题转化为x 轴或y 轴上的点或线段问题，进而简化运算.例2.已知椭圆的方程为x 224+y 216=1，点P 是直线l ：x 12+y 8=1上的任意一点，OP 的延长线交椭圆于点R ，点Q 在OP 上，且||OQ ∙||OP =|OR |2，求点Q 的轨迹方程.解：设P (x p ,y p )，Q (x ,y )，R (x R ,y R )在x 轴上的射影分别为P 0,Q 0,R 0，由||OQ ∙||OP =|OR |2可得x ∙x P =x 2R ，①当点P 不在y 轴上时，设OP :y =kx ，由ìíîïïy =kx ，x 224+y 216=1，可得x 2R =483k 2+2，②由ìíîïïy =kx ，x 12+y 8=1，可得x P =243k +2，③由①②③可得：(x -1)252+(y -1)253=1(y ≠0).当点P 在y 轴上时，Q 点的坐标为(0,2)，满足上式.所以点Q 的轨迹方程为(x -1)252+(y -1)253=1(y ≠0)，该方程表示的是中心为(1,1)，长轴长为10，短轴长为的椭圆(去除原点).找到P 、Q 、R 在x 轴上的射影，利用射影性质得到x ∙x P =x 2R ，然后通过联立方程求得x 、x P 、x 2R ，建立关系式，即可通过消元求得点Q 的轨迹方程.巧妙利用射影性质来解题，能有效简化运算，提升解题的效率.高双云图1思路探寻47探索探索与与研研究究三、建立极坐标系对于一些与线段长度有关的问题，我们可以结合图形的特征，建立极坐标系，通过极坐标运算来求得问题的答案.一般地，可将直角坐标系的原点看作极坐标系的原点，将直角坐标系的x 轴看作极坐标系的极轴，把线段用极坐标表示出来，这样便可将问题简化.以例2为例.图2解：以原点O 为极点，以Ox 轴的正半轴为极轴，建立如图2所示的极坐标系.则椭圆的极坐标方程为：ρ2=482+sin 2θ,直线l 的极坐标方程为：ρ=242cos θ+3sin θ，设P (ρP ,θ),Q (ρ,θ),R (ρR ,θ),因为||OQ ∙||OP =|OR |2，所以ρ∙ρP =ρ2R .即24ρ2cos θ+3sin θ=482+sin 2θ，可得ρ2()2+sin 2θ=4ρcos θ+6ρsin θ，而x =ρcos θ，y =ρsin θ，可得2x 2+3y 2-4x -6y =0(其中x ,y 不同为零),所以点Q 的轨迹是中心为(1,1)，长轴长为10，短轴长为的椭圆(去除原点).建立极坐标系后，分别求出椭圆的极坐标方程和直线的极坐标方程，再根据极坐标方程表示出点P 、Q 、R 的坐标，并根据几何关系||OQ ∙||OP =|OR |2建立关系式，最后将其转化为标准方程即可.运用极坐标法解题，需熟练地将极坐标方程与普通方程进行互化.可见，利用参数法、射影性质、极坐标系法，都能巧妙地简化运算，提升解题的效率.相比较而言，参数法的适用范围较广，另外两个技巧具有一定的限制.同学们在解题时，可根据解题需求，引入参数、画出射影、建立极坐标系，这样便可让解题变得更加高效.本文系江苏省教育科学“十三五”规划2020年度重点自筹课题“新课标下提升高中生数学学习力的实践研究”（课题编号：B-b/2020/02/158）阶段研究成果.（作者单位：江苏省泰兴中学）在教学中，细心的教师会发现，教材中的很多习题具有一定的代表性和探究性，且其解法非常巧妙.对于此类习题，教师可以将其作为重要的教学资源，在课堂教学中引导学生对其进行深入的探究、挖掘，以便学生掌握同一类题目的通性通法，帮助他们提升学习的效率.本文主要对人教A 版选择性必修第二册《一元函数的导数及其应用》的一道课后习题进行了探究.一、对习题及其解法的探究人教A 版选择性必修第二册第99页的第12题：利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：（1）e x >1+x ,x ≠0；（2）ln x <x <e x ,x >0.证明:（1）设f (x )=e x -1-x ,∴f ′(x )=e x-1，∴f ′(x )=e x -1=0,∴x =0，∵f ′(x )>0,∴x >0,f ′(x )<0,∴x <0，∴函数f (x )在(0,+∞)为单调递增，在(-∞,0)为单调递减，∴函数在x =0处取得最小值，∴f (x )>f (0)=0，∴f (x )=e x -1-x >0,即e x >1+x .事实上，这个结论经常出现在很多试题中，不少教师在教学中也将该结论列为常用结论，并要求学生加以记忆.于是，笔者引导学生对该结论的背景和几何意义进行推导和探究.引理：（泰勒公式）若函数f (x )在包含x 0的某个区间[a ,b ]上具有n 阶导数，且在开区间(a ,b )上具有n +1阶导数，则对于闭区间[a ,b ]上的任意一点x =x 0，有f (x )=f (x 0)+f '(x 0)1!(x -x 0)+f ''(x 0)2!(x -x 0)2+f '''(x 0)3!(x -x 0)3+⋯+f n (x 0)n !(x -x 0)n +R n (x ).其中，f n (x 0)表示函数f (x )在x 0处的n 阶导数，上式称为函数f (x )在x =x 0处的泰勒公式，R n (x )称为泰勒公式的余项.特别地，当x 0=0时，若f (x )在x =0处n 阶连续可导，则称f (x )=周建韩丹娜48。
高中数学解析几何题型(基础篇)
第七讲 解析几何新题型【考点透视】 一．直线和圆的方程1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． 3．了解二元一次不等式表示平面区域． 4．了解线性规划的意义，并会简单的应用． 5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． 二．圆锥曲线方程1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质． 2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． 3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． 4．了解圆锥曲线的初步应用． 【例题解析】 考点1.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之.例1．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.解答过程：椭圆22162x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D.考点2. 求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之.例2．已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于A.3B.4C.32D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用.解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b⎧=-+⇒++-=⇒+=-⎨=+⎩，进而可求出AB 的中点11(,)22M b --+，又由11(,)22M b --+在直线0x y +=上可求出1b =，∴220x x +-=，由弦长公式可求出221114(2)32AB =+-⨯-=．故选C例3．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.解答过程：由椭圆2212516x y +=的方程知225, 5.a a =∴=∴12345677277535.2a PF P F P F P F P F P F P F a ⨯++++++==⨯=⨯= 故填35.考点3. 曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用: (1)椭圆的离心率e ＝ac ∈(0,1) (e 越大则椭圆越扁);(2) 双曲线的离心率e ＝ac ∈(1, ＋∞) (e 越大则双曲线开口越大).结合有关知识来解题.例4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)-，(4,0)，则双曲线方程为A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．221106x y -=D ．221610x y -= 考查意图:本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念.解答过程：2,4,c e c a===所以22,12.a b ∴==故选(A). 小结: 对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念，要注意认真掌握.尤其对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会.例5．