湖北省宜昌市第一中学2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题 答案和解析
2023届湖北省宜昌一中高一上数学期末考试试题含解析
(2)若 ,求实数 的取值范围.
19.已知函数 是定义在 上的增函数,且 ,求x的取值范围.
20.已知函数 ( ,且 ).
(1)求函数 的定义域;
(2)是否存在实数a,使函数 在区间 上单调递减,并且最大值为1?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
21.阅读材料:我们研究了函数的单调性、奇偶性和周期性,但是这些还不能够准确地描述出函数的图象,例如函数 和 ,虽然它们都是增函数,图象在 上都是上升的,但是却有着显著的不同.如图1所示,函数 的图象是向下凸的,在 上任意取两个点 ,函数 的图象总是在线段 的下方,此时函数 称为下凸函数;函数 的图象是向上凸的,在 上任意取两个点 ,函数 的图象总是在线段 的上方,则函数 称为上凸函数.具有这样特征的函数通常称做凸函数.
(1)求阴影部分的面积;
(2)当 时,求 的值.
参考答案
一、选择题(本大题共12小题,共60分)
1、C
【解析】首先求平移后的解析式 ,再根据函数关于 轴对称,当 时, ,求 的值.
【详解】函数 的图象沿 轴向右平移 个单位后的解析式是 ,
若函数图象关于 轴对称,当 时,
,
解得: ,
当 时, .
故选:C
3、B
【解析】先求出函数 的零点的范围,进而判断 的范围,即可求出 .
【详解】由题意可知 是 的零点,
易知函数 是(0, )上的单调递增函数,
而 , ,
即
所以 ,
结合 性质,可知 .
故选B.
【点睛】本题考查了函数的零点问题,属于基础题
4、C
【解析】根据指数函数的概念,由所给解析式,可直接求解.
【详解】因为 是指数函数,
2020年湖北省宜昌市一中、恩施高中高一上学期末联考数学试题及答案
2020年湖北省宜昌市一中、恩施高中高一上学期末联考数学试题及答案一、单选题1.设集合{A x y ==,{}3log ,19B y y x x ==≤≤,A B =( )A .∅B .[]1,2C .[]0,2D .[]1,3【答案】B【解析】求出集合A 、B ,然后利用交集的定义可求出集合AB .【详解】{{}[)101,A x y x x ===-≥=+∞,由于函数3log y x =为增函数,当19x ≤≤时,333log 1log log 9x ≤≤,即30log 2x ≤≤,即{}[]3log ,190,2B y y x x ==≤≤=,因此,[]1,2A B =.故选:B. 【点睛】本题考查交集的计算,同时也考查了函数定义域和对数函数值域的计算,考查计算能力,属于基础题. 2.下列各组函数中,表示同一函数的是( ) A .1y =,0y x =B .()()22log 1log 2y x x =-++,()()2log 12y x x =-+C .y x =,y =D .11x x y e e -+=⋅,2t y e =【答案】D【解析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可. 【详解】对于A 选项,函数1y =的定义域为R ,函数0y x =的定义域为{}0x x ≠,两个函数的定义域不相同,A 选项中的两个函数不是同一函数; 对于B选项,由1020x x ->⎧⎨+>⎩,可得1x >,函数()()22log 1log 2y x x =-++的定义域为()1,+∞,解不等式()()120x x -+>,解得2x <-或1x >,则函数()()2log 12y x x =-+的定义域为()(),21,-∞-⋃+∞,两个函数的定义域不相同,B 选项中的两个函数不是同一函数;对于C 选项,两个函数的定义域均为R ,且y x==,两个函数的对应法则不相同, C 选项中的两个函数不是同一函数;对于D 选项,两个函数的定义域均为R ,且112x x x y e e e -+=⋅=,两个函数的对应法则相同,D 选项中的两个函数是同一函数. 故选:D. 【点睛】本题主要考查两个函数是否为同一函数,判断函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键,比较基础. 3.若向量()3,2a =,(),6b x =,且//a b ,则x 的值为( )A .9B .1-C .4-D .9-【答案】A【解析】根据共线向量的坐标表示可得出关于实数x 的方程,求出即可. 【详解】向量()3,2a =,(),6b x =,且//a b ,23618x ∴=⨯=,解得9x =. 故选:A. 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示,关键是掌握向量平行的坐标表示,属于基础题.4.三个数1eπ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1e π,1ln π的大小关系为( )A .111ln ee πππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ B .111ln ee πππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C .111ln ee πππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D .111ln e e πππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭【答案】A【解析】利用指数函数、对数函数的单调性比较三个数与0和1的大小关系,从而可得出三个数的大小关系.【详解】指数函数1xy π⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数,所以01101e ππ⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; 指数函数x y e =为增函数,所以101e e π>=;对数函数ln y x =为()0,∞+上的增函数,所以1lnln10π<=.因此,111ln ee πππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.故选:A. 【点睛】本题考查三个数的大小的判断,考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识,考查推理能力,是基础题. 5.已知方程()23log 0kx x k +=<的实根0x 满足()01,2x ∈,则k 的取值范围为( ) A .3k <- B .10k -<< C .31k -<<- D .3k <-或10k -<<【答案】C【解析】构造函数()2log 3f x kx x =-+,判断出函数()y f x =为减函数,由题意得出()()1020f f ⎧>⎪⎨<⎪⎩,解出不等式组即可得出实数k 的取值范围. 【详解】构造函数()2log 3f x kx x =-+,0k <,函数3y kx =+为减函数,又函数2log y x =为增函数,所以,函数()2log 3f x kx x =-+为减函数,由于方程()23log 0kx x k +=<的实根0x 满足()01,2x ∈,则()()1302220f k f k ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩, 解得31k -<<-. 故选:C. 【点睛】本题考查利用方程根的取值范围求参数的取值范围,利用函数的单调性得出端点函数值符号是解题的关键,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.6.已知cos cos tan sin sin ααααα+=+则的值为 ( ) A .﹣1 B .﹣2C .12D .2【答案】D【解析】试题分析:∵sin cos αα+=∴2(sin cos )2αα+=,∴1sin cos 2αα=, ∴cos sin cos 1tan 2sin cos sin sin cos ααααααααα+=+==.【考点】平方关系、商数关系.7.已知扇形AOB ∆的周长为4,当扇形的面积取得最大值时,扇形的弦长AB 等于( ) A .2 B .sin1 C .2sin1 D .2cos1【答案】C【解析】设扇形的半径为r ,可得出扇形的弧长为()4202l r r =-<<,利用二次函数的基本性质可求得扇形面积的最大值,求出对应的r 的值,进而求出扇形的圆心角的弧度数,然后利用等腰三角形的性质可求出扇形的弦长AB .【详解】设扇形的半径为r ,可得出扇形的弧长为()4202l r r =-<<,所以,扇形的面积为()()22114221122S lr r r r r r ==-=-+=--+, 当1r =时,该扇形的面积取到最大值1,扇形的弧长为422l r =-=,此时2lAOB r∠==, 如下图所示:取AB的中点C,则OC AB∠=,因此,AOC⊥,且1===.22sin12sin1AB AC r故选:C.【点睛】本题考查扇形面积最值的计算,同时也考查了扇形弦长的计算,涉及二次函数基本性质的应用,考查计算能力,属于中等题.),则下面结8.已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin (2x+2π3论正确的是( )A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,个单位长度,得到曲线C2再把得到的曲线向右平移π6B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,个单位长度,得到曲线C2再把得到的曲线向左平移π12C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的1倍,纵坐标不变,2个单位长度,得到曲线C2再把得到的曲线向右平移π6D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的1倍,纵坐标不变,2个单位长度,得到曲线C2再把得到的曲线向左平移π12【答案】D【解析】把C1上各点的横坐标缩短到原来的1倍,纵坐标2不变,得到函数y=cos2x图象,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到函数y=cos2(x+π12)=cos (2x+π6)=sin (2x+2π3)的图象,即曲线C 2,故选D .点睛:三角函数的图象变换,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也常出现在题目中,所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈;函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈;函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈;函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.9.函数ln |1|x y e x =--的图像大致是( )A .B .C .D .【答案】D【解析】根据函数的形式和图象,分1x ≥和01x <<两种情况去绝对值,判断选项. 【详解】 当1x ≥时,()ln 111xy ex x x =--=--=,当01x <<时,()ln ln 1111xx y ex e x x x-=--=--=+- 只有D 满足条件.故选:D 【点睛】本题考查含绝对值图象的识别,属于基础题型. 一般根据选项判断函数的奇偶性,零点,特殊值的正负,以及单调性,极值点等排除选项.10.函数()y f x =满足()2f x f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,(),sin cos ,sin cos x x xf x x x x≤=>,则函数()lg y f x x =-的零点个数为( ) A .10 B .11 C .12 D .13【答案】B【解析】由题意可知,函数()y f x =是周期为2π的周期函数,函数()lg y f x x =-的零点个数等价于函数()y f x =与函数lg y x =图象的交点个数,作出两个函数的图象,观察两个函数图象的交点个数即可. 【详解】函数()y f x =满足()2f x f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则函数()y f x =是周期为2π的周期函数,令()lg 0f x x -=可得()lg f x x =,函数()lg y f x x =-的零点个数等价于函数()y f x =与函数lg y x =图象的交点个数,当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,(),sin cos ,sin cos x x x f x x x x≤=>,则()max 1f x =,如下图所示:由于13104π<,当10x >时,lg 1x,此时,函数()y f x =与函数lg y x =的图象没有公共点,由上图可知,函数()y f x =与函数lg y x =的图象共有11个交点,因此,函数()lg y f x x =-的零点个数为11. 故选:B. 【点睛】本题考查函数的零点个数,将问题转化为两个函数图象的交点个数是解题的关键,考查数形结合思想的应用,属于中等题.11.已知函数())221log 121xxe f x x x e -=++++,则不等式()2sin 212f x ->,()0,x π∈的解集为()A .,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B .2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C .5,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D .50,,1212πππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】设函数()()2g x f x =-,判断出该函数为R 上的奇函数且为减函数,将所求不等式化为()()2sin 210g x g ->,利用函数()y g x =的单调性得出2sin 210x -<,然后在区间()0,π上解此不等式即可.【详解】设函数()())212log 1xxe g xf x x e -=-=++,则()00g =,对任意的x ∈Rx x >≥0x >在R 上恒成立,所以,函数()y g x =的定义域为R .()())()()2211log log 11x x x xx x e e e g x x x e e e ------⎤-=-+=+⎥⎦++)21log 1x x e x e -=++, ()()))2211log log 11xx xxe e g x g x x x e e --∴+-=+++++)()22222log log 1log 10xx x x ⎡⎤==+-==⎢⎥⎣⎦,()()g x g x ∴-=-,所以,函数()y g x =为奇函数, 当0x ≤时,由于函数u x 为减函数,函数2log y u =为增函数,所以,函数())2log h x x=在(],0-∞上为减函数,()()21121111xx x x xe e x e e eϕ-+-===-+++在(],0-∞上为减函数, 所以,函数()y g x =在(],0-∞上为减函数,则该函数在区间[)0,+∞上也为减函数,由于函数()y g x =在R 上连续,所以,函数()y g x =在R 上为减函数,由()2sin 212f x ->,可得()2sin 2120f x -->,即()()2sin 210g x g ->,所以,2sin 210x -<,即1sin 22x <,()0,x π∈,()20,2x π∴∈, 所以026x π<<或5226x ππ<<,解得012x π<<或512x ππ<<,因此,不等式()2sin 212f x ->,()0,x π∈的解集为50,,1212πππ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:D. 【点睛】本题考查利用函数的单调性解函数不等式,涉及正弦函数基本性质的应用,判断出函数的奇偶性和单调性是解题的关键,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题. 12.已知函数()2(43)3,0,log (1)1,0ax a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩(0a >,且a 1≠)在R上单调递减,且关于x 的方程()2f x x =-恰有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是A .20,3⎛⎤⎥⎝⎦B.[23,34]C .[13,23]{34}D .[13,23){34}【答案】C【解析】试题分析:由()f x 在R 上单调递减可知34013{313401a a a a -≥≥⇒≤≤<<,由方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解,可知32,a ≤,1233a ≤≤,又34a =时,抛物线2(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切,也符合题意,∴实数a 的取值范围是123[,]334⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭,故选C.【考点】函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.二、填空题13.已知()2,1a =,()1,2b =-,若()4,7ma nb -=,则m n +的值为_____. 【答案】5【解析】根据向量的坐标运算建立关于实数m 、n 的方程组,解出即可. 【详解】()2,1a =,()1,2b =-,且()()2,24,7ma nb m n m n -=-+=,则有2427m n m n -=⎧⎨+=⎩, 解得32m n =⎧⎨=⎩,因此,5m n +=.故答案为:5. 【点睛】本题考查利用平面向量坐标运算求参数,根据坐标运算建立方程组是解题的关键,考查计算能力,属于基础题. 14.若3log 21x =,则44x x -+=_____.【答案】829【解析】利用对数的运算以及对数与指数的互化可得出23x =,可得出49x =,进而可计算出44x x -+的值.【详解】33log 2log 21x x ==,23x ∴=,则()()224229xx x ===,因此,18244999x x -+=+=. 故答案为:829.【点睛】本题考查指数和对数的运算,掌握对数和指数的运算律是解题的关键,考查计算能力,属于基础题.15.函数()12log sin 26f x x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间为_____.【答案】(),126k k k Z ππππ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦【解析】根据题意求函数sin 26u x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的增区间且满足sin 206x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭,由此可得出关于x 的不等式,解出即可得出函数()y f x =的单调递减区间. 【详解】 对于函数()12log sin 26f x x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,自变量x 满足sin 206x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭, 由于外层函数12log y u=为减函数,要求函数()12log sin 26f x x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间,即求内层函数sin 26u x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间,令()22262k x k k Z ππππ<+≤+∈,解得()126k x k k Z ππππ-<≤+∈, 因此,函数()12log sin 26f x x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间为(),126k k k Z ππππ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦. 故答案为:(),126k k k Z ππππ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查复合对数函数单调区间的求解,涉及了正弦型函数单调区间的求解,在解题时不要忽略函数的定义域的求解,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题. 16.下面5个说法中正确的序号为_____. ①函数()22x f x x =-有两个零点;②函数tan 216y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象关于点,13π⎛⎫-⎪⎝⎭对称; ③若α是第三象限角,则sincos 22sincos22αα+的取值集合为{}2,0-;④锐角三角形ABC 中一定有sin cos A B >; ⑤已知()1xx a f x a =+(0a >且1a ≠),同一平面内有O 、A 、B 、C 四个不同的点,若()()OA f x OB f x OC =+-,则A 、B 、C 必定三点共线. 【答案】②④⑤【解析】利用零点存在定理以及()()240f f ==可判断命题①的正误;求出函数tan 216y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的对称中心坐标,利用赋值法可判断命题②的正误;确定2α的象限,去绝对值,求出sincos 22sincos22αααα+的取值集合,可判断命题③的正误;利用正弦函数的单调性可判断命题④的正误;计算出()()1f x f x +-=,可判断命题⑤的正误.【详解】 对于命题①,()1102f -=-<,()010f =>,由零点存在定理知,函数()22xf x x =-在区间()1,0-上有零点,又()()240f f ==,则函数()22x f x x =-的零点个数大于2,命题①错误;对于命题②,令()262k x k Z ππ-=∈,解得()124k x k Z ππ=+∈, 令1k =,可得3x π=,所以,函数tan 216y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象关于点,13π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称,命题②正确; 对于命题③,如下图所示:由于角α为第三象限角,由等分象限法知,角2α是第二象限或第四象限角.若角2α是第二象限角,sin02α>,cos02α<,sin cos 22110sincos22αααα+=-=;若角2α是第四象限角,sin02α<,cos02α>,sin cos22110sincos22αα+=-+=.命题③错误;对于命题④,由于ABC ∆是锐角三角形,则2A B π+>,所以2B A π-<,即022B A ππ<-<<,因为正弦函数在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数,所以,sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭,命题④正确;对于命题⑤,()1xx a f x a =+,则()()1111x x x x x x xa a a f x a a a a ----⋅-===++⋅+,()()1111x x xa f x f x a a ∴+-=+=++,()()OA f x OB f x OC =+-,A ∴、B 、C 三点共线,命题⑤正确.