第二章 地理空间数学基础(1)分解
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Chapter2-地理空间和空间数据基础
地理空间的距离测量（距离类型）
欧几里得距离
最一般的数学距离表达方法 D（i，j）特点
D（i，j）>=0 D（i，j）=D（j，i）——对称性 满足三角不等式——a+b>c
13
2021/4/9
Section 1 地理空间
地理空间的距离测量（距离类型）
曼哈顿距离（出租车距离）
定义：两点在南北方向上的距离加上东西方向 的距离。
Section 1 地理空间
地理空间的表达（类型）
矢量表达法
0维矢量
点（xi，yi）或（xi，yi，zi） 无大小、方向
16
2021/4/9
美国佛罗里达洲地震监测站2002年9月该洲 可能的500个地震位置
17
2021/4/9
Section 1 地理空间
地理空间的表达（类型）
矢量表达法
18
2021/4/9
香港城市道路网分布
19
2021/4/9
Section 1 地理空间
地理空间的表达（类型）
矢量表达法
2维矢量
面或多边形： 由闭合线围成的区域 面积参数 凹凸性参数：任意边夹角小于180度，称之为凸
多边形，反之为凹多边形 单调性参数：任意点向若干直线段上投影的投影
点仍保留原来次序，则说面的点链是单调的 走向、倾角、倾向参数
TIN——不规则三角网
可以有效的表达河流、峡谷、地势等地形区域 特征
Triangle、Edge、Node——很容易用计算机 表达
对采样点的位置决定表达质量；地势平缓的地 方少采，复杂的地方多采
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2021/4/9
Section 1 地理空间
地理空间的数学建构
欧几里得距离
最一般的数学距离表达方法 D（i，j）特点
D（i，j）>=0 D（i，j）=D（j，i）——对称性 满足三角不等式——a+b>c
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Section 1 地理空间
地理空间的距离测量（距离类型）
曼哈顿距离（出租车距离）
定义：两点在南北方向上的距离加上东西方向 的距离。
Section 1 地理空间
地理空间的表达（类型）
矢量表达法
0维矢量
点（xi，yi）或（xi，yi，zi） 无大小、方向
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美国佛罗里达洲地震监测站2002年9月该洲 可能的500个地震位置
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2021/4/9
Section 1 地理空间
地理空间的表达（类型）
矢量表达法
18
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香港城市道路网分布
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2021/4/9
Section 1 地理空间
地理空间的表达（类型）
矢量表达法
2维矢量
面或多边形： 由闭合线围成的区域 面积参数 凹凸性参数：任意边夹角小于180度，称之为凸
多边形，反之为凹多边形 单调性参数：任意点向若干直线段上投影的投影
点仍保留原来次序，则说面的点链是单调的 走向、倾角、倾向参数
TIN——不规则三角网
可以有效的表达河流、峡谷、地势等地形区域 特征
Triangle、Edge、Node——很容易用计算机 表达
对采样点的位置决定表达质量；地势平缓的地 方少采，复杂的地方多采
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2021/4/9
Section 1 地理空间
地理空间的数学建构
第二章 地理空间数学基础
2、投影的实质
建立地球椭球面上的点的地理坐标（L，B）与平面上对
应点的平面坐标（x，y）之间的函数关系：
x f1 ( L, B) y f 2 ( L, B)
地球椭球面 B,L x， y 地图平面
地图投影
二、地图投影的变形
1、投影变形的性质 观察地球体经纬线的
长度、面积和角度特征。
地图投影的变形具体表现： 长度(距离)变形 角度(形状)变形 面积变形
其优点：
①椭球体参数精度高； ②定位采用的椭球体面与我国大地水准面符合得好； ③大地网精度高；
④坐标统一，精度优良，可以直接满足1:5000甚至更大
比例尺测图的需要。
三角测量
导 线 测 量
支导线
国家平面控制网
O
国家平面控制网含三角点、导线点 共154348个，构成1954北京坐标 系、1980西安坐标系两套系统。
3、我国常用的地图投影
①我国1：100万地形图采用兰勃特Lambert投影(正轴等
角割圆锥) ；
②我国大部分省区图以及大多数这一比例尺的地图也多采用 Lambert投影和属于同一投影系统的Albers投影(正轴等积 割圆锥投影)； ③我国基本比例尺地形图除1：100万外均采用高斯—克吕 格投影为地理基础；