已知双曲线9322=-y x ,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ）A. 2B.332 C. 2 D.4考查意图: 本题主要考查双曲线的性质和离心率e ＝a c ∈(1, ＋∞) 的有关知识的应用能力.解答过程：依题意可知 3293,322=+=+==b a c a ． 考点4.求最大(小)值求最大(小)值, 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大(小)值:特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.例6．已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 .考查意图: 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小)值的方法. 解:设过点P (4,0)的直线为()()224,8164,y k x k x x x =-∴-+= ()()122222222122284160,8414416232.k x k x k k y y x x k k ∴-++=+⎛⎫∴+=+=⨯=+≥ ⎪⎝⎭故填32.考点5 圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心. 例7．在平面直角坐标系xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为22的圆C 与直线y =x 相切于坐标原点O .椭圆9222y ax +=1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.（1）求圆C 的方程；（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长.若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.[考查目的]本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力． [解答过程] (1) 设圆C 的圆心为 (m, n)则,222,m n n =-⎧⎪⎨⋅=⎪⎩ 解得2,2.m n =-⎧⎨=⎩ 所求的圆的方程为 22(2)(2)8x y ++-= (2) 由已知可得 210a = ， 5a =．椭圆的方程为 221259x y += , 右焦点为 F( 4, 0) ;假设存在Q 点()222cos ,222sin θθ-++使QF OF =,()()22222cos 4222sin 4θθ-+-++=．整理得 sin 3cos 22θθ=+， 代入 22sin cos 1θθ+=．得:210cos 122cos 70θθ++= , 122812222cos 11010θ-±-±==<-．因此不存在符合题意的Q 点. 例8．如图,曲线G 的方程为)0(22≥=y x y .以原点为圆心，以)0(>t t 为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的 正半轴相交于 A 与点B . 直线AB 与 x 轴相交于点C .（Ⅰ）求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标c 的关系式；（Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2+a ,求证：直线CD 的斜率为定值. [考查目的]本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的 两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系 ，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力. [解答过程]（I ）由题意知，).2,(a a A因为.2,||22t a a t OA =+=所以 由于.2,02a a t t +=>故有 （1）由点B （0，t ），C （c ，0）的坐标知，直线BC 的方程为.1=+tyc x又因点A 在直线BC 上，故有,12=+ta ca将（1）代入上式，得,1)2(2=++a a a ca 解得 )2(22+++=a a c .（II ）因为))2(22(++a a D ，所以直线CD 的斜率为1)2(2)2(2))2(22(2)2(22)2(2-=+-+=+++-++=-++=a a a a a a c a a k CD ，所以直线CD 的斜率为定值.例9．已知椭圆2222x y E :1(a b 0)a b +=>>，AB 是它的一条弦，M(2,1)是弦AB 的中点，若以点M(2,1)为焦点，椭圆E 的右准线为相应准线的双曲线C 和直线AB 交于点N(4,1)-，若椭圆离心率e 和双曲线离心率1e 之间满足1ee 1=，求： （1）椭圆E 的离心率；（2）双曲线C 的方程.解答过程：（1）设A 、B 坐标分别为1122A(x ,y ),B(x ,y )， 则221122x y 1a b +=，222222x y 1a b+=，二式相减得： 21212AB21212y y (x x )b kx x (y y )a-+==-=-+2MN 22b 1(1)k 1a 24---===--， 所以2222a 2b 2(a c )==-，22a 2c =，则c e a==（2）椭圆E的右准线为2a x 2c c ===，双曲线的离心率11e e==设P(x,y)是双曲线上任一点，则：|PM ||x 2c |==-两端平方且将N(4,1)-代入得：c 1=或c 3=，当c 1=时，双曲线方程为：22(x 2)(y 1)0---=，不合题意，舍去； 当c 3=时，双曲线方程为：22(x 10)(y 1)32---=，即为所求. 小结：（1）“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法； （2）求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义. 考点6 利用向量求曲线方程和解决相关问题利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算. 典型例题：例10．双曲线C与椭圆22184x y +=有相同的焦点，直线y =x 3为C 的一条渐近线.(1)求双曲线C 的方程；(2)过点P (0,4)的直线l ，交双曲线C 于A,B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合）.当12PQ QA QB λλ==，且3821-=+λλ时，求Q 点的坐标.考查意图: 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力.解答过程：（Ⅰ）设双曲线方程为22221x y a b-=,由椭圆22184x y +=,求得两焦点为(2,0),(2,0)-，∴对于双曲线:2C c =，又3y x =为双曲线C 的一条渐近线 ∴3b a= 解得 221,3a b ==，∴双曲线C 的方程为2213y x -=（Ⅱ）解法一：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零.设l 的方程：114,(,)y kx A x y =+，22(,)B x y ,则4(,0)Q k-.1PQ QA λ=,11144(,4)(,)x y kkλ∴--=+.111111114444()44x k k x k k y y λλλλ⎧=--⎧⎪-=+⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪-==-⎩⎪⎩11(,)A x y 在双曲线C 上， ∴2121111616()10k λλλ+--=.∴222211161632160.3k k λλλ++--=∴2221116(16)32160.3k k λλ-++-=同理有：2222216(16)32160.3k k λλ-++-=若2160,k -=则直线l 过顶点，不合题意.2160,k ∴-≠12,λλ∴是二次方程22216(16)32160.3k x x k -++-=的两根.122328163k λλ∴+==--,24k ∴=，此时0,2k ∆>∴=±. ∴所求Q 的坐标为(2,0)±.解法二：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零 设l 的方程，11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k-.1PQ QA λ=， Q ∴分PA 的比为1λ.