因此,正确说法的序号为:②④⑤. 故答案为:②④⑤. 【点睛】本题考查命题真假的判断,涉及函数零点个数、三角函数符号和基本性质、以及利用向量共线处理三点共线问题,考查推理能力,属于中等题.三、解答题17.(116127⎛⎫+⎪⎝⎭(2)已知tan 2θ=-,求22sin cos cos θθθ+-的值.【答案】(1)lg 33-;(2)75. 【解析】(1)根据指数与对数的运算律可计算出所求代数式的值;(2)将所求代数式化为2222sin cos cos 2sin sin cos cos θθθθθθθ+-=++,并除以22sin cos θθ+,然后在分式的分子和分母中同时除以2cos θ,然后代入tan θ的值计算即可. 【详解】 (1)1136611327⨯⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭121111lg 3lg 3333⎛⎫=-+=-+-=- ⎪⎝⎭; (2)tan 2θ=-,2222sin cos cos 2sin sin cos cos θθθθθθθ+-=++()()2222222222212sin sin cos cos 2tan tan 17sin cos tan 1521θθθθθθθθθ⨯--+++++====++-+. 【点睛】本题考查指数、对数的运算,同时也考查了弦化切思想的应用,考查计算能力,属于基础题. 18.已知集合A 为函数()222log 21y xax a =-+-的定义域,集合{}ln 2lg1000B x e x =≤≤.(1)当1a =-时,求()RA B ;(2)若A B A ⋃=,求实数a 的取值范围.【答案】(1)()()(),20,23,-∞-+∞;(2)()(),14,-∞⋃+∞. 【解析】(1)求出集合A 、B ,然后利用补集和交集的定义可求出集合()RA B ;(2)由A B A ⋃=可得出B A ⊆,可得出关于实数a 的不等式组,解出即可. 【详解】 (1)据题意{}()(){}22210110A x x ax a x x a x a ⎡⎤⎡⎤=-+->=--⋅-+>⎣⎦⎣⎦()(),11,a a =-∞-++∞,当1a =-时,()(),20,A =-∞-+∞.{}[]ln 2lg10002,3B x e x =≤≤=,所以()(),23,R B =-∞+∞,因此,()()()(),20,23,RA B =-∞-+∞;(2)A B A =,B A ∴⊆,所以12a +<或13a ->,解得1a <或4a >,因此,实数a 的取值范围是()(),14,-∞⋃+∞. 【点睛】本题考查集合的基本运算,同时也考查了利用集合的包含关系求参数,考查运算求解能力,属于中等题. 19.在ABC ∆中,3AE EC =,2BD DC =,点P 为AD 与BE 的交点,记AB a =,AC b =.(1)用a 、b 表示AD 、BE ; (2)求:BP PE .【答案】(1)1233AD a b =+;34BE b a =-(2)83. 【解析】(1)由2BD DC =可求得1233AD a b =+,34AE b =,再由平面向量的减法可得出BE 关于a 、b 的表达式;(2)由B 、P 、E 三点共线,可BP PE λ=,0λ>,由A 、P 、D 三点共线,设AP PD μ=,0μ>,根据平面向量的线性运算得出AD 关于a 、b 的两个表达式,由此可得出关于实数λ、μ的方程组,解出即可得出:BP PE 的值.【详解】 (1)2BD DC =,()2AD AB AC AD=∴--,即12123333AD AB AC a b =+=+, 43343b AE EC AC ===,因此,3344BE AE AB AC AB b a =-=-=-;(2)B 、P 、E 三点共线,令BP PE λ=,0λ>,则有()AP AB AE AP λ-=-,即()13141AP a b λλλ=+++. 又A 、P 、D 三点共线,则再设AP PD μ=,0μ>,则有()AP AD APμ=-,即()()213131AP AD a bμμμμμμ==++++,由平面向量基本定理可知,()()()1131324131μλμλμλμ⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪++⎩,()23141λλλ∴=++,即83λ=. 因此,8:3BP PE =. 【点睛】本题考查利用基底表示向量,同时也考查了利用平面向量的基本定理求参数,考查计算能力,属于中等题. 20.某公司每年生产、销售某种产品的成本包含广告费用支出和浮动成本两部分,该产品的年产量为x 万件,每年投入的广告费为10x 万元,另外,当年产量不超过50万件时,浮动成本为21102x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭万元,当年产量超过50万件时,浮动成本为20000521300x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭万元.若每万件该产品销售价格为60万元,且每年该产品都能销售完.(1)设年利润为()f x (万元),试求()f x 关于x 的函数关系式;(2)年产量x 为多少万件时,该公司所获利润()f x 最大?并求出最大利润. 【答案】(1)()2140,5022000021300,50x x x f x x x x ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪--+>⎪⎩; (2)当年产量x 为100万件时,该公司所获利润了()f x 最大,最大利润为900万元.【解析】(1)直接由题意列分段函数可得函数()y f x =的解析式;(2)分段利用配方法与双勾函数的单调性求最值,比较大小后可得出结论. 【详解】(1)由题意可得,当50x ≤时,()22116010104022f x x x x x x x ⎛⎫=--+=-+ ⎪⎝⎭,当50x >时,()2000020000601052130021300f x x x x x x x ⎛⎫=--+-=--+ ⎪⎝⎭. 因此,()2140,5022000021300,50x x x f x x x x ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪--+>⎪⎩; (2)当50x ≤时,()()2211404080022f x x x x =-+=--+, 当40x =时,()max 800f x =(万元); 当50x >时,()20000100002130021300f x x x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭, 对于函数10000y x x=+,任取1250100x x <<≤, 则()121212121210000100001000010000y y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()21121212121212121000010000100001x x x x x x x x x x x x x x x x ---⎛⎫=-+=--= ⎪⎝⎭, 1250100x x <<≤,120x x ∴-<,12010000x x <<,所以,120y y ->,所以,函数10000y x x=+在区间(]50,100上为减函数, 同理可证函数10000y x x=+在区间[)100,+∞上为增函数, 所以,函数()y f x =在区间(]50,100上为增函数,在区间[)100,+∞上为减函数,当100x =时,()()max 1000010021001300900100f x f ⎛⎫==-⨯++= ⎪⎝⎭(万元).综上,当年产量x 为100万件时,该公司所获利润()f x 最大,最大利润为900万元. 【点睛】本题考查分段函数模型的应用,训练了利用二次函数求最值与双勾函数的单调性求最值,是中档题.21.如图,已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<,点A 、B 分别是()f x 的图象与y 轴、x 轴的交点,C 、D 分别是()f x 的图象上横坐标为2π、23π的两点,//CD x 轴,且A 、B 、D 三点共线.(1)求函数()y f x =的解析式; (2)若()1213f α=,,123ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求4f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭;(3)若关于x 的函数()2log 4g x f x k π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰好有一个零点,求实数k 的取值范围.【答案】(1)()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;(2)5413f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭;(3)2⎡⎣. 【解析】(1)求出B 点的横坐标,线段CD 中点坐标,再求函数()y f x =的最小正周期T ,从而求出ω、ϕ的值,即可写出函数解析式;(2)由题意得出12sin 2313πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,再利用诱导公式可求出4f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值;(3)由函数()y g x =的解析式,利用分离常数法得出2log cos 23k x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,求出,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,cos 23x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的范围,可得出关于k 的不等式,解出即可. 【详解】(1)根据题意,点A 与点D 关于点B 对称,B ∴点的横坐标为120233ππ⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭.又点C 与点D 关于直线12722312x πππ⎛⎫=⨯+=⎪⎝⎭对称,∴函数()y f x =的最小正周期23471T πππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭=⨯,22Tπω∴==, 又2sin 033f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()23k k Z πϕπ∴+=∈, 解得()3k k Z πϕπ=+∈,0ϕπ<<,3πϕ∴=,因此,()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;(2)由()12sin 2313f παα⎛⎫=+=⎪⎝⎭,,123ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,2,32ππαπ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦,所以,5cos 2313πα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭,所以5sin 2sin 2cos 244332313f ππππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦;(3)()22log cos 2log 43g x f x k x k ππ⎛⎫⎛⎫=--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,令()0g x =,得2log cos 23k x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭, 当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,42,323x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,所以1cos 2,032x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 所以210log 2k ≤≤,解得1≤k所以实数k 的取值范围是⎡⎣.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题以及三角函数值的计算,也考查了函数与方程思想方法,是综合题. 22.已知函数()245f x x x a =++-,()148x g x m m -=⋅-+. (1)若函数()y f x =在区间[]1,1-上存在零点,求实数a 的取值范围;(2)当0a =时,若对任意的1x 、[]21,2x ∈,()()12f xg x ≤恒成立,求实数m 的取值范围;(3)若函数()y f x =在[],2t 上的值城为区间D ,是否存在常数t ,使得区间D 的长度为64t -?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.(注:区间[],p q 的长度为q p -).【答案】(1)[]0,8;(2)13⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭,;(3)存在常数4t =--或52t =-满足题意.【解析】(1)求出函数的对称轴,得到函数的单调性,建立关于a 的不等式组,解出即可;(2)依题意,函数()y f x =在[]1,2上的最大值小于等于函数()y g x =在[]1,2上的最小值,此时可以分离变量,也可以直接求解;(3)通过讨论t 的范围,结合函数的单调性以及()2f 、()2f -的值,得到关于t 的方程,解出即可. 【详解】(1)由题意得,函数()y f x =的对称轴为2x =-, 故函数()y f x =在区间[]1,1-上为增函数, 函数()y f x =在区间[]1,1-上存在零点,()()1010f f ⎧-≤⎪∴⎨≥⎪⎩,即800a a -≤⎧⎨≥⎩,解得08a ≤≤,故实数a 的取值范围为[]0,8;(2)依题意,函数()y f x =在[]1,2上的最大值小于等于函数()y g x =在[]1,2上的最小值,当0a =时,()()224529f x x x x =+-=+-,易知,函数()y f x =在[]1,2上的最大值为()22497f =-=.法一:当0m >时,函数()148x g x m m -=⋅-+在[]1,2上为增函数,则()()min 187g x g ==>,符合题意; 当0m <时,函数()148x g x m m -=⋅-+在[]1,2上为减函数,则()()min 2387g x g m ==+≥,解得103m -≤<. 综上,实数m 的取值范围为13⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭,; 法二:依题意,1487x m m -⋅-+≥对任意[]1,2x ∈都成立,12x ≤≤,1144x -∴≤≤,则10413x -≤-≤,当1x =时,则有87≥,显然成立;当1x ≠时,则1141x m -≥--对任意(]1,2x ∈都成立, 则函数1141x y -=--为增函数,故max 13y =-,即13m ≥-. 综上,实数m 的取值范围为13⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭,; (3)依题意2640t t <⎧⎨->⎩,解得32t <.①当6t ≤-时,当[],2x t ∈时,()()max f x f t =,()()min 2f x f =-,即()()2,D f f t =-⎡⎤⎣⎦,()()224464f t f t t t --=++=-,即2820t t +-=,解得4t =--②当62t -<≤-时,当[],2x t ∈时,()()max 2f x f =,()()min 2f x f =-,()()2,2D f f =-⎡⎤⎣⎦,()()221664f f t ∴--==-,解得52t =-; ③当322t -<<时,当[],2x t ∈时,()()max 2f x f =,()()min f x f t =,()(),2D f t f =⎡⎤⎣⎦,()()2241264f f t t t t ∴-=--+=-,解得t =不符合,舍去;综上,存在常数4t =--52t =-满足题意. 【点睛】本题考查函数性质的综合运用,考查函数值域的求法及不等式的恒成立问题,考查转化思想及分类讨论思想,属于中档题.。
2021—2021学年度高一第一学期数学期末考试试卷及答案
2021—2021学年度高一第一学期数学期末考试试卷及答案20__—2021学年度第一学期期末考试高一数学试卷考试说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟。
(1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚;(2)请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,在草稿纸、试题上答题无效。
第Ⅰ卷(共60分)一、单项选择题(60分,每题5分)1.设集合,,则()A. B. C. D. 2.角的终边经过点,且,则()A. B. C. D. 3.设函数,()A.3 B.6 C.9 D.12 4.已知,,,则()A. B. C. D. 5.已知向量,且,则的值为()A.1 B.2 C. D.3 6.如图,在中,是的中点,若,则实数的值是()A.B. C.D. 7.函数的部分图象如图所示,则的值为()A.B. C. D. 8.已知函数在区间上单调递增,若成立,则实数的取值范围是()A. B. C. D. 9.若,,,,则等于()A. B. C. D. 10.已知,,若对任意,或,则的取值范围是()A. B. C. D. 11.将函数的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到的图象,若,且,则的最大值为()A. B. C. D. 12.设函数若关于的方程有四个不同的解且则的取值范围是()A. B. C. D.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(20分,每题5分)13.已知,,则的值为. 14.若函数在上单调递增,则的取值范围是__________. 15.下面有5个命题:①函数的最小正周期是.②终边在轴上的角的集合是.③在同一坐标系中,函数的图象和函数的图象有3个公共点.④把函数的图象向右平移得到的图象.⑤函数在上是减函数.其中,真命题的编号是___________(写出所有真命题的编号)16.设奇函数在上是增函数,且,若对所有的及任意的都满足,则的取值范围是__________.三、解答题(第17题10分,其余各题每题12分)17.设两个向量,满足,.(Ⅰ) 若,求的夹角;(Ⅱ) 若夹角为60°,向量与的夹角为钝角,求实数的取值范围 18.已知集合,函数的定义域为集合.(Ⅰ) 若,求实数的取值范围;(Ⅱ) 求满足的实数的取值范围.19.已知函数f(_)=2sin(ω_+φ)+1()的最小正周期为π,且.(Ⅰ) 求ω和φ的值;(Ⅱ) 函数f(_)的图象纵坐标不变的情况下向右平移个单位,得到函数g (_)的图象,求函数g(_)的单调增区间及函数g(_)在的最大值. 20.若向量的最大值为.(Ⅰ) 求的值及图像的对称中心;(Ⅱ) 若不等式在上恒成立,求的取值范围。
2024届湖北省荆门市龙泉中学、宜昌一中高一上数学期末教学质量检测试题含解析
B. b a c
C. a c b
D. c b a
4.若直线 l 过点 2,3且倾角为 45,若直线 l 与 y 轴交于点 P ,则点 P 的坐标为()
A. 1,0
B. 1,0
C. 0,1
D. 0,1
5.不等式 2x 1 3 的解集为( ) x2
A.
x
2
x
1
2
B.x x 2
C.x 7 x 2
x2
x 7 x 2 0,
所以
x 2 0,
解得 7 x 2
故选:C
6、D
【解题分析】根据已知等式,结合函数的单调性进行求解即可.
【题目详解】令 x y 2 时, f (2) f (2) f (222 ) f (16) 2 ,
由 f x f x 1 2 0 f (2xx1) f (16) ,
(2)当 a 2 时,求关于 x 的不等式 f x g x 的解集
20.已知 S x | x 是小于 9 的正整数} , A 4,5,6,7 , B 3,5,7,8,求
(1) A B (2) A B
(3) CS A B
21.已知非空数集 A a1, a2, , an n N ,设 s A 为集合 A 中所有元素之和,集合 P A 是由集合 A 的所有子
令 x 0 ,解得 y 1,点 P 的坐标为 0,1
故选:C 【题目点拨】本题考查点斜式直线方程的应用,考查学生计算能力,属于基础题 5、C
【解题分析】将原不等式转化为
x
7
x
x 2
2
0,
0,
从而可求出其解集
【题目详解】原不等式可化为 2x 1 3 x 2 0 ,即 x 7 0 ,
