黑龙江省双城市兆麟中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 答案和解析
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11．A
【分析】
由题意可得m2﹣m＜ = 在x∈（﹣∞，﹣1]时恒成立，则只要m2﹣m＜ 的最小值，然后解不等式可m的范围．
【详解】
∵（m2﹣m）4x﹣2x＜0在x∈（﹣∞，﹣1]时恒成立，
∴m2﹣m＜ = 在x∈（﹣∞，﹣1]时恒成立，
由于f（x）= 在x∈（﹣∞，﹣1]时单调递减，
∵x≤﹣1，∴f（x）≥2，∴m2﹣m＜2，
A． B． C． D．
4．角 的终边经过点 ，那么 的值为（）
A． B． C． D．
5．若 ，则 的值为（）
A． B． C．2D．8
6．方程 的一个正零点的存在区间可能是（）
A． B． C． D．
7．已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．函数 的定义域是__________．
14．设函数 为偶函数，则 __________．
15．已知 ，且 在第三象限，则 __________．
16．已知函数 在 上的图象恒在 轴上方，则 的取值范围是__________．
三、解答题
17．已知 ，则
（1） ；
（2） .Βιβλιοθήκη Baidu
18．已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围.
则 。
16．
【解析】
令 ，则 ，且 ，
由题意可知，对任意 ， 恒成立，
则 ，令 ，所以 ，
又 ，
当 ，即 时，取到 ，则 ，
即 的取值范围是 ．
点睛：本题主要考察函数的恒成立问题．首先利用复合函数的思想转化题目，得到等价题型“对任意 ， 恒成立”，利用分离参数法得 ，则 ，对右边函数进行构造变形得到对勾函数，求得最小值．
8．函数 与 的图象（）
A．关于原点对称B．关于 轴对称C．关于 轴对称.D．关于直线 对称
9．已知 ， ，则用 表示 （）
A． B． C． D．
10．已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则函数 的零点的集合为（）
A． B． C． D．
11．当 时，不等式 恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(−1,2)B．(−4,3)C．(−2,1)D．(−3,4)
∴﹣1＜m＜2，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了函数的恒成立问题m≤f（x）恒成立⇔m≤f（x）得最小值（m≥f（x）恒成立⇔m≥f（x）的最大值），体现出函数恒成立与最值的相互转化．
12．D
【解析】
① ,故①不是集合 上的拓扑的集合 ；
②满足拓扑集合的3个要求，故②是集合 上的拓扑的集合 ；
③ ，故③不是集合 上的拓扑的集合 ；
故选：D．
【点睛】
本题考查对数函数的性质，考查指数函数的性质，考查比较大小，在比较大小时，若所给的数字不具有相同的底数，需要找一个中间量，把要比较大小的数字用不等号连接起来．
8．D
【解析】
试题分析：同底数的指数函数与对数函数互为反函数，图象关于直线 对称.
考点：本题考查互为反函数的两个函数的图象的性质．
3．B
【解析】
，则 ，则原象为 ，故选B。
4．C
【解析】
，故选C．
5．A
【解析】
，故选A。
6．B
【解析】
令 ，
则 ，
所以在区间 ，满足 ，
所以两点可能存在的区间为 ，故选B。
7．D
【分析】
根据指数函数与对数函数单调性得到a，b，c的取值范围，即得到它们的大小关系．
【详解】
解：由对数函数和指数函数的性质可知，
12．若 是一个集合， 是一个以 的某些子集为元素的集合，且满足：（1） 属于 ， 属于 ；（2） 中任意多个元素的并集属于 ；（3） 中任意多个元素的交集属于 ，则称 是集合 上的一个拓扑.已知集合 ，对于下面给出的四个集合 ：
① ；② ；
③ ；④ ；
其中是集合 上的拓扑的集合 的序号是（）
A．①②B．③④C．①③D．②④
点评：对于此类题目，学生应该掌握如何判断两个函数是否为反函数，而且互为反函数的两个函数图象关于直线 对称.
9．A
【解析】
，故选A。
10．D
【详解】
因为 是定义在 上的奇函数，当 时， ，
所以 ，
所以 ，
由 ，解得 或 ；
由 解得 或 （舍去），
所以函数 的零点的集合为 .
故选：D.
考点：函数的奇偶性的运用，分段函数，函数的零点，一元二次方程的解法，难度中等.
