八年级数学下册193正方形1教案华东师大版

19．3正方形（1）
教学目标：
1、知识与技能：掌握正方形的判定方法。

2、过程与方法：通过运用正方形的判定解题，培养学生的分析能力和观察能力。

3、情感、态度与价值观：通过正方形有关知识的学习，感受完美的正方形的图形美和语言美。

教学重、难点：
1、重点：正方形的判定方法。

2、难点：正方形判定方法的应用。

教学过程：
一．复习提问
1．矩形、菱形是怎样的特殊平行四边形，它们比平行四边形多些什么性质？
2．正方形是怎样的特殊平行四边形？正方形，菱形有什么关系？正方形有什么性质？
二．讲解新课
我们已经知道，正方形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：
1． 四条边都相等；
2． 四个角都是直角．
因此，正方形可以看作为：有一个角是直角的菱形；有一组邻边相等的矩形．
这些实际上就是判定正方形的方法．
例 如图20．4．1，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ， DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ．求证： 四边形CFDE 是正方形．
分析 要证明四边形CFDE 是正方形，可以先证四边形CFDE 是矩形，然后
再证有一组邻边相等；也可以先证四边形CFDE 是菱形，然后再证有一个角是
直角．
证明 ∵ CD 平分∠ACB ， DE ⊥BC ， DF ⊥AC ，
∴ DE ＝DF （角平分线上的点到角的两边距离相等）．
又∵ ∠DEC ＝∠ECF ＝∠CFD ＝90°，
∴ 四边形CFDE 是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∴ 四边形CFDE 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．
归纳：（正方形的判定方法）提问：
1：对角线相等的菱形是正方形吗？
2：对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？
3：对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？
4：四条边都相等的四边形是正方形吗？为什么？
5：说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？
三、小结：
四、思考题：已知如图3正方形ABCD 的边长为1，AB 、AD 上都有一点P 、Q ，如果△APQ 周长为2，求PCQ 度数．
五、布置作业：校本作业，P118。

1。

2
六、教学反思：（1）判定一个四边形为正方形的基本方法：定义法，矩形菱形法．
（2）正方形的性质较多，在证题时要灵活应用．
图3
图20.4.1
2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．已知两点的坐标分别是（-2，3）和（2，3），则说法正确的是（）
A．两点关于x轴对称
B．两点关于y轴对称
C．两点关于原点对称
D．点（-2，3）向右平移两个单位得到点（2，3）
2．如图，在10×6的网格中，每个小方格的边长都是1个单位，将△ABC平移到△DEF的位置，下面正确的平移步骤是（）
A．先把△ABC向左平移5个单位，再向下平移2个单位
B．先把△ABC向右平移5个单位，再向下平移2个单位
C．先把△ABC向左平移5个单位，再向上平移2个单位
D．先把△ABC向右平移5个单位，再向上平移2个单位
3．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，过A点作AF⊥BF，垂足为F并延长交BC于点G，D为AB中点，连接DF延长交AC于点E。

若AB=12，BC=20，则线段EF的长为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．下列图象中，不能表示y是x的函数的是（）
A．B．C．D．
5．甲队修路120 m与乙队修路100 m所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是
A．120100
x x10
=
-
B．
120100
x x10
=
+
C．
120100
x10x
=
-
D．
120100
x10x
=
+
6．某学校初、高六个年级共有2000名学生，为了了解其视力情况，现采用抽样调查，如果按10%的比例抽样，则样本容量是( )
A ．2000
B ．10
C ．200
D ．10%
7．如图 ，在中□ABCD 中，点 E 、F 分别在边 AB 、CD 上移动，且 AE ＝CF ，则四边形DEBF 不可能是( )
A ．平行四边形
B ．梯形
C ．矩形
D ．菱形
8．在 Rt ∆ABC 中， C = 90︒ ， AB = 3 ， AC = 2, 则 BC 的值（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．13
9．如图，已知点E 、F 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且EF ∥BC ，点D 是BC 边上的点，AD 与EF 交于点H ，则下列结论中，错误的是( )
A ．AE AH A
B AD = B ．AE EH AB HF =
C ．AE EF AB BC =
D ．A
E H
F AB CD
= 10．关于x 的分式方程2322x m m x x
++=--的解为正实数，则实数m 的取值范围是( ) A ．6m <-且2m ≠ B ．6m >且2m ≠
C ．6m <且2m ≠-
D ．6m <且2m ≠
二、填空题 11．已知一次函数y =kx +b 的图像过点（-1,0）和点（0,2），则该一次函数的解析式是______。

