欧拉和的新证明
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从 而得 到
１
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Ｔ ＋ ＋ … １ １去 ＋ 十
１
一
＋一， …警
即自奇倒平和式 一． 为然数数方公 薹 警 而 ＋ 薹 于得 薹 一． 是到
２ 无 穷幂 级 数 积 分 法
ｚ ∈ （，） ， 。１ 时 的幂级 数展 开式 为
志 －＋抖 抖 抖 ． ２） １ ．（ ）！ ．２ １ ＋ｎ！ （！ ！ 一
（ ｎ＋ １ ！ ２ ）！
ｄ， ｚ ∑ 有
（） ５
（ ｎ＋ １ １ ２ ）！ ２ ！ ｎ！ （ ｎ＋ １ ｚ 计 ． ２ ） 。
由 Ａｂ ｌ 二 定 理 Ⅲ ，（ ）式 对 一 切 ９ ｅ第 ５ ５ ＇∈ ［ ，］皆 成 立 ．取 ｚ 一 １ Ｏ１ ，得 到 关 于 丌 的 一 个 级 数 表 达 式
ｌ
每 项 闭 间［号号 上 续由 尔 特 斯Ｋｒ ｅｓ ｓ１５ １７Ｍ 别 可 ，给 一 在 区 一 ，］ 连 ，维 斯 拉 （ １ ｉｔ ｓ８ — ８） 判 法 知任 ａｗ ｅ ｒ １ ９ ｒａ ∈［号号 ，数 级 （ 扎）！！ 一 ，］ 项 数∑ ２ 函
ｎ ０ 茹
（ ｎ＋ １ １ ２ ）！
对任意复数 ｓ若 Ｒ （ ＞ ｌ则 ＞： 一 ｌ （ 一Ｐ 一， ， ｅ ） ， ｌ １ ）
其 中 为 自然数 ， Ｐ为素数 ． ｕｅ 乘 积公式 将一 个对 自然 数 的倒 数 求 和表 达 式 与一 个 对 素数 的 连乘 积 表 达 Ｅ ｌｒ 式 联 系在一 起 ， 蕴涵 着有关 素数 分 布的重 要信 息． 欧 拉Ｌ 提 出了两种 方法 、 １ ］ ４个证 明 ， 个个奇 巧 、 美丽 、 刻． 现代 学者 也 给 出一 些更 严 格 的新证 明 ， 中 深 近 其
文 献 ［—］ 明 比较简 捷． 文借 助类 比 的数学 思 想 ， 用 根 与 系数 的关 系及 函数项 级 数 一致 收 敛 的 概念 ， ２５ 证 本 利
给 出欧 拉和 的几 种新 的证 明方 法．
１ 有 限次代 数 方 程根 与 系 数 的 关 系 类 比到 无 限 次 方程 法
第 ３期
黄 炜 ： 拉 和 的 新证 明 欧
・ ４ ・ ２ １
对 式 边 到ｚ 分注 到 级 的 项 积 和号 ａｃｚ 等 两 从。 积 ，意 幂 数 逐 可 性 一ｒ。 — ｃｓ
吾一ａｃ ｘ （ ＋１ ！ （ １ ｚ ： ＋ 一 ｒｏ 一∑ ２ ）！ ２ ）。 井 ｚ。 ｃ ｓ 一 ｎ — — ｚ ｎ＋
以 － ｌ ４ ａ ｚ － … ＋ ｎ Ｘ ｏ４ 盘 － ２ ４ 一 ０，口 ０≠ ０，
如 果有 个 不 同的根 。 ： ， ，
“， ， 上式 左边 的多项 式能 够表 示为 个线 性 因子乘 积 ， 则 即
ｎ ｎ ｎ。 … ｎ ” － （一 （一 …１ ） 。 ＋ｚ ＋ ＋ 一１ ） ） ） 一 ・ ＋ ｚ
１一 。 ＿
（ ｎ＋ １ ！ ２ ）！
Ｃ ０ ｔ ． ＯＳ井 ｄｔ
（” ２ ）！ ！
（ ｎ＋ １ ２ ）
－三 －
由 于６ ］
所以 ∑
ｎ＝ １
ｆｃ ２１ｔ 王ｏ ｔ 一 。ｓ ｄ
Ｊ０
（， ！ ２ｚ ）！
第４卷 第３ Ｏ 期 ２１ 年 ５ ０１ 月
