反常积分的收敛判别法
反常积分判敛法
1 3 3 ( ) 1 3 ( 1 1) 1 3 1 ( 1 ) 3 . 8 2 2 8 2 2 8 2 2 2 32
20
6.2
反常积分判敛法
（2）
1
xe
x2 2 x
dx
( x ) e t t x 1 dt
∴ I2
1
e t t x 1dt 收敛。
故反常积分 0 e t t x 1dt ，当 x 0 时收敛；当 x 0 时发散。
16
6.2
反常积分判敛法
三、Γ函数
1. 函数的定义
函数 ( x )
0
et t x 1 dt ， x (0,) 称为 Gamma 函数。
0
1
t x 1
dt ， I 2
1
e t t x 1dt ，
先讨论 I1 的敛散性。
①当 x 1 时， I1 是常义积分，收敛的；
15
6.2
反常积分判敛法
1 x t x 1 t t 0) e t lim e 1， ∵ lim( t 0 t 0
②当 0 x 1 时，有 q 1 x 1, l 1,
∴ I1 e t t x 1 dt 收敛。
0
1 0
1
③ x 0 时，有 q 1 x 1 l 1,∴ I1 e t t x 1 dt 发散。
再讨论 I 2 的敛散性。 x 1 t ∵ lim t 2 e t t x 1 lim t 0 ，( p 2 1, l 0) t t e
b a
b
g( x )dx 收敛时， f ( x )dx 也收敛；
反常积分收敛判别口诀
反常积分收敛判别口诀
反常积分收敛判别口诀：积分后计算出来是定值，不是无穷大，就是收敛；积分后计算出来的不是定值，是无穷大，就是发散。
反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分(又称无界函数的反常积分)。
广义积分判别法不仅比传统的判别法更加精细，而且避免了传统判别法需要寻找参照函数的困难。
只要研究被积函数自身的性态，即可知其敛散性。
反常积分的狄利克雷判别法
反常积分的狄利克雷判别法
狄利克雷判别法（Dirichlet's Test）是用来判别反常积分是否收敛的一种方法。
狄利克雷判别法的主要观点是，如果一个函数的部分和序列有界，并且这个函数的单调性逐渐趋于零，那么对应的反常积分就是收敛的。
具体来说，狄利克雷判别法包括以下两个条件：
1. 对于一个函数f(x)，对于所有的x，当x趋于正无穷时，|∫(a,x)f(t)dt|有界。
也就是说，该函数的积分在一定范围内是有界的。
2. 对于一个函数f(x)，当x趋于正无穷时，f(x)是单调递减趋于零的。
也就是说，该函数的值在逐渐减小，在无穷远处趋于零。
如果一个函数满足以上两个条件，那么该函数对应的反常积分就是收敛的。
狄利克雷判别法在求解反常积分的收敛性时非常有用，它简化了判别的过程，并提供了一种有效的方法来判别反常积分是否收敛。
然而，它并不适用于所有的情况，因此在应用时需要考虑其他的判别方法。
反常积分收敛判别法
些 新 的判 别 方 法 ．
二 、 常 积 分 基 本 判 别 方 法 反
反常积分与数值级数 ∑ ｎ之间的 如下 类比
级 数 的通 项 ： ａ 被 积 函数 ）
级数的 部分和： ｎ ∑Ｎ ａ
专 题 研 究
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反常积分收敛判别法
◎高建平 刘 声 （ 州大学理学院 贵 ◎ 张 蕊 （ 南 信 阳 师 范 学 院 教 育 学 院 河
＋… 的 和 问 题
单调有界， Ｉ ＿ ） （ ｄ 则 厂 ｇ ） ｘ收敛； ｉ ｈ ｔ （ Ｄｒ ｌ 判别法： ｉ ｅ ｃ 若 ， Ａ ＝ｆ （）ｘ ｎ ＋。 上有界，（ ） 。 ＋。） （） 厂 ｄ 存［ ， 。） ｇ 在［ ， 。 上
因此要反常积分 ｆ 厂 ） ｘ存 在 ， 须也 只需 对于任 （ ｄ 必
知 ， 些 反 常 积 分 能 化 为 级数 ． 有
设 ， ｘｘ … 有 ｄ
ｇ
一 （） ｇ 等＝ ÷
２ ．级 数 判 别 法
函数的极限可以用两种方法来 表达 ， “ 即 ｓ一６说 法 ”与
（）． ÷等
“ 整 序 变 量 说 法 ” 若 把 极 限 的 第 二 种 定 义 法 用 到 函 数 用 ．
设 函数 ＿ 在 区 间 ［ ，］ 连 续 ， 厂 （ ） 。 ｂ上 ｂ为瑕 点 ． 有 则
￡：
ｌ ＿ ＿
ch-8-2反常积分的收敛判别法
+∞
f ( x )dx ， ∫a
2
+∞
1 dx 收敛， 收敛， 2 x
由比较判别知
故
∫a
+∞
f ( x) | | dx 收敛， 收敛， x
∫a
+∞
f ( x) dx 收敛。 收敛。 x
数学分析 3、一般函数反常积分的收敛判别法
8.2.4（积分第二中值定理） b 定理 8.2.4（积分第二中值定理） 设 f ( x)在[a, ]上可 b 上单调， 积， g( x)在[a, ]上单调，则存在ξ ∈ [a ,b]，使得
+∞
+∞ +∞
f ( x )dx 收敛； 收敛； f ( x )dx 发散。 发散。
例 8.2.3
解
的敛散性（ 讨论 ∫0 x a e − x dx 的敛散性（ a ∈ R ）。
因为对任意常数 a ∈ R ，有 lim x 2 ( x a e − x ) = 0 ，
x → +∞
+∞
判别法的极限形式（ ），可知 收敛。 由 Cauchy 判别法的极限形式（1），可知 ∫0 x a e − x dx 收敛。
即 ∫a
+∞
f ( x ) dx = 2 ∫a ϕ ( x ) dx −
+∞
∫a
+∞
f ( x ) dx , 收敛 收敛.
