-一元微分学应用(一)

f
( x)
1
xx
1
ln x2
x
当x 3时, f (x) 0 ,
故 f (x) [3, ) ,
由此可得 : {xn} , (n 3) .
三、函 数 的 极 值
函数的极值是个局部性的概念. 在 U(x0 )内比较 f (x) 与 f (x0 ) 的大小.
我们已经知道的与函数极值有关的定理和公式: 费马定理 — 可微函数取极值的必要条件 函数的单调性判别定理和方法 泰勒公式 — 可利用高阶导数
而 lim f (x) lim (sin x x) ,
x
x
lim f (x) lim (sin x x) ,
x
x
由连续性,曲线 y f (x) 与x 轴至少有一个交点.
综上所述, 曲线 y f (x) 与x 轴有且仅有一个交点,
即方程 sin x x 在 (, )内有且仅有一个实根.
定理
可微函数 f (x) 在点 x0 处取极值的必要条件是f (x0 ) 0 .
实质上就是费马定理 .
费马 Pierre de Fermat (1601－1665)
费马，法国数学家. 出身于一个商人 家庭. 他的祖父、父亲、叔父都从商. 他 的父亲是当地的第二执政官, 经办着一个 生意兴隆的皮革商店.
例1
讨论 y 2x 8 的单调性. x
解 定义域: (, 0) (0, )
y
来自百度文库
2
8 x2
2 x2
(x2
4)
令 y 0 , 得 x1 2 , x2 2 ,
x ( , 2) 2 (2, 0) 0 (0, 2) 2 (2, )
y
0
0
y
综上所述 , 函数 y 2x 8 x
在 (, 2) , (2, )内单调增加； 在 (2, 0) , (0, 2)内单调减少.
x f (x) f (x) 0 x (0, ) .
这个式子有点像……？
拉格朗日中值定理的公 式形式 .
x (0,) , 由已知条件可知 f (t)在[0, x] 上满足
拉格朗日中值定理条件，故有
f (x) f (0) f ( )(x 0)
由 f (0) 0 , 得
f (x) f ( ) x , (0 x) ,
例如, y | x | x (, )
y y | x|
在点 x 0 处不可导,
但 x 0 恰好是它的极小点 .
O x0 x
极值可疑点
驻点: f (x) 0 的点. 使 f (x) 0 不存在点.
如何判断极值可疑点是否确为极值点?
首先考察下列函数的图形:
费马大定理被称为“会下金蛋的母鸡” .
使 f (x0 ) 0的点称为函数 f (x) 的驻点.
由费马定理可知, 驻点只是函数的极值可疑点.
函数在驻点处不一定取极值.
y
例如, y x3 在点 x 0 处, y 0 , 但 此时 y x0 不是极值 .
x0 O
y x3 x
使得函数导数不存在的点也是极值可疑点.
回忆一下几个重要的定 理和公式 :
拉格朗日中值定理的公式 F(b) F(a) f ( )(b a) .
泰勒公式
f
(x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( 2
x0 !
)
(
x
x0
)2
f
( 2
x0 !
)
(
x
x0
)
2
f
( x0 3!
)
(
x
x0
)3
R3
(
x)
(o(x x0 )3 ) .
例3
设 f (x) 满足条件：
(1) f (x) C( [0, ) ) , f (0) 0 ;
(2) f (x) 在 (0, )内可导, 且 f (x) (0,) ,
证明 :
g(x)
f
(x) x
(0, )
.
下一步你打算 怎么办?
证
由于
g(x)
f (x) x x2
f (x) ,
故关键在于证明
综上所述, 可知: 使得函数 f (x) 的导数 f (x) 0 或 f (x) 不存在的点
可以作为函数单调性的分界点. 提供了判断函数单调性的方法
在讨论函数的单调性时，一般先求出函 数一阶导数等于零和一阶导数不存在的点 , 然后按这些点将所讨论的区间分成小区间 , 在每个小区间内函数只有一种单调性 , 利用 导数符号判断函数是单调增加还是单调减少.
一、函数的单调性
函数单调性判别法:
若函数 f (x) 在区间 I 内可导, 则
f (x) 0
f (x) I
f (x) 0
f (x) I
f (x) 0的点可以作为函数 f (x) 单调性的分界点.
观察下面的图形, 你能得出什么结论？
y
y
O
x
O
x
使得函数的导数 f (x) 不存在的点也可作为 函数单调性的分界点.
费马毕业于法国奥尔良大学，以律师 为职. 曾任图卢兹议会会员, 享有长袍贵 族特权. 精通 6 种语言. 业余爱好数学并 在数论、几何、概率论、微积分等领域内 作出了创造性的工作.
1637年费马研究丢番图的《算术》时, 写下了著名的 费马大定理:
不存在满足 xn yn zn (n 2) 的正整数 x, y, z .
又 f (x) (0, ) , 从而, f (x) f (x) x ,
于是
g(x)
f (x) x x2
f (x) 0 ,
故由x 的任意性, 得 g(x) (0, ) .
例4 证
证明：xn n n (n 3) 是单调减少的数列.
1
令 f (x) x x , x [3, ) ,
利用函数 处理数列
列表可使问题明朗化
例2 证明：方程 sin x x 在 (, )内有且仅有一个实根. 证 令 f (x) sin x x x (, ) ,
则 f (x) C((, )) , f (x) cos x 1 0 ,
且仅当 x 2k (k Z)时, f (x) 0 ,
即 f (x) 仅在孤立点处为零. 从而 f (x) sin x x (, ) 就是说, 曲线 y f (x) 与x 轴最多有一个交点.
高等院校非数学类本科数学课程
高等 数 学（上）
—— 一元微积分学
第十八讲 一元微积分的应用(一) ——函数的单调性、极值
作业
• 习题3-4（教材159页） • 1；2(1)(3)；3；5(1)(3) ；8(1)(3); • 9(1)(3)
现在我们运用函数的导数(微分)来研究函数的有关 性质：单调性、凹凸性、极值等，并研究如何作出函数 的图形.