内蒙 古 师 范 大 学 学报 （ 自然科 学 汉 文版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＩ ｎ ｒＭ ｏ ｇ ｌ ｒ ｌＵｎｖ ｒｉｙ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｒ ａ ｏ ｎ ｅ ｎ ｏｉ Ｎｏ ｍａ ｉｅ ｓｔ Ｎａ ｕ ａ ｉｎ ｅ Ｅ ｉｏ ） ａ Ｓ ｉ
比 ２式的 次 数有ｂ一 ０吉４吉＋…＋吉） 察无 项方 较（ ） 二 项系 ６、 －々２ （１ ． 考 穷多 程 ｅ
１手＋ 手十 ’ 一 手一 ． 一Ｏ
及 幂级 数展 开式
（ ３ ）
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由 方 ｃｚｏ 根 ± ，孚 ± ± ± … 方 （左 可 示 于 程。 — 的 为 号± ， ， ｓ ， ，故 程３ 边 表 为 ）
一 一
警
㈩
是 书 中所 论 素数倒 数求 和 问题 中的一 个特殊 情形 ． 发 表 于 １ ８ 在 ６ ９年 的论文 “ 有 有 限 和 的无穷 级 数 的算 术 具 命题” ， 中 瑞士 著名 数学 家雅 各 ・伯努 利 （ａ ｏ ｅｎ ｕｌ １ ５ — １ ０ ） 分重 复 了蒙 哥 利 的无 穷级 数 工 作 ， Ｊ ｃｂＢ ｒｏ ｌ ， ６ ４ ７ ５ 部 ｉ 在论 文最 后 ， 伯努 利称 ， 尽管 级数 １ ３ ６ １ ＋ ｌ５ ＋１ ＋１ ＋１ ０ １ ＋… 的 求 和 问题 易 如反 掌 ， 奇怪 的是 ， １ 式 的和 但 （） 却难 以求 出． 说 ：如果 有谁 解决 了这 个迄今 让 我们 束 手无 策 的难 题 ， 他 “ 并告 知 我 们 ， 我们 将 十 分感 激 他． 实 ” 际上 ， 当时欧 洲的 一流数 学家 ， 约翰 ・ 如 伯努 利 （ ｅｎ ｕｌＪ １ ６ — １ ４ ） 其 子丹 尼 尔 ・ 努 利 （ ｅｎ ｕｌ Ｂ ｒ ｏ ｌ ， ６ ７ ７ ８ 及 ｉ 伯 Ｂ ｒｏ ｌ ｉ Ｄ， ７ ０ ７ ２ 、 德 巴 赫 （ ｌｂ ｃ １ ９ — １ ６ ） 莱 布 尼 茨 （ ｅｂ ｉ Ｇ Ｗ ， ６ ６ — １ １ ） 棣 莫 佛 １ Ｏ —１ ８ ） 哥 Ｇｏｄ ａ ｈ Ｃ， ６ ０ ７４ 、 Ｌ ｉｎｚ １ ４ ７６、 （ ｉｒ Ｄ ，６ ７ ７ ４ 、 ＭｏｖｅＡ ｅ １ ６ —１ ５ ） 斯特林 （ ｔ ｌ ｇＪ １ ９ —１ ７ ） 都未 能 成功 地 解决 这 一 难题 ． 中哥 德 巴赫 Ｓ ｉ ｉ ，６ ２ ７ ０ 等 ｒｎ 其 在与丹 尼 尔 的通 信 （ ７ ９ 中给 出和的上 、 限为 １ ６ ４和 １ ６ ５ 斯 特林在 其《 分法 ３ Ｍｅｈ ｄ ｓｄｆ ｒｎ １２ ） 下 ．４ ．４ ； 微 （ ｔｏ ｕ ｉ ｅｅ — ｆ ｔ ｌ ，７ ０ 中给 出的近 似值 为 １ ６ ４９ ４ ６ ． ｉ ｉ １３ ） ａｓ ． ４ ３ ６ ０ １３ ７ ４年 ， 一位 师 从 约 翰 一 伯努 利 的青 年 数 学 家 欧拉 （ ｕｅ １ ０ — １ ８ ） 举 解决 了 当时 与 费 尔 马 Ｅ ｌ Ｌ，７ ７ ７ ３ 一 ｒ （ ｅｍａ Ｐ，６ １ ６ ５ 大定 理齐 名 的困扰数 学家 百年 之久 的 问题平 方倒 数求 和 ， Ｆ ｒ ｔ １ ０ —１ ６ ） 完成 了其导 师伯努 利 的心 愿 ． ７ ７年 ， ｕｅ 在一篇 题 为《 １３ Ｅ ｌｒ 对无 穷级 数 的若干 观察 》 的论文 中提 出并 证 明了 Ｅ ｌｒ 积公 式 ： ｕｅ 乘