用来代替大地体的椭球体称地球椭球体。
b a a
x2 y2 z2 2 2 1 2 a a b
椭球体三要素:长轴a(赤道半径)、短轴b(极半径)和椭球扁率f。
3、地球体的数学表面——地球椭球体
地球椭球体参数：
• 长半径： a（赤道半径）
b a
• 短半径： b（极半径）
• 扁率： f=(a-b)/a • 第一偏心率： e2=(a2- b2)/ a2 • 第二偏心率： e’2=(a2- b2)/ b2
05-GIS_P2地理空间数学基础345小节
2.3.1 空间坐标转换基本概念
不同来源的空间数据一般会存在地图投影与地理坐 标的差异，
为了获得一致的数据，必须进行空间坐标的转换。
空间坐标转换是把空间数据从一种空间参考系映射 到另一种空间参考系中。
空间坐标转换有时也称投影变换。投影变换是地图 制图的基础理论之一，主要用来解决换带计算、地图 转绘、图层叠加、数据集成等问题。
如何从不同视角、从宏观或中观或微观的尺度 来观察、认识自然现象、自然过程或社会经济事件，
获取有关数据、信息， 进而分析评价它们，
为规划决策、解决问题服务， 已成为人们认识自然、认识社会、改造自然，促进社会经
济进步和发展的重要论题。
所谓尺度，在概念上是指研究者选择观察（测）世界的窗口。
选择尺度时必须考虑观察现象或研究问题的具体情况。
①（B，L）84转换为（X，Y，Z）84(大地坐标到直角坐标的转换)； ②（X，Y，Z）84转换为（ X，Y，Z ）80（坐标基准的转换，即参
考椭球转换。该过程可以通过前节所叙述的7参数或简化3参数法实现）；
③ (X,Y,Z ) 80转换为(B,L) 80 (直角坐标到大地坐标的转换）； ④ (B,L) 80转换为(x,y)80 （投影，高斯一克吕格投影公式计算）。
2.3.3 投影解析转换
1. 相同地理坐标基准下的坐标变换 2. 不同地理坐标基准下的坐标变换
1.相同地理坐标基准下的坐标变换
如果参与转换的空间参考系的投影公式存在严密或近似的解 析关系式，就可以
建立两坐标系的解析关系式。 应用建立的解析关系式，直接计算出当前空间参考系
下的空间坐标(x,y,z)在另一种空间参考系中的坐标值（
实现两种投影坐标间的变换（x，y）→（X，Y）。
《地理空间数学基础》PPT课件
黄海海面
1952-1979年平 均海水面为0米
水准原点 1985国家高
程基准，
72.2604米
青岛市观象山上国家水准原点
国家高程控制网是确定地貌地物海拔高程的坐标 系统，按控制等级和施测精度分为一、二、三、四等网。 目前提供使用的1985国家高程系统共有水准点成果114041 个，水准路线长度为416619．1公里。
地心空间直角坐标系的坐标原点位于地球质心。
WGS-84坐标系——“World Geodetic System”(世界大地坐标系）是美 国国防局为进行GPS导航定位于1984年建立的地心坐标系，1985年投入使 用，采用WGS-84椭球。
平面坐标系统=球面坐标系统+投影规则
一 地理空间参考
（三）高程基准
而对于制图区域广大的大国地图、大洲地图、 半球图、世界图等，则需要慎重地选择投影。
2. 制图比例尺
不同比例尺地图对精度要求的不同，导致 在投影选择上亦各不相同。以我国为例，大比例 尺地形图，由于要在图上进行各种量算及精确定 位，因此应选择各方面变形都很小的地图投影， 比如分带投影的横轴等角椭圆柱投影（如高斯— 克吕格投影）。而中小比例尺的省区图，由于概 括程度高于大比例尺地形图，因而定位精度相对 降低，选用正轴等角、等积、等距的圆锥投影即 可满足用图要求。
圆柱投影：投影面为圆柱 圆锥投影：投影面为圆锥 方位投影：投影面为平面
正轴投影投影面中心轴与地轴相互重
斜轴投影：投影面中心轴与地轴斜向相
横轴投影：投影面中心轴与地轴相互垂
二 空间数据投影
（四）常用地图投影概述
1 高斯-克吕格投影 2 通用墨卡托投影（UTM-Universal Transverse
第2章地理空间数学基础
第2章地理空间数学基础
地图是现实世界的模型，它按照一定的比例和投影原则， 有选择地将复杂的三维地理空间的某些内容投影到二维平 面介质上，并用符号将这些内容表现出来。
地图是根据一定的数学法则，使用地图语言，通过制图综 合，表示地面上地理事物的空间分布、联系及在时间中发 展变化状态的图形。
第2章地理空间数学基础
• 长半径
a（赤道半径）
• 短半径
b（极半径） 第2章地理空间数学基础
•扁率
α=(a-b)/a
• 第一偏心率 e2=(a2- b2)/ a2
• 第二偏心率 e’2=(a2- b2)/ b2
• 通过长轴和短轴来度量地球的形状。不 同的方法其长短轴参数不一样，所适用
的地区也就不同。
• 在北美通常使用CLARKE1866，在我国 （1978年起使用IUGG国际椭球）和前苏 联使用克拉索夫斯基椭球体 KRASOVSKY。
大陆和岛屿形成一个闭合的曲面，这就是大地水准面
（3）地球椭球体模型
第2章地理空间数学基础
大地水准面所包围的形体，叫大地球体。由于地球体 内部质量分布的不均匀，引起重力方向的变化，导致处处 和重力方向成正交的大地水准面成为一个不规则的，仍然 是不能用数学表达的曲面。大地水准面形状虽然十分复杂， 但从整体来看，起伏是微小的。它是一个很接近于绕自转 轴（短轴）旋转的椭球体。所以在测量和制图中就用旋转 椭球来代替大地球体，这个旋转球体通常称地球椭球体， 简称椭球体。