由定比分点坐标公式得1111111111144(1)14401x x k k y y λλλλλλλ⎧⎧-==-+⎪⎪+⎪⎪→⎨⎨+⎪⎪=-=⎪⎪+⎩⎩下同解法一解法三：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零 设l 的方程：11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k-.12PQ QA QB λλ==， 111222444(,4)(,)(,)x y x y kkkλλ∴--=+=+.11224y y λλ∴-==， 114y λ∴=-，224y λ=-，又1283λλ+=-， 121123y y ∴+=,即12123()2y y y y +=.将4y kx =+代入2213y x -=得222(3)244830k y y k --+-=. 230k -≠，否则l 与渐近线平行.212122224483,33k y y y y k k -∴+==--.222244833233k k k -∴⨯=⨯--.2k ∴=±(2,0)Q ∴±.解法四：由题意知直线l 得斜率k 存在且不等于零，设l 的方程：4y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ,则4(,0)Q k-1PQ QA λ=,11144(,4)(,)x y k kλ∴--=+. ∴1114444k kx x kλ-==-++.同理 1244kx λ=-+. 1212448443kx kx λλ+=--=-++.即2121225()80k x x k x x +++=.（*）又 22413y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 得22(3)8190k x kx ---=.当230k -=时，则直线l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，230k -≠.由韦达定理有： 12212283193k x x k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩代入（*）式得24,2k k ==±.∴所求Q 点的坐标为(2,0)±.例11．设动点P 到点A (－l ，0)和B (1，0)的距离分别为d 1和d 2， ∠APB ＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得d 1d 2 sin 2θ＝λ． （1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；（2）过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点,试确定λ的范围, 使OM ·ON ＝0,其中点O 为坐标原点．[考查目的]本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．[解答过程]解法1：（1）在PAB △中，2AB =，即222121222cos 2d d d d θ=+-， 2212124()4sin d d d d θ=-+，即2121244sin 212d d d d θλ-=-=-<（常数）， 点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长221a λ=-的双曲线．方程为：2211x y λλ-=-．（2）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上． 即2111511012λλλλλ-±-=⇒+-=⇒=-，因为01λ<<，所以512λ-=．②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦， 由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦，所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--．于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x kλλλ=--=--． 因为0=⋅ON OM ，且M N ，在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)2101131001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>⎪⎪⎪+-+>⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩．23λ<．解法2：（1）同解法1（2）设11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()E x y ，． ①当121x x ==时，221101MB λλλλλ=-=⇒+-=-， 因为01λ<<，所以λ；②当12x x ≠时，002222212111111y x k y x y x MN ⋅-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--λλλλλλ． 又001MN BE y k k x ==-．所以22000(1)y x x λλλ-=-；由2MON π=∠得222002MN x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由第二定义得2212()222MN e x x a ⎛⎫+-⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭220001(1)21x x λλ==+---． 所以222000(1)2(1)(1)y x x λλλλ-=--+-．于是由22000222000(1),(1)2(1)(1),y x x y x x λλλλλλλ⎧-=-⎪⎨-=--+-⎪⎩得20(1).23x λλ-=-因为01x >，所以2(1)123λλ->-，又01λ<<，23λ<<23λ<．考点7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题C BA oy x利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用解析几何知识建立等量关系容易.例12．设椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，过点C(1,0)-的直线交椭圆E 于A 、B 两点，且CA 2BC =，求当AOB ∆的面积达到最大值时直线和椭圆E 的方程.，故可设椭圆方程为222x 3y t(t 0)+=>，直线方程为my x 1=+，由222x 3y t my x 1⎧+=⎨=+⎩得：22(2m 3)y 4my 2t 0+-+-=，设1122A(x ,y ),B(x ,y )， 则1224m y y 2m 3+=+…………① 又CA 2BC =，故1122(x 1,y )2(1x ,y )+=---，即12y 2y =-…………② 由①②得：128m y 2m 3=+，224m y 2m 3-=+， 则AOB 1221mS |y y |6||22m 3∆=-=+＝632|m ||m |≤+当23m 2=，即m =AOB ∆面积取最大值，此时2122222t 32m y y 2m 3(2m 3)-==-++，即t10=，所以，直线方程为x 10+=，椭圆方程为222x 3y 10+=.小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易. 例13．已知PA (x y)=，PB (x y)=，且|PA ||PB |6+=， 求|2x 3y 12|--的最大值和最小值.解答过程：设P(x,y)，A(，0)，因为|PA ||PB |6+=，且|AB |6=，所以，动点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长为6的椭圆， 椭圆方程为22x y 194+=，令x 3cos ,y 2sin =θ=θ，则|2x 3y 12|--＝|)12|4πθ+-，当cos()14πθ+=-时，|2x 3y 12|--取最大值12+当cos()14πθ+=时，|2x 3y 12|--取最小值12-小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算. 考点8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题.例14．（2006年福建卷） 已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点.（I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程； （II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点， 线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围. 