夫琅禾费单缝衍射实验的教学研究

该实验具有和理论密切结合、对仪器的调节要求高、实验数据的测量只有在正确调节后才能进行等特点，学生只有在实验前预习，透彻的理解实验项目中的理论知识、实验原理和实验内容，才可以在亲自动手实验时发现问题，探究问题，提高实验效率。然而，实验教材是学生实验前预习的主要材料，实验教材的内容由于受到学时、篇幅、现行的教学方式等因素的限制，实验教材对理论知识、操作技巧和实验分析的阐述比较粗略。该文对实验教材进行了补充，并且对实验中遇到的问题进行了解释，不仅为学生掌握衍射方面的知识和教师教学提供准确的实验参考依据，而且可以培养学生的实验操作能力，分析和探究问题的能力。
(a) (b)
图3 两种像面接收装置
Fig.3Two surface receivers
4夫琅禾费衍射图样规律
本实验采用的是如图2所示的远场接受装置,S是波长为 的单色光源，置于透镜 的前焦面上，单色光经透镜 后形成一束平行光投射于狭缝为 的单缝AB上。狭缝上各点可以看成是新的波源，由新的波源向各个方向发出球面次波。这些次波可以看成很多不同方向的平行光束。当衍射屏距离单缝的距离Z满足 ,由惠更斯—菲涅尔原理可推出衍射屏上任意一点 光强 的分布规律为[6]：
6.3光源在垂直光轴的平面内上下移动，平行光非垂直入射
6.3.1点光源在垂直光轴的平面内上下移动，平行光非垂直入射
若光源偏离光轴，平行光以 角斜入射在宽度为 的单缝上（如图13），以接收屏中央眀纹中心建立空间直角坐标系 ，其中单缝与 轴平行，接收屏各级条纹沿 轴向外延展。
图13 点光源偏离光轴在XZ平面内非垂直入射光路图
； 其中，
、 和 分别为缝宽、光波波长和衍射光束与光轴 的夹角（衍射角）[5]。
令光强的一阶导为零即
解得
光强的二阶导
4.1光强极值分布条件
4.1.1 光强主极大（中央明纹中心）位置
，即 ，得 ， 这是与光轴平行ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ光线会聚点（中央亮纹的中心点）的光强，是衍射图样中光强的极大值，称为中央主极大。
4.1.2 光强极小（暗纹）位置
可以对L的取值范围进行估算：实验时，若取 ，入射光是 激光，其波长为632.80nm， ，所以只要取 ，就可满足夫琅和费衍射的远场条件。但实验证明，取 ，结果较为理想。
3.3“像面接收”装置
如图3，图4所示，当点光源 与接收屏 之间有一个透镜 ，使 、 的位置对透镜 而言符合物像面关系，则不论衍射屏在 、 之间的什么地方，接收屏 上都可以接收到衍射屏的夫琅禾费衍射图样，这种装置叫做像面接收装置。
图2 远场接收装置
Fig.2Far-field receiver
从图2中可以看出到 点的最大光程差
所以， 其相位差 时， 即 时接收屏和单缝的间距无限远。
这种方法简单易行，且得到的图形较大，便于观察，但这种方法要求单缝很窄，接收屏与单缝的距离 要远远大于（“远大于”无严格的定义，一般超过1、2个数量级即可[5]） 即单缝上的各点（次波源点）满足远场条件。同理，要使单缝前不使用透镜，则光源 到狭缝的距离 也要远远大于 即 。式 和 叫做夫琅禾费衍射的“远场条件”。
Fig.13Point light off axis non-normal incidence in the XZ plane optical path
在 平面内，慢慢转动激光管，使激光束以一定角度 入射到单缝 上。当 很小时，观察到整个衍射条纹随中央眀纹中心整体向上（或向下）移动，如图15；当 逐步增大时，观察到整个衍射条纹仍随中央眀纹中心整体向上（或向下）移动，但是，各级暗纹中心移动的距离大于中央眀纹移动的距离大于中央眀纹移动的距离，各级暗纹随级次 的增大而增大，整个衍射条纹不在是平行于 轴向外延展的直线条纹，而是呈现出一条条弯曲的直线条纹， 越大条纹弯曲的越厉害（如图16、17）。
6.3.2线光源在垂直光轴的平面内上下移动，平行光非垂直入射
下面两幅衍射图样，图18是线光源与单缝严格平行时的衍射图样，图19是线光源在垂直光轴平面内向下运动时的衍射图样。