④满足拓扑集合的3个要求，故④是集合 上的拓扑的集合 ；
所以是集合 上的拓扑的集合 的序号是②④，故选D。
点睛：本题属于新定义的题型，题中给出了拓扑集合的概念，需要学生对拓扑集合的三个要求充分理解，再对给出的集合 对比三个要求一一检验，只有完全符合，才是所求的拓扑集合。
13．
【分析】
求出使解析式有意义的自变量 的范围即可．
黑龙江省双城市兆麟中学【最新】高一上学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集 ， ， ，则集合 （）
A． B． C． D．
2．方程组 的解集是（）
A． B． C． D．
3．若点 在映射 下对应的点是 ，则在映射 下对应的点为 的点是（）
【详解】
由题意 ，解得 或 ．
故答案为：
【点睛】
本题考查求函数的定义域，求出使函数式有意义的自变量的取值范围即得，掌握对数函数性质是解题关键．
14．
【解析】
为偶函数，则对于定义域内 ，恒有 ，
利用特殊值法，不妨取 ，
则 ， ，所以 ，
得 ，则 。
15．
【解析】
利用三角函数的定义， ， 在第三象限，
则不妨设 的终边过点 ，
（1）求不等式 的解集.
（2）设 ，是否存在实数 ，使 在区间 上的最大值为2，若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.
参考答案
1．C
【解析】
A： ；
B： ；
C： ；
D： ；
所以集合 ，故选C。
2．D
【解析】
由 ， ，得 .
，解得 .代入得 .
所以方程组 的解集 .
故选D.
点睛：集合的表示法：描述法，列举法，图示法，用列举法描述集合和，需要将元素一一列举，本题中，元素为二元方程组，元素为点集.
19．已知 .
（1）求函数 的定义域；
（2）判断函数 的奇偶性，并加以说明；
（3）求 的值.
20．已知函数 在定义域 上为增函数，且满足 , .
(1)求 的值;
(2)解不等式 .
21．已知函数
（1）求 的值；
（2）求证： 在 上是增函数；
（3）解不等式： .
22．已知幂函数 的图象关于 轴对称，且在 上为增函数.
17．(1) (2)1
【分析】
由题意可得m2﹣m＜ = 在x∈（﹣∞，﹣1]时恒成立，则只要m2﹣m＜ 的最小值，然后解不等式可m的范围．
【详解】
∵（m2﹣m）4x﹣2x＜0在x∈（﹣∞，﹣1]时恒成立，
∴m2﹣m＜ = 在x∈（﹣∞，﹣1]时恒成立，
由于f（x）= 在x∈（﹣∞，﹣1]时单调递减，
∵x≤﹣1，∴f（x）≥2，∴m2﹣m＜2，
A． B． C． D．
4．角 的终边经过点 ，那么 的值为（）
A． B． C． D．
5．若 ，则 的值为（）
A． B． C．2D．8
6．方程 的一个正零点的存在区间可能是（）
A． B． C． D．
7．已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．函数 的定义域是__________．
14．设函数 为偶函数，则 __________．
15．已知 ，且 在第三象限，则 __________．
16．已知函数 在 上的图象恒在 轴上方，则 的取值范围是__________．
三、解答题
17．已知 ，则
（1） ；
（2） .Βιβλιοθήκη Baidu
18．已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围.
则 。
16．
【解析】
令 ，则 ，且 ，
由题意可知，对任意 ， 恒成立，
则 ，令 ，所以 ，
又 ，
当 ，即 时，取到 ，则 ，
即 的取值范围是 ．
点睛：本题主要考察函数的恒成立问题．首先利用复合函数的思想转化题目，得到等价题型“对任意 ， 恒成立”，利用分离参数法得 ，则 ，对右边函数进行构造变形得到对勾函数，求得最小值．
8．函数 与 的图象（）
A．关于原点对称B．关于 轴对称C．关于 轴对称.D．关于直线 对称
9．已知 ， ，则用 表示 （）
A． B． C． D．
10．已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则函数 的零点的集合为（）
A． B． C． D．
11．当 时，不等式 恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(−1,2)B．(−4,3)C．(−2,1)D．(−3,4)
∴﹣1＜m＜2，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了函数的恒成立问题m≤f（x）恒成立⇔m≤f（x）得最小值（m≥f（x）恒成立⇔m≥f（x）的最大值），体现出函数恒成立与最值的相互转化．
12．D
【解析】
① ,故①不是集合 上的拓扑的集合 ；
②满足拓扑集合的3个要求，故②是集合 上的拓扑的集合 ；
③ ，故③不是集合 上的拓扑的集合 ；
故选：D．
【点睛】
本题考查对数函数的性质，考查指数函数的性质，考查比较大小，在比较大小时，若所给的数字不具有相同的底数，需要找一个中间量，把要比较大小的数字用不等号连接起来．
8．D
【解析】
试题分析：同底数的指数函数与对数函数互为反函数，图象关于直线 对称.