湖北省高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1.已知集合,则( ){}{}20,1,2,3,8A B x x ==≤A B = A . B . {}0,1,2{}1,0,1-C . D .{}0,1,2,3{}2,1,0,1,2--【答案】A【解析】先解出集合B,再求.A B ⋂【详解】∵,而{}{282B x x x x =≤=-≤≤{}0,1,2,3A =∴ A B = {}0,1,2故选:A【点睛】集合的交并运算: (1)离散型的数集用韦恩图; (2) 连续型的数集用数轴. 2.已知,,则“”是“”的( ) a b ∈R a b >1>abA .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】D 【分析】由或,即可判断出结论. 1ab>⇔0a b >>0a b <<【详解】当时,成立,当时,,故充分性不成立,0a b >>1>a b0b <1ab <当时,若则,若,则,则必要性不成立. 1>ab0,b >a b >0b <a b <所以“”是“”的既不充分又不必要条件. a b >1>ab故选:D3.已知函数的定义域为( ) ()ln(3)f x x =++()f x A . B .C .D .(3,)+∞()3,3-(,3)-∞-(,3)-∞【答案】A【解析】要使函数,解出即可. ()ln(3)f x x =+3030x x +>⎧⎨->⎩【详解】要使函数 ()ln(3)f x x =+3030x x +>⎧⎨->⎩解得3x >所以函数的定义域为 ()f x (3,)+∞故选:A4.中国的5G 技术领先世界,5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式:,2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭它表示:在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小,其中叫做信噪比.当信噪比比较大时,公式中真数中的1SN可以忽略不计,按照香农公式,若不改变带宽W ,而将信噪比从1000提升至5000,则C 大约SN增加了( )(附:) lg 20.3010≈A .20% B .23%C .28%D .50%【答案】B【分析】根据题意写出算式,再利用对数的换底公式及题中的数据可求解. 【详解】将信噪比从1000提升至5000时,C 大约增加了SN()()()222log 15000log 11000log 11000W W W +-++.222lg 5000lg1000log 5001log 1001lg 51lg 2lg 2lg 20.2323%lg1000log 100133lg 2---=≈==≈=故选:B.5.已知函数(且)的图像经过定点,且点在角的终边上,则26()3x f x a -=+0a >1a ≠A A θ( )sin cos sin cos θθθθ-=+A .B .0C .7D .17-17【答案】D【分析】由题知,进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可. ()3,4A 【详解】解:令得,故定点为, 260x -=3x =A ()3,4A 所以由三角函数定义得,4tan 3θ=所以41sin cos tan 1134sin cos tan 1713θθθθθθ---===+++故选:D6.函数的图像大致为( )()2x xe ef x x --=A . B .C .D .【答案】B【分析】通过函数的奇偶性,变化趋势,特殊值排除答案. 【详解】函数的定义域为,关于原点对称()f x {}0x x ≠,函数是奇函数,图像关于原点对称,故排除A 选()()()22x xx x e e e e f x f x x x -----===-- ∴()f x 项;又,故排除D 选项;()1121101e e f e e--==-> ,当时,,即在()()()()()243222xx x x x x ee x e e xx e x e f x xx---+--⋅-++'==2x >()0f x ¢>()f x 上单调递增,故排除C 选项. ()2+∞,故选:B.7.已知偶函数在上是增函数,若,,,则,()g x ()0,+¥()2log5.1a g =-()0.82b g =()3c g =a b,的大小关系为( ) c A . B . C . D .a b c <<c b a <<b a c <<b<c<a 【答案】C【解析】由于为偶函数,所以,然后利用对数函数和指数函数的()g x 22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=性质比较大小,再利用在上是增函数,可比较,,的大小0.82log 5.1,2,3()g x ()0,+¥a b c 【详解】解;由题意为偶函数,且在上单调递增,()g x ()0,+¥所以,22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=又,, 2222log 4log 5.1log 83=<<=0.8122<<所以,故,0.822log 5.13<<b a c <<故选:C.8.若函数y =f (x )图象上存在不同的两点A ,B 关于y 轴对称,则称点对[A ,B ]是函数y =f (x )的一对“黄金点对”(注:点对[A ,B ]与[B ,A ]可看作同一对“黄金点对”).已知函数f (x )=,则此函数的“黄金点对“有( ) 222040412324x x x x x x x x ,<,,>⎧⎪-+≤≤⎨⎪-+⎩A .0对 B .1对C .2对D .3对【答案】D【分析】根据“黄金点对“,只需要先求出当x <0时函数f (x )关于y 轴对称的函数的解析式,再作出函数的图象,利用两个图象交点个数进行求解即可.【详解】由题意知函数f (x )=2x ,x <0关于y 轴对称的函数为,x >0, 122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭作出函数f (x )和,x >0的图象,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭由图象知当x >0时,f (x )和y=()x,x >0的图象有3个交点. 12所以函数f (x )的““黄金点对“有3对. 故选D .【点睛】本题主要考查分段函数的应用,结合“黄金点对“的定义,求出当x <0时函数f (x )关于y 轴对称的函数的解析式,作出函数的图象,利用数形结合是解决本题的关键.二、多选题9.下列结论正确的是( ) A .是第二象限角 43π-B .若为锐角,则为钝角 α2αC .若,则 αβ=tan tan αβ=D .若圆心角为的扇形的弧长为,则该扇形的面积为6ππ3π【答案】AD【分析】为锐角时,为不一定为钝角;α2α 时,没有意义.2παβ==tan α【详解】对于A :, 42233πππ-=-+是第二象限角,所以A 正确; ∴43π-对于B :时,并不是钝角,所以B 错误; 10α= 220α= 对于C : 时,没有意义,所以C 错误;2παβ==tan α对于D :,, l rα=∴66l r ππα===,D 正确.∴116322S lr ππ==⨯⨯=扇∴故选:AD.10.已知,且,则下列不等式恒成立的有( )>>c a b 0ac <A . B .C .D .<0c b a ->b c a a 11>a c22>b a c c【答案】BC【解析】根据不等式的性质判断.错误的可举反例. 【详解】,且,则,>>c a b c<0a 0,0a c ><,,A 错误; 0b a -<0b ac->,则,B 正确; ,0b c a >>b ca a>,则,C 正确; 0a c >>110a c>>与不能比较大小.如,此时,,D 错误. 2a 2b 2,3,4a bc ==-=-21a c =-2914b c =-<-故选:BC .11.对于实数x ,符号表示不超过x 的最大整数,例如,,定义函数[]x []3π=[]1.082-=-,则下列命题中正确的是( )()[]f x x x =-A .函数的最大值为1 B .函数的最小值为0 ()f x ()f x C .方程有无数个根 D .函数是增函数()102f x -=()f x 【答案】BC【分析】首先根据题意画出函数的图像,再依次判断选项即可. ()f x 【详解】画出函数的图象,如下图所示:()[]f x x x =-,对选项A ,由图象得,函数无最大值,故A 不正确; ()f x 对选项B ,由图知:函数的最小值为0,故B 正确; ()f x 对选项C ,函数每隔一个单位重复一次, ()f x 所以函数与函数有无数个交点, ()y f x =12y =即方程有无数个根,故C 正确; ()102f x -=对选项D ,图象可知函数不是单调递增,故D 不正确. ()f x 故选:BC .12.已知函数,若方程有三个实数根,,,且12log ,04()10,4x x f x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()f x a =1x 2x 3x 123x x x <<,则下列结论正确的为( )A .121=x x B .的取值范围为 a 50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C .的取值范围为 312x x x [)5,+∞D .不等式的解集为 ()2f x >()10,4,54⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】分析给定函数的性质,作出函数的图象,数形结合逐一分析各选项判断作答. ()f x 【详解】函数在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,()f x (0,1](1,4](4,)+∞方程的三个实数根分别是直线与函数图象交点的横坐标,如图,()f x a =y a =()y f x =123,,x x x由,必有,而,则,即,解得12()()f x f x =111222|log ||log |x x =12x x <111222log log 0x x +=1122log 0x x =,A 正确;121=x x 因在上单调递增,,当时,直线与函数的图象只有两个()f x (1,4](4)2f =2<a <52y a =()y f x =公共点,因此,方程有三个实数根,当且仅当,B 不正确; ()f x a =02a <≤在中,当时,,而函数在上单调递减,则当时,10(4)y x x=>2y =5x =()f x (4,)+∞02a <≤35x ≥,,C 正确; 3312[5,)x x x x =∈+∞当时,因当时,,于是得,且,解得04x <≤14x ≤≤12|log |2x ≤01x <<11221log 2log 4x >=, 104x <<当时,,解得,所以不等式的解集为,D 正确. >4x 102x >45x <<()2f x >()10,4,54⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭故选:ACD三、填空题13.已知集合,集合,若,则实数__________. {}0,1M ={}0,2,1N m =-M N ⊆m =【答案】0【分析】依题意可得,即可得到,解得即可;1N ∈11m -=【详解】解:由题意知,又集合,因此,即.故. M N ⊆{}0,1M =1N ∈11m -=0m =故答案为:. 014.已知,则______. ()7sin cos 0π13ααα+=<<tan α=【答案】 125-【分析】由同角三角函数的平方关系和商数关系,并分析三角函数值的正负即可求解. 【详解】解:已知①,则, 7sin cos 13αα+=()2sin cos 12sin cos 69491αααα+=+=, 60sin cos 0169αα=-<,,则,,0πα<< sin 0α∴>cos 0α<sin cos 0αα->②, 17sin cos 13αα∴-===联立①②,得,12sin 13α=5cos 13α=-, 12tan 5α∴=-故答案为:. 125-15.已知定义在上的函数满足,且当时,,若的R ()f x ()()1f x f x -=-12x >1()f x x m x =++()f x 值域为,则实数的取值范围为________. R m 【答案】(],2-∞-【分析】由可得关于对称,再分析得当时,的值域包含()()1f x f x -=-()f x 1,02⎛⎫⎪⎝⎭12x >()f x 即可()0,∞+【详解】当时,,当且仅当,即时等号成立,12x >1()2f x x m m m x =++≥=+1x x =1x =故当时,,又由可得关于对称,且由12x >()[)2,f x m ∈++∞()()1f x f x -=-()f x 1,02⎛⎫⎪⎝⎭可得, 11122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭故只需包含区间即可,故,[)2,m ++∞()0,∞+20m +≤故 (],2m ∈-∞-故答案为:(],2-∞-四、双空题16.设函数,.①的值为_______;②若函11,0()2(2),0xx f x f x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩()log (1)a g x x =-(1)a >(2019)f 数恰有个零点,则实数的取值范围是___________. ()()()h x f x g x =-3a 【答案】 1【解析】①根据分段函数的解析式,求得的值. ②求得的部分解析式,由此画()f x ()2019f ()f x 出和两个函数图象,根据两个函数图象有个交点,确定的取值范围. ()f x ()g x 3a 【详解】①.()()()11201920171112f f f -⎛⎫===-=-= ⎪⎝⎭②当时,,所以.02x <≤220x -<-≤()()21212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当时,,所以.24x <≤022x <-≤()()41212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当时,,所以.46x <≤224x <-≤()()61212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当时,,所以.68x <≤426x <-≤()()81212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭画出和两个函数图象如下图所示,由,由.由()f x ()g x ()log 413,a a -==()log 613,a a -==图可知,当两个函数图象有个交点,也即函数恰有个零点时,的取值范围是3()()()h x f x g x =-3a故答案为:(1);(2)1【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值,考查分段函数解析式的求法,考查分段函数的图象与性质,考查函数零点问题的求解策略,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.五、解答题 17.计算:(1) ()()1201980.54-⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2) 2log 3491lg2log 27log 8100--⋅【答案】(1)32(2)74-【分析】(1)由指数的运算以及指数幂与根式的互相转化即可求解; (2)由对数的运算以及指数幂与根式的互相转化,并利用换底公式即可求解.【详解】(1)解:原式.11331122222-⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭(2)原式. 1332222lg 27lg81lg 3lg 2197lg10ln e 323lg 4lg 92lg 2lg 3244-=-+-⋅=--+-⋅=-=-18.已知正数满足;,x y 82xy x y =+(1)求的最小值,并求出取得最小值时的的值;xy ,x y (2)求的最小值.42x y +【答案】(1)最小值为64,;(2)xy 4,16x y ==24+【分析】(1)对等式右边直接使用基本不等式,转化为求关于xy 的不等式;(2)把条件转化为,再进行求解. 82xy x y =+281x y+=【详解】解:(1)因为是正数,所以,x y 82xy x y =+≥=即8≥64xy ≥当且仅当即,时取等号82x y =4x =16y =所以最小值为64 xy (2)即为 82xy x y =+281x y+=所以 2843242(42)()2424y x x y x y x y x y+=++=++≥+当且仅当即 432y x x y=2x =+8y =+19.(1)求函数,的值域; ()222log log x x =+1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(2)解关于的不等式:(,且). x ()2log (1)log 3a a x x +>-0a >1a ≠【答案】(1);(2)时,原不等式的解集为;时,原不等式的1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1a >{1x x -<<∣01a <<解集为. {11}xx -<<∣【分析】(1)令,,,然后利用二次函数的知识求解即2log t x =[1,1]t ∈-221124y t t t ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭可;(2)分、两种情况,结合对数函数的单调性解出不等式即可.1a >01a <<【详解】(1)令,由于,则. 2log t x =1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[1,1]t ∈-于是原函数变为, 221124y t t t ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭图象为开口向上的抛物线,对称轴,且, ()y t 12t =-11(1)122⎛⎫⎛⎫---<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故当,取最小值;当时,取最大值2. 12t =-y 14-1t =y 所以原函数的值域为. 1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)当时,原不等式可化为:1a >, 223013x x x ⎧->⎨+>-⎩即 12x x x ⎧<⎪⎨><-⎪⎩或1x <<故时,原不等式的解集为.1a >{1x x -<<∣当时,原不等式可化为:01a <<, 21013x x x+>⎧⎨+<-⎩即,解得. 121x x >-⎧⎨-<<⎩11x -<<故时,原不等式的解集为. 01a <<{11}xx -<<∣综上:时,原不等式的解集为;时,原不等式的解集为. 1a >{1x x -<<∣01a <<{11}xx -<<∣20.我们知道,函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函()y f x =()y f x =数,有同学发现可以将其推广为:函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数()y f x =(),P a b 为奇函数.()y f x a b =+-(1)若.32()3f x x x =-①求此函数图象的对称中心;②求的值;()()()()2018201920202021f f f f -+-++(2)类比上述推广结论,写出“函数的图象关于轴成轴对称的充要条件是函数()y f x =y ()y f x =为偶函数”的一个推广结论.【答案】(1)①;②;(2)函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是()1,2-8-()y f x =x a =函数为偶函数.()y f x a =+【解析】(1)①设函数图象的对称中心为,根据题意可知函数()323f x x x =-(),P a b 为奇函数,利用奇函数的定义可得出,可得出关于、()()g x f x a b =+-()()2f x a f x a b -+++=a 的方程组,解出、的值,即可得出函数的对称中心的坐标;b a b ()y f x =②推导出,由此可计算得出所求代数式的值;()()114f x f x -+++=-(2)根据题中结论可写出“函数的图象关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶()y f x =y ()y f x =函数”的一个推广结论.【详解】解:(1)①设函数图象的对称中心为,,()323f x x x =-(),P a b ()()g x f x a b =+-则为奇函数,故,故,()g x ()()g x g x -=-()()f x a b f x a b -+-=-++即,()()2f x a f x a b -+++=即. ()()()()3232332x a x a x a x a b ⎡⎤⎡⎤-+--+++-+=⎣⎦⎣⎦整理得,故,解得, ()2323330a x a a b -+--=3233030a a a b -=⎧⎨--=⎩12a b =⎧⎨=-⎩所以函数图象的对称中心为;()323f x x x =-()1,2-②因为函数图象的对称中心为,32()3f x x x =-()1,2-所以,,()()114f x f x -+++=-故()()()()2018201920202021f f f f -+-++()()()()2018202020192021f f f f =-++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()20191201912020120201f f f f =-++++-+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦;428=-⨯=-(2)推论:函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是函数为偶函数.()y f x =x a =()y f x a =+【点睛】结论点睛:本题考查利用函数的对称性及其应用,可利用以下结论来转化:①函数的图象关于点对称,则;()f x (),a b ()()22f x f a x b +-=②函数的图象关于直线对称,则.()f x x a =()()2f x f a x =-21.已知函数.(),(0,1,)x f x a a a x R =>≠∈(1)当时,2a =①若函数满足求的表达式,直接写出的递增区间; ()g x (())g f x =()g x ()g x ②若存在实数使得成立,求实数的取值范围; []0,1x ∈1()()()()1f x mf x f x f x +<+--m (2)若函数满足当时,恒有,试确定a 的()g x (()),g f x x =[]2,3x a a ∈++(3)()1g x a g x a -+-≤取值范围.【答案】(1)①,增区间为;②;(2). 221log ,02()log 1,2x x g x x x -<<⎧=⎨-≥⎩(2,)+∞4(,)3+∞【分析】(1)①应用换元法,令即可求的表达式,根据含对数的复合函数单调性可写出2x t =()g x 的递增区间;②由参变分离得,根据在闭区间存在使不等式成立,即()g x 211(2)21x x m >+-+x 即可求的取值范围; min 21[1(2)21x x m >+-+m (2)由题设求得,利用对数函数的性质可知,再由不等式恒成立,结合二次()log a g x x =01a <<函数的性质列不等式组求a 的取值范围.【详解】解:(1)①由题意知:,若,则,(2)1x g x ==-2x t =21og x t =∴,即, 2()log 1(0)g t t t =->221log ,02()log 1,2x x g x x x -<<⎧=⎨-≥⎩∴函数单调递增区间为.[2,)+∞②由题设有,,即有, 122221x x x x m -+<⋅+-[]0,1x ∈211(2)21x x m >+-+,则,即,[]0,1x ∈ []21,2x ∈[]2(2)211,3x x -+∈∴由使不等式成立知:当时,即可. []0,1x ∃∈2(2)213x x -+=43m >∴m 取值范围是 4(,)3+∞(2)由题意知:,令,则,即,()x g a x =x t a =()log a g t t =()log a g x x =∴由题设不等式中可知:,而(3),()g x a g x a --230a a +->0,1a a >≠,又,01a ∴<<(3)()1g x a g x a -+-≤∴,即有,对恒成立,若令221log (43)1a x ax a -≤-+≤22143a x ax a a≤-+≤[]2,3a a a ∀∈++,其对称轴为且开口向上,而,2243()x h x ax a -+=2x a =22a a <+∴在区间上递增,()h x []2,3a a ++∴上式等价于,解得0119644a a a a a<<⎧⎪⎪-≤⎨⎪-≥⎪⎩0a <≤【点睛】关键点点睛:(1)应用换元思想求函数解析式,结合对数型复合函数的单调性确定单调区间;由参变分离法有,根据存在使不等式能成立,即在对应区间内只需求参数范围;()m f x >min ()m f x >(2)根据对数函数的性质,结合不等式在闭区间内恒成立,列不等式组求参数范围.22.已知函数(),且满足. ()x a f x x -=0a >112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)求a 的值;(2)设函数,(),若存在,,使得成立,()()g x xf x =()2x h x t t =-1t >1x 21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()12h x g x =求实数t 的取值范围;(3)若存在实数m ,使得关于x 的方程恰有4个不同的正根,求实数()22220x a x x a mx ---+=m 的取值范围.【答案】(1)1;(2);(3) 2t ≥10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】(1)根据题意,代入函数值,即可求解;(2)根据题意,求解函数和值域,若存在,,使得成立,转()g x ()f x 1x 21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()12h x g x =化为值域有交集,即可求解参数取值范围;(3)由(1)分析函数的值域,可知时,有两根;再观察方程,同除后方程可()f x ()()0,1f x ∈x 2x 化简为,只需使方程在上有两根,即可求解.()()2220f x f x m -+=()()0,1f x ∈【详解】(1)由,得或0. 1121122a f -⎛⎫== ⎪⎝⎭1a =因为,所以,所以. 0a >1a =()1x f x x -=(2), ()()1,1211,12x x g x xf x x x -≤≤⎧⎪==⎨-≤<⎪⎩所以;故的值域为()01g x ≤≤()g x []0,1A =因为时,在, 1t >()2x h x t t =-1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦()222t h x t t ≤≤-所以的值域为,由题意, ()hx 22,2B t t t ⎤=-⎦A B φ⋂≠,所以,解得;20t <220t t -≥2t ≥综上:实数t 的取值范围是2t ≥(3)当时,,在上为增函数; 1x >()111x f x x x-==-()f x ()1,+∞当时,. ()1,x ∈+∞()()110,1f x x=-∈可得在上为减函数,当时,. ()f x ()0,1()0,1x ∈()()110,f x x =-∈+∞方程可化为, ()2221120x x x mx ---+=2211220x x m x x ---+=即.()()2220f x f x m -+=设,方程可化为.()s f x =2220s s m -+=要使原方程有4个不同的正根,则关于s 方程在有两个不等的根,,2220s s m -+=()0,11s 2s 则有,解得, 211602021120m m m ->⎧⎪>⎨⎪⨯-+>⎩1016m <<所以实数m 的取值范围为. 10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】(1)考查计算能力,基础题;(2)转化与化归思想解题,考查求函数值域,交集不空的参数范围,属于中等题;(3)转化方程与已知函数关联,考查函数与方程思想,转化与化归思想,一元二次方程根的限定条件,综合性较强,属于难题.。