考查意图:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考 查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力. 解答过程：（I ）222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==∴=-=- 圆过点O 、F ，∴圆心M 在直线12x =-上.设1(,),2M t -则圆半径13()(2).22r =---=由,OM r =3,2=解得t =∴所求圆的方程为2219()(.24x y ++=（II ）设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+≠ 代入221,2x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-=直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根. 记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y则21224,21k x x k +=-+AB ∴的垂直平分线NG 的方程为001().y y x x k-=--令0,y =得222002222211.21212124210,0,2G G k k k x x ky k k k k k x =+=-+=-=-+++++≠∴-<< ∴点G 横坐标的取值范围为1(,0).2-例15．已知双曲线C ：2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x 轴正半轴上，且满足|OA |,|OB |,|OF |成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ，（1）求证：PA OP PA FP ⋅=⋅；（2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D,E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围.解答过程：（1）因|OA |,|OB |,|OF |成等比数列，故22|OB |a |OA |c |OF |==，即2aA(,0)c ，直线l ：a y (x c)b=--，由2a y (x c)a ab bP(,)b c c y x a ⎧=--⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩， 故：22ab a ab b abPA (0,),OP (,),FP (,)c c c c c =-==-， 则：222a b PA OP PA FP c⋅=-=⋅，即PA OP PA FP ⋅=⋅；（或PA (OP FP)PA (PF PO)PA OF 0⋅-=⋅-=⋅=，即PA OP PA FP ⋅=⋅）（2）由44422222222222222a y (x c)a a a c (b )x 2cx (a b )0bb b b b x a y a b ⎧=--⎪⇒-+-+=⎨⎪-=⎩， 由4222212422a c (ab )b xx 0a b b -+=<-得：4422222b a b c a a e 2e >⇒=->⇒>⇒> （或由DF DO k k>⇒a b b a->-⇒22222b c a a e 2e =->⇒>⇒>小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积，必须先恰当地求出各个点的坐标.例16．已知a (x,0)=，b (1,y)=，(a 3b)(a 3b)+⊥-， （1）求点P(x,y)的轨迹C 的方程；（2）若直线y kx m(m 0)=+≠与曲线C 交于A 、B 两点，D(0,1)-，且|AD ||BD |=， 试求m 的取值范围.解答过程：（1）a 3b +＝(x,0)y)(x =+，a 3b -＝(x,0)y)(x -=，因(a 3b)(a 3b)+⊥-，故(a 3b)(a 3b)0+⋅-=，即22(x (x x 3y 30+⋅=--=，故P 点的轨迹方程为22x y 13-=. （2）由22y kx m x 3y 3=+⎧⎨-=⎩得：222(13k )x 6kmx 3m 30----=， 设1122A(x ,y ),B(x ,y )，A 、B 的中点为00M(x ,y )则22222(6km)4(13k )(3m 3)12(m 13k )0∆=----=+->，1226km x x 13k +=-，1202x x 3km x 213k +==-，002my kx m 13k =+=-， 即A 、B 的中点为223km m(,)13k 13k --，则线段AB 的垂直平分线为：22m 13kmy ()(x )13k k 13k -=----， 将D(0,1)-的坐标代入，化简得：24m 3k 1=-，则由222m 13k 04m 3k 1⎧+->⎪⎨=-⎪⎩得：2m 4m 0->，解之得m 0<或m 4>， 又24m 3k 11=->-，所以1m 4>-， 故m 的取值范围是1(,0)(4,)4-+∞.小结：求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生增根现象. 考点9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐PQCBA xy O标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立. 例17．已知A,B,C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心O ，且AC BC 0⋅=，|BC |2|AC |=， （1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上的两点P,Q 使PCQ ∠的平分线垂直于OA ，是否总存在实数λ，使得PQ λAB =？请说明理由；解答过程：（1）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立 平面直角坐标系，则A(2,0)，设椭圆方程为222x y14b+=，不妨设C 在x 轴上方， 由椭圆的对称性，|BC |2|AC |2|OC ||AC ||OC |==⇒=， 又AC BC 0⋅=AC OC ⇒⊥，即ΔOCA 为等腰直角三角形， 由A(2,0)得：C(1,1)，代入椭圆方程得：24b 3=， 即，椭圆方程为22x 3y 144+=； （2）假设总存在实数λ，使得PQ λAB =，即AB//PQ ， 由C(1,1)得B(1,1)--，则AB 0(1)1k 2(1)3--==--，若设CP ：y k(x 1)1=-+，则CQ ：y k(x 1)1=--+，由22222x 3y 1(13k )x 6k(k 1)x 3k 6k 1044y k(x 1)1⎧+=⎪⇒+--+--=⎨⎪=-+⎩， 由C(1,1)得x 1=是方程222(13k )x 6k(k 1)x 3k 6k 10+--+--=的一个根，由韦达定理得：2P P 23k 6k 1x x 113k --=⋅=+，以k -代k 得2Q 23k 6k 1x 13k+-=+， 故P Q P Q PQ P QP Qy y k(x x )2k1k x x x x 3-+-===--，故AB//PQ ，即总存在实数λ，使得PQ λAB =.评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题. 考点10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围.例18．设G 、M 分别是ABC ∆的重心和外心，A(0,a)-，B(0,a)(a 0)>，且GM AB =λ， （1）求点C 的轨迹方程；（2）是否存在直线m ，使m 过点(a,0)并且与点C 的轨迹交于P 、Q 两点，且OP OQ 0⋅=？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由. 解答过程：（1）设C(x,y)，则x yG(,)33，因为GM AB =λ，所以GM //AB ，则x M(,0)3，由M 为ABC ∆的外心，则|MA ||MC |==整理得：2222x y 1(x 0)3a a+=≠；（2）假设直线m 存在，设方程为y k(x a)=-，由2222y k(x a)x y 1(x 0)3a a =-⎧⎪⎨+=≠⎪⎩得：22222(13k )x 6k ax 3a (k 1)0+++-=， 设1122P(x ,y ),Q(x ,y )，则21226k a x x 13k +=+，221223a (k 1)x x 13k -=+， 22212121212y y k (x a)(x a)k [x x a(x x )a ]=--=-++＝2222k a 13k -+，由OP OQ 0⋅=得：1212x x y y 0+=，即2222223a (k 1)2k a 013k 13k --+=++，解之得k =，又点(a,0)在椭圆的内部，直线m 过点(a,0)，故存在直线m ，其方程为y a)=-.