数学分析 例1 设 ∫a f ( x )dx 收敛，证明 收敛，
2 +∞
∫a
+∞
f ( x) dx 收敛（a>0）。 收敛（ ） x
f ( x) 1 1 |≤ [ 2 + f 2 ( x )] 证 Q | x 2 x
反常积分判敛的三种方法
反常积分判敛的三种方法反常积分在数学中有着重要的地位，但有的反常积分发散，有的反常积分收敛。
那么，如何判断反常积分是否收敛呢？本文介绍三种判断反常积分是否收敛的方法。
一、比较判别法比较判别法是判断反常积分是否收敛的基本方法之一。
对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若存在一个正函数 $g(x)$，使得当 $x \geq a$ 时有 $f(x) \leq g(x)$，且$\int_{a}^{+\infty}g(x)\text{d}x$ 收敛，则原积分收敛；若$\int_{a}^{+\infty}g(x)\text{d}x$ 发散，则原积分也发散。
同理，对于形如 $\int_{-\infty}^{a}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，只需将“$x \geq a$” 替换为“$x \leq a$”，“$\leq$” 替换为“$\geq$” 即可。
二、极限判别法极限判别法是另一种判断反常积分是否收敛的方法。
对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若极限 $\lim_{x \rightarrow +\infty} xf(x) = A$ 存在且有限，则积分收敛；若极限不存在或为无穷大，则积分发散。
对于形如 $\int_{-\infty}^{a}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，则需将“$x \rightarrow +\infty$” 替换为“$x \rightarrow -\infty$”。
三、绝对收敛判别法绝对收敛判别法是在比较判别法的基础上引出的判定方法。
对于形如 $\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若$\int_{a}^{+\infty}|f(x)|\text{d}x$ 收敛，则原积分绝对收敛；反之，若 $\int_{a}^{+\infty}|f(x)|\text{d}x$ 发散，则原积分发散。
含参量反常积分的一致收敛发判别法及推广汇总
含参量反常积分的一致收敛发判别法及推广汇总含参数的反常积分是指在积分中包含一个或多个参数的情况下的积分运算。
一致收敛是指在定义域上的每个点上，函数项级数都收敛于同一个函数。
一致收敛的发散判别法是用来判断含参数的反常积分是否一致收敛的方法。
它的基本思想是先对含参数的反常积分的被积函数进行求和，然后通过逐项求和的结果进行判断。
一般来说，当积分区间是有界区间时，可以直接采用一般的单调收敛判别法，若积分区间是无界区间，则需要使用其他方法来判断其一致收敛性。
以下是一些常见的含参数反常积分的一致收敛发判别法及推广：1.魏尔斯特拉斯判别法：该判别法适用于被积函数在区间上无上界的情况。
若函数项级数的每一项在区间上都存在可求得的上界，并且级数的系数与参数无关，即参数只出现在积分区间上，则该函数项级数在该区间上一致收敛。
2.绝对收敛发散判别法：若被积函数在积分区间上绝对收敛，则函数项级数在该区间上一致收敛。
3.阿贝尔判别法：若函数项级数在积分区间上逐项收敛，且在积分区间上一致有界，则函数项级数在该区间上一致收敛。
4.一致收敛的推广汇总：对于参数函数项级数的一致收敛判别，可以将其推广为参数函数项广义积分的一致收敛判别。
具体而言，可以参考以下几种情况的判别方法：a.线性组合的情况：若参数函数项级数与常数函数项级数的线性组合在积分区间上一致收敛，则参数函数项级数在该区间上一致收敛。
b.积分换元法的情况：若参数函数项级数的积分变量进行换元，得到的新的参数函数项级数在积分区间上一致收敛，则原参数函数项级数在该区间上一致收敛。
c.参数函数项级数的逐项积分的情况：若参数函数项级数的逐项积分在积分区间上一致收敛，则参数函数项级数在该区间上一致收敛。
d.参数函数项的相对收敛性：若参数函数项级数的每一项与参数的函数项级数的每一项的绝对值相比，在积分区间上一致有界，并且参数的函数项级数在该区间上一致收敛，则原参数函数项级数在该区间上一致收敛。
高等数学第五章第5节反常积分收敛性判别
第 五 章 定 积 分
M M 0 及 q 1，使得 f ( x ) ( a x b ), 则 q ( x a) 瑕积分
b
a
f ( x )dx 收敛；若存在常数N 0 及 q 1，
N 使得 f ( x ) ( a x b ), 则瑕积分 q ( x a) 发散 .