2020-2021学年湖北省高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年湖北省高一(上)期末数学试卷一、单项选择题:本题包括8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.(5分)已知集合M={x|﹣1<x<3},N={﹣1,0,1,2,3}()A.{0,1,2}B.{﹣1,0,1,2}C.{﹣1,0,1,2,3}D.{﹣1,3} 2.(5分)命题“对任意的常数α,函数f(x)=xα是幂函数”的否定是()A.对任意的常数α,函数f(x)=xα不是幂函数B.对任意的常数α,函数f(x)=xα是幂函数C.存在常数α,函数f(x)=xα不是幂函数D.存在常数α,函数f(x)=xα是幂函数3.(5分)设a=log20.3,b=log0.30.2,c=0.20.3,则a,b,c之间的大小关系是()A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.b>a>c4.(5分)函数的单调增区间为()A.B.C.D.5.(5分)已知a<0<c<b,则下列各式一定成立的是()A.a2>b2B.a2≤b2C.b+c<bc D.6.(5分)某种植物生命力旺盛,生长蔓延的速度越来越快.经研究,该一定量的植物在一定环境中经过1个月,经过3个月,其覆盖面积为13.5平方米(单位:平方米)与经过时间x(x∈N)(单位:月)的关系有三种函数模型y=pa x(p>0,a>1)、y=m log a x(m >0,a>1)和y=nxα(n>0,0<α<1)可供选择,则下列说法正确的是()A.应选y=pa x(p>0,a>1)B.应选y=m log a x(m>0,a>1)C.应选y=nxα(n>0,0<α<1)D.三种函数模型都可以7.(5分)已知幂函数f(x)=(t2﹣4t﹣4)x t﹣2在(0,+∞)上单调递减,则f(4)=()A.B.C.32D.648.(5分)函数f(x)=cos3x的图象大致是()A.B.C.D.二、多项选择题:本题包括4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分. 9.(5分)已知函数f(x)=log a(x﹣1)+2(a>0,且a≠1)的图象过定点(s,t),正数m,则()A.m+n=4B.m2+n2≥8C.mn≥4D.10.(5分)若将函数的图象先向右平移个单位长度(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象(x)的说法错误的是()A.g(x)的最小正周期为2πB.g(x)图象的一个对称中心坐标为C.g(x)的值域为D.g(x)图象的一条对称轴方程为11.(5分)已知4cos(﹣α﹣)=sin(2α+),则下列结论正确的是()A.B.C.tan4α=0D.tanα=112.(5分)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)﹣f(﹣x),f(x+2)﹣f(x)=0,1]时,f(x)=﹣2(x﹣1)2,若函数y=f(x)﹣log a(x+1)在(0,+∞)上至少有三个不同的零点,则下列结论正确的是()A.f(x)的图象关于直线x=﹣1对称B.当x∈[4,5]时,f(x)=﹣2(x﹣5)2C.当x∈[2,3]时,f(x)单调递减D.a的取值范围是三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)函数的定义域为.14.(5分)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有75%的学生喜欢足球或游泳,56%的学生喜欢足球,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是.15.(5分)已知定义域为R的函数f(x)满足2f(x)﹣f(﹣x)3,则f(x)=.16.(5分)已知函数g(x)=3cos(ωx+φ)(ω>0)满足,g(π),且最小正周期,则符合条件的ω的取值个数为.四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(10分)①角α的终边上有一点M(2,4);②角α的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为;③2α为锐角且,补充在下面问题中的横线上,并加以解答.问题:已知角α的顶点在原点O,始边在x轴的非负半轴上,______.求18.(12分)已知集合A={x|x2﹣2x+m≤0},B={y|y=3x,x≤n}.(1)若集合A为空集,求实数m的取值范围;(2)当m=﹣8时,若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,求实数n的取值范围.19.(12分)体育课上,小明进行一项趣味测试,在操场上从甲位置出发沿着同一跑道走到乙位置1≠x2).方式一:小明一半的时间以x1m/s的速度行走,剩余一半时间换为以x2m/s的速度行走,平均速度为;方式二:小明一半的路程以x1m/s的速度行走,剩余一半路程换为以x2m/s的速度行走,平均速度为.(1)试求两种行走方式的平均速度,;(2)比较,的大小.20.(12分)已知定义域为R的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=4x﹣m•3x﹣2,其中m是常数.(1)当x<0时,求f(x)的解析式;(2)用定义法证明:f(x)在[0,+∞)上单调递增.21.(12分)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示(,1),(,0).(1)求f(x)的解析式;(2)设M,N为函数y=t的图象与f(x)的图象的两个交点(点M在点N左侧),求t的值.22.(12分)已知函数f(x)=(log4x)2﹣a log4x+3,其中a为常数.(1)当a=2时,求函数f(x)的值域;(2)若对,1≤f(x)≤27恒成立2020-2021学年湖北省高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题:本题包括8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.(5分)已知集合M={x|﹣1<x<3},N={﹣1,0,1,2,3}()A.{0,1,2}B.{﹣1,0,1,2}C.{﹣1,0,1,2,3}D.{﹣1,3}【分析】直接利用交集的运算法则求解即可.【解答】解:集合M={x|﹣1<x<3},N={﹣3,0,1,8,则M∩N={0,1,5}.故选:A.【点评】本题考查集合的交集的求法,考查计算能力.2.(5分)命题“对任意的常数α,函数f(x)=xα是幂函数”的否定是()A.对任意的常数α,函数f(x)=xα不是幂函数B.对任意的常数α,函数f(x)=xα是幂函数C.存在常数α,函数f(x)=xα不是幂函数D.存在常数α,函数f(x)=xα是幂函数【分析】利用含有一个量词的命题的否定进行求解即可.【解答】解:命题“对任意的常数α,函数f(x)=xα是幂函数”是全称命题,其否定是特称命题,故其否定为“存在常数α,函数f(x)=xα不是幂函数”.故选:C.【点评】本题考查了含有量词的命题的否定,要掌握其否定方法:先改变量词,然后再否定结论,属于基础题.3.(5分)设a=log20.3,b=log0.30.2,c=0.20.3,则a,b,c之间的大小关系是()A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.b>a>c【分析】可以得出,然后即可得出a,b,c的大小关系.【解答】解:∵a=log20.7<log21=7,b=log0.33.2>log0.60.3=2,0<c=0.80.3<7.20=3,∴b>c>a.故选:B.【点评】本题考查了对数函数和指数函数的单调性,增函数和减函数的定义,考查了计算能力,属于基础题.4.(5分)函数的单调增区间为()A.B.C.D.【分析】根据正切函数的定义与性质,即可求得f(x)的单调增区间.【解答】解:函数中,令,k∈Z;解得,k∈Z;所以f(x)的单调增区间为(kπ﹣,kπ+).故选:C.【点评】本题考查了正切函数的定义与性质的应用问题,是基础题.5.(5分)已知a<0<c<b,则下列各式一定成立的是()A.a2>b2B.a2≤b2C.b+c<bc D.【分析】直接利用不等式的基本性质和赋值法的应用判断A、B、C、D的结论.【解答】解:①因为a<0<c<b,a2,b3的大小无法确定,A,B均不正确;②取b=1.2,c=2.1,所以C不正确;③可得,所以.故选:D.【点评】本题考查的知识要点:不等式的基本性质,赋值法,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题.6.(5分)某种植物生命力旺盛,生长蔓延的速度越来越快.经研究,该一定量的植物在一定环境中经过1个月,经过3个月,其覆盖面积为13.5平方米(单位:平方米)与经过时间x(x∈N)(单位:月)的关系有三种函数模型y=pa x(p>0,a>1)、y=m log a x(m >0,a>1)和y=nxα(n>0,0<α<1)可供选择,则下列说法正确的是()A.应选y=pa x(p>0,a>1)B.应选y=m log a x(m>0,a>1)C.应选y=nxα(n>0,0<α<1)D.三种函数模型都可以【分析】利用题中给出的三个函数解析式,判断三个函数增长速度情况进行选择,然后代入求解即可.【解答】解:该植物生长蔓延的速度越来越快,而y=pa x(p>0,a>1)的增长速度越来越快,y=m log a x(m>2,a>1)和y=nxα(n>0,4<α<1)的增长速度越来越慢,故应选择y=pa x(p>0,a>7).由题意知,解得.所以.故选:A.【点评】本题考查了函数在实际生活中的应用问题,涉及了利用函数解析式判断函数性质的应用,属于基础题.7.(5分)已知幂函数f(x)=(t2﹣4t﹣4)x t﹣2在(0,+∞)上单调递减,则f(4)=()A.B.C.32D.64【分析】先利用幂函数的定义得到t2﹣4t﹣4=1,求出t的值后,再利用幂函数的单调性进行判断,即可得到答案.【解答】解:由f(x)=(t2﹣4t﹣6)x t﹣2是幂函数,可知t2﹣2t﹣4=1,即t2﹣4t﹣5=5,解得t=﹣1或t=5,所以f(x)=x﹣2或f(x)=x3,又幂函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)=x﹣5,所以.故选:B.【点评】本题考查了幂函数的理解和应用,主要考查了幂函数的定义以及幂函数的单调性,属于基础题.8.(5分)函数f(x)=cos3x的图象大致是()A.B.C.D.【分析】判断函数的奇偶性和对称性,结合函数值的对应性进行判断即可.【解答】解:因为,所以函数f(x)为奇函数,D;又,排除B,故选:A.【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,利用函数的奇偶性和对称性,以及函数值的符号,利用排除法是解决本题的关键,是基础题.二、多项选择题:本题包括4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分. 9.(5分)已知函数f(x)=log a(x﹣1)+2(a>0,且a≠1)的图象过定点(s,t),正数m,则()A.m+n=4B.m2+n2≥8C.mn≥4D.【分析】由题意利用对数函数的单调性和特殊点,基本不等式,判断各个选项是否正确,从而得出结论.【解答】解:由题意得,函数f(x)的图象过定点(2,s=t=2,所以A正确;由重要不等式m4+n2≥2mn可得3(m2+n2)≥(m+n)4=16,故m2+n2≥4,当且仅当m=n=2时取等号;由基本不等式可得,,当且仅当,故C错误;又=,当且仅当,即m=n=2时取等号.故选:ABD.【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点,基本不等式的应用,属于中档题.10.(5分)若将函数的图象先向右平移个单位长度(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象(x)的说法错误的是()A.g(x)的最小正周期为2πB.g(x)图象的一个对称中心坐标为C.g(x)的值域为D.g(x)图象的一条对称轴方程为【分析】由题意利用函数y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律,求得g(x)的解析式,再根据正弦函数的图象和性质,得出结论.【解答】解:将函数的图象先向右平移,可得y=sin(x﹣;再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数g(x)=sin(2x﹣)的图象,故函数f(x)的最小正周期T=π,所以A错误;因为,所以g(x)的图象关于点,所以B正确;易知g(x)的值域为[﹣1,1];∵,函数取得的不是最值,故,所以D错误,故选:ACD.【点评】本题主要考查函数y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象和性质,属于中档题.11.(5分)已知4cos(﹣α﹣)=sin(2α+),则下列结论正确的是()A.B.C.tan4α=0D.tanα=1【分析】利用诱导公式对已知条件转化为,然后再由两角和与差的三角函数和二倍角公式进行变形处理,得到,所以cosα﹣sinα=0或,据此对各个选项进行分析判断即可.【解答】解:由可得,即,即,所以cosα﹣sinα=3或,由可知,故cosα﹣sinα=0,即cosα=sinα,所以tanα=8,且,故tan4α=7.故选:BCD.【点评】本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式,诱导公式,属于中档题.12.(5分)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)﹣f(﹣x),f(x+2)﹣f(x)=0,1]时,f(x)=﹣2(x﹣1)2,若函数y=f(x)﹣log a(x+1)在(0,+∞)上至少有三个不同的零点,则下列结论正确的是()A.f(x)的图象关于直线x=﹣1对称B.当x∈[4,5]时,f(x)=﹣2(x﹣5)2C.当x∈[2,3]时,f(x)单调递减D.a的取值范围是【分析】先根据题意得到函数f(x)为偶函数,且是周期为2的周期函数,进而利用数形结合的方法以及函数的性质对选项逐一判断即可.【解答】解:由f(x)﹣f(﹣x)=0,可知f(x)是偶函数,由f(x+2)﹣f(x)=8,可知知f(x)是周期为2的周期函数,因为当x∈[0,2]时2,所以f(x)图象关于x=﹣1对称,故选项A正确;当x∈[6,5]时2,故选项B正确;当x∈[5,3]时,f(x)单调性与x∈[0,所以当x∈[7,3]时,故选项C错误;设g(x)=log a(x+1),则函数y=f(x)﹣log a(x+6)在(0,+∞)上至少有三个不同的零点,等价于函数f(x)与g(x)图象在(0,+∞)上至少有三个不同的交点,结合图象可知,则有g(2)>f(2)a(3+1)>﹣2,解得.故选:AB.【点评】本题考查了命题真假的判断,主要考查了函数的综合应用,涉及了函数的单调性、奇偶性、周期性的应用,同时考查了函数的零点与方程根之间的关系,知识点考查的面广,对学生掌握知识的广度有较高的要求,属于中档题.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)函数的定义域为{x|x>1且x≠2}或(1,2)∪(2,+∞).【分析】根据函数成立的条件建立不等式进行求解即可.【解答】解:由题意可得,解得x>2且x≠2,即该函数的定义域为{x|x>1且x≠3}.故答案为:{x|x>1且x≠2}或(8,2)∪(2.【点评】本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件,是基础题.14.(5分)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有75%的学生喜欢足球或游泳,56%的学生喜欢足球,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是19%.【分析】设有x%的学生既喜欢足球又喜欢游泳,则有(56﹣x)%只喜欢足球,有(38﹣x)%只喜欢游泳,列出方程能求出该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例.【解答】解:设有x%的学生既喜欢足球又喜欢游泳,则有(56﹣x)%只喜欢足球,有(38﹣x)%只喜欢游泳,由题意得:(56﹣x)%+x%+(38﹣x)%=75%,解得x=19.故该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是19%.故答案为:19%.【点评】本题考查该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例的求法,考查运算求解能力,是基础题.15.(5分)已知定义域为R的函数f(x)满足2f(x)﹣f(﹣x)3,则f(x)=x3.【分析】根据条件构造方程组进行求解即可.【解答】解:因为2f(x)﹣f(﹣x)=3x2,①所以2f(﹣x)﹣f(x)=﹣3x2,②②除以2得,③①+③得,即f(x)=x7.故答案为:x3.【点评】本题主要考查函数解析式的求解,利用条件构造方程组是解决本题的关键,是基础题.16.(5分)已知函数g(x)=3cos(ωx+φ)(ω>0)满足,g(π),且最小正周期,则符合条件的ω的取值个数为5.【分析】由,g(π)=3,且最小正周期可得,由此即可求解.【解答】解:因为g(x)满足,g(π)=2,所以,得0<ω≤6,,所以,解得0≤n≤4,故ω的取值共有5个,故答案为:5.【点评】本题考查了三角函数的周期性,考查了学生的运算能力,属于基础题.四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(10分)①角α的终边上有一点M(2,4);②角α的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为;③2α为锐角且,补充在下面问题中的横线上,并加以解答.问题:已知角α的顶点在原点O,始边在x轴的非负半轴上,______.求【分析】选条件①.利用任意角的三角函数的定义可求cosα,sinα的值,利用二倍角公式可求cos2α,sin2α的值,利用两角和的余弦公式即可计算求解;选条件②.利用任意角的三角函数的定义可求cosα,sinα的值,利用二倍角公式可求cos2α,sin2α的值,利用两角和的余弦公式即可计算求解;选条件③.利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得,进而可求,.利用两句话的余弦公式即可计算得解.【解答】解:方案一:选条件①.由题意可知,.所以,.所以==.方案二:选条件②.因为角α的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为,所以,.所以,.所以==.方案三:选条件③.,结合2α为锐角,解得,所以,.所以==.【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义以及三角函数恒等变换在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.18.(12分)已知集合A={x|x2﹣2x+m≤0},B={y|y=3x,x≤n}.(1)若集合A为空集,求实数m的取值范围;(2)当m=﹣8时,若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,求实数n的取值范围.【分析】(1)根据集合为空集的定义进行求解即可.(2)根据充分条件和必要条件与集合关系进行转化求解即可.【解答】解:(1)因为集合A为空集,所以△=4﹣4m<8,解得m>1,即实数m的取值范围是{m|m>1}.(2)当m=﹣6时,A={x|x2﹣2x﹣2≤0}={x|﹣2≤x≤2},因为B={y|y=3x,x≤n}={y|0<y≤8n},因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,所以B是A的真子集,所以3n≤4,解得n≤3log32,故实数n的取值范围是{n|n≤4log32}.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,结合充分条件和必要条件与集合之间的关系进行转化是解决本题的关键,是基础题.19.(12分)体育课上,小明进行一项趣味测试,在操场上从甲位置出发沿着同一跑道走到乙位置1≠x2).方式一:小明一半的时间以x1m/s的速度行走,剩余一半时间换为以x2m/s的速度行走,平均速度为;方式二:小明一半的路程以x1m/s的速度行走,剩余一半路程换为以x2m/s的速度行走,平均速度为.(1)试求两种行走方式的平均速度,;(2)比较,的大小.【分析】(1)方式一种的平均速度易求,方式二中设出用的时间已经路程,然后根据条件即可求解;(2)作差比较即可求解.【解答】解:(1)易知,设方式二中所用时间为t,路程为s,则;(2)=,因为x1>0,x8>0,且x1≠x7,所以,即.【点评】本题考查了根据实际问题建立函数模型的问题,考查了学生对题干的理解能力,属于基础题.20.(12分)已知定义域为R的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=4x﹣m•3x﹣2,其中m是常数.(1)当x<0时,求f(x)的解析式;(2)用定义法证明:f(x)在[0,+∞)上单调递增.【分析】(1)根据函数奇偶性定义进行转化求解即可.(2)根据函数单调性的定义进行证明即可.【解答】(1)解:因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即43﹣m⋅30﹣2=0,解得m=﹣1.故当x≥3时,f(x)=4x+3x﹣8,设x<0,则﹣x>0﹣x+5﹣x﹣2,而f(x)是奇函数,所以f(x)=﹣f(﹣x)=﹣4﹣x﹣3﹣x+2,所以当x<0时,f(x)=﹣8﹣x﹣3﹣x+2.(2)证明:由(1)知当x≥6时,f(x)=4﹣x+3﹣x﹣3,任取x1,x2∈[4,+∞)1<x2,则=,因为x1<x7,所以,,所以,所以f(x8)﹣f(x2)<0,即f(x3)<f(x2),所以f(x)在[0.【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,结合奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键,是基础题.21.(12分)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示(,1),(,0).(1)求f(x)的解析式;(2)设M,N为函数y=t的图象与f(x)的图象的两个交点(点M在点N左侧),求t的值.【分析】(1)由函数图象可得A,函数周期,利用周期公式可求ω,将最高点代入,结合,可求,即可得解函数解析式.(2)设M(x0,t),,则,利用两角和的正弦公式计算可得sin2x0=0,求得,进而可求t的值.【解答】解:(1)由题意易知A=1,周期,所以f(x)=sin(8x+φ).将最高点代入f(x)=sin(5x+φ)中可得,得,即.又因为,所以.所以.(2)设M(x0,t),,则,所以=,所以sin3x0=0,所以7x0=kπ(k∈Z),即,所以.【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键,考查了数形结合思想和函数思想,属于中档题.22.(12分)已知函数f(x)=(log4x)2﹣a log4x+3,其中a为常数.(1)当a=2时,求函数f(x)的值域;(2)若对,1≤f(x)≤27恒成立【分析】(1)利用换元法结合一元二次函数的性质进行求解即可.(2)利用换元法结合不等式恒成立进行转化求解即可.【解答】解.(1)令t=log4x,易知t∈R2﹣8t+3在R上的值域.因为y=t2﹣8t+3=(t﹣1)7+2,所以f(x)的值域为[2.(2)对,1≤f(x)≤27恒成立,即,恒成立,设u=log4x,因为.故等价于,1≤g(u)=u6﹣au+3≤27恒成立,即等价于对恒成立,令,,则在上单调递增,所以.令,,由基本不等式可知,当且仅当时取等号.所以,即实数a的取值范围是.【点评】本题主要考查函数值域以及不等式恒成立问题,利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键,是中档题.。