ｃ。 在 区 一 ，］ 一 收 于 数逐 。 ｓ 闭 间［号号 上 致 敛 函 ，
Ｃ Ｓ神 ｄ ． Ｏ ０ ｔ ｔ
项 取积 分 ， 有
即
８
号 － Ｃ） 薹 （ ｔＯ 号 －Ｓ ｔ ∑
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一
ｌ （ ｎ＋ １ １ ２ ）！ ２ ！ ｎ １ （ ｎ＋ １ 。 ２ ） １
证明方法．
关 键 词 ： 拉 和 ；根 与 系 数 关 系 ；函数 项 级 数 ；一 致 收 敛 欧 中 图 分 类 号 ： ５ ． Ｏ １６ ０ 文献标志码 ： Ａ 文 章 编 号 ：１ ０— ７５ ２ １） ３ ０ ３ － ４ ０ １ ８ ３ （ ０ １ ０— ２ ９ ０
欧拉 和 亦 即平 方倒 数求 和 ， 早 出现 于 １ 最 ７世纪 意 大利 数 学 家蒙 哥 利 （ ｎ ｏｉ １ ２ — １ ８ ） 算 术 Ｍｅ ｇ ｌＰ， ６ ６ ６ ６ 的《 求 和新法 》Ｎｏ ａ ｕ ｄａｕａ ｒ ｈ ｔ ａ ，６ ０ ． 穷级 数 （ ｖ ｅｑ ａ ｒｔｒｅａｉ ｍｅｉ ｅ １ ５ ） 无 ｔ ｃ
类 比是人 们 把解决 个 别 问题 所得 的经 验用 来解 决其 他 类 似 问题 的一 种类 似 联 想 的思 维 方法 ， 比这 一 类 重要 的数 学 方法 ， 曾被 １ ７世纪 德 国著 名数 学家 和天 文 学家 开普 勒 （ ｐｅ ， ５ １ １ ３ ） Ｋｅ ｌｒ １ ７ — ６ ０ 视为 “ 道大 自然 Ｊ 知
∞ ∑
丌
２
∑ （ ）！！ ２
ｎ ０ 一
（ ｎ＋ １ ２ ）
特别 地 ， ｚ— ＣＳ 代人 （ ） ， 将 Ｏｔ ５ 式 有
（ ｎ＋ １ ！ ２ ） ！
詈 一 一
２ ！ （ ＋ ）ｃ２ ， ∈［号 ｎ ！ ２ １ ０ 一 ， ｎ Ｓ
１ （ ｎ＋ １ ２ ）
１ ＋一＋ （ （ （ × ＿ 手手．卜 卜 卜 ． 手 一 裔） ）裔）． ×
（
由 ∑ 于
ｎ＝ １
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（
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（） ４
绝对 收敛 ， 故这 个无 穷乘积 是绝 对收敛 的． 比较 （ ）式两 边 ｚ ４ 。的系数 ， 有
２ 号 。 ） ＋ 寿裔＋）（＋）． （ （＋ 。 一）萼。 。 （ （
Ｖｏ１ ０ ．４ ＮＯ． ３
Ｍａ ｙ ２０１ １
欧 拉 和 的 新 证 明
黄 炜
（． 安 铁 路 职 业 技 术 学 院 基 础 部 ． 西 西安 ７ ０ １ ； ． １西 陕 １０ ６ ２ 宝鸡 职 业技 术 学 院 基 础部 ， 西 宝 鸡 ７ １ １ ） 陕 ２ ０ ３
摘
要 ： 助 类 比 的数 学思 想 ， 用 根 与 系 数 的 关 系 及 函数 项 级 数 一致 收敛 的概 念 ， 出 欧 拉 和 的 几 种 新 的 借 利 给
・
２０・ ４
内 蒙古 师 范 大学 学报 （ 自然 科 学 汉 文 版 ）
第４ Ｏ卷