f ( x ) g( x )
(1) 若 g( x )dx 收敛, 则 f ( x )dx 一定收敛; a a (2) 若
b
b
a f ( x )dx 发散, 则 a g( x )dx 一定发散.
- 10 -
b
b
第五节
反常积分收敛性判别法
定理8 (比较审敛法2) 设函数 f ( x ) 在区间 ( a , b] 上连续，且 f ( x ) 0, lim f ( x ) .如果存在常数
第 五 章 定 积 分
且 0 f ( x ) g( x ) (a x ), 则 [a , ) 连续， 则无穷积分 （1） 如果无穷积分 g( x )dx 收敛，
a
a
f ( x )dx 也收敛； f ( x )dx 也发散。
a
则无穷积分 （2） 如果无穷积分 a g( x )dx 发散，
a
f ( x )dx 2 ( x )dx f ( x ) dx,
a a a
b
b
b
即
a
f ( x )dx 2 ( x )dx
a
-8-
a
f ( x ) dx.
收敛.
第五节
反常积分收敛性判别法
反常积分收敛判断
反常积分收敛判断1. 引言在数学中，积分是一种重要的概念，它可以用于计算曲线下的面积、求解微分方程等。
在一些特殊情况下，我们会遇到反常积分，即积分的上限或下限为无穷大或无界的情况。
而反常积分收敛判断就是研究这种情况下积分是否存在有限的结果。
2. 反常积分的定义对于函数f(x)，若在区间[a, +∞)或(-∞, b]上连续（除了有限个点外），则称函数f(x)在该区间上具有反常积分。
反常积分可以表示为：或者其中a和b可以是任意实数。
3. 收敛与发散对于反常积分而言，存在两种可能的结果：收敛和发散。
•若反常积分存在有限的结果，则称其为收敛的。
•若反常积分不存在有限的结果，则称其为发散的。
4. 收敛判断方法在数学中，有多种方法可以用来判断反常积分是否收敛。
下面介绍几种常见且实用的方法。
4.1 极限判别法极限判别法是一种常用的判断反常积分收敛性的方法。
具体步骤如下：1.计算极限：或。
2.若极限存在且有限，则反常积分收敛。
3.若极限不存在或为无穷大，则反常积分发散。
4.2 比较判别法比较判别法是通过与一个已知收敛或发散的函数进行比较，来判断反常积分是否收敛。
具体步骤如下：1.选择一个已知函数g(x)，使得g(x)在区间[a, +∞)（或(-∞, b]）上连续，并且满足0 ≤ f(x) ≤ g(x)。
2.对于区间[a, +∞)，若收敛，则也收敛。
3.对于区间(-∞, b]，若收敛，则dx)也收敛。
4.3 绝对收敛判别法绝对收敛判别法是比较严格的一种判断方法，它要求被积函数的绝对值函数在区间上的积分存在有限的结果。
具体步骤如下：1.计算。
2.若收敛，则反常积分收敛。
5. 实例分析下面通过几个实例来说明如何使用以上方法进行反常积分收敛判断。
5.1 极限判别法考虑反常积分。
首先计算极限：=0)。
由于极限存在且为有限值，因此根据极限判别法，该反常积分收敛。
5.2 比较判别法考虑反常积分…)…-%29%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7Ddx)。
《数学分析》第十一章 反常积分 2
上有界, 在 [a ,+∞ ) 上有界,则广义积分
∫
+∞
a
f ( x )dx 收敛. 收敛.
由定理1, 由定理 ,对于非负函数的无穷限的广义积 分有以下比较收敛原理. 分有以下比较收敛原理.