小结：（1）解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的结果，然后做出正确的判断；（2）直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题. 【专题训练与高考预测】 一、选择题1．如果双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是1y x 3=±，那么双曲线方程是（）A ．22x y 1369-= B ．22x y 1819-= C ．22x y 19-= D ．22x y 1183-= 2．已知椭圆2222x y 13m 5n +=和双曲线2222x y 12m 3n-=有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方程为（ ）A.x =B. y =C. x =D. y =3．已知12F ,F 为椭圆2222x y 1(a b 0)a b+=>>的焦点，M 为椭圆上一点，1MF 垂直于x 轴， 且12FMF 60∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A.12B.24．二次曲线22x y 14m+=，当m [2,1]∈--时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A. B. C. D.5．直线m 的方程为y kx 1=-，双曲线C 的方程为22x y 1-=，若直线m 与双曲线C 的右支相交于不重合的两点，则实数k 的取值范围是（ ）A.( B. C.[ D.6．已知圆的方程为22x y 4+=，若抛物线过点A(1,0)-，B(1,0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程为（ ）A. 22x y 1(y 0)34+=≠ B. 22x y 1(y 0)43+=≠C. 22x y 1(x 0)34-=≠ D. 22x y 1(x 0)43-=≠二、填空题7．已知P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，若021=⋅PF PF21tan 21=∠F PF ，则椭圆的离心率为 ______________ .8．已知椭圆x 2+2y 2=12，A 是x 轴正方向上的一定点，若过点A ，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为3134，点A 的坐标是______________ .9．P 是椭圆22x y 143+=上的点，12F ,F 是椭圆的左右焦点，设12|PF ||PF |k⋅=，则k 的最大值与最小值之差是______________ . 10．给出下列命题：①圆22(x 2)(y 1)1++-=关于点M(1,2)-对称的圆的方程是22(x 3)(y 3)1++-=；②双曲线22x y 1169-=右支上一点P 到左准线的距离为18，那么该点到右焦点的距离为292；③顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点(4,3)--的抛物线方程只能是29y x 4=-；④P 、Q 是椭圆22x 4y 16+=上的两个动点，O 为原点，直线OP,OQ 的斜率之积为14-，则22|OP ||OQ |+等于定值20 .把你认为正确的命题的序号填在横线上_________________ . 三、解答题11．已知两点，B(0)，动点P 在y 轴上的射影为Q ，2PA PB 2PQ ⋅=， （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设直线m 过点A ，斜率为k ，当0k 1<<时，曲线E 的上支上有且仅有一点C 到直线m k 的值及此时点C 的坐标.FQoyx12．如图，1F (3,0)-，2F (3,0)是双曲线C 的两焦点，直线4x 3=是双曲线C 的右准线，12A ,A是双曲线C 的两个顶点，点P 是双曲线C 右支上异于2A 的一动点，直线1A P 、2A P 交双曲线C 的右准线分别于M,N 两点， （1）求双曲线C 的方程； （2）求证：12FM F N ⋅是定值.13．已知OFQ ∆的面积为S ，且OF FQ 1⋅=，建立如图所示坐标系， （1）若1S 2=，|OF |2=，求直线FQ 的方程；（2）设|OF |c(c 2)=≥，3S c 4=，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆过点Q ，求当|OQ |取得最小值时的椭圆方程.14．已知点H(3,0)-，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足HP PM 0⋅=，3PM MQ 2=-，（1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；（2）过点T(1,0)-作直线m 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点0E(x ,0)使得ABE ∆为等边三角形，求0x 的值.15．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，向量AB 与OM 是共线向量． （1）求椭圆的离心率e ；（2）设Q 是椭圆上任意一点， 1F 、2F 分别是左、右焦点，求∠21QF F 的取值范围；16．已知两点M （-1，0），N （1，0）且点P 使NP NM PN PM MN MP ⋅⋅⋅,,成公差小于零的等差数列，（Ⅰ）点P 的轨迹是什么曲线？（Ⅱ）若点P 坐标为),(00y x ，θ为PN PM 与的夹角，求tan θ．【参考答案】一. 1．C .提示，设双曲线方程为11(x y)(x y)33+-=λ，将点代入求出λ即可.2．D .因为双曲线的焦点在x 轴上，故椭圆焦点为，双曲线焦点为，由22223m 5n 2m 3n -=+得|m |n |=，所以，双曲线的渐近线为y == .3．C .设1|MF |d =，则2|MF |2d =，12|FF |=，1212|FF |c 2c e a 2a |MF ||MF |=====+ 4.C .1>，故选C ；或用2a 4=，2b m =-来计算.5．B .将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组. 6．B .数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义.二.7．解：设c 为为椭圆半焦距，∵021=⋅PF PF ，∴21PF PF ⊥ .又21tan 21=∠F PF ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+212)2(122122221PF PF a PF PF c PF PF解得：25()93,c c e a a === ． 选D ． 8． 解：设A （x 0，0）（x 0＞0），则直线l 的方程为y=x-x 0，设直线l 与椭圆相交于P （x 1，y 1），Q （x 2、y 2），由 y=x-x 0 可得3x 2-4x 0x+2x 02-12=0， x 2+2y 2=12 34021x x x =+，31222021-=⋅x x x ，则20202021221212363234889164)(||x x x x x x x x x -=--=-+=-．∴||13144212x x x -⋅+=，即202363223144x -⋅⋅=．∴x 02=4，又x 0＞0，∴x 0=2，∴A （2，0）．9．1；22212k |PF ||PF |(a ex)(a ex)a e x =⋅=+-=- .10．②④.三. 11．解（1）设动点P 的坐标为(x,y)，则点Q(0,y)，PQ (x,0)=-，PA (2x,y)=-，PB (x,y)=--，22PA PB x 2y ⋅=-+，因为2PA PB 2PQ ⋅=，所以222x 2y 2x -+=， 即动点P 的轨迹方程为：22y x 2-=； （2）设直线m ：y k(x k 1)=<<，依题意，点C 在与直线m 平行，且与m设此直线为1m :y kx b =+=2b 2+=，……①把y kx b =+代入22y x 2-=，整理得：222(k 1)x 2kbx (b 2)0-++-=， 则22224k b 4(k 1)(b 2)0∆=---=，即22b 2k 2+=，…………②由①②得：k=b =此时，由方程组22y y x 2⎧=⎪⎨⎪-=⎩. 12．