前 ２ ７ 前 ２ ２ 球表 面 积公式 的获 得 ， 顿 （ ｗｔｎＩ１ ４ —１ ２ ） ８－ １） 牛 Ｎｅ ｏ ， ６ ２ ７ ７ 一般 有理 数指数 情形 的二项 式定理 的发
现 ， 是这种 思维方 法 的两个 典型 例子． 就 对 有 限次代 数方程
比较这 个恒 等式两 边 ｚ同次 幂 的系数 ， 得 到根与 系数 的关 系． 别地 ， 就 特 如果是 偶次 方程 ６ 一 ｂ ４ ｂｚ ４ ０ ｌ － ２ －
…
＋ （ １ 一 ）ｂ
一０ 有 ２ ， ｎ个不 同的根 ， 一 。 ， ， 一 ， ， ， … 一＆， 则
６ ６ ＋ｚ＋ ＋一）ｚ一（ 著（ 著（ 著…１善， （ ｏ ｔ ６ … （ ６１ ）一 ）一 ）（ ） 一 ｚ １ ＂ 。一 １ １ ６２ 一 ２ ）
一
切 秘 密” 导 师” 被 波利 亚 （ ｏｇ ｏｙ ，８ ７ ９ ５ 称 为科 学 发现 的“ 大 的引路 人 ” 翻 开数 学 历史 的“ ， Ｇｅ ｒ ｅＰ ｌａ １ ８ —１ ８ ） 伟 ．
的 画卷 ， 们 往 往 能 看 到 数 学 家 在 做 出数 学 发 现 时 ， 比思 维 所 起 的关 键 作 用 ． 基 米 德 （ ｃ ｉ ｄ ｓ 我 类 阿 Ａｒｈｍｅ ｅ ，
收 稿 日期 ：２ １－８０ ０ ００－３
基 金 项 目 ：国 家 自然 科 学 基 金 资 助项 目（０ ７ １ ５ ；陕 西 省 自然 科学 基 金 资 助项 目（Ｊ ８ ８ １６ １５ ） Ｓ ０ Ａ２ ）
作 者 简 介 ：黄 炜 （９ １ ， ， 西岐 山人 ， １ ６ 一）男 陕 西安 铁路 职业 技 术 学 院教 授 ， 主要 从 事 数论 及 数 学应 用 研 究 ， － ａｌｗ ｈ ａｇ ｉ １３ Ｃ１． Ｅ ｍ ｉ ｐ ｕｎｗｅ ６．Ｏ Ｉ ； ＠ Ｔ பைடு நூலகம்
１
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１
一
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即自奇倒平和式 一． 为然数数方公 薹 警 而 ＋ 薹 于得 薹 一． 是到
２ 无 穷幂 级 数 积 分 法
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志 －＋抖 抖 抖 ． ２） １ ．（ ）！ ．２ １ ＋ｎ！ （！ ！ 一
（ ｎ＋ １ ！ ２ ）！
ｄ， ｚ ∑ 有
（） ５
（ ｎ＋ １ １ ２ ）！ ２ ！ ｎ！ （ ｎ＋ １ ｚ 计 ． ２ ） 。
由 Ａｂ ｌ 二 定 理 Ⅲ ，（ ）式 对 一 切 ９ ｅ第 ５ ５ ＇∈ ［ ，］皆 成 立 ．取 ｚ 一 １ Ｏ１ ，得 到 关 于 丌 的 一 个 级 数 表 达 式
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每 项 闭 间［号号 上 续由 尔 特 斯Ｋｒ ｅｓ ｓ１５ １７Ｍ 别 可 ，给 一 在 区 一 ，］ 连 ，维 斯 拉 （ １ ｉｔ ｓ８ — ８） 判 法 知任 ａｗ ｅ ｒ １ ９ ｒａ ∈［号号 ，数 级 （ 扎）！！ 一 ，］ 项 数∑ ２ 函
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（ ｎ＋ １ １ ２ ）！