(比较审敛原理 ) 设函数 f ( x ),g ( x ) 在 定理2 区间[a ,+∞ ) 上连续,如果 0 ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) (a ≤ 上连续, x < +∞ ), 并且 ∫ g ( x )dx 收敛,则 ∫ f ( x )dx 收敛,
x →a + 0
存在, 则广义积分
∫
b
a
f ( x )dx 收敛; 收敛;
x →a + 0
如果存在常数 q ≥ 1,使得 lim ( x a )q f ( x ) = d > 0 (或 lim ( x a )q f ( x ) = +∞ ), 则广义积
x →a + 0
发散. 分 ∫ f ( x )dx 发散.
根据极限审敛法1 所给广义积分发散. 根据极限审敛法1,所给广义积分发散.
+∞
上连续, 定理5 设函数 f ( x ) 在区间 [a ,+∞ ) 上连续, 如果 ∫
+∞ a
f ( x ) dx 收敛;则 ∫ f ( x )dx 也收敛. 收敛; 也收敛.
a
+∞
1 证 令 ( x ) = ( f ( x ) + f ( x ) ). 2 +∞ Q ( x ) ≥ 0,且 ( x ) ≤ f ( x ) , ∫ f ( x )dx 收敛 ,
x →a + 0
§6.2反常积分判敛法1
1 x 1 x2
1 1 ， p 2, l 1, 1 1 x2
3
（2） x 2 dx
1 1 x 2 3
解：∵ lim x x 2 lim x2 x ， p 1, l ,
x 1 x 2 x 1 x 2
3
∴ x 2 dx 发散。
1 1 x 2
（3） x arctan xdx
0 (1 x 2 )(1k 2 x 2 )
解：x1 是瑕点。
1
∵ lim (1 x) 2
1
x1
(1 x2 )(1k 2 x2 )
lim
1
1 , (q 1, l
x1 (1 x)(1k 2x2 ) 2(1k 2 )
2
1) 2(1k 2 )
∴ 1
dx
收敛。
0 (1 x2 )(1k 2 x2 )
（2）
定理 4（比较判别法）
设 f (x),g(x)C[a, b) ， x b 为无穷型间断点，
且 x[a,b) 时，0 f (x) g(x) ，
则（1）当
b
ag
(x)dx
收敛时，
b a
f
(x)dx
也收敛；
b
b
（2）当 a f (x)dx 发散时，a g(x)dx 也发散。
定理 5（极限判别法）
设 f (x)C[a, b) ， f (x) 0 ，x b 为无穷型间断点，
0
当 x 为正整数n 时，有
(n1)n(n)n(n1)(n1) n(n1)(n2)21(1)n!(1)
而(1) etdt 1 ，故 (n1) n !。 0
3． 函数的定义域的扩充
当 1 x 0 ，即x1 0 时，(x1) 有定义， 从而定义(x) (x1) ，1 x 0 ，
课件：反常积分判敛法
lim ( xa)q f ( x)l 。
xa
16
例 5．判别下列反常积分的敛散性：
（1） 1
dx
(k 2 1) (椭圆积分）
0 (1 x2 )(1k 2 x2 )
解： x1是瑕点。
1
∵ lim (1 x) 2
1
x1
(1 x2 )(1k 2 x2 )
lim
1
1
,(q
1 ,
l
1
)
x1 (1 x)(1k 2 x2 ) 2(1k 2 ) 2
I1
1 0
et
t
x1
dt
，
I2
et t x1 dt ，
1
先讨论 I1 的敛散性。
①当 x1 时，I1 是常义积分，收敛的；
∵ lim (t 0)1x et t x1 lim et 1 ，
t0
t0
20
②当0 x1 时，有 q1 x1, l 1,
∴ I1
1 et t x1 dt 收敛。
0
③ x0时,
1
0
收敛。
例 2．判别下列反常积分的敛散性：自习
（1）
1 1 sinx2dx
解：∵
0sin
1 x2
1 x2
， 而
1
1 x2
dx
收敛
，
∴
sin
1
1 x2
dx
收敛
。
（2）
0
1
dx x sinx
解：∵
1
1 x sinx
1 1 x
0
，而
dx 0 1 x
ln(1
x)
0
，
∴
【高校与高等教育】反常积分收敛结论
反常积分收敛结论1️⃣ 反常积分的基本概念与分类反常积分，又称广义积分，是微积分学中的一个重要概念，它突破了传统定积分对积分区间和被积函数连续性的限制。
根据积分区间或被积函数特性的不同，反常积分主要分为两类：无限区间上的反常积分和被积函数存在瑕点的反常积分。
前者涉及积分区间的一个或两个端点趋于无穷大的情况，后者则关注被积函数在积分区间内的某些点上无定义或趋于无穷大的情形。
2️⃣ 反常积分收敛性的判定方法2.1 比较判别法比较判别法是判断反常积分收敛性的常用方法之一。
它通过将待判定的反常积分与一个已知收敛或发散的积分进行比较，从而得出待判定积分的收敛性。
具体而言，若存在一个收敛的正常积分，其被积函数在积分区间内始终大于或等于待判定反常积分的被积函数，则待判定反常积分收敛；反之，若存在一个发散的正常积分，其被积函数在积分区间内始终小于或等于待判定反常积分的被积函数，则待判定反常积分发散。
