数学分析II重修复习题

第六章 定积分的应用 知识点：
1、求平面图形的面积
2、求旋转体的体积
3、求曲线的弧长 相关练习：
1、计算抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积。

（答案：18）
2、计算由两条抛物线：x y =2，2x y =所围成的图形的面积。

（答案：3
1）
3、计算由x y 1=与直线x y =及2=x 所围成图形的面积。

（答案：2ln 2
3
-）
4、计算曲线23
3
2x y =，10≤≤x 的这段弧的长度。

（答案：32-24）
5、计算摆线()()⎩⎨⎧-=-=θθθcos 1sin a y a x 的一拱（πθ20≤≤）的长度。

（a 8）
第七章 微分方程 知识点：
1、微分方程的基本概念
2、可分离变量的微分方程
3、一阶线性微分方程
4、二阶线性常系数齐次微分方程
相关练习：
1、指出微分方程下列的阶数： （1）()022
=+'-'x y y y x ；（一阶）
（2）022=+''+'''y x y y x ；（三阶）
（3）0122=++dt
dQ
dt Q d （二阶） 2、微分方程20y y y '''+-=的通解中含有（ B ）个任意常数。

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2、求一阶微分方程
22xy dx dy =的通解。

（答案：C
x y +-=21
）
3、求一阶微分方程
xy dx
dy
2=，满足0=x 时，1=y 的特解。

（答案：2x e y =） 4、求()25112+=+-x x y dx dy 的通解。

（答案：()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++=C x x y 232132
1） 5、求微分方程
x e y dx
dy
-=+的通解。

（答案：()C x e y x +=-） 6、求下列二阶微分方程的通解： （1）032=-'-''y y y ； （2）02=+'+''y y y ； （3）052=+'-''y y y
第八章 向量代数与空间解析几何（无） 第九章 多元函数微分法及其应用 知识点：
1、多元函数的极限和连续性；
2、多元函数的偏导、全微分、方向导数及其梯度；
3、空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线；
4、多元函数的极值。

相关练习：
1、求下列函数的极限： （1）
()()xy xy y x 42lim 0,0,+-→；（答案：41
-）
（2）
()()
xy
xy y x 1-1lim
0,0,+→；（答案：21
）
（3）
()()()y xy y x tan lim
0,2,→；（答案：2）
（4）()()
(
)2
20,1,ln lim y x e x y
y x ++→（答案：ln2）
2、函数
()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,
00,,222
22
2y x y x y x xy y x f
在点()00，
是否有极限？在点()00，是否连续？
3、设v e z u sin =，其中xy u =，y x v +=，求x
z
∂∂和y z ∂∂。

4、设y x e z 2-=，其中t x sin =，3t y =，求
dt
dz 。

5、设()t uv t v u f z sin ,,+==，其中t e u =，t v cos =，求dt
dz 。

6、设()2
22
,,z y x
e z y x
f u ++==，其中y x z sin 2=，求
x
u ∂∂和y u ∂∂。

7、设13323+--=xy xy y x z ，求z 的所有二阶偏导数. 8、求曲线32,,t z t y t x ===在点()1,1,1处的切线和法平面方程。

9、求出曲线32,,t z t y t x ===上的点，使得在该点的切线平行于平面
42=++z y x 。

10、求球面14222=++z y x 在点()3,2,1处的切平面及法线方程。

11、求曲面3=+-xy z e z 在点()0,1,2处的切平面和法线方程。

12、求函数y xe z 2=在点()0,1P 处，沿从点()0,1P 到()1,2-Q 的方向的方向导数。

13、求函数()zx yz xy z y x f ++=,,在点()2,1,1沿方向l 的方向导数，其中l 的方向
角为 604560，，。

14、求函数z xy u 2=在点()2,1,10-P 处变化最快的方向，并求沿这个方向的方向导数。

15、求函数()x y x y x y x f 933,2233-++-=的极值。

16、求函数()()224,y x y x y x f ---=的极值。

第十章 重积分 知识点
1、直角坐标系下二重积分的计算，极坐标系下二重积分的计算；
2、直角坐标系下三重积分的计算 相关练习：
1、计算⎰⎰D
xyd σ，其中D 是由1=y ，2=x 及x y =所围成的闭区域。