解：（1）依题意得：c 3=，2a 4c 3=，所以a 2=，2b 5=， 所求双曲线C 的方程为22x y 145-=； （2）设00P(x ,y )，11M(x ,y )，22N(x ,y )，则1A (2,0)-，2A (2,0)，100A P (x 2,y )=+，200A P (x 2,y )=-，1110A M (,y )3=，222A N (,y )3=-，因为1A P 与1A M 共线，故01010(x 2)y y 3+=，01010y y 3(x 2)=+，同理：0202y y 3(x 2)=--， 则1113FM (,y )3=，225F N (,y )3=-，所以12FM F N ⋅＝1265y y 9-+＝202020y 6599(x 4)---＝20205(x 4)206541099(x 4)-⨯--=-- . 13．解：（1）因为|OF |2=，则F(2,0)，OF (2,0)=，设00Q(x ,y )，则00FQ (x 2,y )=-，0OF FQ 2(x 2)1⋅=-=，解得05x 2=，由0011S |OF ||y ||y |22=⋅==，得01y 2=±，故51Q(,)22±，所以，PQ 所在直线方程为y x 2=-或y x 2=-+；（2）设00Q(x ,y )，因为|OF |c(c 2)=≥，则00FQ (x c,y )=-， 由0OF FQ c(x c)1⋅=-=得：01x c c=+， 又013S c |y |c 24==，则03y 2=±， 13Q(c ,)c 2+±，2219|OQ |(c )c 4=++，易知，当c 2=时，|OQ |最小，此时53Q(,)22±，设椭圆方程为2222x y 1,(a b 0)a b +=>>，则2222a b 425914a4b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得22a 10b 6⎧=⎪⎨=⎪⎩， 所以，椭圆方程为22x y 1106+= . 14．解：（1）设M(x,y)，由3PM MQ 2=-得：y P(0,)2-，xQ(,0)3，由HP PM 0⋅=得：y3y(3,)(x,)022-=，即2y 4x =， 由点Q 在x 轴的正半轴上，故x 0>，即动点M 的轨迹C 是以(0,0)为顶点，以(1,0)为焦点的抛物线，除去原点； （2）设m :y k(x 1)(k 0)=+≠，代入2y 4x =得：2222k x 2(k 2)x k 0+-+=…………①设11A(x ,y )，22B(x ,y )，则12x ,x 是方程①的两个实根，则21222(k 2)x x k -+=-，12x x 1=，所以线段AB 的中点为222k 2(,)k k-，线段AB 的垂直平分线方程为22212k y (x )k k k--=--，令y 0=，022x 1k=+，得22E(1,0)k+， 因为ABE ∆为正三角形，则点E 到直线AB|AB |，又|AB|k =，011x 3= .15．解：（1）∵ab yc x c F M M 21,),0,(=-=-则，∴acb k OM 2-= .∵AB OM a b k AB 与,-=是共线向量，∴a b ac b -=-2，∴b=c,故22=e .（2）设1122121212,,,2,2,FQr F Q r F QF r r a F F c θ==∠=∴+==22222221212122121212124()24cos 11022()2r r c r r r r c a a r r r r r r r r θ+-+--===-≥-=+当且仅当21r r =时，cos θ=0，∴θ]2,0[π∈ .16．解：（Ⅰ）记P （x,y ），由M （-1，0）N （1，0）得 (1,),PM MP x y =-=---),1(y x NP PN ---=-=， )0,2(=-=NM MN . 所以 )1(2x MN MP +=⋅ . 122-+=⋅y x PN PM ， )1(2x NP NM -=⋅ .于是， NP NM PN PM MN MP ⋅⋅⋅,,是公差小于零的等差数列等价于⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+0)1(2)1(2)]1(2)1(2[21122x x x x y x 即 ⎩⎨⎧>=+0322x y x . 所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆. （Ⅱ）点P 的坐标为),(00y x 。
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第七讲解析几何新题型的解题技巧.txt33学会宽容,意味着成长,秀木出木可吸纳更多的日月风华,舒展茁壮而更具成熟的力量。
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第七讲解析几何新题型的解题技巧【命题趋向】解析几何例命题趋势：１.注意考查直线的基本概念,求在不同条件下的直线方程,直线的位置关系,此类题大多都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现,每年必考2.考查直线与二次曲线的普通方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现3.考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现,有时会出现有一定灵活性和综合性较强的题,如求轨迹，与向量结合,与求最值结合,属中档题分值一般在1７-－-22分之间,题型一般为１个选择题,1个填空题，1个解答题.【考点透视】一.直线和圆的方程１.理解直线的斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程.２.掌握两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系.3.了解二元一次不等式表示平面区域.4.了解线性规划的意义，并会简单的应用．５.了解解析几何的基本思想，了解坐标法.6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念,理解圆的参数方程．二．圆锥曲线方程1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质．2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．4．了解圆锥曲线的初步应用．【例题解析】考点１.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手，构造方程解之.例1.（2006年安徽卷)若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ) A．Ｂ． C. Ｄ.考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质．解答过程：椭圆的右焦点为(2，0）,所以抛物线的焦点为（2,0)，则，故选D.考点2．求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之．例2.（20０７年四川卷文)已知抛物线y-x2+3上存在关于直线x+ｙ＝0对称的相异两点A、B,则|AB|等于Ａ.3 B.4 Ｃ.3 D.4考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用.解:设直线的方程为,由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，∴ ,由弦长公式可求出．故选C例3.（2006年四川卷）如图，把椭圆的长轴分成等份,过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点, 是椭圆的一个焦点，则＿__＿__＿＿____.考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.解答过程：由椭圆的方程知∴故填35.考点３. 曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用:(1）椭圆的离心率e＝∈（0，１） (e越大则椭圆越扁）;(2) 双曲线的离心率e= ∈(１, ＋∞) (e越大则双曲线开口越大).结合有关知识来解题．例４.（2007年全国卷)文（４)理(4）已知双曲线的离心率为2，焦点是, ，则双曲线方程为A. Ｂ． C. D.考查意图:本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念.解答过程：所以故选（A).小结: 对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念,要注意认真掌握．尤其对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会．例5.（20０6年广东卷）已知双曲线，则双曲线右支上的点Ｐ到右焦点的距离与点Ｐ到右准线的距离之比等于（）Ａ. B． C. 2 Ｄ．