• 地面上点位的确定 地面上任一点的位置，通常用经度和纬度来决定。经线和 纬线是地球表面上两组正交（相交为90度）的曲线，这两 组正交的曲线构成的坐标，称为地理坐标系。地表面某两 点经度值之差称为经差，某两点纬度值之差称为纬差。例 如北京在地球上的位置可由北纬39°56'和东经116°24'来 确定。
第二章 地球空间与空间数据基础
第二章 地球空间与空间数据基础
1
第二章 地球空间与空间数据基础
2.1 地球空间、地理空间与地理空间描述
1.地球空间
地球空间是指靠近地球的、受太阳辐射变化直接影响的空间区域。
2.地理空间—GIS的主要研究对象
地理空间是地球上大气圈、水圈、生物圈、岩石圈和土壤圈交互作用的区域，主要涉及到 地球空间的表层部分。 地理空间是物质、能量、信息的数量及行为在地理范畴中的广延性存在形式。特指形态、 结构、过程、关系、功能的分布方式和分布格局同时在“暂时”时间的延续（抽象意义上 的静止态），讨论所表达出的“断片图景”。地理空间的研究是地理学的基本核心之一。
9
认知制图，它可以发生在地图的空间行为过程中，也可以发生在地图 使用过程中。
所谓空间行为，是指人们把原先已经知道的(长期记忆)和新近获取的 信息结合起来后的决策过程的结果。地图的空间行为如利用地图进行 定向(导向)、环境觉察和环境记忆等行为。地理信息系统的功能表明， 人的认知制图能力是能够用计算机模拟的，当然这只是一种功能模拟， 模拟结果的正确程度完全取决于模拟模型和输入数据是否客观地、正 确地反映现实系统。
2
第二章 地球空间与空间数据基础
2.1 地球空间、地理空间与地理空间描述 3.地理空间抽象过程 客观世界的现象划分为5类： • 可精密观测的对象（如建筑物边界） • 受采样限制的自然对象（如矿体） • 受定义限制的自然对象（如植被覆盖率大小和范围） • 不规则的人为对象（如行政区、TIN、Voronoi多边形） • 规则的人为对象（栅格、立方体元）
20
第二章 地球空间与空间数据基础
3
第二章 地球空间与空间数据基础
2.1 地球空间、地理空间与地理空间描述 3.地理空间抽象过程 抽象：从具体事物抽出、概括出它们共同的方面、本质属性与 关系等，而将个别的、非本质的方面、属性与关系舍弃，这种 思维过程，称为抽象。 • 为什么要对地理空间抽象？
1
第二章 地球空间与空间数据基础
2.1 地球空间、地理空间与地理空间描述
1.地球空间
地球空间是指靠近地球的、受太阳辐射变化直接影响的空间区域。
2.地理空间—GIS的主要研究对象
地理空间是地球上大气圈、水圈、生物圈、岩石圈和土壤圈交互作用的区域，主要涉及到 地球空间的表层部分。 地理空间是物质、能量、信息的数量及行为在地理范畴中的广延性存在形式。特指形态、 结构、过程、关系、功能的分布方式和分布格局同时在“暂时”时间的延续（抽象意义上 的静止态），讨论所表达出的“断片图景”。地理空间的研究是地理学的基本核心之一。
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认知制图，它可以发生在地图的空间行为过程中，也可以发生在地图 使用过程中。
所谓空间行为，是指人们把原先已经知道的(长期记忆)和新近获取的 信息结合起来后的决策过程的结果。地图的空间行为如利用地图进行 定向(导向)、环境觉察和环境记忆等行为。地理信息系统的功能表明， 人的认知制图能力是能够用计算机模拟的，当然这只是一种功能模拟， 模拟结果的正确程度完全取决于模拟模型和输入数据是否客观地、正 确地反映现实系统。
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第二章 地球空间与空间数据基础
2.1 地球空间、地理空间与地理空间描述 3.地理空间抽象过程 客观世界的现象划分为5类： • 可精密观测的对象（如建筑物边界） • 受采样限制的自然对象（如矿体） • 受定义限制的自然对象（如植被覆盖率大小和范围） • 不规则的人为对象（如行政区、TIN、Voronoi多边形） • 规则的人为对象（栅格、立方体元）
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第二章 地球空间与空间数据基础
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第二章 地球空间与空间数据基础
2.1 地球空间、地理空间与地理空间描述 3.地理空间抽象过程 抽象：从具体事物抽出、概括出它们共同的方面、本质属性与 关系等，而将个别的、非本质的方面、属性与关系舍弃，这种 思维过程，称为抽象。 • 为什么要对地理空间抽象？
第2讲 地理空间数学基础
2.4地图投影的分类
变形性质 地图投影 构成方法
等积投影 等角投影 任意投影
几何投影
方位投影 圆锥投影 圆柱投影 伪方位投影 伪圆锥投影 为圆柱投影 多圆锥投影
非几何投影
地图投影的分类（1）
按地图投影的构成方法分类 （1 ）几何投影 把椭球面上的经纬线网投影到几何面 上，然后将几何面展为平面而得到。