12．已知一次函数的图象经过两点()1,3A -，()2,5B -，则这个函数的表达式为__________． 13．如果a －b ＝2，ab ＝3，那么a 2b －ab 2＝_________；
14．菱形的面积是16，一条对角线长为4，则另一条对角线的长为______.
15．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，△ACB 的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上，若13AE AD =，则BC BD
=___.
16．已知在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于O ，且∠ABC 的角平分线与∠ACB 的外角平分线交于P ，∠OPC 和∠OCP 角平分线交于H ，∠H=117.5°，则∠A=________
17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以AC 为斜边作Rt △ADC ，若∠CAD ＝∠BAC ＝45°，则下列结论：①CD ∥EF ；②EF ＝DF ；③DE 平分∠CDF ；④∠DEC ＝30°；⑤AB ＝2CD ；其中正确的是_____（填序号）
三、解答题
18．如图，在平面直角坐标系中，函数()0k y x x =>的图象经过点()1,4A 和点B .过点A 作AC x ⊥轴，垂足为点C ，过点B 作BD y ⊥轴，垂足为点D ，连结AB 、BC 、DC 、DA .点B 的横坐标为()1a a >.
（1）求k 的值.
（2）若ABD ∆的面积为4.
①求点B 的坐标.
②在平面内存在点E，使得以点A、B、C、E为顶点的四边形是平行四边形，直接写出
符合条件的所有点E的坐标.
19．（6分）如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹．
（1）在图1中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；
（2）在图2中画出线段AB的垂直平分线．
20．（6分）某商店分两次购进A．B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：
（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B 两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
=，连21．（6分）如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，延长BE到F，使BE EF
接AF、CF、DF．
()1求证：AF BD
=；
()2若AB AC
⊥，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
22．（8分）如图，平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连结CE并延长，与BA的延长线交于点F，证明：EF＝EC．
23．（8分）已知一次函数y＝(1m－1)x＋m－1．
（1）若此函数图象过原点，则m＝________；
（1）若此函数图象不经过第二象限，求m的取值范围．
24．（10分）已知在线段AB上有一点C（点C不与A、B重合且AC＞BC），分别以AC、BC为边作正方形ACED和正方形BCFG，其中点F在边CE上，连接AG．
（1）如图1，若AC=7，BC=5，则AG=______；
（2）如图2，若点C是线段AB的三等分点，连接AE、EG，求证：△AEG是直角三角形．
25．（10分）已知三个实数x，y，z满足
33
2,,
44
xy yz zx
x y y z z x
=-==-
+++
，求
xyz
xy yz zx
++
的值．参考答案
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．B
【解析】
【分析】
几何变换．
根据关于y轴对称的点坐标横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案．
【详解】
解：∵两点的坐标分别是（-2，3）和（2，3），横坐标互为相反数，纵坐标相等，
∴两点关于y轴对称，
故选：B．
【点睛】
本题考查了关于y轴对称的点坐标，利用关于y轴对称的点坐标横坐标互为相反数，纵坐标相等是解题关键．
2．A
【解析】
【分析】
【详解】
解：根据网格结构，观察点对应点A、D，点A向左平移5个单位，再向下平移2个单位即可到达点D的位置，所以，平移步骤是：先把△ABC向左平移5个单位，再向下平移2个单位．
故选A．
3．C
【解析】
【分析】
由直角三角形的性质可求得DF=BD=1
2
AB，由角平分线的定义可证得DE∥BC，利用三角形中位线定理
可求得DE的长，则可求得EF的长．【详解】
解:∵AF⊥BF，D为AB的中点，
∴DF=DB=1
2
AB=6，
∴∠DBF=∠DFB，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠CBF，
∴∠DFB=∠CBF，
∴DE∥BC，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE=1
2
BC=10，
∴EF=DE−DF=10−6=4，
故选：C.
【点睛】
本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定
理.根据直角三角形斜边上的中线是斜边是斜边的一半可得△DBF为等腰三角形，通过角平分线的性质和等角对等边可得DF//BC，即DE为△ABC的中位线，从而计算出DE，继而求出EF.
4．D
【解析】
【分析】
根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，可得答案．
【详解】
A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故A不符合题意；
B、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故B不符合题意；
C、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故C不符合题意；