４考查意图：本题主要考查双曲线的性质和离心率e= ∈(1， +∞) 的有关知识的应用能力. 解答过程:依题意可知.考点4.求最大(小)值求最大（小）值, 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大（小)值：特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.例６．(20０6年山东卷)已知抛物线y2=4x,过点P(4，0）的直线与抛物线相交于A(ｘ１，ｙ1),B(ｘ2，y2)两点，则y12+ｙ22的最小值是.考查意图: 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小）值的方法. 解:设过点P(4,0)的直线为故填３２.考点5 圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性,都是考试的重点内容,要能够熟练运用;常用的解题技巧要熟记于心.例７．(2０0７年广东卷文）在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限、半径为２的圆Ｃ与直线y=x相切于坐标原点O．椭圆 =１与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.（1）求圆Ｃ的方程;（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段ＯF的长.若存在，请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.[考查目的]本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．[解答过程] (1）设圆C 的圆心为（m, ｎ)则解得所求的圆的方程为(2）由已知可得, ．椭圆的方程为 , 右焦点为Ｆ( 4, 0） ;假设存在Ｑ点使 ,.整理得 , 代入．得: , .因此不存在符合题意的Q点.例8．（2007年安徽卷理)如图,曲线Ｇ的方程为．以原点为圆心,以为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于Ａ与点B.直线AB 与 x 轴相交于点C.(Ⅰ）求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标ｃ的关系式；(Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为 ,求证：直线CD的斜率为定值.[考查目的］本小题综合考查平面解析几何知识,主要涉及平面直角坐标素中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系,考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力.[解答过程］(I)由题意知,因为由于（１）由点B(0，t)，C（c,0)的坐标知，直线BC的方程为又因点A在直线ＢC上，故有将(1)代入上式，得解得.(II)因为，所以直线CD的斜率为,所以直线ＣD的斜率为定值.例9．已知椭圆，ＡB是它的一条弦，是弦ＡB的中点,若以点为焦点，椭圆Ｅ的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点 ,若椭圆离心率e和双曲线离心率之间满足，求：（1)椭圆Ｅ的离心率;（２)双曲线C的方程.解答过程:(1)设Ａ、Ｂ坐标分别为，则 , ,二式相减得:,所以 , ，则;（2）椭圆E的右准线为 ,双曲线的离心率，设是双曲线上任一点,则:,两端平方且将代入得：或 ,当时,双曲线方程为：，不合题意,舍去；当时,双曲线方程为：，即为所求．小结:（1)“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法;（2）求解圆锥曲线时,若有焦点、准线,则通常会用到第二定义.考点6 利用向量求曲线方程和解决相关问题利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算.典型例题:例1０．（200６年山东卷)双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线y= 为Ｃ的一条渐近线.(1)求双曲线C的方程;(2)过点Ｐ（０，4）的直线 ,交双曲线C于A,B两点，交x轴于Ｑ点（Ｑ点与C的顶点不重合).当 ,且时,求Q点的坐标.考查意图: 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力.解答过程:（Ⅰ）设双曲线方程为，由椭圆，求得两焦点为 ,对于双曲线 ,又为双曲线的一条渐近线解得 ,双曲线的方程为(Ⅱ）解法一:由题意知直线的斜率存在且不等于零．设的方程: ， ,则．, ．在双曲线上, ．同理有：若则直线过顶点，不合题意.是二次方程的两根.，,此时 .所求的坐标为 .解法二：由题意知直线的斜率存在且不等于零设的方程， ,则．, 分的比为．由定比分点坐标公式得下同解法一解法三:由题意知直线的斜率存在且不等于零设的方程: ，则 .，.，， ,又， ,即．将代入得 .,否则与渐近线平行..．.解法四：由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程： , ,则, ．.同理ﻩ ..即 . ﻩﻩﻩ(*)又消去ｙ得．当时,则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，．由韦达定理有：代入(*）式得 .所求Q点的坐标为 .例11．(2０07年江西卷理)设动点Ｐ到点A（-l,０）和Ｂ(1,０）的距离分别为d1和d2,∠ＡＰＢ＝２θ，且存在常数λ（０＜λ＜1＝,使得d1ｄ２ｓin２θ=λ.（１）证明：动点P的轨迹C为双曲线,并求出C的方程;(2)过点Ｂ作直线交双曲线C的右支于M、Ｎ两点,试确定λ的范围,使 ? ＝0,其中点O为坐标原点.［考查目的]本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.[解答过程］解法1:（1)在中， ,即 ,,即（常数),点的轨迹是以为焦点,实轴长的双曲线.方程为： .(2)设 ,①当垂直于轴时, 的方程为，，在双曲线上．即,因为 ,所以 .②当不垂直于轴时，设的方程为.由得：，由题意知: ,所以 , ．于是: ．因为，且在双曲线右支上，所以．由①②知， .解法2:（1)同解法1(2）设 , ，的中点为 .①当时，，因为，所以；②当时, .又 .所以；由得 ,由第二定义得．所以．于是由得因为,所以 ,又,解得: ．由①②知．考点7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题利用向量的数量积构造出等式或函数关系,再利用函数求最值的方法求最值,要比只利用解析几何知识建立等量关系容易.例12.设椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为，过点的直线交椭圆E于A、B两点,且 ,求当的面积达到最大值时直线和椭圆E的方程.解答过程：因为椭圆的离心率为，故可设椭圆方程为,直线方程为 ,由得： ,设,则…………①又 ,故 ,即…………②由①②得： , ,则 = ，当 ,即时，面积取最大值,此时 ,即 ,所以,直线方程为，椭圆方程为 .小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易.例13.已知, ，且，求的最大值和最小值．解答过程：设 , , ,因为，且，所以,动点P的轨迹是以A、B为焦点,长轴长为６的椭圆，椭圆方程为 ,令 ,则＝，当时，取最大值，当时，取最小值 .小结:利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算.考点8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题．例14．（2006年福建卷) 已知椭圆的左焦点为F，Ｏ为坐标原点.(I)求过点O、F,并且与椭圆的左准线相切的圆的方程;（IＩ)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,线段AＢ的垂直平分线与轴交于点G,求点Ｇ横坐标的取值范围.考查意图:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识,考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.解答过程:(I)圆过点Ｏ、Ｆ,圆心M在直线上.设则圆半径由得解得所求圆的方程为（II)设直线AB的方程为代入整理得直线ＡＢ过椭圆的左焦点F, 方程有两个不等实根.记中点则的垂直平分线NＧ的方程为令得点G横坐标的取值范围为例１5.