湖北省宜昌市第一中学2020学年高一数学上学期期末考试试题(无答案)
⎪ e 1e 1湖北省宜昌市第一中学2020学年高一数学上学期期末考试试题(无答案)考试时间:2020 年 1 月 25 日 试卷满分:150 分一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1、设集合 A = {x y , B = {y y = log 3 x ,1 ≤ x ≤ 9} ,则 A ⋂ B = ( ) A.φB.[1, 2]C.[0, 2]D.[1, 3]2、下列各组函数中,表示同一函数的是( )A . y = 1, y = x 0B . y = log 2 ( x -1) + log 2 ( x + 2),y = log 2 ( x -1)( x + 2)C . y = x , y =x 2D . y = e x -1 ⋅ e x +1,y = e 2t3、若向量 = (3,2) , b = ( x ,6) ,且 // b ,则 x 的值为( )A .9B . - 1C . - 4D . - 94、三个数 ⎛ 1 ⎫⎝ π⎭1 , e π , ln1 的大小关系为( ) π1 ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫1 11 1⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ 1 A. ln < ⎪ < e π B. ⎪ < ln < e πC. ln < e π < ⎪D. ⎪ < e π < ln π ⎝ π ⎭⎝ π⎭ π π ⎝π ⎭⎝ π⎭π 5、已知方程 kx + 3 = log 2 x (k < 0) 的实根 x 0 满足 x 0 ∈ (1, 2) ,则 k 的取值范围为( )A. k < -3B. -1 < k <C. -3 < k < -1D. k < -3 或 -1 < k < 0 6、已知 sin α+ cos α = A . -1 ,则 tan α+cos α 的值为( ) sin αB . -2C . 1 2D .2 7、已知扇形 AOB 的周长为 4,当扇形的面积取得最大值时,扇形的弦长 AB 等于() A . 2B . sin 1πC . 2 sin1D. 2 cos18、已知曲线 C 1 : y = cos x , C 2 : y = sin(2 x + ) ,则下面结论正确的是( )31 πA.把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的 2 1B.把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得到曲线 C 2 6π 个单位长度,得到曲线 C 2 2 C.把 C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 D.把 C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 12π 个单位长度,得到曲线 C 2 6π个单位长度,得到曲线 C 2 129、函数 y = e ln x- x -1 的图象大致为()A .B .C .D .10 、 函 数 y = f ( x ) 满 足f ( x + π = 2 f ( x ) , 且 当x ∈[0, π ] 时 , 2 ⎧ f ( x ) = ⎨ ⎩ 2 sin x , sin x ≤ cos x2 cos x , sin x > cos x, 则 函 数y = f ( x ) - lg x 的零点个数为( )A.10B.11C.12D.13x 11、已知函数 f ( x ) = log 2 ( x 2 + 1 - x ) + 1 - e 1 + e x+ 2 ,则不等式 f (2 sin 2x -1) > 2 ,x ∈ (0,π)的解集为() ⎛ π π⎫ ⎛ π 2π⎫ ⎛ π 5π⎫ ⎛ π ⎫ ⎛ 5π ⎫ A. , ⎪ B . , ⎪C . , ⎪D . 0, ⎪ ⋃ ,π⎪ ⎝ 6 2 ⎭⎝ 3 3 ⎭⎝ 12 12 ⎭ ⎝ 12 ⎭ ⎝ 12 ⎭⎧x 2 + (4a - 3) x + 3a , x < 0, 12、已知函数 f ( x ) = ⎨⎩log a (x + 1) + 1, x ≥ 0(a > 0且a ≠ 1) 在 R 上单调递减,且关于 x 的方程| f ( x ) |= 2 - x 恰 好有两个不相等的实数解,则 a 的取值范围是( )2 A .(0,3 2 ] B .[ 3 3 1 2 , ] C .[ ,4 3 3 ] { 3 4 1 2 } D .[ , 3 3) { 3}4 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题5 分,共 20 分.把答案直接填在答题卡中的横线上. 13、已知 a = (2,1), b = (1,-2), 若 ma - nb = (4,7) ,则 m + n 的值为 .14、若 x log 3 2 = 1 ,则 4 x + 4- x= .15、函数 f ( x ) = log 1 [sin(2 x +2π )] 的单调递减区间为 .6 16、下面 5 个说法中正确的序号为 . ①函数 f (x ) = 2x - x 2π有两个零点;π②函数y =tan(2x -) -1的图象关于点(6,-1)对称;3③若α是第三象限角,则sinα2+sinα2cosα2cosα2的取值集合为{-2,0};④锐角三角形ABC 中一定有sin A > cos B ;⑤已知f (x) =a (a > 0且a ≠ 1) ,同一平面内有O、A、B、C 四个不同的点,若OA = f ( x)OB + f (-x)OC ,a x +1则A、B、C 必定三点共线。
2020-2021学年湖北省宜昌市宜都第一中学高一数学文上学期期末试卷含解析
2020-2021学年湖北省宜昌市宜都第一中学高一数学文上学期期末试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 如图,二面角的大小是60°,线段,,AB与所成的角为30°,则AB与平面所成的角的余弦值是()A.B. C. D.参考答案:B过点A作平面β的垂线,垂足为C,在β内过C作l的垂线.垂足为D连结AD,易知AD⊥l,故∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角为60°又由已知,∠ABD=30°连结CB,则∠ABC为AB与平面β所成的角,设AD=2,则AC=,CD=1AB==4,BC=,∴cos∠ABC=.故选:B2. 已知点P(tanα,cosα)在第三象限,则角α的终边在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限参考答案:B【考点】三角函数值的符号.【分析】根据点的位置结合三角函数的符号进行判断,【解答】解:∵点P(tanα,cosα)在第三象限,∴,则角α的终边在第二象限,故选:B3. 设集合,.分别求出满足下列条件的实数的取值范围.(Ⅰ);(Ⅱ).[.Com]参考答案:略4. 已知图①中的图象对应的函数y=f(x),则图②中的图象对应的函数是()A.y=f(|x|)B.y=|f(x)| C.y=f(﹣|x|)D.y=﹣f(|x|)参考答案:C【考点】函数的图象与图象变化;函数的定义域及其求法;函数解析式的求解及常用方法.【分析】由题意可知,图②中的函数是偶函数,与图①对照,它们位于y轴左侧的部分相同,右侧不一样,说明当x<0时对应法则相同而x>0时对应法则不同,再结合排除法分析选项可得正确答案.【解答】解:设所求函数为g(x),g(x)==f(﹣|x|),C选项符合题意.故选C5. 过点且与直线平行的直线方程是().A.B.C.D.参考答案:B设直线方程为,代入,解得,所求直线为.故选.6. 函数的定义域是(▲)A. B.C.D.参考答案:D7. 已知f(x)为R上的减函数,则满足f(||)<f(1)的实数x的取值范围是()A.(﹣1,1)B.(0,1)C.(﹣1,0)∪(0,1)D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)参考答案:C【考点】函数单调性的性质.【分析】由函数的单调性可得||与1的大小,转化为解绝对值不等式即可.【解答】解:由已知得解得﹣1<x<0或0<x<1,故选C8. 已知集合A={x|x>0},B={x|﹣1≤x≤2},则A∪B=()A.{x|x≥﹣1} B.{x|x≤2}C.{x|0<x≤2}D.{x|﹣1≤x≤2}参考答案:A【考点】并集及其运算.【分析】根据并集的求法,做出数轴,求解即可.【解答】解:根据题意,作图可得,则A∪B={x|x≥﹣1},故选A.9. 函数的定义域为A、(0,2] [B、(0,2)C、D、参考答案:C10. 动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知时间t=0时,点A的坐标是(,),则当0≤t≤12时,动点A的纵坐标y关于t(单位:秒)的函数的单调递增区间是()A.[0,1] B.[1,7] C.[7,12] D.[0,1]和[7,12]参考答案:D【考点】函数单调性的判断与证明.【分析】由动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,可知与三角函数的定义类似,由12秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度,画出单位圆,很容易看出,当t在[0,12]变化时,点A的纵坐标y关于t(单位:秒)的函数的单调性的变化,从而得单调递增区间.【解答】解:设动点A与x轴正方向夹角为α,则t=0时,每秒钟旋转,在t∈[0,1]上,在[7,12]上,动点A的纵坐标y关于t 都是单调递增的.故选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若,则______参考答案:略12. 在平面直角坐标系中定义两点之间的交通距离为。
2020-2021学年湖北省高一(上)期末数学试卷人教新课标A版
2020-2021学年湖北省高一(上)期末数学试卷一、选择题:(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1. 设集合A={x|x−1≤0},B={x|x2−x−6<0},则A∩B=()A.(−1, 2)B.(−2, 1]C.[1, 2)D.[−2, 3)2. sin454∘+cos176∘的值为()A.sin4∘B.cos4∘C.0D.2sin4∘3. 函数f(x)=ln x−的零点所在的大致区间是()A.(,1)B.(1, e)C.(e, e2)D.(e2, e3)4. 设p:实数a,b满足a>1且b>1,q:实数a,b满足,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.已知0.4771<lg3<0.4772,则下列各数中与最接近的是()A.1033B.1053C.1073D.10936. 把函数的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位可以得到函数g(x)的图象,若g(x)是偶函数,则φ的值为()A. B. C.或 D.或7. 已知,则=()A. B. C. D.8. 已知函数,若不等式f(3x−9x)+f(m⋅3x−3)<0对任意x∈R均成立,则m的取值范围为()A.(−∞,2−1)B.C. D.二、选择题:(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)如果角α与角γ+45∘的终边相同,角β与γ−45∘的终边相同,那么α−β的可能值为()A.90∘B.360∘C.450∘D.2330∘下列函数中,既是偶函数又是区间(1, +∞)上的增函数有()A.y=3|x|+1B.y=ln(x+1)+ln(x−1)C.y=x2+2D.已知f(x)=cos(sin x),g(x)=sin(cos x),则下列说法正确的是()A.f(x)与g(x)的定义域都是[−1, 1]B.f(x)为偶函数且g(x)也为偶函数C.f(x)的值域为[cos1, 1],g(x)的值域为[−sin1, sin1]D.f(x)与g(x)最小正周期为2π高斯(Gauss)是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如:[−2.3]=−3,[15.31]=15.已知函数,G(x)=[f(x)],则下列说法正确的有()A.G(x)是偶函数B.G(x)的值域是{−1, 0}C.f(x)是奇函数D.f(x)在R上是增函数三、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分.)已知扇形的弧长为6,圆心角弧度数为2,则其面积为________.已知实数a,b满足log4(a+9b)=log2,则a+b的最小值是________.已知函数f(x)的定义域为(0, +∞),且f(x)=2f(1x)√x−1,则f(x)=________.已知函数f(x)=A sin(2x+φ)−(A>0,0<φ<),g(x)=,f(x)的图象在y轴上的截距为1,且关于直线x=对称.若对于任意的x1∈[−1, 2],存在x2∈[0,],使得g(x1)≥f(x2),则实数m的取值范围为________.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知全集U=R,集合A={x|≤0},B={x|x2−2ax+(a2−1)<0}.(1)当a=2时,求(∁U A)∩(∁U B);(2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件,求实数a的取值范围.已知函数f(x)=sin(5π2−ωx)(ω>0),且其图象上相邻最高点、最低点的距离为√4+π2.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若已知sinα+f(α)=23,求2sinαcosα−2sin2α1+tanα的值.李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择:方案一:每户每月收管理费2元,月用电不超过30度每度0.5元,超过30度时,超过部分按每度0.6元.方案二:不收管理费,每度0.58元.(1)求方案一收费L(x)元与用电量x(度)间的函数关系;(2)李刚家九月份按方案一交费35元,问李刚家该月用电多少度?(3)李刚家月用电量在什么范围时,选择方案一比选择方案二更好?已知函数f(x)=2sinωx,其中常数ω>0.(1)若y=f(x)在[−π4, 2π3]上单调递增,求ω的取值范围;(2)令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象求y=g(x)的图象离原点O最近的对称中心.已知连续不断函数,.(1)求证:函数f(x)在区间上有且只有一个零点;(2)现已知函数g(x)在上有且只有一个零点(不必证明),记f(x)和g(x)在上的零点分别为x1,x2,试求x1+x2的值.已知f(x)=log2(4x+1)−kx(k∈R).(1)设g(x)=f(x)−a+1,k=2,若函数g(x)存在零点,求a的取值范围;(2)若f(x)是偶函数,设ℎ(x)=log2(b⋅2x−43b),若函数f(x)与ℎ(x)的图象只有一个公共点,求实数b的取值范围.参考答案与试题解析2020-2021学年湖北省高一(上)期末数学试卷一、选择题:(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】分别求出关于A、B的不等式,求出A、B的交集即可.【解答】由A={x|x−1≤0}={x|x≤5},B={x|x2−x−6<2}={x|−2<x<3},则A∩B={x|−4<x≤1},2.【答案】C【考点】运用诱导公式化简求值【解析】由题意利用诱导公式,化简可得结果.【解答】sin454∘+cos176∘=sin94∘−cos4∘=cos4∘−cos6∘=0,3.【答案】B【考点】函数零点的判定定理【解析】由于连续函数f(x)=ln x−满足f(1)<0,f(e)>0,根据函数零点判定定理,由此求得函数的零点所在的区间.【解答】由于连续函数f(x)=ln x−满足f(1)=−1<4>0,且函数在区间( 3, e)上单调递增的零点所在的区间为( 1.故选:B.4.【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据不等式的关系,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【解答】当a>1且b>1时,ab>8,即充分性成立,反之当a=4,b=1时但a>1且b>2不成立,即p是q的充分不必要条件,5.【答案】D【考点】对数的运算性质【解析】根据条件可得M≈3361,N≈1080,由对数性质有3=10lg3≈100.477,从而得到M≈3361≈10172.2,由此能求出结果.【解答】∵围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.∴M≈3361,N≈1080,根据对数性质有8=10lg3≈100.477,∴M≈3361≈(100.477)361≈10172.2,∴≈=1092.2≈1093,6.【答案】D【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换【解析】由题意利用函数y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的奇偶性,求得φ的值.【解答】把函数的图象向左平移φ(7<φ<π)个单位,可以得到函数g(x)=sin(2x+2φ−)的图象,若g(x)是偶函数,则2φ−=,k∈Z,∴分别令k=0、k=1,或φ=,7.【答案】B【考点】两角和与差的三角函数【解析】利用诱导公式化简即可计算求解.【解答】因为,所以sin(+θ)=-,则=cos[+θ)]=sin(.8.【答案】A 【考点】函数恒成立问题【解析】利用函数奇偶性的判定方法判定奇偶性,然后根据复合函数的单调性判定单调性,化简不等式,然后将m分离,利用基本不等式求出不等式另一侧函数的最值,即可求出所求.【解答】因为f(−x)+f(x)=−2x+ln()+2x+ln(,所以函数f(x)是奇函数,由复合函数的单调性可知y=ln()在R上单调递增,所以函数f(x)在R上单调递增,所以不等式f(3x−9x)+f(m⋅3x−2)<0对任意x∈R均成立等价于f(3x−6x)<−f(m⋅3x−3)=f(2−m⋅3x),即3x−3x<3−m⋅3x,即m<对任意x∈R均成立,因为≥,所以m<.二、选择题:(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)【答案】A,C【考点】终边相同的角【解析】由已知,表示出α,β,再结合选项考虑.【解答】如果角α与γ+45∘终边相同,则α=2mπ+γ+45∘角β与γ−45∘终边相同,则β=2nπ+γ−45∘,∴α−β=4mπ+γ+45∘−2nπ−γ+45∘=2(m−n)π+90∘,(k=m−n+6),即α−β与90∘角的终边相同,观察选项,【答案】A,C,D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意,依次分析选项中函数的奇偶性与单调性,综合即可得答案.【解答】根据题意,依次分析选项:对于A,y=3|x|+1,其定义域为R,有f(−x)=5|−x|+1=3|x|+7=f(x),即函数f(x)为偶函数,在区间(1, +∞)上|x|+1=y=5x+1,为增函数,符合题意,对于B,y=ln(x+1)+ln(x−3),有,即函数的定义域为(1,不是偶函数,对于C,y=x7+2为二次函数,开口向上且对称轴为y轴,+∞)上的增函数,对于D,y=x2+,其定义域为R2+=x2+=f(x),可令t=x2,可得t=x8在(1, +∞)递增在(5,则函数y=x2+为增函数,【答案】B,C【考点】命题的真假判断与应用【解析】A根据正弦和余弦函数性质判断;B根据奇偶函数定义判断;C根据复合函数值域判断;D根据周期函数定义判断.【解答】对于A,f(x)与g(x)的定义域都是R;对于B,因为f(−x)=f(x),f(x)和g(x)都是偶函数,所以B对;对于C,因为sin x∈[−1,),所以f(x)的值域为[cos1,因为cos x∈[−1, 7]⊂(−,),)内单调递增,所以g(x)的值域为[−sin1, sin2];对于D,f(x)=cos(sin x)=cos|sin x|,所以D错.【答案】B,C,D【考点】函数奇偶性的性质与判断函数的值域及其求法【解析】根据题意,依次分析选项中说法是否正确,综合可得答案.【解答】根据题意,对于A,G(1)=[f(1)]=0,G(1)≠G(−1),A错误,对于B,=-,由1+2x>5,则-,则有G(x)的值域是{−1,B正确,对于C,,其定义域位R-=-,则f(−x)+f(x)=6,C正确,对于D,=-,设t=1+4x,则y=-,t=2x+1在R上是增函数,y=-,+∞)也是增函数,则f(x)在R上是增函数,D正确,故选:BCD.三、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分.)【答案】9【考点】扇形面积公式【解析】先求出半径,再利用扇形面积公式即可求解.【解答】半径r===4,根据扇形面积公式S=|α|r3=×8×32=3,【答案】16【考点】基本不等式及其应用对数的运算性质【解析】由对数的运算法则知a+9b=ab,从而有a+b=(a+b)⋅(),展开后,再利用基本不等式,得解.【解答】∵log4(a+9b)=log7=log4()2,∴a+4b=ab,即=7,∴a+b=(a+b)⋅()=4+9++=16,当且仅当=,即a=3b=12时,∴a+b的最小值是16.【答案】2 3√x+13【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】根据f(x)=2f(1x )√x−1,考虑到所给式子中含有f(x)和f(1x),用1x代替x代入f(x)=2f(1x )√x−1,解关于入f(x)与f(1x)的方程组,即可求得f(x).