对任意复数 ｓ若 Ｒ （ ＞ ｌ则 ＞： 一 ｌ （ 一Ｐ 一， ， ｅ ） ， ｌ １ ）
其 中 为 自然数 ， Ｐ为素数 ． ｕｅ 乘 积公式 将一 个对 自然 数 的倒 数 求 和表 达 式 与一 个 对 素数 的 连乘 积 表 达 Ｅ ｌｒ 式 联 系在一 起 ， 蕴涵 着有关 素数 分 布的重 要信 息． 欧 拉Ｌ 提 出了两种 方法 、 １ ］ ４个证 明 ， 个个奇 巧 、 美丽 、 刻． 现代 学者 也 给 出一 些更 严 格 的新证 明 ， 中 深 近 其
文 献 ［—］ 明 比较简 捷． 文借 助类 比 的数学 思 想 ， 用 根 与 系数 的关 系及 函数项 级 数 一致 收 敛 的 概念 ， ２５ 证 本 利
给 出欧 拉和 的几 种新 的证 明方 法．
１ 有 限次代 数 方 程根 与 系 数 的 关 系 类 比到 无 限 次 方程 法
第 ３期
黄 炜 ： 拉 和 的 新证 明 欧
・ ４ ・ ２ １
对 式 边 到ｚ 分注 到 级 的 项 积 和号 ａｃｚ 等 两 从。 积 ，意 幂 数 逐 可 性 一ｒ。 — ｃｓ
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如 果有 个 不 同的根 。 ： ， ，
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ｎ ｎ ｎ。 … ｎ ” － （一 （一 …１ ） 。 ＋ｚ ＋ ＋ 一１ ） ） ） 一 ・ ＋ ｚ
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第４卷 第３ Ｏ 期 ２１ 年 ５ ０１ 月
内蒙 古 师 范 大 学 学报 （ 自然科 学 汉 文版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＩ ｎ ｒＭ ｏ ｇ ｌ ｒ ｌＵｎｖ ｒｉｙ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｒ ａ ｏ ｎ ｅ ｎ ｏｉ Ｎｏ ｍａ ｉｅ ｓｔ Ｎａ ｕ ａ ｉｎ ｅ Ｅ ｉｏ ） ａ Ｓ ｉ
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是 书 中所 论 素数倒 数求 和 问题 中的一 个特殊 情形 ． 发 表 于 １ ８ 在 ６ ９年 的论文 “ 有 有 限 和 的无穷 级 数 的算 术 具 命题” ， 中 瑞士 著名 数学 家雅 各 ・伯努 利 （ａ ｏ ｅｎ ｕｌ １ ５ — １ ０ ） 分重 复 了蒙 哥 利 的无 穷级 数 工 作 ， Ｊ ｃｂＢ ｒｏ ｌ ， ６ ４ ７ ５ 部 ｉ 在论 文最 后 ， 伯努 利称 ， 尽管 级数 １ ３ ６ １ ＋ ｌ５ ＋１ ＋１ ＋１ ０ １ ＋… 的 求 和 问题 易 如反 掌 ， 奇怪 的是 ， １ 式 的和 但 （） 却难 以求 出． 说 ：如果 有谁 解决 了这 个迄今 让 我们 束 手无 策 的难 题 ， 他 “ 并告 知 我 们 ， 我们 将 十 分感 激 他． 