已知双曲线C：，Ｂ是右顶点，F是右焦点,点A在x轴正半轴上，且满足成等比数列,过F作双曲线Ｃ在第一、三象限的渐近线的垂线 ,垂足为Ｐ，（1）求证: ；(2）若与双曲线C的左、右两支分别相交于点Ｄ,E，求双曲线C的离心率e的取值范围．解答过程：(1）因成等比数列，故 ,即，直线 : ,由,故: ,则：，即；(或，即）（２）由 ,由得:(或由）小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积，必须先恰当地求出各个点的坐标．例16．已知，， ,（1）求点的轨迹C的方程;（2)若直线与曲线C交于A、B两点, ，且，试求m的取值范围.解答过程：（1) = ,＝，因 ,故，即 ,故Ｐ点的轨迹方程为 .(2）由得：，设 ,A、B的中点为则，, ， ,即A、B的中点为 ,则线段ＡＢ的垂直平分线为: ,将的坐标代入,化简得：，则由得: ,解之得或，又，所以,故m的取值范围是 .小结:求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生增根现象.考点9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题存在性问题，其一般解法是先假设命题存在,用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立,否则，不成立.例17.已知A，B,Ｃ是长轴长为４的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点,BC过椭圆的中心O，且， ,（１）求椭圆的方程;(2)如果椭圆上的两点P,Ｑ使的平分线垂直于OA,是否总存在实数 ,使得 ?请说明理由;解答过程：（1)以O为原点，OＡ所在直线为ｘ轴建立平面直角坐标系,则,设椭圆方程为，不妨设C在x轴上方,由椭圆的对称性，,又，即为等腰直角三角形，由得：，代入椭圆方程得： ,即,椭圆方程为；(2）假设总存在实数,使得 ,即,由得 ,则 ,若设CＰ： ,则CQ: ，由，由得是方程的一个根,由韦达定理得: ,以代ｋ得，故 ,故,即总存在实数 ,使得．评注:此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题.考点10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题直线和圆锥曲线的关系问题,一般情况下,是把直线的方程和曲线的方程组成方程组,进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围．例18.设Ｇ、M分别是的重心和外心，， ,且，（1)求点Ｃ的轨迹方程;(２）是否存在直线m，使m过点并且与点C的轨迹交于P、Q两点，且？若存在,求出直线m的方程；若不存在,请说明理由.解答过程:（１)设 ,则 ,因为，所以,则，由M为的外心,则 ,即 ,整理得：；(2）假设直线m存在，设方程为，由得: ，设 ,则，，= ，由得: ,即，解之得 ,又点在椭圆的内部,直线m过点，故存在直线m,其方程为.小结:(1）解答存在性的探索问题,一般思路是先假设命题存在,再推出合理或不合理的结果，然后做出正确的判断;(2)直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题.【专题训练与高考预测】一、选择题1．如果双曲线经过点 ,且它的两条渐近线方程是，那么双曲线方程是（）A. B. C. D．２.已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方程为（）A. B. C. Ｄ.3．已知为椭圆的焦点，Ｍ为椭圆上一点，垂直于x轴,且 ,则椭圆的离心率为( ）A. Ｂ． C． D.4.二次曲线 ,当时，该曲线的离心率e的取值范围是( )A. Ｂ. C. D.5．直线m的方程为，双曲线Ｃ的方程为,若直线m与双曲线Ｃ的右支相交于不重合的两点，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.6．已知圆的方程为 ,若抛物线过点 , ，且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点的轨迹方程为（ )A. B.C. D.二、填空题7.已知P是以、为焦点的椭圆上一点，若，则椭圆的离心率为 __＿＿_＿_＿_＿_＿_＿.8.已知椭圆x２＋2ｙ２=12,A是x轴正方向上的一定点,若过点A,斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，点A的坐标是__＿_____＿__＿__ .９.P是椭圆上的点，是椭圆的左右焦点,设，则k的最大值与最小值之差是＿_＿______＿＿＿＿＿ .10.给出下列命题:①圆关于点对称的圆的方程是 ;②双曲线右支上一点Ｐ到左准线的距离为18，那么该点到右焦点的距离为；③顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点的抛物线方程只能是；④P、Q是椭圆上的两个动点，Ｏ为原点，直线OP,OQ的斜率之积为，则等于定值20 . 把你认为正确的命题的序号填在横线上＿_＿＿__＿__＿＿___＿＿_ .三、解答题１1.已知两点, ,动点Ｐ在y轴上的射影为Q， ,(１)求动点P的轨迹E的方程；(２)设直线m过点A,斜率为ｋ，当时，曲线E的上支上有且仅有一点C到直线m的距离为，试求k的值及此时点Ｃ的坐标.1２.如图，, 是双曲线Ｃ的两焦点,直线是双曲线C的右准线, 是双曲线C的两个顶点,点P是双曲线C右支上异于的一动点，直线、交双曲线C的右准线分别于M,N两点, （1）求双曲线C的方程；(2）求证: 是定值.13.已知的面积为S，且，建立如图所示坐标系，(1)若，，求直线FQ的方程；（2)设，，若以O为中心，F为焦点的椭圆过点Q,求当取得最小值时的椭圆方程．14.已知点 ,点Ｐ在ｙ轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线ＰQ上,且满足 , ，（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹Ｃ;(2)过点作直线ｍ与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点，使得为等边三角形，求的值．15．已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点 ,向量与是共线向量.（1）求椭圆的离心率e;（２)设Q是椭圆上任意一点, 、分别是左、右焦点，求∠的取值范围;16．已知两点M（－1，0),N(1,0)且点P使成公差小于零的等差数列，ﻩ（Ⅰ）点P的轨迹是什么曲线?ﻩ(Ⅱ)若点P坐标为 , 为的夹角，求tanθ．【参考答案】一. １.Ｃ .提示,设双曲线方程为,将点代入求出即可.２.D .因为双曲线的焦点在x轴上,故椭圆焦点为 ,双曲线焦点为，由得，所以,双曲线的渐近线为．3.C ．设，则， ,．4.C ．曲线为双曲线，且，故选Ｃ;或用，来计算.5.B ．将两方程组成方程组,利用判别式及根与系数的关系建立不等式组.６．B .数形结合,利用梯形中位线和椭圆的定义.二.7．解:设ｃ为为椭圆半焦距,∵，∴ .ﻩ又∴解得： . 选D.８.ﻩ解：设A（x0,０）（x0>0)，则直线的方程为y＝x-ｘ0,设直线与椭圆相交于Ｐ(x1，ｙ1),Q(x2、y2），由 y=x-x0 可得3x２-4x0x+2x02-１2=0,x2+2y2=1２ﻩ， ,则．ﻩ∴，即．∴ｘ0２＝4，又x0＞0,∴x0=2,∴A(2,0)．9.1; .10.②④.三． 11．解（1)设动点P的坐标为，则点 , ， ,，,因为，所以 ,即动点P的轨迹方程为： ;（2)设直线m: ,依题意，点C在与直线m平行，且与m之间的距离为的直线上，设此直线为，由，即，……①把代入 ,整理得： ,则，即 ,…………②由①②得：， ,此时,由方程组．12.解:(1)依题意得: , ，所以 , ,所求双曲线Ｃ的方程为 ;（２）设 , ， ,则 , ，, ， , ,因为与共线,故, ，同理： ,则, ，所以 = ＝= .13．解：（1）因为 ,则 , ,设，则，，解得，由，得，故，所以，PQ所在直线方程为或；（2）设 ,因为，则，由得: ,又 ,则，, ，易知,当时，最小，此时 ,设椭圆方程为，则，解得 ,所以，椭圆方程为 .１4．解:(１)设，由得： , ，由得: ,即，由点Q在x轴的正半轴上,故，即动点M的轨迹C是以为顶点,以为焦点的抛物线，除去原点；(2)设,代入得：…………①设, ,则是方程①的两个实根,则 , ，所以线段AB的中点为 ,线段AB的垂直平分线方程为，令，，得，因为为正三角形，则点E到直线ＡB的距离等于 ,又＝，所以，，解得: ，.１5．解:(1)∵ ,∴.∵是共线向量,∴ ,∴ｂ=ｃ,故 .ﻩ（2)设ﻩ当且仅当时,cｏsθ＝0,∴θ．１6.解：(Ⅰ）记P(x,y)，由M（-1，0）N(1,０)得， .ﻩ所以．，.ﻩ于是，是公差小于零的等差数列等价于ﻩ即.所以,点P的轨迹是以原点为圆心, 为半径的右半圆. ﻩ（Ⅱ)点P的坐标为。