D、不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】
考查了函数的定义，利用了函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
5．A
【解析】
【分析】
【详解】
甲队每天修路xm，则乙队每天修（x－10）m，因为甲、乙两队所用的天数相同，
所以，120100
x x10
=
-
.
故选A.
6．C
【解析】
【分析】
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【详解】
解：10×10%=1，
故样本容量是1．
故选：C．
【点睛】
考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
7．B
【解析】
【分析】
由于在平行四边形ABCD中AB=CD，而AE=CF，由此可以得到BE=DF，根据平行四边形的判定方法即可判定其实平行四边形，所以不可能是梯形．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
又AE=CF，
∴BE=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，所以不可能是梯形．
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，注意：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如：等腰梯形．
8．A
【解析】
【分析】
根据勾股定理即可求出BC.
【详解】
由勾股定理得，225
=-=.
BC AB AC
故选A.
【点睛】
本题考查的是勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键.
9．B
【解析】
【分析】
利用平行线分线段成比例定理及推论判断即可．
平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例．推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例.
【详解】
解：∵EF ∥BC ， ∴AE AH AB AD =，AE EF AB BC =，AE AF AB AC ==HF CD
， ∴选项A ，C ，D 正确，
故选B ．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理及推论，解题的关键是熟练掌握基本知识．
10．D
【解析】
【分析】
先根据分式方程的解法，求出用m 表示x 的解，然后根据分式有解，且解为正实数构成不等式组求解即可.
【详解】
2322x m m x x
++=-- 去分母，得
x+m+2m=3（x-2）
解得x=62
m -+ ∵关于x 的分式方程
2322x m m x x ++=--的解为正实数 ∴x-2≠0，x ＞0 即62m -+≠2，62
m -+＞0， 解得m≠2且m ＜6
故选D.
点睛：此题主要考查了分式方程的解和分式方程有解的条件，用含m 的式子表示x 解分式方程，构造不等式组是解题关键.
二、填空题
11．y =2x +2
【解析】
【分析】
根据一次函数解析式y =kx +b ，再将点（-1,0）和点（0,2）代入可得方程组，解出即可得到k 和b 的值，即得到解析式.
【详解】
因为点（-1,0）和点（0,2）经过一次函数解析式y =kx +b ，所以0=-x+b ，2=b ，得到k=2，b=2，所以一次函数解析式是：y=2x+2，故本题答案是：y=2x+2.
【点睛】
本题考查用待定系数法求一次函数解析式，难度不大，关键是掌握待定系数发的运用.
12．8133y x =-
+ 【解析】
【分析】
设一次函数的解析式是：y=kx+b ，然后把点()1,3A -，()2,5B -代入得到一个关于k 和b 的方程组，从而求得k 、b 的值，进而求得函数解析式．
【详解】
解：设一次函数的解析式是：y=kx+b ，
根据题意得：-32-5k b k b +⎧⎨+⎩
＝＝， 解得：8-313
k b ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝， 则一次函数的解析式是：8133y x =-
+． 故答案是：8133
y x =-
+． 【点睛】
本题考查了待定系数法求函数的解析式，先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式．当已知函数解析式时，求函数中字母的值就是求关于字母系数的方程的解．
13．6
【解析】
【分析】
首先将a 2b －ab 2提取公因式，在代入计算即可.
【详解】
解：22
=()ab a b ab a b -－
代入a －b ＝2，ab ＝3
则原式=326⨯=
故答案为6.
【点睛】
本题主要考查因式分解的计算，关键在于提取公因式，这是基本知识点，应当熟练掌握.
14．8
【解析】
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行计算即可求得.
【详解】设另一条对角线的长为x ，则有 42x =16， 解得：x=8，
故答案为8.
【点睛】本题考查了菱形的面积，熟知菱形的面积等于菱形对角线乘积的一半是解题的关键.
15．5
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质就可以得出△AEC ≌△BDC ，就可以得出AE=BD ，∠E=∠BDC ，由等腰直角三角形的性质就可以得出∠ADB=90°，由勾股定理就可以得出：222AD BD AB +=，再设AE=k ，则AD=3k ，BD=k ，求出BC=5k ，进而得到
BC BD
的值． 【详解】
∵△ACB 与△ECD 都是等腰直角三角形，
∴∠ECD=∠ACB=90°,
∠E=∠ADC=∠CAB=45°,EC=DC,AC=BC, 222AC BC AB +=
∴222BC AB =，∠ECD−∠ACD=∠ACB−∠ACD ，
∴∠ACE=∠BCD.
在△AEC 和△BDC 中，
AC BC ACE BCD EC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AEC ≌△BDC(SAS)，
∴AE=BD ，∠E=∠BDC ，
∴∠BDC=45°，
∴∠BDC+∠ADC=90°，
即∠ADB=90°.
