初三数学中考数学二次函数综合专题训练

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解析 (1)直线BC的表达式为y=- 3 x+3.
4
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图1
(2)如图1,∵点E在x轴上,设点E的坐标为(e,0),则AE=2+e,
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在Rt△COE中,根据勾股定理,得CE2=OC2+OE2=32+e2,∵AE=CE,∴AE2=CE2,∴32+
e2=(2+e)2,解得e=
3
4 3
,2
,点P,T关于x轴对
称,∴T
4 3
,-2
,∴DT=
10-(-2)=
3
16.∴ST=
3
DS 2 DT 2 =
8 3
2
16 3
2
=
8
5 ,∴四边形
3
DFEP的周长为DP+DF+EF+EP=DP+(SF+FE+ET)=DP+ST=
10 3
-2
+
8
5 3
=
4 8 5 .故四边形DFEP周长的最小值为 4 8 5 .
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∵点P在直线BC上,∴设点P的坐标为
m,-
3 4
m
3
,∵点D在抛物线上,PD∥y轴,
∴点D的坐标为
m,-
3 8
m2
3 4
m
3
,∵PD=PQ,
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∴
-
3 8
m2
3 4
m
3-
-
3 4
m
3=m,
∴3m2-4m=0,∴m=4 或m=0,∵点P与点C,B不重合,∴m≠0,∴m= 4.
3
3
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类型二 二次函数与三角形的综合性问题
二次函数与三角形的综合性问题包括点的存在性问题、三角形面积的最 值问题、相似三角形的问题等.
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例2 (2018泰安)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点 A(-4,0),B(2,0),交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点E(0,-2),连接AE. (1)求二次函数的表达式; (2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点,求△ADE面积的最大值; (3)抛物线对称轴上是否存在点P,使△AEP为等腰三角形?若存在,请直接写出所 有P点的坐标;若不存在,请说明理由.
MR BO 1
∵tan∠BSO= SR =SO ,∴s- 27
4
=s
9
,解得s=2
,即当点S的坐标为
0,
9 2
时,SB-SM的
8
值最大.
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(2)存在点N,使得△ACN的周长最小.理由如下:如图,
要使△ACN的周长最小,即AC+AN+CN最小,∵在Rt△OAC中,OA=2,OC=3,由勾
股定理,得AC= 13为定值,∴只需CN+AN最小,∵点B与点A关于直线l对称,∴直
线BC与对称轴l的交点即为所求的点N,将x=1代入y=-3 x+3,得y=9 ,∴点N的坐标
4
4
为1,
9 4
.在Rt△BOC中,由OC=3,OB=4,根据勾股定理,得BC=5,∴△ACN周长的
最小值为BC+AC=5+ 13.
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类型一 二次函数与线段、周长的综合性问题 类型二 二次函数与三角形的综合性问题 类型三 二次函数与四边形的综合性问题
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类型一 二次函数与线段、周长的综合性问题
例1 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于点A(-2,0),B(4,0),与y轴交 于点C(0,3).对称轴为直线l,顶点为M,P为线段CB上的一个动点(点P不与点B,C 重合),点D为抛物线上一点. (1)求抛物线和直线CB的表达式; (2)设点E为x轴上一点,且AE=CE,求点E的坐标; (3)设点G是y轴上一点,是否存在点G,使得GM+GB最小?若存在,求出点G的坐 标?若不存在,请说明理由.
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二次函数综合专题
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专题概述 命题探究 专题训练
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专题概述
二次函数的综合题是中考数学的必考问题,一般作为压轴题出现,常与动点、点 的存在性、相似、等腰三角形、直角三角形、四边形等相结合,难度较大,是考 生失分的重灾区.为攻克二次函数的压轴题,通常把二次函数大题拆分,大题小 做,稳拿分.
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解析 (1)存在点S.理由如下:设点S的坐标为(0,s).如图, 当点S与点B,M不在同一直线上,根据三角形三边关系,得SB-SM<BM;当点S与点
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M,B在同一直线上时,SB-SM=BM,∴SB-SM≤BM,且当S在BM的延长线上时,SB-
27
SM最大,最大值为BM.过M作MR⊥y轴于点R,则MR=1,SR=SO-RO=s- 8 ,
-4t t
s s
2870,,解得ts
27 ,
40 ∴直线B'M的表达式为y=
27 . 10
27 40
x+ 27
10
,令x=0,得y=27
10
,
∴点G的坐标为
0,
27 10
.
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变式1-1 (1)例1中设点S是y轴上一点,是否存在点S,使得SB-SM最大?若存在,求 出点S的坐标;若不存在,请说明理由; (2)设点N是直线l上一点,是否存在点N,使得△ACN的周长最小.若存在,求出点N 的坐标及△ACN周长的最小值;若不存在,请说明理由.
5 4
,∴点E的坐标为
5 4
,0
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.
(3)存在点G,使得GM+GB最小.
图2
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理由如下:由(1)可知抛物线的顶点M的坐标为1,
27 8
,如图2,取点B关于y轴的对
称点B',则点B'的坐标为(-4,0),连接B'M,
直线B'M与y轴的交点G即为所求的点,设直线B'M的表达式为y=tx+s,则
3
3
(2)存在.四边形周长的最小值为 4 +8 5 .理由如下:如图,作点D关于y轴的对称点
33
S,作点P关于x轴的对称点T,连接ST,交y轴于点F,交x轴于点E,此时四边形DFEP
的周长最小.
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∵D
4 3
,10 3
,点D,S关于y轴对称,∴S
-
4 3
,
10 3
,∴DS=
8,∵P
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16a-4b c 0,
解析 (1)∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A(-4,0),B(2,0),C(0,6),∴4a 2b c 0,解
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变式1-2 (1)例1中当PD∥y轴时,设点P的横坐标为m,当点P到y轴的距离等于线 段DP的长时,求m的值; (2)点E为x轴上任意一点,点F为y轴上任意一点,在(1)的条件下,四边形DFEP的 周长是否存在最小值?若存在,求出这个四边形周长的最小值;若不存在,请说明 理由.
解析 (1)如图,过点P作PQ⊥y轴于点Q,