X N’
O
Y
S’
A高斯-克吕格投影——投影分带
高斯-克吕格投影的最大变形处为各投影带在赤道边缘处，为了 控制变形，我国地形图采用分带方法，即将地球按一定间隔的经差 （6°或3°）划分为若干相互不重叠的投影带，分别投影。
3º 9º 69º 75º 81º 87º 93º 99º 105º 111º 117º 123º 129º 135º
a) 按投影面的形状
– 圆锥投影 – 圆柱投影 – 方位投影
正 轴 方位 圆柱 圆锥
斜 轴
横 轴
b) 按投影面与地球自转轴间的方位关系
– 正轴投影 – 横轴投影 – 斜轴投影
c) 按投影面与地球的位置关系
– 相切投影 – 相割投影
（2）非几何投影
– – – – 可分为： 伪方位投影 伪圆柱投影 伪圆锥投影 多圆锥投影 ，根据某些条件用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。
极不规则，无法用数学表面进行描述 不规则性、动态性、不唯一性 不规则性、相对唯一性 标准数学曲面 1952：海福特椭球 1953：克拉索夫斯基椭球 1978：1975年国际椭球
1.1地球椭球
大地水准面和大地体
水准面和大地水准面图
旋转椭球/地球椭球 • 参数：
– 长半径：a – 短半径：b – 扁率：f=(a-b)/a
第二章地理空间数学基础
地面点沿法线至参考椭 球面的距离
S
我国常用的大地坐标系
大地坐标系 北京54坐标系 参考椭球 克拉索夫斯基椭球体 坐标原点 原苏联西部的普尔 科夫
西安80坐标系
WGS84坐标系
IUGG（16届）椭球体 陕西泾阳 1975 IUGG（17届）椭球体 地球质心 国家参考椭球（修改 半径）
本地坐标系
§2.1.3 高程系统
2.1.4 常用的地图投影
我国1:1万-1：50 万的地形图采用高 斯—克吕克投影 (Gauss-Krüger)
我国1：500——1： 5000的图，采用城 市平面局域投影 英美国家常用横轴 墨卡托投影（UTM）
一、高斯-克吕格平面直角坐标系
（1）. 高斯投影的概念 （2）. 高斯投影的分带和编号 （3）. 高斯平面直角坐标系 （4）. 高斯投影的关系式
2.1.4
GIS中的地理参照系
地球自然表面点位坐标系的确定包括两个方面的内容： 一是地面点在地球椭球体面上的投影位臵，采用地理坐 标系；二是地面点至大地 水准面上的垂直距离，采用高 程系。
一．地理参照系
1、基本概念：
高程（绝对高程、海拔） -----地面点到大地水 准面的铅垂距离。 假定（相对）高程----地面点到假定水准面 的铅垂距离。 高差-----两点间的高 程之差。
2.高程系统与高程基准
2、我国高程系统与高程基准
我国国家高程系统：黄海高程系 我国国家高程基准：1956年黄海高程系 1985年国家高程基准
移轴纵线
中央经线
赤道
500km
4、高斯投影的关系式
高斯-克吕格投影正解公式：
（B,L）→(X,Y)，原点纬度 0，中央经度L0
S
我国常用的大地坐标系
大地坐标系 北京54坐标系 参考椭球 克拉索夫斯基椭球体 坐标原点 原苏联西部的普尔 科夫
西安80坐标系
WGS84坐标系
IUGG（16届）椭球体 陕西泾阳 1975 IUGG（17届）椭球体 地球质心 国家参考椭球（修改 半径）
本地坐标系
§2.1.3 高程系统
2.1.4 常用的地图投影
我国1:1万-1：50 万的地形图采用高 斯—克吕克投影 (Gauss-Krüger)
我国1：500——1： 5000的图，采用城 市平面局域投影 英美国家常用横轴 墨卡托投影（UTM）
一、高斯-克吕格平面直角坐标系
（1）. 高斯投影的概念 （2）. 高斯投影的分带和编号 （3）. 高斯平面直角坐标系 （4）. 高斯投影的关系式
2.1.4
GIS中的地理参照系
地球自然表面点位坐标系的确定包括两个方面的内容： 一是地面点在地球椭球体面上的投影位臵，采用地理坐 标系；二是地面点至大地 水准面上的垂直距离，采用高 程系。
一．地理参照系
1、基本概念：
高程（绝对高程、海拔） -----地面点到大地水 准面的铅垂距离。 假定（相对）高程----地面点到假定水准面 的铅垂距离。 高差-----两点间的高 程之差。
2.高程系统与高程基准
2、我国高程系统与高程基准
我国国家高程系统：黄海高程系 我国国家高程基准：1956年黄海高程系 1985年国家高程基准
移轴纵线
中央经线
赤道
500km
4、高斯投影的关系式
高斯-克吕格投影正解公式：
（B,L）→(X,Y)，原点纬度 0，中央经度L0
GIS概论2_地理空间数学基础
地图投影的分类
根据美国著名地图投影学家J.P.Snyder统计， 全世界地图投影种类现有256种，依据不同的目的和 要求，可以采用不同的分类指标对如此繁多的地图 投影进行分类。
分类1：基于投影面与球面相关位置的分类； 分类2：基于投影方法的分类； 分类3：基于投影方程的分类； 分类4：基于投影变形的分类。
●上世纪70年代末建立新的80坐标系时，采 用IUGG（国际大地测量与地球物理联合会） 椭球体；
●1984年定义的世界大地坐标系（WGS84） 使用的椭球体长、短半径则分别为6378.137 和6356.7523，扁率为1：298.26。