∴222AD BD AB +=. ∵13
AE AD =， ∴可设AE=k ，则AD=3k ，BD=k ，
∴22222102AB AD BD k BC =+==，
∴
，
∴BC BD ==
.
【点睛】
此题考查勾股定理、等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质，解题关键在于“设k 法”列出比例式即可. 16．70°
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理，可得∠HCP+∠HPC=62.5°，由角平分线的性质，得∠OCP+∠OPC=125°，由三角形外角性质，得到∠BOC 的度数，然后∠OBC+OCB=55°，然后可以计算得到∠A 的度数.
【详解】
解：∵∠H=117.5°，
∴∠HCP+∠HPC=180°-117.5°=62.5°，
∵CH平分∠OCP，PH平分∠OPC，
∴∠OCP+∠OPC=2（∠HCP+∠HPC）= 125°，
∴∠BOC=125°，
∴∠OBC+∠OCB=180°-125°=55°，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+OCB）=110°，
∴∠A=180°-110°=70°；
故答案为：70°.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用性质求出有关的角度.
17．①②③⑤
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理得到EF＝1
2
AB，EF∥AB，根据直角三角形的性质得到DF＝
1
2
AC，根据三角形内角
和定理、勾股定理计算即可判断．【详解】
∵E，F分别是BC，AC的中点，
∴EF＝1
2
AB，EF∥AB，
∵∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∴EF∥CD，故①正确；
∵∠ADC＝90°，F是AC的中点，
∴DF＝CF=1
2 AC，
∵AB=AC，EF＝1
2 AB，
∴EF＝DF，故②正确；
∵∠CAD=∠ACD=45°，点F是AC中点，
∴△ACD是等腰直角三角形，DF⊥AC，∠FDC=45°，∴∠DFC=90°，
∵EF//AB ，
∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°，
∴∠EFD=∠EFC+∠DFC=135°，
∴∠FED ＝∠FDE ＝22.5°，
∵∠FDC ＝45°，
∴∠CDE=∠FDC-∠FDE=22.5°，
∴∠FDE=∠CDE ，
∴DE 平分∠FDC ，故③正确；
∵AB ＝AC ，∠CAB ＝45°，
∴∠B ＝∠ACB ＝67.5°，
∴∠DEC ＝∠FEC ﹣∠FED ＝45°，故④错误；
∵△ACD 是等腰直角三角形，
∴AC 2=2CD 2，
∴CD ，
∵AB=AC ，
∴AB CD ，故⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识．掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
三、解答题
18．（1）4；（2）①点B 的坐标为43,3⎛⎫ ⎪⎝⎭．②1163,
3E ⎛⎫ ⎪⎝⎭、283,3E ⎛⎫- ⎪⎝⎭、381,3E ⎛⎫- ⎪⎝
⎭ 【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法将A 点代入，即可求函数解析式的k 值；
（2）用三角形ABD 的面积为4,列方程，即可求出a 的值,可得点B 的坐标；
（3）E 的位置分三种情况分析，由平行四边形对边平行的关系，用平移规律求对应点的坐标.
【详解】
（1）函数(0)k y x x =>的图象经过点()1,4A ， ∴144k =⨯=
（2）①如图，设AC 与BD 交与M,
点B 的横坐标为()1a a >，点B 在4
(0)y x x =>的图象上，
∴点B 的坐标为4,a a ⎛⎫
⎪⎝⎭．
∵AC x ⊥轴，BD y ⊥轴，
∴BD a =，4
4AM a =-．
∵ABD ∆的面积为4， ∴1
42BD AM ⋅=． ∴448a a ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭．
∴3a =．
∴点B 的坐标为43,3⎛⎫
⎪⎝⎭．
②∵()1,4A C(1,0)
∴AC=4
当以ACZ 作为平行四边形的边时，BE=AC=4 ∴4
|y |43E -= ∴16
8
y y 33E E ==或 ∴1163,3E ⎛
⎫
⎪⎝⎭、283,3E ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
当AC 作为平行四边形的对角线时，AC 中点为12（，）
∴BE 中点为（1，2）设E(x ，y)
∵点B 的坐标为43,3⎛⎫
⎪⎝⎭
则
3+x
=1
2
4
+y
3=2
2
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
解得：
x=-1
8
y=
3
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
∴3
8
1,
3
E⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
综上所述：在平面内存在点E，使得以点A、B、C、E为顶点的四边形是平行四边形，符合条件的所有点E的坐标为：1
16
3,
3
E⎛⎫
⎪
⎝⎭
、2
8
3,
3
E⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
、3
8
1,
3
E⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
故答案为1
16
3,
3
E⎛⎫
⎪
⎝⎭
、2
8
3,
3
E⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
、3
8
1,
3
E⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
【点睛】
本题考察了利用待定系数法求反比例函数，以及利用三角形面积列方程求点的坐标和平行四边形的平移规律求点的坐标，解题的关键是会利用待定系数法求解析式，会用平移来求点的坐标.