2.2 极限判别法极限判别法是通过考察被积函数在积分区间端点或瑕点附近的极限行为来判断反常积分的收敛性。
对于无限区间上的反常积分，若被积函数在积分区间的一个端点趋于无穷大时，其极限趋于0且足够快（通常要求快于1x的衰减速度），则积分收敛。
对于被积函数存在瑕点的反常积分，需考察瑕点附近的函数行为，若被积函数在瑕点附近的极限存在且有限，或虽不存在但可通过适当变换转化为可积形式，则积分收敛。
2.3 柯西判别法（积分判别法）柯西判别法是一种更为一般的方法，它通过对被积函数进行适当变换，将反常积分转化为一个更容易判断收敛性的形式。
具体而言，若能找到一个正的单调递减函数g(x)，使得待判定反常积分的被积函数可以被g(x)所控制（即小于或等于g(x)乘以某个正常数），且g(x)从某一点开始的积分收敛，则待判定反常积分也收敛。
3️⃣ 反常积分收敛结论的应用与意义反常积分收敛性的研究不仅在数学理论上具有重要意义，还在物理学、工程学等多个领域有着广泛的应用。
习题82反常积分的收敛判别法20页word文档
习 题 8.2 反常积分的收敛判别法⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）；⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，⎰∞+a dx x )(ϕ和⎰∞+adx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况。
解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ϕ≤≤，其中K 是正常数。
则当⎰∞+a dx x )(ϕ收敛时⎰∞+adx x f )(也收敛；当⎰∞+adx x f )(发散时⎰∞+adx x )(ϕ也发散。
证 当⎰∞+a dx x )(ϕ收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，0>∀ε ，a A ≥∃0，0,A A A ≥'∀：Kdx x A A εϕ<⎰')(。
于是≤⎰'A Adx x f )(εϕ<⎰'A A dx x K )(，所以⎰∞+adx x f )(也收敛；当⎰∞+adx x f )(发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，00>∃ε，a A ≥∀0，0,A A A ≥'∃：εK dx x f A A ≥⎰')(。
于是≥⎰'A A dx x )(ϕ0)(1ε≥⎰'A A dx x f K ，所以⎰∞+a dx x )(ϕ也发散。
（2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ϕ，且0)()(lim=+∞→x x f x ϕ。
则当⎰∞+a dx x f )(发散时，⎰∞+a dx x )(ϕ也发散；但当⎰∞+a dx x f )(收敛时，⎰∞+a dx x )(ϕ可能收敛，也可能发散。
例如21)(x x f =，)20(1)(<<=p xx p ϕ，则0)()(lim =+∞→x x f x ϕ。
显然有 ⎰∞+1)(dx x f 收敛，而对于⎰∞+1)(dx x ϕ，则当21<<p 时收敛，当10≤<p 时发散。
反常积分判敛的方法
反常积分判敛的方法在数学中，积分是一种非常重要的概念，而对于一些特殊的积分，我们需要进行判敛来确定其是否收敛。
在处理反常积分时，有一些特殊的方法可以帮助我们进行判敛，本文将介绍一些常用的反常积分判敛方法。
一、无穷积分的判敛方法对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$的无穷积分，我们可以通过比较判别法来确定其是否收敛。
比较判别法主要包括以下几种情况： 1. 若存在常数$M>0$和$a$，使得对充分大的$x$有$|f(x)|\leqM\cdot g(x)$，其中$\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$收敛，则$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$也收敛。
2. 若存在常数$a$，使得对充分大的$x$有$0\leq f(x)\leqg(x)$，其中$\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$发散，则$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$也发散。
通过比较判别法，我们可以对无穷积分的收敛性进行初步的判断。
二、无界函数积分的判敛方法对于形如$\int_{a}^{b}f(x)dx$的积分，如果被积函数在区间$(a,b)$上无界，我们可以通过以下方法进行判敛：1. 若在$(a,b)$上，$f(x)$有无穷间断点，我们可以将积分区间分割成多个小区间，分别处理每个小区间上的积分。
2. 若在$(a,b)$上，$f(x)$有无穷间断点，我们可以通过换元积分的方法将无界函数转化为有界函数，然后再进行积分计算。
通过以上方法，我们可以处理一些在有界区间上无界的函数积分，从而判断其收敛性。