线光源可以看成是一系列非相干的点光源的集合，每一个点光源对应着一套衍射斑。从上面的分析可知，当点光源偏离光轴，在垂直光轴的平面内向下运动时，衍射条纹向下弯曲；同理，点光源向上运动时，衍射条纹向上弯曲。点光源对应的各套弯曲的衍射班的集合构成了线光源在垂直光轴平面内上下移动的的衍射条纹。因此，线光源在垂直光轴平面内向下运动时，衍射图样向下弯曲，向上运动时，衍射图样向上弯曲。
2夫琅禾费衍射
由光源、衍射屏和接收屏组成的系统，按它们相互间距的大小，将衍射分为两大类。一类是光源和接收屏（或两者之一）距离衍射屏有限的为菲涅尔衍射；另一类是光源和接收屏都距离衍射屏为无限远的夫琅和费衍射[1]。
3实现夫琅和费单缝衍射的几种实验装置
要实现夫琅禾费衍射，必须保证光源到单缝的距离和单缝到衍射屏的距离均无限远（或相当于无限远），但是,把光源及接收屏放在离衍射屏无限远在实际上是做不到的。因此，必须采取相应的措施，才能实际形成夫琅禾费衍射。要使光源距狭缝无限远，实际上可以把光源置于第一个透镜的焦平面上，使之成为平行光束；要使观察屏距狭缝无限远，实际上可以再第二个透镜的焦平面上放置观察屏幕。下面介绍下面将介绍三种形成夫琅禾费衍射的装置[2]。
，得 即
由于 ，则此处的光强为极小值，呈现暗条纹。
4.1.3 光强次极大位置
其他各级亮条纹光强最大值称为次级大，解 ,可得到次级大位置。用图解法解超越方程，作直线 和正切函数曲线 ，则两曲线的交点即为 的解[7]
图4 图解超越方程
Fig.4Graphic analysis
解得
由此可得中央主极大两边的其他次级大位置为：
，
即有
各级次极大对应的衍射角位置 分别为
4.2衍射条纹的强度
将 依次带入光强公式 ，得到从中央往外各次极大的光强依次为 ，可见亮条纹的光强随着级次 的增加而迅速减小，即使第一次极大也不到中央亮纹强度的5%。
图5 夫琅禾费单缝衍射图样光强曲线
Fig.5Single-slit Fraunhofer diffraction patterns light intensity curve
用一束激光照射在一个宽度可调的水平单缝上，在数米外放置接收屏，如果单缝较宽，对入射光束未多加限制，接收屏上出现一个亮斑，显示入射光束沿直线传播的结果，这时衍射效应极不明显。图11是从a到b对应缝宽从大到小变化时的衍射图样照片，当缝宽逐渐变小，单缝对光束上下的限制越来越大，接收屏上的光斑将上下两侧延展，同时出现一系列亮暗相间的衍射斑，其中中央亮斑最大，两侧递减，这时衍射现象极其明显。图11中的c是当单缝进一步变窄时的照片，此时，中央亮斑沿竖直方向延展，两侧亮斑向外疏散。图11中d是当狭缝很窄时的衍射图样，从图中可以看出，中央亮斑已延伸为一条竖直细带。总之，当单缝越来越窄时，接收屏上的光强总的来说是越来越暗淡。光的衍射效应是否明显，除了与单缝的线度有光还与缝屏间距、光源的强度等多方面的因素有关。用激光演示上述现象时， 的数量级大体可如下划分：
图1 焦面接受装置
Fig.1Focal plane receiving device
这种装置，大大的缩短了装置的长度，但是，这种装置对透镜的要求比较高，若只是为了教学上的演示，还是可以看到明显的实验现象[3]。
3.2“远场接收”装置
在满足一定的条件下，狭缝前后也可以不用透镜 、 ，而获得夫琅禾费衍射图样。设图中单缝 的缝宽为 ,中心为 ，平面波垂直照在单缝上， 为光轴与屏的交点，要实现夫琅禾费衍射则要求狭缝上各点照射到 点的光相互平行或具有相同的相位。如果图2中，狭缝照射到 点的光可视为平行光，则照射到接收屏上的任何一点的光均可视为平行光。由图2可知，照在 点的光线中， 和 的光程差 最大，设它们的相位差 ，可以略而不计，则狭缝照射在接收屏上的各点的衍射光都可以看成平行光了[4]。
当缝极宽 时，衍射效应不明显，各级眀纹向中央靠拢，密集得无法分辨，只显出单一的亮条纹，这就是单缝的几何光学像，此时光线遵从直线传播的规律；
当缝宽为 时，可以看到明显的衍射现象；