19．（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【解析】
试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．
（2）根据正方形、长方形的性质对角线相等且互相平分，即可解决问题．
试题解析：（1）如图所示，∠ABC=45°．（AB、AC是小长方形的对角线）．
（2）线段AB的垂直平分线如图所示，点M是长方形AFBE是对角线交点，点N是正方形ABCD的对角线的交点，直线MN就是所求的线段AB的垂直平分线．
考点：作图—应用与设计作图．
20．（1）A种商品每件的进价为20元，B种商品每件的进价为80元；（2）当购进A种商品800件、B种商品2件时，销售利润最大，最大利润为120元．
【解析】
试题分析：（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000﹣m）件，根据总利润=单件利润×购进数量，即可得出w与m之间的函数关系式，由A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题．试题解析：（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，
根据题意得：，解得：．
答：A种商品每件的进价为20元，B种商品每件的进价为80元．
（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000﹣m）件，
根据题意得：w=（30﹣20）（1000﹣m）+（100﹣80）m=10m+1．
∵A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，
∴1000﹣m≥4m，
解得：m≤2．
∵在w=10m+1中，k=10＞0，
∴w的值随m的增大而增大，
∴当m=2时，w取最大值，最大值为10×2+1=120，
∴当购进A种商品800件、B种商品2件时，销售利润最大，最大利润为120元．
考点：一次函数的应用，二元一次方程组的应用，解一元一次不等式.
21．（1）证明见解析（2）四边形AFCD是菱形
【解析】
【分析】
(1)只要证明四边形ABDF是平行四边形即可；
(2)结论：四边形AFCD 是菱形.首先证明四边形ADCD 是平行四边形，再证明DA=DC 即可.
【详解】
（1）AE ED =，BE EF =，
∴四边形ABDF 是平行四边形，
AF BD ∴=；
()2结论：四边形ADCF 是菱形，理由如下：
AB AC ⊥，
CAB 90∠∴=，
CD DB =，
1AD BC DC 2
∴==， 四边形ABDF 是平行四边形，
AF//CD ∴，AF BD =，
AF CD ∴=，
∴四边形AFCD 是平行四边形，
DA DC =，
∴四边形AFCD 是菱形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、直角三角形斜边中线等，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.
22．见解析.
【解析】
【分析】
由题意可得AE=DE ，∠FEA=∠DEC ，∠FAE=∠D ，则可证△AEF ≌△DEC ，则可得结论．
【详解】
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形
∴AB ∥CD
∴∠EAF=∠EDC
∵E 是AD 中点
∴AE=DE
∵AE=DE ，∠FEA=∠DEC ，∠FAE=∠EDC
∴△EAF ≌△DEC
∴EF=EC
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，关键是熟练运用这些性质解决问题．
23．（1）1；（1）-1
2
＜m≤1．
【解析】
【分析】
（1）把坐标原点代入函数解析式进行计算即可得解；
（1）根据图象不在第二象限，k＞0，b≤0列出不等式组求解即可．【详解】
（1）∵函数的图象经过原点，
∴m-1=0，
解得m=1；
（1）∵函数的图象不过第二象限，
∴
210
20
m
m
+
⎧
⎨
-≤
⎩
＞①
②
，
由①得，m＞-1
2
，
由②得，m≤1，
所以，-1
2
＜m≤1．
【点睛】
本题考查了两直线平行的问题，一次函数与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，综合题但难度不大，熟记一次函数的性质是解题的关键．
24．（1）13；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由正方形的性质得出∠B=90°，BG=BC=5，则AB=AC+BC=12，由勾股定理即可得出结果；
（2）设BC=a，由正方形的性质和点C是线段AB的三等分点得出AC=CE=2BC=2CF=2a，BC=BG=FG=CF=EF=a，∠B=∠ACE=∠EFG=∠EFG=90°，由勾股定理得出AE2=AC2+CE2=8a2，AG2=AB2+BG2=10a2，EG2=EF2+FG2=2a2，证得AG2=AE2+EG2，即可得出结论．
【详解】
（1）解：∵四边形BCFG是正方形，
∴∠B=90°，BG=BC=5，
∵AB=AC+BC=7+5=12，
∴=13， 故答案为：13； （2）证明：设BC=a ，
∵四边形ACED 和四边形BCFG 都是正方形，点C 是线段AB 的三等分点， ∴AC=CE=2BC=2CF=2a ，BC=BG=FG=CF=EF=a ，∠B=∠ACE=∠EFG=∠EFG=90°， ∴AE 2=AC 2+CE 2=8a 2， AB=3BC=3a ，
AG 2=AB 2+BG 2=9a 2+a 2=10a 2， EG 2=EF 2+FG 2=a 2+a 2=2a 2， ∴AE 2+EG 2=8a 2+2a 2=10a 2， ∴AG 2=AE 2+EG 2， ∴△AEG 是直角三角形． 【点睛】
此题考查正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质与勾股定理是解题的关键． 25．4 【解析】 【分析】 求
332,,44xy yz zx x y y z z x =-==-+++得到144
,,211111133
x y z x y z +=-+=+=-，然后求出111x y z
++的值，xyz xy yz zx ++分子分母同除以xyz 得1
111x
y
z
++，即可求解。