2、计算⎰⎰D
xyd σ，其中D 是由抛物线x y =2及直线2-=x y 所围成的闭区域。

3、交换积分次序 （1）⎰
⎰-y x y x f y 1 0
1
0 d ),(d
（2）()⎰⎰20
22,y
y
dx y x f dy ；
（3）()dx y x f dy y y ⎰
⎰---2
2
111
,
4、计算σd e D
y x
⎰⎰+2
2
，其中D 是由422=+y x 所围成的闭区域。

5、计算σd y x D
⎰⎰+22，其中D 是圆环形闭区域(){}2222|,b y x a y x ≤+≤。

6、把下列积分化为极坐标形式，并求其值： （1）()
d y y x
dx x ax a
⎰
⎰-+22022
20；
（2）()
d x y x
y d y a a
⎰
⎰-+2
20
22
7、计算三重积分⎰⎰⎰Ω
xdxdydz ，其中Ω为三个坐标面及平面12=++z y x 所围成的
闭区域。

第十一章 曲线积分与曲面积分 知识点：
1、对弧长的曲线积分、对坐标的曲线积分；
2、对面积的曲面积分、对坐标的曲面积分；
3、格林公式 相关练习
1、计算()ds y x L
⎰+，其中L 为连接()0,1及()1,0两点的直线段。

2、计算⎰L
xds ，其中L 为由直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界。

3、计算dy x xydx L
22+⎰，其中L 为抛物线x y =2上从点()0,0到点()1,1的一段弧。

4、计算ydz x dy zy dx x L
2233-+⎰，其中L 是从点()1,2,3A 到()0,0,0B 的直线段。

5、计算dy xy ydx x L
⎰-22，其中L 为正向圆周222a y x =+。

6、利用格林公式计算()()dy x y dx y x L
⎰-+++-63542，其中L 是三顶点分别为
()0,0，()03，和()2,3的三角形正向边界。

7、计算曲线积分⎰---=L
dy y x xy dx y xy I
)2(3)6(2232，其中L 是连接点()0,1与点
()2,1的任意一条分段光滑连续曲线.
7、计算曲面积分()
d S y x
⎰⎰∑
+22
，其中∑为锥面22y x z +=及平面1=z 所围成的区域的
整个边界曲面。