定位坐标系：平面系统
直接建立在球体上的地理坐标，用 经度和纬度表达地理对象位置
高斯—克吕格投影（Gauss-Kruger Projection）
高斯－克吕格投影是由高斯于19世纪20年代拟定，后经克 吕格补充而形成的一种地图投影方式。在英美国家称为横轴墨 卡托投影
属于横轴等角切圆柱投影。这种投影是将椭圆柱 面套在地球椭球的外面，并与某一子午线相切（此子 午线叫中央子午线或中央经线），椭圆柱的中心轴通 过地球椭球的中心，然后用等角条件将中央子午线东 西两侧各一定经差范围内的地区投影到柱面上，并将 此柱面展成平面，即获得高斯投影
这种在球面和平面之间建立点与点之间函数关系的 数学方法，称为地图投影。
坐标系
选定了一个一定大小的椭球体，并确定了它与大 地水准面的相关位置，就确定了一个坐标系。
地图投影的目的
地图投影的目的：
是通过将不可展的球面投影到一个可 展曲面上，然后将该曲面展开成为一个平 面，来保证空间信息在地域上的连续性、 完整性和可测度性。
分割3°带原则上与6°带相同，只是从东经1°30´（即 1.5°E）起，每隔3°带为1个投影带。
第二章地理空间数学基础
(一) 地球空间参考
法线与赤道面的交角， 叫做A点的纬度ψ 。 过A点的子午面与通过 英国格林尼治天文台 的子午面所夹的二面 角，叫做A点的经度λ 。
(一) 地球空间参考
天文坐标系（地心坐标系）
O是质心 OP为地球自转轴 KK’为垂线 G点为格林威治天文起始子午面
φ天文纬度 λ天文经度
PS：地表面并不是大地水准面，所以在大地测量学中将高程列入天文坐标中！
3
(一) 地球空间参考
1. 地球形状与地球椭球
1).地球的自然表面：
是一个起伏不平， 十分不规则的表面，包 括海洋底部，高山高原 在内的固体地球表面。 不适合于数学建模。
4
(一) 地球空间参考
2).大地水准面： 大地水准面：地球表面的72%
被流体状态的海水所覆盖，可以 假设当海水处于完全静止的平衡 状态时，从海平面延伸到所有大 陆下部，而与地球重力方向处处 正交的一个连续、闭合的水准面 ，这就是大地水准面。
7ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(一) 地球空间参考
3).地球椭球面：地球椭球几何定义
X 2 Y2 Z2 椭球方程： 2 2 2 1 a a b
O是椭球中心，ＮＳ为旋转轴， a 为长半轴，b 为短半轴
子午圈：包含旋转轴的平面与椭球
面相截所得的椭圆。
赤道：通过椭球中心的平行圈。
8
(一) 地球空间参考
4). 数学模型：
水准面：一个重力等位面。
大地体：大地水准面包围的形状
是一个水准椭圆。
5
(一) 地球空间参考
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(一) 地球空间参考
3).地球椭球面： 地球椭球：在控制测量中，用来代表地球的椭球，它是地球的数学
07-GIS_P2地理空间数学基础2小节
为负变形， 5)同一纬线上等经差的线段长度相等，两条纬线间的
经线长度处处相等。
返回章首
TIP 球面坐标系统的建立介绍这么多。 主要介绍: 投影的分类 我国常用的两种投影
End.
定义：地图投影就是指建立地球表面（或其他星球表面或天球 面）上的点与投影平面（即地图平面）上点之间的一一对应关系的 方法。即建立之间的数学转换公式。
它将作为一个不可展平的曲面投影到一个平面的基本方法，保 证了空间信息在区域上的联系与完整。这个投影过程将产生投影变 形，而且不同的投影方法具有不同性质和大小的投影变形。
相等；不同地点的局部比例尺，是随着经、纬度的变动而改变的。
(2)等(面)积投影，投影面上任何图形面积经主比例尺放大以后
与实地上相应图形面积保持不变。与等积投影相反，保持等积就
不能同时保持等角。
(3)任意投影。任意投影为既不等角也不等积的投影，其中还有
一类“等距（离）投影”，在标准经纬线上无长度变形，多用于 中小学教学图。
投影条件：
1）中央经线和地球赤道投影成为直线且为投影的对 称轴。
2）等角投影。
3）中央经线上没有长度变形。
特点： 1) 中央经线上无变形； 2) 同一条纬线上，离中央线线越远，变形越大； 3) 同一条经线上，纬度越低，变形越大； 4) 等变形线为平行于中央经线的直线。
Guess-Krüger projection的最大变形在赤道边缘 处，为了控制变形，我国采用了6°和3°分带。
第2章 地理空间数学基础
GIS原理
第2章 地理空间数学基础
1. 地球空间参考 2. 空间数据投影 3. 空间坐标转换 4. 空间尺度 5. 地理格网
The End
球面点的位置用地理坐标（λ，φ）表示，而平面上点的位置 是直角坐标（χ，у）或极坐标（r，）表示，如要将地球表面上 的点转移到平面上，必须采用一定的方法来确定地理坐标与平面 直角坐标或极坐标之间的关系。这种在球面和平面之间建立点与 点之间函数关系的数学方法，就是地图投影（Map Projection ）方法。
经线长度处处相等。
返回章首
TIP 球面坐标系统的建立介绍这么多。 主要介绍: 投影的分类 我国常用的两种投影
End.