三、奇异点附近积分的判敛方法对于形如$\int_{a}^{b}f(x)dx$的积分，在奇异点附近积分时，我们可以通过留数定理来判断其收敛性。
留数定理是一种处理奇异点的有效方法，可以帮助我们求解一些复杂的积分。
在处理奇异点附近积分时，我们需要注意以下几点：1. 确定奇异点的类型，包括可去奇点、极点和本性奇点。
含参量反常积分的一致收敛性的判别方法
含参量反常积分的一致收敛性的判别方法一、定义首先，我们来回顾一下含参量反常积分的定义。
设函数$f(x,t)$定义在区间$[a,b]$上的一个闭区间$[c,d]$，则含参量反常积分可以表示为：$$\int_a^b f(x,t)dx$$其中，函数$f(x,t)$称为被积函数，参数$t$称为参数。
参数$t$取值在闭区间$[c,d]$上。
1.依据一致收敛的定义如果对任意给定的$\epsilon>0$，存在正数$\delta$，当$，x-a，<\delta$且$t\in[c,d]$时，$，f(x,t)-f(a,t)，<\epsilon$，则函数$f(x,t)$在区间$[a,b]$上关于$x$一致收敛。
这是最常用的判别方法之一2.莱布尼茨定理对于含参量反常积分，如果被积函数$f(x,t)$在闭区间$[c,d]$上关于$t$是逐点收敛的，并且对所有$x\in[a,b]$，极限$\lim_{t\to\infty}f(x,t)$存在，则函数$f(x,t)$在区间$[a,b]$上一致收敛。
3.狄利克雷判别法狄利克雷判别法主要用于判别含参变量正交级数的一致收敛性，但同样适用于含参量反常积分。
如果被积函数$f(x,t)$和其导数$f'(x,t)$在$[a,b]$上对于$t$关于$x$一致有界，并且在区间$[c,d]$上关于$x$一致收敛，则函数$f(x,t)$在区间$[a,b]$上一致收敛。
4.魏尔斯特拉斯判别法魏尔斯特拉斯判别法是判别含参量反常积分收敛性的重要方法之一、如果被积函数$f(x,t)$在闭区间$[c,d]$上对于$t$关于$x$一致有界，并且对于任意给定的$x\in[a,b]$，被积函数$f(x,t)$对于参数$t$在闭区间$[c,d]$上关于$x$一致收敛，则函数$f(x,t)$在区间$[a,b]$上一致收敛。
5.独立变量法独立变量法是一种常用的判别方法。
对于含参量反常积分$\int_a^bf(x,t)dx$，将被积函数$f(x,t)$视为关于$x$的函数，并对其进行研究。
反常积分的收敛判别法
条件收敛（或称 f( x)在[a,)上条件可积）。
推论
若反常积分
a
f( x)dx绝对收敛，则它一定收敛。
证1
对任意给定的
0，由于 a
f ( x) dx 收敛，所以存在
A0
Байду номын сангаас
a，使得对任意 A, A
A0，成立
A
A
f ( x) dx
。
利用定积分的性质，得到
A
数学分析
第二节 反常积分的收敛判别法
一、Cauchy收敛原理 二、无穷区间形式
三、无界函数形式
四、小 结
重点：反常积分收敛的判别 难点: 反常积分的收敛的应用
一、反常积分的Cauchy收敛原理
数学分析
下面以 a
f( x)dx为例来探讨反常积分敛散性的判别法。
由于反常积分
a
f
(
x)dx
数学分析
推论（比较判别法的极限形式）设在[a,)上恒有 f( x) 0和
( x) 0，且
lim f(x)
x ( x)
l，
则
（1）若0
l
，则
a
(
x)dx
收敛时
a
f( x)dx也收敛；
（2）若0
l
，则
a
(
x)dx
发散时
a
f( x)dx也发散。
（1）
当
a
(
x)dx
收敛时
a
反常积分收敛判断
反常积分的收敛判断可以通过以下几种方法进行：
1.比较判别法：将原积分函数与已知函数进行比较，通过比较函数的大小关系来判断反常积分是否收敛。
如果原积分函数在某个区间内小于已知函数，则该积分收敛；如果原积分函数在某个区间内大于已知函数，则该积分发散。
2.极限判别法：将原积分函数拆分为两个积分，然后分别对它们的积分上限取极限，如果这两个极限都存在，且它们的和存在，则该积分收敛；否则，该积分发散。
3.绝对收敛法：如果原积分函数的绝对值在积分区间上可积，则该积分收敛。
这种方法适用于一些比较复杂的积分函数，但需要进行复杂的计算。
4.直接计算法（或称定义法）：通过直接计算反常积分来判断敛散性。
若反常积分能计算出一个具体数值，则收敛，否则发散。
此种方法适合被积函数的原函数容易求得时的反常积分敛散性的判别。
这些方法有各自的优点和适用范围，需要根据具体问题选择合适的方法进行判断。
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习 题 8.2 反常积分的收敛判别法⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）；⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或时，和的敛散性可以产生各种不同的的情况。
+∞∫∞+adx x )(ϕ∫∞+adx x f )(解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ϕ≤≤，其中K 是正常数。