8、求(1)I y z dS ∑
=++⎰⎰,其中∑是平面5y z +=被圆柱面2
2
25x y +=截出的有
限部分。

第十二章 无穷级数 知识点：
1、常数项级数敛散性的判别法；
2、幂级数的收敛域，幂级数的和函数 相关练习： 一、选择题
1. 下列级数中收敛的级数是（ D ） A ．∑
∞
=121
n n ； B.∑∞
=+1
)1
1ln(n n ； C.n
n n
n n )1()1(1
+-∑∞
=；
D.111cos n n ∞
=⎛
⎫- ⎪⎝
⎭∑
2. 设幂级数∑∞
=0
n n n x a 在2=x 处发散，则（ B ）
A.∑∞=0
n n
n x a 的收敛区间为（,2-2） B.n n n a 30
∑∞
=必发散
C. ∑∞
=0n n a 必收敛 D. 21
lim
1=+∞→n
n n a a
3. 若级数1
()n n n u v ∞
=+∑收敛，则下列说法正确的是（D ）
A ．1n n u ∞
=∑与
1n
n v
∞
=∑皆收敛
B ．1n n u ∞
=∑与
1n
n v
∞
=∑中至少有一个收敛
C ．1
n n u ∞
=∑与
1
n
n v
∞
=∑皆发散
D ．数列{1
()n
k k k u v =+∑}有界
4. 若正项级数1
u n n ∞
∑=收敛，则下列级数中收敛的是（ B ）．
A
．n ∞∑= B ．21n u n ∞
∑=；
C ．2)(1c u n n +∞∑=；
D ．()1
u c n n ∞
+∑=．
5. 级数1
3
1
2
1(1)
n n n
∞
-=-∑为（ A ）.
A.绝对收敛;
B. 条件收敛;
C.发散;
D. 收敛性不确定 6.
幂级数1(1)
n n
n n ∞
-=-∑( D ). A. 2;R = B.1;2
R = C.3;R = D.1.3
R =
二、填空题
1．设常数0>p ，则当p 满足条件3p >时，级数∑∞
=π1
2sin
n p
n
n 收敛
2.级数0
tan
3n n
π
∞
=∑的敛散性为 发散 （收敛或发散）
3. 级数2
1sin 3n n
π
∞
=∑的敛散性为 收敛 （收敛或发散）
4. 级数111
tan n n
n ∞
=∑是 收敛 （收敛、发散）级数
5.已知数项级数∑∞
=1
n n u 收敛，则=∞
→n n u lim ___0___.
6.级数∑∞
=--1
1
1)1(n n n
是 条件收敛 （绝对收敛、条件收敛）
7. -p 级数∑∞
=1
1
n p n 在p 满足_____________条件下收敛． 三、解答题
1、 判断级数∑
∞
=+13
3n n
n
的敛散性. 解:该级数为正项级数，
n
n n n n 33331lim 1++++∞→133331lim +∞→++⋅+=n n n n n )13(3)13(31lim 11++⋅=--+-∞→n n n n n 131<= 所以该级数收敛。

2、求幂级数∑∞
=⋅12
n n
n
n x 的收敛域. ()∞→→⋅+⋅=++n n n a a n n n n 21
2
)1(21
1 当2=x 时，级数为∑∑∞
=∞
==⋅111
22n n n
n n
n 发散 当2-=x 时，级数为∑∞
=-1
)1(n n
n 收敛
∴ 收敛域为[)2,2-.
3、求幂级数∑∞
=1n n nx 的收敛域及其和函数.
解:1lim
+=∞→n n
R n ,1=当1±=x 时，因为,0lim ≠∞
→n n u 所以级数发散，
故级数的收敛域为)1,1(-. 设∑∞==1
)(n n
nx x S 2
1
1
1
1
)
1()1(
)()(x x
x x x x x x x nx
x n n n n
n n -='-='='==∑∑∑∞
=∞=∞
=-
4、求幂级数2211
n
n n x n ∞
=+∑的收敛半径和收敛域。

解：22122
(1)(1)
lim lim 1[(1)1]n n n n
a n n a n n +→∞→∞++==++
所以级数的收敛半径1R = 收敛区间为(1,1)-
考虑区间端点处的敛散性，当1x =±时，级数的一般项的极限为：
2
2lim lim 101
n n n n u n →∞→∞==≠+ 所以其收敛域为：(1,1)-
5、求幂级数01
n n x n ∞
=+∑的和函数
令0()1
n
n x s x n ∞
==+∑
则11000
1
[()]111n n n n n n x x xs x x n n x ++∞∞∞===''⎛⎫⎛⎫'==== ⎪ ⎪++-⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (1,1)x ∈- 所以01
()d ln(1)1x xs x x x x
==---⎰
即01
()ln(1),[1,1)1
n n x s x x x n x ∞
===--∈-+∑
6、求幂级数(1)!1
n x n n n n ∞-∑⋅=的收敛半径和收敛域。

解：0)
1(lim )!1)(1(!lim lim
21=+=++⋅==∞→∞→+∞
→n n
n n n n a a n n n n n ρ 所以收敛半径+∞=R 收敛域为),(+∞-∞ 7、求级数21
1
n n n ∞
=+∑
的和。

解：21111
(1)1
n a n n n n n n =
==-
+++ 1
111111(1)1234
11
n n k k S a n n n ===-
+-++
-=-++∑ 所以2111
lim lim(1)11n n n n S S n n
n ∞
→∞→∞====-=++∑。