【详解】 解：∵
33
2,,44
xy yz zx x y y z z x =-==-+++ ∴144,,211111133
x y z x y z +=-+=+=- ∴
11=4
11x y z ++ xyz
xy yz zx
++分子分母同除以xyz 得1
111x y z
++=4
【点睛】
本题考查了条件代数式求值问题，关键在于观察条件和所求代数式直接的联系；本题的联系在于倒数的应用和分式基本性质的应用。

2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．已知不等式组21
12x x a
-⎧≥⎪
⎨⎪≥⎩的解集是x≥2，则a 的取值范围是( )
A ．a ＜2
B ．a ＝2
C ．a ＞2
D ．a≤2
2．边长为3cm 的菱形的周长是( ) A ．15cm
B ．12cm
C ．9cm
D ．3cm
3．三角形的三边a 、b 、c 满足a （b ﹣c ）+2（b ﹣c ）＝0，则这个三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
4．在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A ，B ，C 的坐标分别为(2,0)-，(2,0)，(2,3)，则顶点D 的坐标是( ) A ．(2,3)-
B ．(2,3)--
C ．(2,3)
D ．(2,3)-
5．关于函数y= -x-3的图象，有如下说法：
①图象过点（0，-3）；②图象与x 轴的交点是（-3，0）；③由图象可知y 随x 的增大而增大； ④图象不经过第一象限；⑤图象是与y= -x ＋4平行的直线．其中正确的说法有（ ） A ．5个 B ．4个
C ．3个
D ．2个
6
x 的取值范围是（ ） A ．12
x ≠-
B ．12
x >-
C ．2
1x ≥-
D ．1
2
x >-
且0x ≠ 7．某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间的关系如下表，下列说法不正确的是（）
A ．参加本次植树活动共有29人
B ．每人植树量的众数是4
C ．每人植树量的中位数是5
D ．每人植树量的平均数是5
8．以矩形ABCD 两对角线的交点O 为原点建立平面直角坐标系，且x 轴过BC 中点，y 轴过CD 中点，y ＝1
2
x ﹣2与边AB 、BC 分别交于点E 、F ，若AB ＝10，BC ＝3，则△EBF 的面积是( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
9．在以x 为自变量， y 为函数的关系式y=5πx 中，常量为（ ） A ．5 B ．π
C ．5π
D ．πx
10．若
0234a b c ==≠，则22a b c a -+= ( ) A ．45 B ．54 C ．34
D ．无法确定
二、填空题
11．若n 边形的内角和是它的外角和的2倍，则n= .
12．如果关于x 的方程kx 2﹣6x+9＝0有两个相等的实数根，那么k 的值为_____． 13．若关于x 的一元二次方程2240x mx m ++-=有一个根为0x = ，则m =________. 14．已知直角三角形的两条边为5和12，则第三条边长为__________．
15．在比例尺1∶8000000的地图上，量得太原到北京的距离为6.4厘米，则太原到北京的实际距离为公里。