【解答】解:考虑到所给式子中含有f(x)和f(1x),故可考虑利用换元法进行求解.在f(x)=2f(1x )√x−1,用1x代替x,得f(1x )=√x1,将f(1x)=√x−1代入f(x)=2f(1x)√x−1中,可求得f(x)=23√x+13.故答案为:23√x+13【答案】【考点】函数恒成立问题【解析】f(x)的图象在y轴上的截距为1,且关于直线x=对称.可得f(0)=A sinφ−=1,sin(2×+φ)=±1.根据A>0,0<φ<,可得φ,A.利用三角函数的单调性可得f(x)min.g(x)==−m,利用函数的单调性可得g(x)min.若对于任意的x1∈[−1, 2],存在x2∈[0,],使得g(x1)≥f(x2),可得g(x1)min≥f(x2)min,即可得出.【解答】f(x)的图象在y轴上的截距为1,且关于直线x=.∴f(0)=A sinφ−=1+φ)=±1.又A>4,0<φ<,A=.∴f(x)=sin(7x+,x ∈[0,],∴(8x+)∈,∴sin(2x+)∈,∴f(x)∈.∴f(x)min=1.g(x)==−m,∵x∈[−1, 3]min=−m.若对于任意的x6∈[−1, 2]6∈[0,],使得g(x4)≥f(x2),则g(x1)min≥f(x3)min,∴−m≥7.∴实数m的取值范围为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【答案】A={x|≤5}={x|2≤x<5},B={x|x5−2ax+(a2−8)<0}={x|a−1<x<a+6}.当a=2时,B=(1,则∁U A={x|x≥2或x<2},∁U B={x|x≥3或x≤6},则(∁U A)∩(∁U B)={x|x≥5或x≤1.若x∈A是x∈B的必要不充分条件,则B⫋A,则,得,得8≤a≤4,即实数a的取值范围是[3, 3].【考点】交、并、补集的混合运算充分条件、必要条件、充要条件【解析】(1)根据不等式的解法求出集合的等价条件,利用集合的基本运算法则进行计算即可.(2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件,则B⫋A,根据条件转化为真子集关系进行求解即可.【解答】A={x|≤5}={x|2≤x<5},B={x|x5−2ax+(a2−8)<0}={x|a−1<x<a+6}.当a=2时,B=(1,则∁U A={x|x≥2或x<2},∁U B={x|x≥3或x≤6},则(∁U A)∩(∁U B)={x|x≥5或x≤1.若x∈A是x∈B的必要不充分条件,则B⫋A,则,得,得8≤a≤4,即实数a的取值范围是[3, 3].【答案】解:(1)∵函数f(x)=sin(5π2−ωx)=cosωx,故其周期为2πω,最大值为1.设图象上最高点为(x1, 1),与之相邻的最低点为(x2, −1),则|x2−x1|=T2=πω.∵其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为√4+π2=√(πω)2+22,解得ω=1,∴函数f(x)=cos x.(2)∵sinα+f(α)=23,∴sinα+cosα=23,两边平方可得:1+2sinαcosα=49,解得:2sinαcosα=−59,cosα−sinα=±√143,∴2sinαcosα−2sin2α1+tanα=2sinαcosα−2sin2α1+sinαcosα=2sinαcosα(cosα−sinα)sinα+cosα=±5√1418.【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式正弦函数的图象【解析】(1)设最高点为(x1, 1),最低点为(x2, −1),结合图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为√4+π2列式,求出周期,代入周期公式求得ω,则函数解析式可求;(2)有题意可得sinα+cosα=23,两边平方可解得:2sinαcosα=−59,cosα−sinα=±√143,利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算求解.【解答】解:(1)∵函数f(x)=sin(5π2−ωx)=cosωx,故其周期为2πω,最大值为1.设图象上最高点为(x1, 1),与之相邻的最低点为(x2, −1),则|x2−x1|=T2=πω.∵其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为√4+π2=√(πω)2+22,解得ω=1,∴函数f(x)=cos x.(2)∵sinα+f(α)=23,∴sinα+cosα=23,两边平方可得:1+2sinαcosα=49,解得:2sinαcosα=−59,cosα−sinα=±√143,∴2sinαcosα−2sin2α1+tanα=2sinαcosα−2sin2α1+sinαcosα=2sinαcosα(cosα−sinα)sinα+cosα=±5√1418.【答案】解:(1)当0≤x≤30时,L(x)=2+0.5x;当x>30时,L(x)=2+30×0.5+(x−30)×0.6=0.6x−1,∴L(x)={2+0.5x,0≤x≤30,0.6x−1,x>30,(注:x也可不取0);(2)当0≤x≤30时,由L(x)=2+0.5x=35,得x=66,舍去;当x>30时,由L(x)=0.6x−1=35得x=60,∴李刚家该月用电60度;(3)设按第二方案收费为F(x)元,则F(x)=0.58x,当0≤x≤30时,由L(x)<F(x),得:2+0.5x<0.58x,解得:x>25,∴25<x≤30;当x>30时,由L(x)<F(x),得:0.6x−1<0.58x,解得:x<50,∴30<x<50;综上,25<x<50.故李刚家月用电量在25度到50度范围内(不含25度、50度)时,选择方案一比方案二更好.【考点】函数模型的选择与应用【解析】(1)分0≤x≤30、x>30两种情况讨论即可;(2)通过分别令0≤x≤30、x>30时L(x)=35计算即得结论;(3)通过分别令0≤x≤30、x>30时L(x)<0.58x计算即得结论.【解答】解:(1)当0≤x≤30时,L(x)=2+0.5x;当x>30时,L(x)=2+30×0.5+(x−30)×0.6=0.6x−1,∴L(x)={2+0.5x,0≤x≤30,0.6x−1,x>30,(注:x也可不取0);(2)当0≤x≤30时,由L(x)=2+0.5x=35,得x=66,舍去;当x>30时,由L(x)=0.6x−1=35得x=60,∴李刚家该月用电60度;(3)设按第二方案收费为F(x)元,则F(x)=0.58x,当0≤x≤30时,由L(x)<F(x),得:2+0.5x<0.58x,解得:x>25,∴25<x≤30;当x>30时,由L(x)<F(x),得:0.6x−1<0.58x,解得:x<50,∴30<x<50;综上,25<x<50.故李刚家月用电量在25度到50度范围内(不含25度、50度)时,选择方案一比方案二更好.【答案】解:(1)∵函数f(x)=2sinωx在[−π4, 2π3]上单调递增,∴ω⋅2π3≤π2,∴ω≤34.(2)令ω=2,将函数y=f(x)=2sin2x的图象向左平移π6个单位,可得y=2sin2(x+π6)的图象;再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)=2sin2(x+π6)+1的图象,令g(x)=2sin(2x+π3)+1=0,可得2x+π3=2kπ+4π3,或2x+π3=2kπ+5π3,k∈Z.求得x=kπ+π2,或x=kπ+2π3,k∈Z,故g(x)的图象的对称中心为(kπ+π2, 0)或(kπ+2π3, 0),k∈Z,故g(x)的图象离原点O最近的对称中心为(−π3, 0).【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换正弦函数的图象【解析】(1)由条件利用正弦函数的单调性求得ω的范围.(2)利用y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式,可得g(x)的图象的对称中心,从而求得g(x)的图象离原点O最近的对称中心.【解答】解:(1)∵函数f(x)=2sinωx在[−π4, 2π3]上单调递增,∴ω⋅2π3≤π2,∴ω≤34.(2)令ω=2,将函数y=f(x)=2sin2x的图象向左平移π6个单位,可得y=2sin2(x+π6)的图象;再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)=2sin2(x+π6)+1的图象,令g(x)=2sin(2x+π3)+1=0,可得2x+π3=2kπ+4π3,或2x+π3=2kπ+5π3,k∈Z.求得x=kπ+π2,或x=kπ+2π3,k∈Z,故g(x)的图象的对称中心为(kπ+π2, 0)或(kπ+2π3, 0),k∈Z,故g(x)的图象离原点O最近的对称中心为(−π3, 0).【答案】证明:函数,因为,,所以,又y=sin x和y=在区间,故函数f(x)在区间上单调递增,由零点的存在性定理可得函数f(x)在区间上有且只有一个零点;因为函数f(x)在区间上有且只有一个零点,所以,即,即=0,因为函数g(x)在上有且只有一个零点x2,所以,则x1+x3=.【考点】函数零点的判定定理函数的零点与方程根的关系【解析】(1)通过判断f(0)与的正负,结合函数的单调性,利用零点的存在性定理证明即可;(2)利用零点的定义可得,将其变形为=0,通过g(x)有且只有一个零点x2,即可得到x1,x2的关系,即可求解.【解答】证明:函数,因为,,所以,又y=sin x和y=在区间,故函数f(x)在区间上单调递增,由零点的存在性定理可得函数f(x)在区间上有且只有一个零点;因为函数f(x)在区间上有且只有一个零点,所以,即,即=0,因为函数g(x)在上有且只有一个零点x2,所以,则x1+x3=.【答案】由题意函数g(x)存在零点,即f(x)=a−1有解.又f(x)=log2(4x+1)−2x=log2(4x+14x)=log2(1+14x),易知f(x)在(−∞, +∞)上是减函数,又1+14x>1,log2(4x+14x)>0,即f(x)>0,所以a−1∈(0, +∞),所以a的取值范围是a∈(1, +∞).∵f(x)=log2(4x+1)−kx的定义域为R,f(x)是偶函数,∴f(−1)=f(1),∴log2(14+1)+k=log2(4+1)−k,∴k=1检验f(x)=log2(4x+1)−x=log2(2x+2−x),f(−x)=log2(4−x+1)+x=log2(2x+2−x),∴f(x)=f(−x),∴f(x)为偶函数,函数f(x)与ℎ(x)的图象有且只有一个公共点,∴方程f(x)=g(x)只有一解,即方程2x+12x=b⋅2x−43b有且只有一个实根,令t=2x>0,则方程(b−1)t2−43bt−1=0有且只有一个正根,①当b=1时,t=−34,不合题意,②当b≠1时,若方程有两相等正根,则△=(−4b)2−4×3(b−1)×(−3)=0,且4b2×3(b−1)>0,解得b=−3③若一个正根和一个负根,则−1a−1<0,即b>1时,满足题意,∴实数a的取值范围为{b|b>1或b=−3}.【考点】函数与方程的综合运用【解析】(1)由题意函数g(x)存在零点,即f(x)=a−1有解,转化为利用函数的单调性求出a的范围;(2)先根据偶函数的性质求出k的值,再根据函数f(x)与ℎ(x)的图象有且只有一个公共点,则方程f(x)=ℎ(x)有且只有一个实根,化简可得方程2x+12x =b⋅2x−43b有且只有一个实根令t=2x>0,则转化才方程(b−1)t2−43bt−1=0有且只有一个正根,讨论b=1,以及△=0与一个正根和一个负根,三种情形,即可求出实数b的取值范围.【解答】由题意函数g(x)存在零点,即f(x)=a−1有解.又f(x)=log2(4x+1)−2x=log2(4x+14x)=log2(1+14x),易知f(x)在(−∞, +∞)上是减函数,又1+14x >1,log2(4x+14x)>0,即f(x)>0,所以a−1∈(0, +∞),所以a的取值范围是a∈(1, +∞).∵f(x)=log2(4x+1)−kx的定义域为R,f(x)是偶函数,∴f(−1)=f(1),∴log2(14+1)+k=log2(4+1)−k,∴k=1检验f(x)=log2(4x+1)−x=log2(2x+2−x),f(−x)=log2(4−x+1)+x=log2(2x+2−x),∴f(x)=f(−x),∴f(x)为偶函数,函数f(x)与ℎ(x)的图象有且只有一个公共点,∴方程f(x)=g(x)只有一解,即方程2x+12x =b⋅2x−43b有且只有一个实根,令t=2x>0,则方程(b−1)t2−43bt−1=0有且只有一个正根,①当b=1时,t=−34,不合题意,②当b≠1时,若方程有两相等正根,则△=(−4b)2−4×3(b−1)×(−3)=0,且4b2×3(b−1)>0,解得b=−3③若一个正根和一个负根,则−1a−1<0,即b>1时,满足题意,∴实数a的取值范围为{b|b>1或b=−3}.。
湖北省宜昌市2021届高一数学上学期期末考试试题
湖北省宜昌市2021届高一数学上学期期末考试试题一、选择题1.函数()sin()f x A x ωϕ=+ (0,0,2A πωϕ>><)的部分图象如图所示,若12,,63x x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,且()()12f x f x =,则12()f x x +=( )A .1B .12C .2D .22.在ABC △中,18sinAsinBsinC =,且ABC ∆面积为1,则下列结论不正确的是( ) A .8a b a b -< B .()8ab a b +>C .()2216a b c+<D .6a b c ++>3.在2018年1月15日那天,某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查,5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示: 价格销售量,则其中的( ) A.10B.11C.12D.10.54.函数()()e 1e 1x xf x x +=-(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )A. B. C. D.5.已知函数()f x 满足()()f x f x =-,且当(],0x ∈-∞时,()()0f x xf x '+<成立,若()()0.60.622a f =⋅,()()ln2ln2b f =⋅,118822log log c f ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则a ,b ,c 的大小关系是( )A.a b c >>B.a c b >>C.c b a >>D.c a b >>6.若将函数2sin2y x =的图象向左平移12π个单位,再将图象上每个点的横坐标和纵坐标都变为原来的12,则所得图象的函数的解析式为( ) A.4sin 46y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B.sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C.sin 43y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D.sin 46y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭7.圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球,如图所示.则球的半径是( )A.1 cmB.2 cmC.3 cmD.4 cm8.已知曲线122:sin ,:sin 23C y x C y x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,则下面结论正确的是( )A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移3π个单位长度,得到曲线2C .B.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移23π个单位长度,得到曲线2C .C.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移3π个单位长度,得到曲线2C .D.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移23π个单位长度,得到曲线2C .9.下列方程是圆22(1)(1x y -++=的切线方程的是( ) A .0x y -=B .0x y +=C .0x =D .0y =10.圆心为()1,1且过原点的圆的方程是( ) A .()()22111x y -+-= B .()()22111x y +++= C .()()22112x y +++= D .()()22112x y -+-=11.设1x 、2x 是关于x 的方程220x mx m m ++-=的两个不相等的实数根,那么过两点211(,)A x x ,222(,)B x x 的直线与圆()2211x y -+=的位置关系是( )A .相离.B .相切.C .相交.D .随m 的变化而变化.12.关于的不等式的解集为,则函数的图象为图中的( )A .B .C .D .二、填空题13.如图,矩形ABCD 中,2AB =,1BC =,E 是CD 的中点,将ADE ∆沿AE 折起,使折起后平面ADE ⊥平面ABCE ,则异面直线AE 和CD 所成的角的余弦值为__________.14.已知偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递减,且()40f -=,则不等式()02f x x >-的解集为______.15.已知数列为正项的递增等比数列,,,记数列的前n 项和为,则使不等式成立的最大正整数n 的值是_______.16.利用数学归纳法证明不等式“()*11112,23212n n n n N +++⋯+>≥∈-”的过程中,由“n k =”变到“1n k =+”时,左边增加了_____项. 三、解答题17.已知圆C 的圆心C 在x 轴的正半轴上,半径为2,且被直线3440x y --=截得的弦长为(1)求圆C 的方程;(2)设P 是直线50x y ++=上的动点,过点P 作圆C 的切线PA ,切点为A ,证明:经过A ,P ,C 三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.18.已知函数()4sin()cos 3f x x x π=-+(1)求函数()f x 的最小正周期; (2)若3()3m f x m -<<+对任意(0,)2x π∈恒成立,求实数m 的取值范围.19.在平面直角坐标系xOy 中,角的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,它的终边过点,以角的终边为始边,逆时针旋转得到角. Ⅰ求的值;Ⅱ求的值.20.已知两条直线l 1:x+(1+a)y+a-1=0,l 2:ax+2y+6=0. (1)若l 1∥l 2,求a 的值 (2)若l l ⊥l 2,求a 的值 21.已知各项都是正数的数列的前n 项和为,,.求数列的通项公式;设数列满足:,,数列的前n 项和求证:.若对任意恒成立,求的取值范围.22.已知函数,其最小值为.求的表达式;当时,是否存在,使关于t 的不等式有且仅有一个正整数解,若存在,求实数k 的取值范围;若不存在,请说明理由. 【参考答案】*** 一、选择题13 14.()(),42,4-∞-⋃ 15.6 16.2k . 三、解答题17.(1) 圆C :22(3)4x y -+=. (2)证明略;(3,0),(1,4)--.18.(1)π;(2)(1,3-. 19.(Ⅰ)(Ⅱ)20.(1)1a =; (2)23a =-. 21.(1);(2)证明略;(3).22.(1);(2)。
湖北省宜昌市高一上学期数学期末考试试卷
湖北省宜昌市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题;共24分)1. (2分) (2020高二下·焦作期末) 已知集合,,则()A .B .C .D .2. (2分)若sin=,则sinα=()A .B . -C . 3D . -33. (2分) (2019高一上·河南月考) 函数f(x)= -b的图象如图,其中a、b为常数,则下列结论正确的是()A . a>1,b <0B . a>1,b>0C . 0 <a <1,b>0D . 0 <a <1,b<04. (2分)下列函数中是偶函数,且在(1,+∞)上是单调递减的函数为()A .B . y=﹣x2+|x|C . y=ln|x|D . y=﹣x2+x5. (2分) (2019高一上·扬州月考) 将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数()A . 在区间上单调递增B . 在区间上单调递减C . 在区间上单调递增D . 在区间上单调递减6. (2分)(2019·晋中模拟) 若,则()A .B .C .D .7. (2分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的()A . 既不充分也不必要的条件B . 充分而不必要的条件C . 必要而不充分的条件D . 充要条件8. (2分) (2018高一上·黑龙江期末) 已知是定义在上的奇函数,当时,(为常数),则的值为()A .B .C .D .9. (2分)(2020·江西模拟) 函数(其中,,)的图象如图所示,为了得到的图象,只需把的图象上所有点()A . 向左平移个单位长度B . 向左平移个单位长度C . 向右平移个单位长度D . 向右平移个单位长度10. (2分) (2019高一上·吉林月考) 如图所示,偶函数的图象形如字母,奇函数的图象形如字母,若方程,的实根个数分别为、,则()A .B .C .D .11. (2分)(2018·茂名模拟) 设函数在上为增函数,则下列结论一定正确的是()A . 在上为减函数B . 在上为增函数C . 在上为增函数D . 在上为减函数12. (2分) (2019高三上·江西月考) 已知集合A={1,2,3},集合B={4,5},映射f:A→B,且满足1的象是4,则这样的映射有()个A . 2B . 4C . 8D . 9二、双空题 (共3题;共3分)13. (1分) (2019高一上·银川期中) 已知,则 ________.14. (1分) (2017高一下·淮北期末) 若扇形的面积是1cm2它的周长是4cm,则圆心角的弧度数是________.15. (1分) (2018高一上·河南月考) 下列结论:①y=πx是指数函数②函数既是偶函数又是奇函数③函数的单调递减区间是④在增函数与减函数的定义中,可以把任意两个自变量”改为“存在两个自变量⑤ 与表示同一个集合⑥所有的单调函数都有最值其中正确命题的序号是________。
2023届湖北省宜昌市第一中学高一上数学期末联考试题含解析
根据函数 的奇偶性知 时, ,
且 时, ,②正确;
对于③,则当 时, ,
由反比例函数的单调性以及复合函数知, 在 上是增函数,且 ;
再由 的奇偶性知, 在 上也是增函数,且
时,一定有 ,③正确;
对于④,因为 只有 一个根,
∴方程 在 上有一个根,④错误.
正确结论的序号是①②③.故答案为:①②③
【详解】由 ,可得 ,
由 ,即 , ,
解得 或 .
于是,由 能推出 ,反之不成立.
所以 是 充分不必要条件.
故选:A.
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断,属于简单题.
6、C
【解析】由题可求A关于直线 的对称点为 及 关于直线 的对称点为 ,可得直线 的方程,联立直线 ,即得.
【详解】设A关于直线 的对称点为 ,
10、D
【解析】根据 是锐角求出 的取值范围,进而得出答案
【详解】因为 是锐角,所以 ,故
故选D.
【点睛】本题考查象限角,属于简单题
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
11、
【解析】函数定义域为R, ,函数是增函数,所以 值域为
考点:函数单调性与值域
12、
【解析】化简函数 的解析式,解方程 ,即可得解.
详解:因为 ,所以 ,
因为 ,所以
因此 ,
选C.