实 ” 际上 ， 当时欧 洲的 一流数 学家 ， 约翰 ・ 如 伯努 利 （ ｅｎ ｕｌＪ １ ６ — １ ４ ） 其 子丹 尼 尔 ・ 努 利 （ ｅｎ ｕｌ Ｂ ｒ ｏ ｌ ， ６ ７ ７ ８ 及 ｉ 伯 Ｂ ｒｏ ｌ ｉ Ｄ， ７ ０ ７ ２ 、 德 巴 赫 （ ｌｂ ｃ １ ９ — １ ６ ） 莱 布 尼 茨 （ ｅｂ ｉ Ｇ Ｗ ， ６ ６ — １ １ ） 棣 莫 佛 １ Ｏ —１ ８ ） 哥 Ｇｏｄ ａ ｈ Ｃ， ６ ０ ７４ 、 Ｌ ｉｎｚ １ ４ ７６、 （ ｉｒ Ｄ ，６ ７ ７ ４ 、 ＭｏｖｅＡ ｅ １ ６ —１ ５ ） 斯特林 （ ｔ ｌ ｇＪ １ ９ —１ ７ ） 都未 能 成功 地 解决 这 一 难题 ． 中哥 德 巴赫 Ｓ ｉ ｉ ，６ ２ ７ ０ 等 ｒｎ 其 在与丹 尼 尔 的通 信 （ ７ ９ 中给 出和的上 、 限为 １ ６ ４和 １ ６ ５ 斯 特林在 其《 分法 ３ Ｍｅｈ ｄ ｓｄｆ ｒｎ １２ ） 下 ．４ ．４ ； 微 （ ｔｏ ｕ ｉ ｅｅ — ｆ ｔ ｌ ，７ ０ 中给 出的近 似值 为 １ ６ ４９ ４ ６ ． ｉ ｉ １３ ） ａｓ ． ４ ３ ６ ０ １３ ７ ４年 ， 一位 师 从 约 翰 一 伯努 利 的青 年 数 学 家 欧拉 （ ｕｅ １ ０ — １ ８ ） 举 解决 了 当时 与 费 尔 马 Ｅ ｌ Ｌ，７ ７ ７ ３ 一 ｒ （ ｅｍａ Ｐ，６ １ ６ ５ 大定 理齐 名 的困扰数 学家 百年 之久 的 问题平 方倒 数求 和 ， Ｆ ｒ ｔ １ ０ —１ ６ ） 完成 了其导 师伯努 利 的心 愿 ． ７ ７年 ， ｕｅ 在一篇 题 为《 １３ Ｅ ｌｒ 对无 穷级 数 的若干 观察 》 的论文 中提 出并 证 明了 Ｅ ｌｒ 积公 式 ： ｕｅ 乘
ｃ。 在 区 一 ，］ 一 收 于 数逐 。 ｓ 闭 间［号号 上 致 敛 函 ，
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即
８
号 － Ｃ） 薹 （ ｔＯ 号 －Ｓ ｔ ∑
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证明方法．
关 键 词 ： 拉 和 ；根 与 系 数 关 系 ；函数 项 级 数 ；一 致 收 敛 欧 中 图 分 类 号 ： ５ ． Ｏ １６ ０ 文献标志码 ： Ａ 文 章 编 号 ：１ ０— ７５ ２ １） ３ ０ ３ － ４ ０ １ ８ ３ （ ０ １ ０— ２ ９ ０
欧拉 和 亦 即平 方倒 数求 和 ， 早 出现 于 １ 最 ７世纪 意 大利 数 学 家蒙 哥 利 （ ｎ ｏｉ １ ２ — １ ８ ） 算 术 Ｍｅ ｇ ｌＰ， ６ ６ ６ ６ 的《 求 和新法 》Ｎｏ ａ ｕ ｄａｕａ ｒ ｈ ｔ ａ ，６ ０ ． 穷级 数 （ ｖ ｅｑ ａ ｒｔｒｅａｉ ｍｅｉ ｅ １ ５ ） 无 ｔ ｃ
类 比是人 们 把解决 个 别 问题 所得 的经 验用 来解 决其 他 类 似 问题 的一 种类 似 联 想 的思 维 方法 ， 比这 一 类 重要 的数 学 方法 ， 曾被 １ ７世纪 德 国著 名数 学家 和天 文 学家 开普 勒 （ ｐｅ ， ５ １ １ ３ ） Ｋｅ ｌｒ １ ７ — ６ ０ 视为 “ 道大 自然 Ｊ 知
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特别 地 ， ｚ— ＣＳ 代人 （ ） ， 将 Ｏｔ ５ 式 有