16．为了解某篮球队队员身高，经调查结果如下：172cm 3人，173cm 2人，174cm 2人，175cm 3人，则该篮球队队员平均身高是__________cm ．
17．如图，在△ABC 中，BF 平分∠ABC ，AG ⊥BF ，垂足为点D ，交BC 于点G ，E 为AC 的中点，连接DE ，若DE=2.5 cm ，AB=4 cm ，则BC 的长为_______cm.
三、解答题
18．服装店去年10月以每套500元的进价购进一批羽绒服，当月以标价销售，销售额14000元进入11月份搞促销活动，每件降价50元，这样销售额比10月份增加了5500元，售出的件数是10月份的1.5 倍，求每件羽绒服的标价是多少元.
19．（6分）市教育局为了解本市中学生参加志愿者活动情况，随机拍查了某区部分八年级学生一学年来参加志愿者活动的次数，并用得到的数据绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）求参加这次调查统计的学生总人数及这个区八年级学生平均每人一学年来参加志愿者活动的次数；（2）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？
（3）如果该区共有八年级学生3000人，请你估计“活动次数不少于4次”的学生人数大约多少人．20．（6分）如图，A l，B l分别表示小明步行与小刚骑车在同一路上行驶的路程S与时间t的关系．
（1）小刚出发时与小明相距________米．走了一段路后，自行车发生故障进行修理，所用的时间是
________分钟．
（2）求出小明行走的路程S与时间t的函数关系式．（写出计算过程）
（3）请通过计算说明：若小刚的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，何时与小明相遇？21．（6分）如图，E、F分别平行四边形ABCD对角线BD上的点，且BE＝DF．
求证：∠DAF＝∠BCE．
22．（8分）如图，直线y＝－x＋10与x轴、y轴分别交于点B，C，点A的坐标为(8，0)，P(x，y)是直线y ＝－x＋10在第一象限内的一个动点．
(1)求△OPA的面积S与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)过点P作PE⊥x轴于点E，作PF⊥y轴于点F，连接EF，是否存在一点P使得EF的长最小，若存在，求
出EF的最小值；若不存在，请说明理由．
23．（8分）（1）解不等式组：321
12(1) 2
x x
x
x
+>+
⎧
⎪
⎨
+<-
⎪⎩
①
②
（2）化简：
2
521
11
a a a
a a a
-
⎛⎫
-⋅
⎪
+-
⎝⎭
．
24．（10分）用无刻度的直尺按要求作图，请保留画图痕迹，不需要写作法．
（1）如图1，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线．
（2）如图2，在8×6的正方形网格中，请用无刻度直尺画一个与△ABC面积相等，且以BC为边的平行四边形，顶点在格点上．
25．（10分）已知在等腰三角形ABC中，,
AB AC D
=是BC的中点，O是ABC
∆内任意一点，连接,,,
OA OB OC OD,过点B作//
BE OC, 交OD的延长线于点E,延长OA到点F,使得AF OA
=,连接,
FE CE.
（1）如图1,求证:四边形OBEC是平行四边形；
（2）如图2，若90
BAC
∠=，求证:EF BC
⊥且EF BC
=;
参考答案
一、选择题（每题只有一个答案正确） 1．B 【解析】 【分析】
解不等式①可得出x ≥3
2
，结合不等式组的解集为x ≥1即可得出a=1，由此即可得出结论． 【详解】
21
12
x x a -⎧≥⎪
⎨⎪≥⎩①②
， ∵解不等式①得：x ≥
3
2
， 又∵不等式组21
12
x x a
-⎧≥⎪
⎨⎪≥⎩ 的解集是x ≥1，∴a=1． 故选B ． 【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法及步骤是解题的关键． 2．B 【解析】。