则当收敛时也收敛； ∫∞+a dx x )(ϕ∫∞+a dx x f )(当发散时也发散。
∫∞+a dx x f )(∫∞+a dx x )(ϕ证 当收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，∫∞+a dx x )(ϕ0>∀ε ，，a A ≥∃00,A A A ≥′∀：Kdx x A Aεϕ<∫′)(。
于是≤∫′A Adx x f )(εϕ<∫′A A dx x K )(，所以也收敛；∫∞+a dx x f )(当发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，∫∞+a dx x f )(00>∃ε，，a A ≥∀00,A A A ≥′∃：εK dxx f A A ≥∫′)(。
于是≥∫′A A dx x )(ϕ0)(1ε≥∫′A A dx x f K ，所以也发散。
∫∞+a dx x )(ϕ（2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ϕ，且0)()(lim=+∞→x x f x ϕ。
则当发散时，∫也发散；但当收敛时，∫可能收敛，∫∞+a dxx f )(∞+a dx x )(ϕ∫∞+a dx x f )(∞+a dx x )(ϕ也可能发散。
例如21)(xx f =，)20(1)(<<=p x x p ϕ，则0)()(lim =+∞→x x f x ϕ。
显然有 ∫∞+1)(dx x f 收敛，而对于，则当∫∞+1)(dx x ϕ21<<p 时收敛，当时10≤<p 发散。
设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ϕ，且+∞=+∞→)()(limx x f x ϕ。
则当收敛时，∫也收敛；但当发散时，∫可能发散，也可能收敛。
∫∞+adx x f )(∞+a dx x )(ϕ∫∞+adx x f )(∞+a dxx )(ϕ例如xx f 1)(=，21(1)(>=p xx p ϕ，则+∞=+∞→)()(lim x x f x ϕ。
显然有 ∫∞+1)(dx x f 发散，而对于，则当∫∞+1)(dx x ϕ121≤<p 时发散，当时收敛。
1>p ⒉ 证明Cauchy 判别法及其极限形式（定理8.2.3）。
证 定理8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[,)a +∞⊂+∞(,)0上恒有，f x ()≥0K 是正常数。
⑴ 若f x Kxp ()≤，且，则收敛；p >1∫∞+a dx x f )(⑵ 若f x Kxp ()≥，且，则发散。
p ≤1∫∞+a dx x f )(推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[,)a +∞⊂+∞(,)0上恒有，且f x ()≥0lim ()x p x f x l →+∞=，则⑴ 若0≤<+∞l ，且，则收敛；p >1∫∞+a dx x f )(⑵ 若0<≤+∞l ，且p ≤1，则发散。
∫∞+a dx x f )(证 直接应用定理8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极限形式），将函数)(x ϕ取为p x1。
⒊ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性：⑴11321x ex dx x−++−+∞∫ln ;⑵∫∞++131tan arc dx xx; ⑶110++∞∫x x dx |sin |;⑷x x dxq p11++∞∫（）. +∈R q p ,解 （1）当+∞→x 时，1ln 123++−−x ex x～231x ，所以积分11321x e x dx x −++−+∞∫ln 收敛。
时，（2）当+∞→x 31arctan x x +～32xπ， 所以积分∫∞++131tan arc dx xx收敛。
（3）因为当时有0≥x xx x +≥+11sin 11，而积分dx x∫∞++011发散，所以积分110++∞∫x x dx |sin |发散。
（4）当时，+∞→x p qxx +1～qp x −1，所以在时，积分1>−q p x x dx qp11++∞∫收敛，在其余情况下积分 x x dx qp11++∞∫发散。
⒋ 证明：对非负函数，收敛与收敛是等价的。
f x ())cpv (f x dx ()−∞+∞∫f x dx ()−∞+∞∫证 显然，由收敛可推出收敛，现证明当时可由收敛推出收敛。
f x dx ()−∞+∞∫)cpv (f x dx ()−∞+∞∫0)(≥x f )cpv (f x dx ()−∞+∞∫f x dx ()−∞+∞∫由于收敛，可知极限)cpv (f x dx ()−∞+∞∫+∞→A lim =)(A F +∞→A lim∫−AAdx x f )(存在而且有限，由Cauchy 收敛原理，0>∀ε，，00A ∃>0,A A A ≥′∀：ε<−)'()(A F A F ，于是与，成立0,A A A ≥′∀0',A B B ≥∀≤∫′A Adx x f )(ε<−)'()(A F A F与≤∫−−BB dx x f ')(ε<−)'()(B F B F ，这说明积分与都收敛，所以积分收敛。