当缝极细 时，衍射极端显著，衍射中央亮纹的两端延伸到很远很远的地方，向光的散射过渡，屏上只接到中央亮纹的一小部分（较均匀）。在夫琅禾费单缝衍射中,当 时， ，由 知，为保证在衍射场中出现强度为一级的极小,单缝的宽度 应该满足： ，即光波波长不能大于缝宽[10]。
6夫琅禾费单缝衍射实验分析与研究
6.1波长对条纹间隔的影响
图9是红光（700nm）、绿光(546.1nm)、蓝光(435.8nm)的单缝夫琅禾费衍射图样的光强曲线，图10是红光、绿光、蓝光的单缝夫琅禾费衍射图样，图11是屏缝间距为80cm，缝宽为0.04mm时白光的单缝衍射图样。从三幅图中我们可以看到，波长越大，条纹间距越大[9]。
6.4光源
6.4.1点光源
点光源 在垂直光轴的平面力左右移动非垂直入射到单缝。图20是入射点光源不垂直入射狭缝的示意图。下图（图21）是波长为632.8nm的氦氖激光器产生的激光束入射到狭缝宽度为0.138mm，激光器到狭缝距离为20cm，狭缝到屏距离为80cm的光强分布曲线。
图14 时的衍射图样图15 时的衍射图样
Fig.14 diffraction patternFig.15 diffraction pattern
图16 时的衍射图样
Fig.16 diffraction pattern
图17 时的衍射图样
Fig.17 diffraction pattern
上面的实验装置，两屏之间的距离 与单缝缝宽 相比，满足傍轴条件和远场条件。当激光正入射时，光强分布为 ；当激光以一定仰角 入射单缝时，光强分布为 。其物理意义是：平行光以一定仰角 入射单缝时，其结果是正入射时的衍射条纹整体向上平移 ， 方向的分布不变，几何像点移动的距离是 ，当 很小时， 。上述分析与实验结果一致（如图12）；当仰角 较大时，衍射条纹各暗纹中心的 坐标为 ，衍射条纹各暗纹中心的 坐标为 ，各级暗纹中心的 坐标值随级次 的增高而变大，使得条纹沿曲线向外铺展[11]。理论分析与实验结果一致（如图16、17）。
6.2缝宽变化对条纹的影响
下图12是用一束激光照射在一个宽度可调的水平单缝上，在数米外放置接收屏，在不同缝宽时拍摄到的夫琅禾费单缝衍射图样的照片。
图12 不同宽度的夫琅禾费衍射图样
Fig.12Different widths of single-slit Fraunhofer diffraction pattern
夫琅禾费单缝衍射实验的教学研究
摘要：光的衍射现象不仅是光波动性的一个基本特征，而且是近代光谱分析、全息技术、晶体结构分析、光学信息处理等技术的基础。该文阐述了实现夫琅禾费单缝衍射的几种装置；分析并解释了夫琅禾费单缝单缝衍射实验中常见的问题；讨论了夫琅禾费单缝衍射知识的应用。
关键词：
1引言
光的夫琅禾费单缝衍射实验是光学中的基础实验，在教学中常用该实验来验证光的波动性、测量入射光光波波长和测量狭缝的宽度等，通过对夫琅禾费单缝衍射实验的拓展与研究，该实验被用来测量物质的膨胀系数、金属丝的杨氏模量和微小位移等。因此，对夫琅禾费单缝衍射的再研究具有实际意义。
4.3夫琅禾费单缝衍射图样条纹宽度
4.3.1中央眀纹宽度
对于近轴近似，角宽度 ，中央亮纹的边缘对应的衍射角 ，称为中央亮纹的半角宽；线宽度
4.3.2其他眀纹（次极大）宽度
由 ，得 ，即其它眀纹宽度是中央眀纹宽度的一半。
5夫琅禾费单缝衍射实验仪器及实物图
在实验室，通常使用钠光灯和激光作为光源。使用钠光灯作为光源，波长稳定，但发光效率低，灯的使用寿命短，一般只有几百小时的工作时间；使用激光作为光源，光束具有良好的单色性、单一方向性、高亮度及高稳定性等，并且计算简单，操作方便，衍射条纹清晰。考虑到本文主要是探究点光源和线光源作为实验用光源时所产生的各种问题，本文选用激光作为光源，设计了如下两种实验仪器及实物图[8]。
3.1“焦面接收”装置
把单色点光源 放在凸透镜 的前焦面上，经透镜 后的光束成为平行光垂直照在单缝 上，由惠更斯—菲涅耳原理，位于狭缝波阵面上每一点都可看成新的子波波源，它们向各个方向发射球面次波，这些次波经透镜 会聚于 的后焦面上，把接收屏 放在凸透镜 的后焦面上，则由几何光学可知 、 相当于距单缝 无限远。