定义：地图投影就是指建立地球表面（或其他星球表面或天球 面）上的点与投影平面（即地图平面）上点之间的一一对应关系的 方法。即建立之间的数学转换公式。
它将作为一个不可展平的曲面投影到一个平面的基本方法，保 证了空间信息在区域上的联系与完整。这个投影过程将产生投影变 形，而且不同的投影方法具有不同性质和大小的投影变形。
相等；不同地点的局部比例尺，是随着经、纬度的变动而改变的。
(2)等(面)积投影，投影面上任何图形面积经主比例尺放大以后
与实地上相应图形面积保持不变。与等积投影相反，保持等积就
不能同时保持等角。
(3)任意投影。任意投影为既不等角也不等积的投影，其中还有
一类“等距（离）投影”，在标准经纬线上无长度变形，多用于 中小学教学图。
投影条件：
1）中央经线和地球赤道投影成为直线且为投影的对 称轴。
2）等角投影。
3）中央经线上没有长度变形。
特点： 1) 中央经线上无变形； 2) 同一条纬线上，离中央线线越远，变形越大； 3) 同一条经线上，纬度越低，变形越大； 4) 等变形线为平行于中央经线的直线。
Guess-Krüger projection的最大变形在赤道边缘 处，为了控制变形，我国采用了6°和3°分带。
第2章 地理空间数学基础
GIS原理
第2章 地理空间数学基础
1. 地球空间参考 2. 空间数据投影 3. 空间坐标转换 4. 空间尺度 5. 地理格网
The End
球面点的位置用地理坐标（λ，φ）表示，而平面上点的位置 是直角坐标（χ，у）或极坐标（r，）表示，如要将地球表面上 的点转移到平面上，必须采用一定的方法来确定地理坐标与平面 直角坐标或极坐标之间的关系。这种在球面和平面之间建立点与 点之间函数关系的数学方法，就是地图投影（Map Projection ）方法。
2 第二章 地理空间数学基础
地球模型
2. 坐标系统
参心 空间直角坐标系
地心地固 空间直角坐标系
坐标参考系统—平面系统
直接建立在球体上的地理坐标
用经度和纬度表达地理对象位置
投 影
建立在平面上的直角坐标系统
用（x，y）表达地理对象位置
3. 高程基准
A
H´A
任意水准面 HA
大地水准面 铅垂线
hAB
H´B HB
黄海海面
1952-1979年平 均海水面为0米
比例尺的含义
– 制图区域较小，采用各方面变形都较小的地图投影，图上各处的比例是一致的，故 此时比例尺的含义是图上长度与相应地面长度的比例；
– 制图区域较大时，地图投影比较复杂，地图上长度因地点和方向的不同而有所变化， 这种地图比例尺一般是指在地图投影时，对地球半径缩小的比率， 称为主比例尺。 地图经过投影后，体现在图上只有个别点线没有长度变形，也就是说，只有在这些 长度没有变形的点或线上，才可用地图上注明的比例尺
Y’
Y
O
x=x’+ a
y=y’+ b
2）坐标系旋转
X
P x’sin θ x’cos θ
y’sin θ
Y
O
y’cos
x = θx’cosθ+ y’sin θ
y = y’cosθ- x’sin θ
3）坐标平移和旋转
X
X”
P O’ O
由坐标平移可知： x=x”+a
y=y”+b 由坐标旋转可知：
x”= x’cosθ+ y’sin θ
GIS中，地理数据的显示可根据用户的需要而指定投影方 式，但当所显示的地图与国家基本地图系列的比例尺一致时， 一般采用国家基本系列地图所用的投影。
第2章_地理空间数学基础
X2
其中 X 、 Y 、 Z 为两空间直角坐标系坐标原点的平移参数， X 轴、Y 轴、Z 轴旋转的角度， m 为尺度变化参数。
z 、 y 、 z 分别表示绕
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31
3.投影解析转换
同一地理坐标基准下的坐标变换 如果参与转换空间参考系的投影公式， 1）存在精确解析关系式：直接进行坐标换算； 2）不存在精确解析关系式：采用间接变换，即先将一种投影的平面坐 标换算为球面大地坐标，然后再对球面大地坐标计算出另一种投影下的平 面坐标，从而实现两种投影坐标间的变换。
12
青岛观象山水准原点
中华人民共和国大地原点，是1980年国家大地 坐标系起算点。大地原点位于陕西省泾阳县永 乐店北洪流村。
深度基准是指海图图载水深及其相关要素的起算面。通常取当地平均海面
向下一定深度为这样的起算面，即深度基准面。
平均海面
L
深度基准面
Z
海底
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15
2.2 空间数据投影
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32
不同地理坐标基准下的坐标变换
主要包括： • 地理坐标基准的变换； • 坐标值的变换； 实现整个坐标转换的基本过程为（以WGS 84坐标和1980西安坐标的
转换为例）： a.（B，L）84转换为（X,Y,Z）84，即空间大地坐标到空间直角坐标的转换； b.（X,Y,Z）84转换为（X,Y,Z）80，坐标基准的转换，即参考椭球转换。该
3.兰勃特等角投影(Lambert Conformal Conic)
在双标准纬线下是“正轴等角割圆锥投影”。设想用一个正圆锥割于球
面两标准纬线，应用等角条件将地球面投影到圆锥面上，然后沿一母线展开， 即为兰勃特投影平面。墨卡托(Mercator)投影是它的一个特例。
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二．坐标系统
（1）天文经纬度：
天文经度： 经过观测点子午面与本初子午面的 两面角(时差角） 天文纬度（赤纬）： 观测点的铅垂线方向与赤道平面间的 夹角。 本 初 子 午 线 子 午 线 φ
λ
赤道
天文纬度
2.1 地球空间参考
二．坐标系统
（2）大地经纬度