点睛:合的基本运算的关注点
(1)看元素组成.集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提
(2)有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了,易于解决
(3)注意数形结合思想的应用,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图
湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体2020-2021学年高一上学期期末联考数学试题
湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体2020-2021学年高一上学期期末联考数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题 1.满足条件∪{1}={1,2,3}的集合的个数是( ) A .1 B .2 C .3D .42.已知点(tan ,cos )P αα在第三象限,则角α的终边位置在( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.下列各组函数中,表示同一个函数的是( )A .211x y x -=-与1y x =+B .1y =与0y x =C .1y =与1y x =-D .y x =与log (01)xa y a a a =>≠且4.若点(),P x y 是330角终边上异于原点的任意一点,则yx的值是( )A B .C .D 5.函数lg 1x y -=的定义域是( ) A .(]1,2B .()1,2C .()2,+∞D .(),2-∞6.下列函数中,周期为π,且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减的是( )A .sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B .1cos2y x = C .sin 2y x = D .cos 2y x =7.函数y=x 2﹣2x ﹣1在闭区间[0,3]上的最大值与最小值的和是( ) A .﹣1B .0C .1D .28.若θ是ABC ∆的一个内角,且1sin θcos θ8,则sin cos θθ-的值为( )A .BC .2-D 9.设f(x)为定义在R 上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x +2x +b(b 为常数),则f(-1)=( ) A .3B .1C .-1D .-310.若3log 6a =,5log 10b =,7log 14c =,则a 、b 、c 的大小关系是( ) A .a b c <<B .b c a <<C .b a c <<D .c b a <<11.把函数y =sin(x +π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),再将图象向右平移π3个单位长度,那么所得图象的一条对称轴方程为( ) A .x =-π2 B .x =-π4C .x =π8 D .x =π412.已知关于x 不等式0ax b +>的解集为(),1-∞,则不等式02ax bx ->-的解集为( )A .{}12x x -<< B .{1x x <-或}2x > C .{}12x x << D .{2x x >或}1x <二、填空题13.如果幂函数()f x 的图象过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭,那么()16f =___________.14.在R 上定义运算⊙:a ⊙b =2ab a b ++ ,则不等式x ⊙2x -()0< 的解集是____________.15.设()21f x ax bx =++是定义在[]1,2a -上的偶函数,则()f x 的值域是_______.16.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论: ①()f x 是偶函数;②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增; ③()f x 在[],ππ-有4个零点;④()f x 的最大值为2; 其中所有正确结论的编号是_________.三、解答题17.已知α是第三象限的角,且cos 10α=-.(1)求tan α的值;(2)化简并求()()cos 2sin sin 2παπαα-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值.18.已知集合{}12A x x =-≤≤,{}123B x m x m =+≤≤+. (1)当1m =时,求AB ;(2)若A B A ⋃=,求实数m 的取值范围. 19.已知函数()22sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,将()f x 的图象向右平移6π个单位,再向下平移1个单位,得到函数()g x 的图象. (1)求()g x 的单调增区间; (2)当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求()g x 的值域. 20.学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其在40分钟的一节课中,注意力指数y 与听课时间x (单位:分钟)之间的关系满足如图所示的图象,当(]0,12x ∈时,图象是二次函数图象的一部分,其中顶点()10,80A ,过点()12,78B ;当[]12,40x ∈时,图象是线段BC ,其中()40,50C .根据专家研究,当注意力指数大于62时,学习效果最佳.(Ⅰ)试求()y f x =的函数关系式;(Ⅱ)教师在什么时段内安排内核心内容,能使得学生学习效果最佳?请说明理由. 21.如图为函数()()sin 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭的部分图象.(1)求函数解析式; (2)若方程()f x m =在,02上有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围.22.已知函数()22xxag x =-是奇函数. (1)求a 的值;(2)判断并证明函数()g x 的单调性;(3)若对任意的[)0,t ∈+∞,不等式()()22220g t t g t k -+->恒成立,求实数k 的取值范围.参考答案1.B 【解析】试题分析:由题意得,根据集合的运算可知,当集合M 中,只有两个元素时,此时{}2,3M =;当集合M 中,只有三个元素时,此时{}1,2,3M =,所以集合M 的个数为两个,故选B . 考点:集合的并集. 2.B 【分析】判断出tan ,cos αα的符号,由此判断角α的终边位置在象限. 【详解】由于点(tan ,cos )P αα在第三象限,所以tan 0,cos 0αα<<, 所以α在第二象限. 故选:B 3.D 【详解】A 中两函数定义域不同;B 中两函数定义域不同;C 中两函数对应关系不同;D 中两函数定义域相同,对应关系相同,是同一函数, 故选D. 4.C 【分析】利用三角函数的定义以及诱导公式可求出yx的值. 【详解】由三角函数的定义可得()3tan 330tan 36030tan 303y x ==-=-=-. 故选:C. 【点睛】本题考查三角函数的定义,同时也考查了利用诱导公式求值,考查计算能力,属于基础题.5.B 【分析】根据对数真数大于零、偶次根式被开方数非负、分母不为零列不等式组解出x 的取值范围,即可得出该函数的定义域. 【详解】由题意可得1020x x ->⎧⎨->⎩,解得12x <<,因此,函数lg 1x y -=的定义域是()1,2.故选:B. 【点睛】本题考查具体函数定义域的求解,解题时要熟悉几条常见的求函数定义域的基本原则,考查运算求解能力,属于基础题. 6.D 【分析】求出各选项中函数的周期,并判断出各选项中函数在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性,可出得出结论. 【详解】对于A 选项,函数sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为2π,当02x π≤≤时,5336x πππ≤+≤,该函数在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调; 对于B 选项,函数1cos2y x =的最小正周期为4π,当02x π≤≤时,1024x π≤≤,该函数在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减;对于C 选项,函数sin 2y x =的最小正周期为π,当02x π≤≤时,02x ≤≤π,该函数在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调;对于C 选项,函数cos 2y x =的最小正周期为π,当02x π≤≤时,02x ≤≤π,该函数在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 故选:D. 【点睛】本题考查三角函数周期的求解,以及在某区间上单调性的判断,解题时要充分利用正弦函数或余弦函数的基本性质来进行判断,考查推理能力,属于中等题. 7.B 【解析】∵y=x 2﹣2x ﹣1=(x ﹣1)2﹣2 ∴当x=1时,函数取最小值﹣2, 当x=3时,函数取最大值2 ∴最大值与最小值的和为0 故选B 8.D 【解析】试题分析:θ是ABC ∆的一个内角,,又,所以有,故本题的正确选项为D.考点:三角函数诱导公式的运用. 9.D 【详解】∵f (x )是定义在R 上的奇函数, 当x≥0时,f (x )=2x +2x+b (b 为常数), ∴f (0)=1+b=0, 解得b=-1∴f (1)=2+2-1=3.∴f (-1)=-f (1)=-3. 故选D . 10.D 【分析】利用对数的运算性质以及换底公式,结合对数函数的单调性可得出a 、b 、c 三个数的大小关系. 【详解】()333log 6log 321log 2a ==⨯=+,同理51log 2b =+,71log 2c =+,lg7lg5lg30>>>,lg 20>,lg 2lg 2lg 2lg 3lg 5lg 7∴>>,即357log 2log 2log 2>>, 因此,a b c >>. 故选:D. 【点睛】本题考查对数的大小比较,涉及对数的运算性质、对数函数的单调性,考查推理能力,属于中等题. 11.A 【解析】 把函数y =sin(x +π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12 (纵坐标不变)得πsin(2)6y x =+ ,再将图象向右平移π3个单位长度得πππsin(2())sin(2)cos 2362y x x x =-+=-=-,一条对称轴方程为x =-π2,选A.点睛:三角函数的图象变换,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也常出现在题目中,所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈;函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈;函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈;函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.12.A由题意可得知关于x 的方程0ax b +=的根为1,且有0a <,从而可将不等式化为102x x +<-,解此不等式即可. 【详解】由题意可得知关于x 的方程0ax b +=的根为1,则0a b +=,得=-b a ,且有0a <, 不等式02ax b x ->-即为02ax a x +>-,即102x x +<-,解得12x -<<. 因此,不等式02ax bx ->-的解集为{}12x x -<<. 故选:A. 【点睛】本题考查分式不等式的解法,同时也考查了利用一次不等式的解求参数,考查运算求解能力,属于中等题. 13.14【分析】设()af x x =,将点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入函数()y f x =的解析式,可求出a 的值,从而可得出函数()y f x =的解析式,由此可计算出()16f 的值. 【详解】设()af x x =,由题意可得()1442af ==,即2122a -=,21a ∴=-,得12a =-, ()12f x x-∴=,因此,()()11212211616444f ---====. 故答案为14. 【点睛】本题考查幂函数求函数值,在涉及幂函数的问题时,一般通过待定系数法求出幂函数的解析式,考查计算能力,属于基础题. 14.{}|21x x -<<由定义可知,原不等式可化为(2)220x x x x -++-<,解不等式即得解. 【详解】由定义可知,原不等式可化为(2)220x x x x -++-<,解之得21x -<<. 故答案为{}|21x x -<< 【点睛】本题主要考查新定义和一元二次不等式的解法,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. 15.[]3,1- 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求出实数a 的值,再利用二次函数图象的对称轴为y 轴求出b 的值,最后利用二次函数的基本性质可求出该函数的值域. 【详解】由于函数()21f x ax bx =++是定义在[]1,2a -上的偶函数,则12a -=-,解得1a =-,且该二次函数图象的对称轴为y 轴,则02ba-=,得0b =, ()21f x x ∴=-+,[]2,2x ∈-.可知,二次函数()y f x =的单调递增区间为[]2,0-,单调递减区间为[]0,2, 所以,()()max 01f x f ==,()()()min 223f x f f =-==-. 因此,函数()y f x =的值域为[]3,1-. 故答案为:[]3,1-. 【点睛】本题考查利用奇偶性求参数,同时也考查了二次函数值域的求解,解题时不要忽略了偶函数定义域关于原点对称这一条件的应用,考查运算求解能力,属于中等题. 16.①④ 【分析】结合题意,得出函数的奇偶性,根据奇偶性研究函数在0x >时的性质对结论逐一判断即可.【详解】解:∵()sin |||sin |f x x x =+,定义域为R ,∴()()sin |||sin |f x x x -=-+-sin sin ()x x f x =+=, ∴函数()f x 是偶函数,故①对;当[]0,x π∈时,()sin |||sin |f x x x =+sin sin 2sin x x x =+=, ∴由正弦函数的单调性可知,函数()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,故②错; 当[]0,x π∈时,由()2sin 0f x x ==得0x =,x π=,根据偶函数的图象和性质可得,()f x 在[),0π-上有1个零点x π=- , ∴()f x 在[],ππ-有3个零点,故③错;当0x ≥时,()sin |||sin |f x x x =+sin sin x x =+2sin ,sin 00,sin 0x x x ≥⎧=⎨<⎩,根据奇偶性可得函数()f x 的图象如图,∴当sin 1x =时,函数()f x 有最大值()max 2f x =,故④对; 故答案为:①④. 【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断,结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键,属于中档题. 17.(1)3;(2)15. 【分析】(1)利用同角三角函数的基本关系可求出tan α的值;(2)先利用诱导公式将代数式()()cos 2sin sin 2παπαα-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭化简,然后在分式的分子和分母中同时除以cos α,代入tan α的值,即可求出所求代数式的值. 【详解】(1)由题意得,α是第三象限的角,sin α∴==, sin tan 3cos ααα∴==; (2)原式cos cos 1112sin cos 2sin cos 2tan 12315ααααααα-=====-+--⨯-. 【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系求值,同时也考查了诱导公式以及弦化切思想求值,考查计算能力,属于基础题.18.(1){}2A B ⋂=;(2)12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦,. 【分析】(1)将1m =代入集合B ,可得出集合B ,然后利用交集的定义可求出集合A B ;(2)由A B A ⋃=,可得出B A ⊆,然后分B =∅和B ≠∅两种情况讨论,根据B A ⊆列出关于实数m 的不等式组,解出即可. 【详解】(1)当1m =时,{}25B x x =≤≤,{}12A x x =-≤≤,因此,{}2A B ⋂=;(2)A B A ⋃=B A ⇔⊆.①当B =∅时符合题意,此时123m m +>+,即2m <-;②当B ≠∅时,要满足B A ⊆,则123211122223212m m m m m m m m ⎧⎪+≤+≥-⎧⎪⎪+≥-⇒≥-⇒-≤≤-⎨⎨⎪⎪+≤⎩⎪≤-⎩.综上所述,当A B A ⋃=时,实数m 的取值范围是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查交集的运算,同时也考查了利用集合的包含关系求参数,解题的关键就是对含参集合分空集和非空集合两种情况讨论,考查分类讨论思想的应用,属于中等题. 19.(1)()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦;(2)[]0,1. 【分析】(1)利用图象变换规律求出函数()y g x =的解析式,即为()2sin 213g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,然后解不等式()222232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈,即可得出函数()y g x =的单调递增区间;(2)由0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,可求出23x π+的取值范围,利用正弦函数的基本性质可求出函数()y g x =的值域.【详解】(1)将函数()22sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位,得到函数22sin 22sin 2633y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象, 再将所得函数图象向下平移1个单位,得到函数()2sin 213g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象,()2sin 213g x x π⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭.令()222232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈,解得()51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈, 因此,函数()y g x =的单调增区间是()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦; (2)04x π≤≤,可得出52336x πππ≤+≤,1sin 2123x π⎛⎫∴≤+≤ ⎪⎝⎭.()01g x ∴≤≤,因此,函数()y g x =在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的值域为[]0,1.【点睛】本题考查利用三角函数的图象变换求函数解析式,同时也考查了正弦型函数的单调区间以及值域的求解,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.20.(Ⅰ)()()(](]2110800,1229012,40x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩;(Ⅱ)在()4,28x ∈时段内安排核心内容,能使得学生学习效果最佳,理由见解析 【分析】(I )当(]0,12x ∈时,利用二次函数顶点式求得函数解析式,当(]12,40x ∈时,一次函数斜截式求得函数解析式.由此求得()f x 的函数关系式.(II )利用分段函数解析式解不等式()62f x >,由此求得学习效果最佳的时间段. 【详解】(Ⅰ)当(]0,12x ∈时,设()()21080f x a x =-+,过点()12,78代入得,则()()2110802f x x =--+, 当(]12,40x ∈时,设y kx b =+,过点()12,78、()40,50,得12784050k b k b +=⎧⎨+=⎩,即90y x =-+,则函数关系式为()()(](]211080,0,12290,12,40x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩. (Ⅱ)由题意(]0,12x ∈,()211080622x --+>或(]12,40x ∈,9062x -+>. 得412x <≤或1228x <<,∴428x <<.则老师就在()4,28x ∈时段内安排核心内容,能使得学生学习效果最佳. 【点睛】本小题主要考查分段函数解析式的求法,考查待定系数法求一次函数、二次函数的解析式,考查函数在实际生活中的应用,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题. 21.(1)()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭;(2)(2,m ∈-【分析】(1)根据图象得到关于,,A ωϕ的方程,解方程即得解;(2)先作出函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,02上的图象,数形结合分析即得解.【详解】(1)由题中的图象知,2A =,43124T πππ=-=, 即T π=,所以22Tπω==, 根据五点作图法,令22122k ππϕπ⨯+=+,k Z ∈,得到23k πϕπ=+,k Z ∈,∵2πϕ<,∴3πϕ=,∴解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭; (2)由()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在,02上的图象如图所示:当02x ,则22333x πππ-≤+≤,当2x π=-时,y =512x π=-时,2y =-. 所以当方程()f x m =在,02上有两个不相等的实数根时,观察函数的图象可知,(2,m ∈-上有两个不同的实根. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质,考查三角函数的解析式的求法,考查三角函数的零点问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22.(1)1a =;(2)增函数,证明见解析;(3)13⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,. 【分析】(1)由奇函数的定义()()g x g x -=-,化简变形得出()11202xxa ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭对任意的x ∈R 恒成立,由此可求出实数a 的值;(2)任取12x x <,作差()()12g x g x -,因式分解后判断()()12g x g x -的符号,得出()1g x 和()2g x 的大小关系,即可证明出函数()y g x =的单调性;(3)由()()22220g t t g t k -+->得出()()2222g t t g k t->-,利用函数()y g x =的单调性得出2222t t k t ->-,则232k t t <-对[)0,t ∈+∞恒成立,求出函数232y t t =-在区间[)0,+∞上的最小值,即可得出实数k 的取值范围. 【详解】(1)函数()y g x =是奇函数,又x ∈R ,()()g x g x ∴-=-,即1222222x xx x x x a a a ---=-⋅=-, 整理得()11202xxa a -+-⋅=,即()11202x x a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭对任意的x ∈R 恒成立, 10a ∴-=,解得1a =;(2)()122xxg x =-是R 上的增函数,理由如下: 在R 上任取12x x <,()()()()12121212122112121111222222=2222222x x x x x x x x x x x x x x g x g x +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()121212212x x x x +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, ()()()()121212120220x x x x g x g x g x g x <⇒<<⇒-<⇒<.()122x xg x ∴=-是R 上的增函数; (3)()()22220g t t g t k -+->,且函数()y g x =是奇函数,所以()()()222222g t t g t k g k t->--=-,函数()y g x =是R 上的增函数,2222t t k t ∴->-,232k t t ∴<-对[)0,t ∈+∞恒成立,()2min32k t t ∴<- ,22111323333t t t ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭, 因此,实数k 的取值范围是1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用奇偶性求参数,同时也考查了利用定义证明函数的单调性,以及利用函数的奇偶性与单调性求解函数不等式问题,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.。
2021-2022学年湖北省宜昌市当阳第一高级中学高一数学理上学期期末试卷含解析
2021-2022学年湖北省宜昌市当阳第一高级中学高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 不等式的解集是,则的值等于()A、-14B、-10C、14D、10参考答案:B略2. 如果实数满足,且,那么下列选项中不一定成立的是()A. B. C. D.参考答案:C略3. 判断下列命题的真假,其中为真命题的是A. B.C. D.参考答案:D4. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线A1B和AD1所成角的大小是()A. 30° B. 45° C.90° D.60°参考答案:D5. 函数f(x)=sin2x·cos2x是 ( )A.周期为π的偶函数 B.周期为π的奇函数C.周期为的偶函数 D.周期为的奇函数.参考答案:D略6. 已知,i是虚数单位,若,则的值为()A. 1B.C.D.参考答案:D【分析】根据复数的运算性质,分别求出m,n,然后求解复数的模.【详解】故选D【点睛】本题考查复数运算性质和复数模的计算,属于基础题,解题时要准确计算.7. 向量,,则()A. 5B. 3C. 4D. -5参考答案:A【分析】由向量,,得,利用模的公式,即可求解.【详解】由题意,向量,,则,所以,故选A.【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示,以及向量的模的计算,其中解答中熟记向量的坐标运算,以及模的计算公式是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.8. 在中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是( )A. B.C. D.参考答案:B9. 已知数列{a n}满足,若,则a2008的值为()A.B.C.D.参考答案:A【考点】8H:数列递推式.【分析】由于所求项的序号较大,考虑数列是否有周期性,可通过求出足够多的项发现周期性,并应用.【解答】解:,a3=2a2﹣1=2×=a4=2a3=a5=2a4﹣1=2×=…数列的项轮流重复出现,周期是3所以a2008=a 3×669+1=a1=故选A【点评】本题考查利用数列的递推公式求项,当所求项的序号较大时,发现周期性,并应用是此类题目的共同特点.10. 已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=log2(x+1),则f(﹣3)=()A.2 B.﹣2 C.1 D.﹣1参考答案:B【考点】函数奇偶性的性质.【分析】根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可.【解答】解:∵函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=log2(x+1),∴f(﹣3)=﹣f(3)=﹣log2(3+1)=﹣log24=﹣2,故选:B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在等差数列中,,则的值是________参考答案:2012. 若集合为{1,a,}={0,a2,a+b}时,则a﹣b=.参考答案:﹣1【考点】集合的相等.【分析】利用集合相等的概念分类讨论求出a和b的值,则答案可求.【解答】解:由题意,b=0,a2=1∴a=﹣1(a=1舍去),b=0,∴a﹣b=﹣1,故答案为﹣1.13. 已知函数f(x)=lgx,若f(ab)=1,则f(a2)+f(b2)= .参考答案:2【考点】对数的运算性质.【专题】函数的性质及应用.【分析】由函数f(x)=lgx,f(ab)=lg(ab)=1,知f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2=2lg(ab).由此能求出结果.【解答】解:∵函数f(x)=lgx,f(ab)=lg(ab)=1,f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2=lg(ab)2=2lg(ab)=2.故答案为:2.【点评】本题考查对数的运算性质,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.14. 已知,则_____________.参考答案:. 14. 15.15. 圆柱的高是2,底面圆的半径是1,则圆柱的侧面积是______.参考答案:【分析】直接把圆柱的高、底面圆的半径代入圆柱侧面积公式中,求出圆柱的侧面积.【详解】因为圆柱的侧面积公式为:,(其中分别是圆柱底面的半径和圆柱的母线),因为圆柱的高是,所以圆柱的母线也是,因此圆柱的侧面积为.【点睛】本题考查了圆柱的侧面积公式,属于基础题.16. 的值为___________.参考答案:.17. 若A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12),则下面四个结论:①AB∥CD,②AB⊥CD,③AC∥BD,④AC⊥BD。