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２ ！ （ ＋ ）ｃ２ ， ∈［号 ｎ ！ ２ １ ０ 一 ， ｎ Ｓ
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由 ∑ 于
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（
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（） ４
绝对 收敛 ， 故这 个无 穷乘积 是绝 对收敛 的． 比较 （ ）式两 边 ｚ ４ 。的系数 ， 有
２ 号 。 ） ＋ 寿裔＋）（＋）． （ （＋ 。 一）萼。 。 （ （
Ｖｏ１ ０ ．４ ＮＯ． ３
Ｍａ ｙ ２０１ １
欧 拉 和 的 新 证 明
黄 炜
（． 安 铁 路 职 业 技 术 学 院 基 础 部 ． 西 西安 ７ ０ １ ； ． １西 陕 １０ ６ ２ 宝鸡 职 业技 术 学 院 基 础部 ， 西 宝 鸡 ７ １ １ ） 陕 ２ ０ ３
摘
要 ： 助 类 比 的数 学思 想 ， 用 根 与 系 数 的 关 系 及 函数 项 级 数 一致 收敛 的概 念 ， 出 欧 拉 和 的 几 种 新 的 借 利 给
・
２０・ ４
内 蒙古 师 范 大学 学报 （ 自然 科 学 汉 文 版 ）
第４ Ｏ卷
前 ２ ７ 前 ２ ２ 球表 面 积公式 的获 得 ， 顿 （ ｗｔｎＩ１ ４ —１ ２ ） ８－ １） 牛 Ｎｅ ｏ ， ６ ２ ７ ７ 一般 有理 数指数 情形 的二项 式定理 的发
现 ， 是这种 思维方 法 的两个 典型 例子． 就 对 有 限次代 数方程
比较这 个恒 等式两 边 ｚ同次 幂 的系数 ， 得 到根与 系数 的关 系． 别地 ， 就 特 如果是 偶次 方程 ６ 一 ｂ ４ ｂｚ ４ ０ ｌ － ２ －
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一０ 有 ２ ， ｎ个不 同的根 ， 一 。 ， ， 一 ， ， ， … 一＆， 则
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一
切 秘 密” 导 师” 被 波利 亚 （ ｏｇ ｏｙ ，８ ７ ９ ５ 称 为科 学 发现 的“ 大 的引路 人 ” 翻 开数 学 历史 的“ ， Ｇｅ ｒ ｅＰ ｌａ １ ８ —１ ８ ） 伟 ．
的 画卷 ， 们 往 往 能 看 到 数 学 家 在 做 出数 学 发 现 时 ， 比思 维 所 起 的关 键 作 用 ． 基 米 德 （ ｃ ｉ ｄ ｓ 我 类 阿 Ａｒｈｍｅ ｅ ，
收 稿 日期 ：２ １－８０ ０ ００－３
基 金 项 目 ：国 家 自然 科 学 基 金 资 助项 目（０ ７ １ ５ ；陕 西 省 自然 科学 基 金 资 助项 目（Ｊ ８ ８ １６ １５ ） Ｓ ０ Ａ２ ）
作 者 简 介 ：黄 炜 （９ １ ， ， 西岐 山人 ， １ ６ 一）男 陕 西安 铁路 职业 技 术 学 院教 授 ， 主要 从 事 数论 及 数 学应 用 研 究 ， － ａｌｗ ｈ ａｇ ｉ １３ Ｃ１． Ｅ ｍ ｉ ｐ ｕｎｗｅ ６．Ｏ Ｉ ； ＠ Ｔ பைடு நூலகம்