大地经度： 参考椭球面上，观测点的大地子 午面与本初子午面的两面角。 东经为正，西经为负 大地纬度： 参考椭球面上，观测点的法 线与赤道平面间的夹角
第二章 地理空间数学基础
主讲：刘瑞娟
2.1 地球空间参考
一．地球体的基本特征
1. 地球体的量度 对地球体认识及量度的过程 天圆地方说 亚里士多德 首次提出地球是球形的 埃拉托色及 首次估测了地球的大小 我国张遂 最早对地球实测 现代 天文大地测量、地球重力测量、卫星大地测量
2.1 地球空间参考
2.1 地球空间参考
一．地球体的基本特征
3. 地球体的数学表面
地球体的数学表面：地球椭球体的表面可用数学模型定 义和表述，即地球数学表面。
它是对地球形体的二级
逼近，用于测量计算的基 准面。
§1 地球体与地面参照系统
一．地球体的基本特征
3. 地球体的数学表面
椭球体三要素: 长轴 a（赤道半径）、短轴 b（极半径）和椭球的扁率 f
青 水 岛 准 观 原 象 点 山一．地 Nhomakorabea体的基本特征
地球体形状 地球是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、 南极略扁平，近于梨形的椭球体。
2.1 地球空间参考
一．地球体的基本特征
2. 地球体的物理表面
重力等位面：和重力方向线相垂直的，形成无数个曲面 ，每个曲面上重力位相等。把重力位相等的面称为，即 水准面，也是地球的物理表面 大地体：由大地水准面包裹的球体，称为大地体。 3.地球体的数学表面 地球椭球体：将大地体绕短轴（地轴）飞速旋转，形成 一个表面光滑的球体，即旋转椭球体，或称地球椭球体 。
地理网格:
经线 – 经度（Longitude） 纬线 – 纬度（Latitude）
原点:
初始子午线 – 0 赤道 – 0
方向:
经度 – 东-西（East/West） 纬度 – 北-南（North/South）
最大值:
经度 – 180 (E or W) 纬度 – 90 (N or S)
2.1 地球空间参考
2.1 地球空间参考
一．地球体的基本特征 3. 地球体的数学表面 参考椭球体：形状、大小都已确定而且经过定位 和定向的地球椭球体，称为参考椭球体。
总地球椭球体（平均地球椭球）：全球定位 如WGS 椭球体 总地球椭球体是建立地心坐标系统的基础 局部椭球：局部定位 建立国家大地坐标系的基础
我国使用的椭球体和基准面
y
2.1 地球空间参考
二．坐标系统
3.我国的大地坐标系 大地坐标系：以参考椭球面为参考面，以法线为依据， 用大地经纬度表示地面点在椭球面上的位置的坐标系统 1980年前：BJ54-克拉索夫斯基椭球体。 1980年：西安80-1975年国际大地测量协会推荐椭球体
陕西省泾阳县永乐镇北洪 流村为 “1980西安坐标系 ” 大地坐标的起算点—— 大地原点。
a = 6 378 137m b = 6 356 752.3m
Polar Axis
WGS [world geodetic system] 84 ellipsoid:
North Pole
b a
Equatorial Axis
a-b 6378137 - 6356752.3 f = —— = ———————— a 6378137 1 — = 298.257 f
2.1 地球空间参考
一．地球体的基本特征
3. 地球体的数学表面
2.1 地球空间参考
二．坐标系统
1.地理坐标系：用经线（子午线）、 纬线、经度、纬度表示地面点位 的球面坐标系
天文经纬度 大地经纬度 地心经纬度
角度表达的地理坐标
北极 = 第49条纬线
赤道面 纬度角 经度角
地理坐标系统基本构成
2.1 地球空间参考
二．坐标系统
4.高程系统
绝对高程（海拔）：地面点到大地水准面的垂直距离。 相对高程：地面点到任一水准面的垂直距离。 中国高程起算面是黄海平均海水面 1956年黄海高程系：1956年在青岛观象山设立了水准原点（ 72.289m)，其他各控制点的绝对高程均是据此推算。以黄海平 均海平面建立起来的高程控制系统称为1956年黄海高程系 水准原点、高程起算基准面、相对于水准原点的水准原点高程构成了 高程基准
Equator
South Pole
2.1 地球空间参考
一．地球体的基本特征
3. 地球体的数学表面 椭球体的定位和定向
椭球体的定位 区域定位：在局部范围内，椭球面与大地水准面相吻合， 对椭球体的中心位置无要求 地心定位：要求在全球范围内椭球面与大地水准面最佳吻 合，同时要求椭球中心与地球质心一致或最为接近。 椭球体定向：指确定椭球体旋转轴的方向
• 我国的两个大地基准面 - 北京54坐标系（Krassovsky 椭球 体）西安80坐标系（1975年地球椭球体 ）。 • 大地测量基本上仍以北京54坐标系作为参照，北京54与西 安80坐标之间的转换可查阅国家测绘局公布的对照表。
• WGS1984基准面采用WGS84椭球体，它是一地心坐标系 ，即以地心作为椭球体中心，目前GPS测量数据多以 WGS1984为基准。
2.1 地球空间参考
二．坐标系统
（3）地心经纬度
地心经度：参考椭球面上，观测点的 大地子午面与本初子午面的两面角。
地心纬度： 参考椭球面上，某一点与椭球中心 的连线与赤道平面间的夹角
2.1 地球空间参考
二．坐标系统
在大地测量学中，常以天文经纬度 定义地理坐标。
在地图学中，以大地经纬度定义地 理坐标。
在地理学研究及地图学的小比例尺 制图中，通常将椭球体当成正球体看 ，采用地心经纬度。
2.1 地球空间参考
二．坐标系统
o
x
I 象限 P（x,y）
2.平面坐标系
平面直角坐标系：笛卡尔坐标系 便于计算 平面极坐标系：某些投影（如圆锥投影、方位投影）往 往用极坐标系表示地图上的点位。
P （ρ，α） ρ α o y
（1）天文经纬度：
天文经度： 经过观测点子午面与本初子午面的 两面角(时差角） 天文纬度（赤纬）： 观测点的铅垂线方向与赤道平面间的 夹角。 本 初 子 午 线 子 午 线 φ