考点：本题考查互为反函数的两个函数的图象的性质．
3．B
【解析】
，则 ，则原象为 ，故选B。
4．C
【解析】
，故选C．
5．A
【解析】
，故选A。
6．B
【解析】
令 ，
则 ，
所以在区间 ，满足 ，
所以两点可能存在的区间为 ，故选B。
7．D
【分析】
根据指数函数与对数函数单调性得到a，b，c的取值范围，即得到它们的大小关系．
【详解】
解：由对数函数和指数函数的性质可知，
12．若 是一个集合， 是一个以 的某些子集为元素的集合，且满足：（1） 属于 ， 属于 ；（2） 中任意多个元素的并集属于 ；（3） 中任意多个元素的交集属于 ，则称 是集合 上的一个拓扑.已知集合 ，对于下面给出的四个集合 ：
① ；② ；
③ ；④ ；
其中是集合 上的拓扑的集合 的序号是（）
A．①②B．③④C．①③D．②④
点评：对于此类题目，学生应该掌握如何判断两个函数是否为反函数，而且互为反函数的两个函数图象关于直线 对称.
9．A
【解析】
，故选A。
10．D
【详解】
因为 是定义在 上的奇函数，当 时， ，
所以 ，
所以 ，
由 ，解得 或 ；
由 解得 或 （舍去），
所以函数 的零点的集合为 .
故选：D.
考点：函数的奇偶性的运用，分段函数，函数的零点，一元二次方程的解法，难度中等.
④满足拓扑集合的3个要求，故④是集合 上的拓扑的集合 ；
所以是集合 上的拓扑的集合 的序号是②④，故选D。
点睛：本题属于新定义的题型，题中给出了拓扑集合的概念，需要学生对拓扑集合的三个要求充分理解，再对给出的集合 对比三个要求一一检验，只有完全符合，才是所求的拓扑集合。
13．
【分析】
求出使解析式有意义的自变量 的范围即可．
黑龙江省双城市兆麟中学【最新】高一上学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集 ， ， ，则集合 （）
A． B． C． D．
2．方程组 的解集是（）
A． B． C． D．
3．若点 在映射 下对应的点是 ，则在映射 下对应的点为 的点是（）
【详解】
由题意 ，解得 或 ．
故答案为：
【点睛】
本题考查求函数的定义域，求出使函数式有意义的自变量的取值范围即得，掌握对数函数性质是解题关键．
14．
【解析】
为偶函数，则对于定义域内 ，恒有 ，
利用特殊值法，不妨取 ，
则 ， ，所以 ，
得 ，则 。
15．
【解析】
利用三角函数的定义， ， 在第三象限，
则不妨设 的终边过点 ，
（1）求不等式 的解集.
（2）设 ，是否存在实数 ，使 在区间 上的最大值为2，若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.
参考答案
1．C
【解析】
A： ；
B： ；
C： ；
D： ；
所以集合 ，故选C。
2．D
【解析】
由 ， ，得 .
，解得 .代入得 .
所以方程组 的解集 .
故选D.
点睛：集合的表示法：描述法，列举法，图示法，用列举法描述集合和，需要将元素一一列举，本题中，元素为二元方程组，元素为点集.
19．已知 .
（1）求函数 的定义域；
（2）判断函数 的奇偶性，并加以说明；
（3）求 的值.
20．已知函数 在定义域 上为增函数，且满足 , .
(1)求 的值;
(2)解不等式 .
21．已知函数
（1）求 的值；
（2）求证： 在 上是增函数；
（3）解不等式： .
22．已知幂函数 的图象关于 轴对称，且在 上为增函数.
17．(1) (2)1