湖北省宜昌市2021届高一数学上学期期末检测试题
湖北省宜昌市2021届高一数学上学期期末检测试题一、选择题1.设的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且6C π=,12a b +=,面积的最大值为()A .6B .8C .7D .92.在正方体1111ABCD A B C D -中O 为底面ABCD 的中心,E 为1C C 的中点, 则异面直线1D A 与EO 所成角的正弦值为( )A B C D 3.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c , 2cos 22A b c c+=,则ABC ∆的形状为 A .直角三角形 B .等腰三角形或直角三角形 C .等腰直角三角形D .正三角形4.设函数()f x 的定义域为D ,若对任意a D ∈,存在唯一的实数b D ∈满足()()()22f a f b f a =+,则()f x 可以是( ) A .sin xB .1x x+C .ln xD .x e5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .1312π+ B .134π+ C .14π+D .112π+6.直线l :210mx y m +--=与圆C :22(2)4x y +-=交于A ,B 两点,则当弦AB 最短时直线l 的方程为A .2430x y -+=B .430x y -+=C .2430x y ++=D .2410x y ++=7.如果角的终边在第二象限,则下列结论正确的是( )A .B .C .D .8.设函数f (x )=asinx+bcosx ,其中a ,b ∈R ,ab≠0,若f (x )≥f(π6)对一切x ∈R 恒成立,则下列结论中正确的是( ) A .πf 03⎛⎫=⎪⎝⎭B .点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心C .()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数 D .存在直线经过点()a,b 且与函数()f x 的图象有无数多个交点9.已知0.80.820.7,log 0.8, 1.1a b c ===,则,,a b c 的大小关系是( )A .a b c <<B .b a c <<C .a c b <<D .b c a <<10.已知直线260x a y ++=与直线(2)320a x ay a -++=平行,则a 的值为( ) A.0或3或1-B.0或3C.3或1-D.0或1-11.为评估一种农作物的种植效果,选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量(单位:kg )分别为x 1,x 2,…,x n ,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A .x 1,x 2,…,x n 的平均数 B .x 1,x 2,…,x n 的标准差 C .x 1,x 2,…,x n 的最大值 D .x 1,x 2,…,x n 的中位数 12.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( )A .B .C .D .5二、填空题13.在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且BC 边上的高为2a ,则c bb c+的最大值为______. 14.函数21()45f x x x =--的单调递增区间为__________. 15.已知函数()()()sin 20,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是R 上的偶函数,其图象关于点5,08M π⎛⎫⎪⎝⎭对称,且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数,则ω的值为__________. 16.已知函数()sin 03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,若将该函数的图像向左平移()0m m >个单位后,所得图像关于原点对称,则m 的最小值为________. 三、解答题17.已知数列{}n a 的前n 项和n S ,且23n s n n =+;(1)求它的通项n a .(2)若12n n n b a -=,求数列{}n b 的前n 项和n T .18.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,12a =,32216a a =+,且20200S <. (1)求{}n a 的通项公式;(2)是否存在正整数n ,使得2020n S >成立?若存在,求出n 的最小值;若不存在,请说明理由.19.已知集合12128?4x A x⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭,21log ,,328B y y x x ⎧⎫⎡⎤==∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭. (1)若{}121C x m x m =+≤≤-,()C A B ⊆⋂,求实数m 的取值范围;(2)若{}61D x x m =>+,且()AB D =∅,求实数m 的取值范围.20.现从某学校高一年级男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于160cm 和184cm 之间,将测量结果按如下方式分成6组:第1组[160,164),第2组[164,168),…,第6组[180,184],下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(1)求这50名男生身高的中位数,并估计该校高一全体男生的平均身高;(2)求这50名男生当中身高不低于176cm 的人数,并且在这50名身高不低于176cm 的男生中任意抽取2人,求这2人身高都低于180cm 的概率.21.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知.sin 2sin 0b C c B += (1)求角C ;(2)若c =ABC 的面积为+a b 的值。
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湖北省宜昌市第一中学【最新】高一上学期期末考试数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.函数()43f x x =的图像大致是( )A .B .C .D .2.()12230.25(log 3)?(log 4)-+的值为( )A .52B .2C .3D .43.扇形的周长是4,面积为1,则该扇形的圆心角的弧度数是( ) A .12B .1C .2D .44.将函数sin()y x φ=+,(0φπ<<)的图像所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移3π个单位得到一个奇函数的图像,则φ=( ) A .56πB .23π C .3π D .6π5.共点力()()12lg2,lg2,lg5,lg2F F ==作用在物体M 上,产生位移()2lg5,1S =,则共点力对物体做的功为( ) A .lg 2B .lg 5C .1D .26.已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x 轴正半轴重合,终边在直线30x y -=上,则3sin()2cos()2sin()sin()2πθπθπθπθ++----等于 ( )A .32-B .32C .0D .237.已知定义域为R 的函数f(x)在上为减函数,且函数y=f(x+8)为偶函数,则( )A .f(6)>f(7)B .f(6)>f(9)C .f(7)>f(9)D .f(7)>f(10)8.函数()()2sin f x x ωϕ=+(0ω>)的图象经过,26A π⎛⎫-- ⎪⎝⎭、,24B π⎛⎫⎪⎝⎭两点,则ω( ) A .最大值为3 B .最小值为3C .最大值为125D .最小值为1259.函数()23sin log 2f x x x π=+的零点的个数为( )A .3B .4C .5D .610.对于定义在R 上的函数()f x ,有关下列命题:①若()f x 满足(2018)(2017)f f >,则()f x 在R 上不是减函数;②若()f x 满足(2)(2)f f -=,则函数()f x 不是奇函数;③若()f x 满足在区间(),0-∞上是减函数,在区间[)0.+∞也是减函数,则()f x 在R 上也是减函数;④若()f x 满足(2018)(2018)f f -≠,则函数()f x 不是偶函数.其中正确的命题序号是( ) A .①②B .①④C .②③D .②④11.若tan 3tan 7πα=,则sin 75cos 14παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭( ) A .1B .12C .13D .1412.已知集合M ={1,2,3},N ={1,2,3,4},定义函数f:M →N . 若点A(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3)),ΔABC 的外接圆圆心为D ,且DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R),则满足条件的函数f(x)有( )A .6个B .10个C .12个D .16个二、填空题13.方程2(1)0x p x q --+=的解集为A ,方程2(1)0x q x p +-+=的解集为B ,已知{2}A B =-,则A B =_______________.14.已知奇函数1()31xf x a =+-,(0)a ≠,则方程5()6f x =的解x =______________. 15.若tan α,tan β是方程2560x x ++=的两个根,且,(,)22ππαβ∈-,则αβ+=____ .三、解答题16.设()2112()1,0,22122,,12x x f x x x ⎧⎡⎫--+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩则()y f f x x ⎡⎤=-⎣⎦所有零点的和是______.17.(1)已知()f x =,,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.化简:()()cos cos f f αα+-;(2)求值:()sin 501310tan +.18.已知函数()22sin 1f x x x θ=+-,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. (1)当6πθ=时,求()f x 的最大值和最小值;(2)若()f x在12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上是单调函数,且[)0,2θπ∈,求θ的取值范围.19.已知向量(3,1)m =,向量n 是与向量m 夹角为3π的单位向量. (1)求向量n ;(2)若向量n 与向量(3,1)q =-共线,且n 与213,x p x x +⎛⎫= ⎪⎝⎭的夹角为钝角,求实数x 的取值范围.20.已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++,x ∈R .求: (1)函数()f x 的最小值和图像对称中心的坐标; (2)函数()f x 的单调增区间.21.某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元.(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为51元?(2)设一次订购量为个,零件的实际出厂单价为元.写出函数的表达式;(3)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购1000个,利润又是多少元?(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本)22.函数()y f x =是定义域为R 的奇函数,且对任意的x ∈R ,都有(4)()f x f x +=成立,当(0,2)x ∈时,2()1f x x =-+. (1)求函数()f x 的解析式; (2)求不等式()1f x >-的解集.参考答案1.A 【分析】根据函数的定义域,排除C 项,根据函数的奇偶性,排除D 项,根据幂函数的单调性和变化趋势,排除B 项,即可求解. 【详解】由题意,函数()43f x x ==,可得函数的定义域为R ,所以排除C ;又由()()f x f x -===,所以函数()f x 为偶函数,所以排除D ;又因为413>,所以函数()43f x x =在第一象限单调递增,且增长趋势越来越快,排除B.故选:A. 【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质及其应用,其中解答中熟记幂函数的图象与性质是解答的关键,属于基础题. 2.D 【详解】 原式1lg 3lg 42240.5lg 2lg 3=+⋅=+= 故选:D . 3.C 【解析】设扇形的弧长为l ,半径为r ,扇形的圆心角的弧度数是α,则24r l +=,①112S lr ==扇形 ,②解①②得:1r =,2l =∴扇形的圆心角的弧度数2lrα== 故选C 4.A 【解析】图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍得函数解析式为1sin 2y x ϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭,再将所得到的图像向左平移3π个单位得函数解析式为1sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,得到一个奇函数的图像,当0x =时,0y =,代入得sin 06πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,故56πϕ=故选A 5.D 【解析】根据题意得:共点力的合力是()()122522122F F F lg lg lg lg lg =+=++=,, 对物体做的功为25222W Fs lg lg ==+= 故选D 6.B 【解析】 试题分析:由角的定义可知tan 3θ=,3sin()2cos()cos 2cos 332cos sin 1tan 2sin()sin()2πθπθθθπθθθθπθ++----===-----考点:1.三角函数定义;2.诱导公式;3.同角间的三角函数关系 7.D 【详解】由函数图象平移规则可知, 函数()y f x =由向右平移8个单位所得,所以函数关于对称,因为在区间上递减,在(,8)-∞上递增, 所以,,故选D.本题主要考查函数的奇偶性.8.D 【解析】试题分析:因为,A B 分别为图象上的最低点和最高点,1246T ππ⎛⎫≤-- ⎪⎝⎭,即125212ππω⋅≤,所以125ω≥,故选择D. 考点:三角函数的图象与性质. 9.C 【解析】函数()23sinlog 2f x x x π=+的零点个数就是对应的函数3sin2y x π=-与2log y x =的交点个数根据图象判断有5个交点个数故选C点睛:本题考查了函数零点问题,在解答这类问题时可以分成两个函数,转化为两个函数图像交点个数问题,通过转化,结合图形即可求出结果,注意在画图中的函数奇偶性、周期性、单调性 10.B 【详解】对于①,若()f x 满足()()20182017f f >,则()f x 在R 上不是减函数,显然是真命题;对于②,给出函数34y x x =-,满足()()22f f -=,但()f x 是奇函数,故为假命题;对于③,给出函数()1,01,0x x f x x x --≤⎧=⎨-+>⎩,在区间(),0-∞上是减函数,在区间()0,∞+也是减函数,但在R 上不是减函数,故为假命题;对于④,逆否命题为:定义在R 上的函数()f x 是偶函数,则()()20182018f f -=,显然是真命题;11.B 【解析】sin sin cos cos sin tan tan 1777752cos sin sin cos tan tan cos 77714ππππααααππππαααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭===⎛⎫++- ⎪⎝⎭ 故选B点睛:本小题主要考查的知识点是三角函数的化简求值.利用两角和与差的三角函数以及诱导公式化简所求的表达式,然后将37tan tan πα=代入原式,求解即可得到答案.12.C 【解析】解:在AC 上取中点E ,则可得D DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)且DE 平分AC 由DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC⃗⃗⃗⃗⃗ =λDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)(λ∈R), ∴B ,D ,E 三点共线 ∵BD 是∠ABC 的平分线 ∴BE 垂直平分AC ,DA=DC ∴△ABC 是等腰三角形,且BA=BC ,必有f (1)=f (3),f (1)≠f (2); ①当f (1)=f (3)=1时,f (2)=2、3、4,三种情况. ②f (1)=f (3)=2;f (2)=1、3、4,有三种. ③f (1)=f (3)=3;f (2)=2、1、4,有三种. ④f (1)=f (3)=4;f (2)=2、3、1,有三种. 因而满足条件的函数f (x )有12种. 13.{2,1,1}-- 【解析】由{}2A B ⋂=-,将2x =-代入得42204220p q q p +-+=⎧⎨-++=⎩解得22p q =-⎧⎨=⎩则方程()210x p x q --+=可以化简为2320x x ++=,11x =-,22x =- 方程()210x q x p +-+=可以化简为220x x +-=,11x =,22x =-所以{}2,1,1A B ⋃=-- 14.3log 4x =函数()131xf x a =+-为奇函数, 113131x xa a -∴+=---- 解得12a =()11312x f x ∴=+-1153126x ∴+=- 34x ∴=解得3log 4x = 15.34π- 【解析】由tan α,tan β是方程2560x x ++=的两个根得tan 5tan αβ+=-,tan ?6tan αβ=,两根同号,且都为负数,故,,02παβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭则()tan tan 11tan ?tan tan αβαβαβ++==-,34αβπ+=-16.4324【解析】由题意可得()22114?,? 0,? 221342? ,? ,?2433221,,1?24x x f f x x x x x ⎧⎛⎫⎡⎫-∈⎪ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭⎪⎪⎪⎡⎫⎡⎤-∈⎨⎪⎣⎦⎢⎣⎭⎪⎪⎛⎫⎡⎤⎪--++∈ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎩= 分别令2142x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 解得14x =42x x -= 解得23x =232212x x ⎛⎫--++= ⎪⎝⎭ 解得78x =则1274343824++=点睛:本题考查了复合函数的零点问题,根据题目中的分段函数先求出()f f x ⎡⎤⎣⎦的表达式,注意这里的分类情况,然后再计算出所有零点,有一定难度,需要注意符号函数的解析式求法. 17.(1)2sin α;(2)1. 【解析】试题分析:⑴根据所给的函数式,代入自变量进行整理,观察分子和分母的特点,分子和分母同乘以一个代数式,使得分子分母都变化成完全平方形式,开方合并同类型得到结果; ⑵先把原式中切转化成弦,利用两角和公式和整理后,运用诱导公式和二倍角公式化简整理求得结果;解析:(1)∵f (x )=,α∈(,π),∴f (cosα)+f (﹣cosα)=+=+=+=;(2)原式=sin50°•=cos40°•===1.18.(1)()f x 有最小值为54-, ()f x 有最大值为14-;(2)][2711,,3366ππππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析:(1)当时,在上单调递减,在上单调递增当时,函数有最小值当时,函数有最小值(2)要使在31,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上是单调函数,则或 即或,又 解得:考点:本题考查了一元二次函数的值域及三角函数不等式点评:对于一元二次函数的最值问题,往往利用其单调性处理,对于三角函数不等式,往往利用图象法求解19.(1)(0,1)n =或31(,)2n =-;(2)1x <-或113x -<<-或01x <<. 【解析】 试题分析:⑴设向量()n x y →=,,由题意可得12cos 3y π⎧=⎪+=,解得即可; ⑵由⑴和向量n →与向量()q →=共线,可知向量12n ⎫→=-⎪⎪⎝⎭,由于向量n →与向量21p x x +⎫→=⎪⎭,的夹角为钝角,可得0n p →→<且向量n →与向量p →不能反向共线,解得即可;解析:⑴设向量(),n x y =,则2211x y y ⎧+=⎪+=, 解之得:01x y =⎧⎨=⎩或212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, ()0,1n ∴=或31,2n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭; ⑵∵向量n 与向量()3,1q =-共线,∴31,2n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,又∵n 与213,x p x x +⎛⎫= ⎪⎝⎭的夹角为钝角,·0n p ∴<即321022x x x +-<()()3110x x x +-<, ∴13x <-或01x <<.又当//n p )210x x ++=,得1x =-,此时()13,12p n =-=-, 向量n 与p 的夹角为π,∴1x ≠-.故所求的实数x 的取值范围是1x <-或113x -<<-或01x <<.20.(1)()f x 最小值2,228ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭k k Z ;(2)()f x 的单调增区间为3[,]()88k k k ππππ-+∈Z . 【解析】 试题分析:⑴由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得()224f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由正弦函数的图象和性质可得()f x 的最小值和图像对称中心的坐标;⑵根据正弦函数的单调性,求出()f x 的单调增区间;解析:()()31cos21cos2sin21sin2cos222224x x f x x x x x π+-⎛⎫=++=++=+ ⎪⎝⎭ ∴当2242x k πππ+=-,即()38x k k Z ππ=-∈时, ()f x 取得最小值2 函数()f x 图像的对称中心坐标为,228k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭.(2) ()224f x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭由题意得: ()222242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈ 即: ()388k x k k Z ππππ-≤≤+∈因此函数()f x 的单调增区间为()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.21.(1)550;(2);(3)6000,,11000【解析】试题分析:(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时,一次订购量为0x 个, 则060511005500.02x -=+=. (2)当0100x <≤时,P="60." 当100<x<550时,P=60-0.02(x 100)6250x -=-. 当550x ≥时,P="51." P=f(x)=60,0100,{62,100550,5051,550.x x x x <≤-<<≥x ∈N, (3)设销售商的一次订购量为x 个时,工厂获得的利润为L 元,则 L="(P-40)x=" 220,0100,{22,100550,,5011,550.x x x x x x N x x <≤-<<∈≥ 当x=500时,L="6" 000;当x="1" 000时,L="11" 000.即销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是6 000元;如果订购1 000个,利润是11 000元考点:本题主要考查分段函数的概念,函数模型,函数的最值.点评:典型题,解答此类问题的基本步骤是:审清题意,设出变量,布列函数,多法求解.求最值使,可考虑利用导数、均值定理、二次函数性质等等.22.(1)()()()22(4)1,42,40,2(4)1,4,42x k x k k f x x k x k x k k ⎧--∈-⎪==⎨⎪--+∈+⎩;(2){|424)x k x k k Z -<<∈.【解析】试题分析:⑴由奇函数的性质可得()00f =,由](02x ∈,求得()2,0x ∈-时的解析式,再由()()4f x f x +=,周期为4,求得()()42,4x k k k Z ∈-∈时、()()4,42x k k k Z ∈+∈时的解析式⑵当()22x ∈-,时,由()1f x >,得到22011x x -<<⎧⎨->-⎩或20211x x <<⎧⎨-+>-⎩或0x =可求x ,然后由函数()y f x =的周期为4,可得出不等式()1f x >-的解集;解析:(1)当0x =时,()()()00,00f f f =-∴=当()2,0x ∈-时,()()()20,2,1x f x f x x -∈=--=-由()()4f x f x +=,易求()20f k k Z =∈,当()()42,4x k k k Z ∈-∈时()()()()()242,0441x k f x f x k x k -∈-∴=-=--当()()4,42x k k k Z ∈+∈时 ()()()()()240,2441x k f x f x k x k -∈∴=-=--+故当[]()42,42x k k k Z ∈-+∈时,函数()f x 的解析式为 ()()()()2241,42,40,241,(4,42x k x k k f x x k x k x k k ⎧--∈-⎪⎪==⎨⎪--+∈+⎪⎩) ()k Z ∈(2)当2,2x ∈-()时,由()1f x >,得22011x x -<<⎧⎨->-⎩或20211x x <<⎧⎨-+>-⎩或0x =解上述两个不等式组得2x -<<故()1f x >-的解集为(){|424x k x k k Z -<<∈点睛:本题是道函数综合题目,考查了运用函数奇偶性、周期性求分段函数的解析式,以及求解一元二次不等式的解集,在求解过程中需注意分类讨论,在不同情况下的取值不同,解析式也不同,由第一问的结果来求得不等式的解集。