λ
赤道
天文纬度
2.1 地球空间参考
二．坐标系统
（2）大地经纬度
大地经度： 参考椭球面上，观测点的大地子 午面与本初子午面的两面角。 东经为正，西经为负 大地纬度： 参考椭球面上，观测点的法 线与赤道平面间的夹角
第二章 地理空间数学基础
主讲：刘瑞娟
2.1 地球空间参考
一．地球体的基本特征
1. 地球体的量度 对地球体认识及量度的过程 天圆地方说 亚里士多德 首次提出地球是球形的 埃拉托色及 首次估测了地球的大小 我国张遂 最早对地球实测 现代 天文大地测量、地球重力测量、卫星大地测量
2.1 地球空间参考
2.1 地球空间参考
一．地球体的基本特征
3. 地球体的数学表面
地球体的数学表面：地球椭球体的表面可用数学模型定 义和表述，即地球数学表面。
它是对地球形体的二级
逼近，用于测量计算的基 准面。
§1 地球体与地面参照系统
一．地球体的基本特征
3. 地球体的数学表面
椭球体三要素: 长轴 a（赤道半径）、短轴 b（极半径）和椭球的扁率 f
青 水 岛 准 观 原 象 点 山一．地 Nhomakorabea体的基本特征
地球体形状 地球是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、 南极略扁平，近于梨形的椭球体。
2.1 地球空间参考
一．地球体的基本特征
2. 地球体的物理表面
重力等位面：和重力方向线相垂直的，形成无数个曲面 ，每个曲面上重力位相等。把重力位相等的面称为，即 水准面，也是地球的物理表面 大地体：由大地水准面包裹的球体，称为大地体。 3.地球体的数学表面 地球椭球体：将大地体绕短轴（地轴）飞速旋转，形成 一个表面光滑的球体，即旋转椭球体，或称地球椭球体 。
地理网格:
经线 – 经度（Longitude） 纬线 – 纬度（Latitude）
原点:
初始子午线 – 0 赤道 – 0
方向:
经度 – 东-西（East/West） 纬度 – 北-南（North/South）
最大值:
经度 – 180 (E or W) 纬度 – 90 (N or S)
2.1 地球空间参考
2.1 地球空间参考
一．地球体的基本特征 3. 地球体的数学表面 参考椭球体：形状、大小都已确定而且经过定位 和定向的地球椭球体，称为参考椭球体。
总地球椭球体（平均地球椭球）：全球定位 如WGS 椭球体 总地球椭球体是建立地心坐标系统的基础 局部椭球：局部定位 建立国家大地坐标系的基础
我国使用的椭球体和基准面
y
2.1 地球空间参考
二．坐标系统
3.我国的大地坐标系 大地坐标系：以参考椭球面为参考面，以法线为依据， 用大地经纬度表示地面点在椭球面上的位置的坐标系统 1980年前：BJ54-克拉索夫斯基椭球体。 1980年：西安80-1975年国际大地测量协会推荐椭球体
陕西省泾阳县永乐镇北洪 流村为 “1980西安坐标系 ” 大地坐标的起算点—— 大地原点。
a = 6 378 137m b = 6 356 752.3m
Polar Axis
WGS [world geodetic system] 84 ellipsoid:
North Pole
b a
Equatorial Axis
a-b 6378137 - 6356752.3 f = —— = ———————— a 6378137 1 — = 298.257 f
2.1 地球空间参考
一．地球体的基本特征
3. 地球体的数学表面
2.1 地球空间参考
二．坐标系统
1.地理坐标系：用经线（子午线）、 纬线、经度、纬度表示地面点位 的球面坐标系
天文经纬度 大地经纬度 地心经纬度
角度表达的地理坐标
北极 = 第49条纬线
赤道面 纬度角 经度角
地理坐标系统基本构成
2.1 地球空间参考
二．坐标系统
4.高程系统
绝对高程（海拔）：地面点到大地水准面的垂直距离。 相对高程：地面点到任一水准面的垂直距离。 中国高程起算面是黄海平均海水面 1956年黄海高程系：1956年在青岛观象山设立了水准原点（ 72.289m)，其他各控制点的绝对高程均是据此推算。以黄海平 均海平面建立起来的高程控制系统称为1956年黄海高程系 水准原点、高程起算基准面、相对于水准原点的水准原点高程构成了 高程基准
Equator
South Pole
2.1 地球空间参考
一．地球体的基本特征
3. 地球体的数学表面 椭球体的定位和定向
椭球体的定位 区域定位：在局部范围内，椭球面与大地水准面相吻合， 对椭球体的中心位置无要求 地心定位：要求在全球范围内椭球面与大地水准面最佳吻 合，同时要求椭球中心与地球质心一致或最为接近。 椭球体定向：指确定椭球体旋转轴的方向
• 我国的两个大地基准面 - 北京54坐标系（Krassovsky 椭球 体）西安80坐标系（1975年地球椭球体 ）。 • 大地测量基本上仍以北京54坐标系作为参照，北京54与西 安80坐标之间的转换可查阅国家测绘局公布的对照表。
• WGS1984基准面采用WGS84椭球体，它是一地心坐标系 ，即以地心作为椭球体中心，目前GPS测量数据多以 WGS1984为基准。
2.1 地球空间参考
二．坐标系统
（3）地心经纬度
地心经度：参考椭球面上，观测点的 大地子午面与本初子午面的两面角。
地心纬度： 参考椭球面上，某一点与椭球中心 的连线与赤道平面间的夹角
2.1 地球空间参考
二．坐标系统
在大地测量学中，常以天文经纬度 定义地理坐标。
在地图学中，以大地经纬度定义地 理坐标。
在地理学研究及地图学的小比例尺 制图中，通常将椭球体当成正球体看 ，采用地心经纬度。
2.1 地球空间参考
二．坐标系统
o
x
I 象限 P（x,y）
2.平面坐标系
平面直角坐标系：笛卡尔坐标系 便于计算 平面极坐标系：某些投影（如圆锥投影、方位投影）往 往用极坐标系表示地图上的点位。
P （ρ，α） ρ α o y