∫∞+0)(dx x f ∫∞−)(dx x f f x dx ()−∞+∞∫⒌ 讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同）：⑴ln ln ln sin xxxdx 2+∞∫; ⑵sin x xdx p1+∞∫（）; +∈R p ⑶∫∞+1tan arc sin dx xxx p（）;+∈R p ⑷sin()x dx 20+∞∫;⑸∫∞+an m xdx x q x p sin )()( （和q 分别是和n 次多项式， p x m ()x n ()m q x ()n 在范围无零点。
） ),[+∞∈a x 解 （1）因为有界，∫=Axdx A F 2sin )(xx ln ln ln 在),2[+∞单调，且0ln ln ln lim =+∞→x x x ，由Dirichlet 判别法，积分ln ln ln sin xxxdx 2+∞∫收敛；由于≥x xxsin ln ln lnx x x 2sin ln ln ln )2cos 1(ln ln ln 21x x x −=，而积分 ∫∞+2ln ln ln dx x x 发散，∫∞+22cos ln ln ln xdx x x 收敛，所以积分∫∞+2sin ln ln ln dx x xx发散，即积分ln ln ln sin xxxdx 2+∞∫条件收敛。
（2）当时，1>p p pxx x 1sin ≤，而∫∞+11dx x p 收敛，所以当时积分 1>p sin xx dx p1+∞∫绝对收敛； 当时，因为有界，10≤<p ∫=Axdx A F 1sin )(p x1在单调，且),1[+∞01lim=+∞→px x ，由Dirichlet 判别法，积分sin x x dx p 1+∞∫收敛；但因为当时积分10≤<p ∫∞+1|sin |dx xx p发散，所以当10≤<p 时积分sin x x dx p 1+∞∫条件收敛。
（3）当时，1>p ≤px xx arctan sin px 2π，而∫∞+11dx xp 收敛，所以当时积分1>p ∫∞+1tan arc sin dx x xx p绝对收敛； 当时，因为有界，10≤<p ∫=Axdx A F 1sin )(pxxarctan 在单调，且),1[+∞0arctan lim=+∞→p x xx ，由Dirichlet 判别法，积分∫∞+1arctan sin dx x xx p 收敛；但因为当时积分10≤<p ∫∞+1sin arctan dx x xxp发散，所以当10≤<p 时积分 ∫∞+1arctan sin dx xxx p条件收敛。
（4）令，2x t ==∫∞+02)sin(dx x ∫∞+02sin dt tt ，由于∫∞+02sin dt tt 条件收敛，可知积分条件收敛。
sin()x dx 20+∞∫（5）当且充分大时，有1+>m n x x x q x p n m sin )()(2xK≤，可知当时积分1+>m n ∫∞+an m xdx x q x p sin )()(绝对收敛。
当时，因为有界，且当充分大时，1+=m n ∫=Axdx A F 1sin )(x )()(x q x p n m 单调且0)()(lim=+∞→x q x p n m x ，由Dirichlet 判别法可知∫∞+a nmxdx x q x p sin )()(收敛；但由于当+∞→x 时，)()(x q x p n m ～x a，易知∫∞+1sin )()(dx x x q x p n m 发散，所以当时，积分1+=m n ∫∞+an m xdx x q x p sin )()(条件收敛。
当时，由1+<m n A x q x p n m x =+∞→)()(lim ，A 为非零常数、∞+或，易知积分∞−∫∞+an m xdx x q x p sin )()(发散。
⒍ 设在只有一个奇点f x ()[,]a b x b =，证明定理8.2.和定理8.2.。
'3′5定理8.2.（Cauchy 判别法） 设在[,上恒有，若当′3)a b f x ()≥0x 属于的某个左邻域[时，存在正常数b ,b −η)b 0K ，使得⑴ f x K b x p()()≤−，且p <1，则收敛； f x dx a b()∫⑵ f x K b x p()()≥−，且，则发散。
p ≥1f x dx a b ()∫证 （1）当时，积分p <1∫−ba pdx x b )(1收敛，由反常积分的Cauchy 收敛原理，0>∀ε，0>∃δ，),0(',δηη∈∀：Kdx x b b b pεηη<−∫−−')(1。
由于≤∫−−')(ηηb b dx x f εηη<−∫−−')(b b pdx x b K ，所以收敛。
f x dx a b()∫（2）当时，积分1≥p ∫−ba pdx x b )(1发散，由反常积分的Cauchy 收敛原理，00>∃ε，0>∀δ，),0(',δηη∈∃：Kdx x b b b p')(1εηη≥−∫−−。