高数下第八章

为终点的向量，则



M1M2 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j (z2 z1 )k
向量的坐标表达式：
M1M2 { x2 x1, y2 y1, z2 z1} 特殊地：OM {x, y, z}
设 a {ax , ay , az },
b {bx , by , bz },
i jk
a
b

ax
ay
az
bx by bz
（5）
a//
b

ax ay az
bx by bz
例2
求与a

3i
2
j
4k ，b

i
j
2k 都垂
直的单位向量.
解
i jki j
c
a
b

ax
ay
az 3
2

k
4
10 j 5k,
3
2
4
2
cos2 cos2 cos2 1, cos 1 . 2
, 3
2 . 3
设P2的坐标为( x, y, z),
cos

x1 P1 P2

x1
2
1 2
x 2,
cos

y0
y0

2
y
2,
P1 P2
o
y
x
z
由图分析可知
R
M1•
P
o

• M2
Q
y
ax | a| cos ay | a| cos az | a| cos
向 量 的 方 向
x 方向余弦通常用来表示向量的方向.
余 弦
M1M2 M1P 2 M1Q 2 M1R 2 | a| ax2 a y2 az2 向量模长的坐标表示式
|
c||
a||
b|
sin
(其中 为a与b的夹角)
c的方向既垂直于a
，又垂直于b
，指向符合
右手系.
关于向量积的说明：
(1)
a
a

0.
（2）
a
b

b
a.
（3）| a b|表示以a和b为邻边的平行四边形的面积.
（4）向量积的坐标表达式

取法向量 n n1 n2 {10,15, 5},
所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0,
化简得 2x 3 y z 6 0.
例 3 设平面过原点及点(6,3, 2) ，且与平面
4x y 2z 8垂直，求此平面方程.
AB {4,5,0}
三角形ABC的面积为 A
DC
S 1 | AC AB | 1 152 122 162 25 ,
2
2
2
| AC | 42 (3)2 5, S 1| AC | | BD |
25 1 5 | BD |
2 | BD | 5.
22
四.曲面方程
AC {2, 3,1} 取 n AB AC {14, 9,1}, 所求平面方程为 14( x 2) 9( y 1) (z 4) 0,
化简得 14x 9 y z 15 0.
例 2 求过点(1,1,1)，且垂直于平面x y z 7和 3x 2 y 12z 5 0的平面方程. 解 n1 {1,1,1}, n2 {3,2,12}
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系： （1）曲面S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F ( x, y, z) 0就叫做曲面S 的方程， 而曲面S 就叫做方程的图形．
1.球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为R的球面方程:
22
cos z 3 z 3 1 z 4, z 2,
P1 P2
22
P2的坐标为 (2, 2,4), (, 2,2).
三、两向量的数量积、向量积
1.向量a与b的数量积
a
b
|
a||
b|
cos
(其中 为a与b的夹角)
数量积的坐标表达式：
a

z2 c2

1
椭圆柱面 // x轴
x2 a2

y2 b2
1
双曲柱面 // z轴
x2 2 pz 抛物柱面 // y 轴
五、空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
特点：曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点 x 不能同时满足两个方程.
这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直 线 L 叫柱面的母线.
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
o
x
x
抛物柱面
平面
y
y x
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y而缺z的方程F ( x, y) 0，在空
间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面，其
准线为 xoy面上曲线C .
（其他类推）
实 例
y2 b2

0 .
x 0
六、平面方程
z
n
1. 平面的点法式方程
M0 M
o
y
x
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
2. 平面的一般方程
Ax By Cz D 0
例 1 求过三点A(2,1,4)、B(1,3,2)和 C (0,2,3)的平面方程. 解 AB {3, 4,6}
f y, x2 z2 0.
例1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
（1）双曲线
x2 a2

z2 c2

1分别绕 x轴和z 轴；
绕x 轴旋转
x2 a2

y2 z2 c2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2

z2 c2

1
曲 面
y2 （2）椭圆 a 2
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
2. 旋转曲面：
如图 设 M ( x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z轴的距离
d x2 y2 | y1 | x
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
将 z z1 , y1 x2 y2 代入 f ( y1, z1 ) 0

z
1 2
在坐标面上的投影.
解 （1）消去变量z后得
x2 y2 3, 4
在 xoy面上的投影为
x2

y2

3 4,
z 0
（2）因为曲线在平面 z 1 上， 2
所以在 xoz 面上的投影为线段.
z

1 2,
y 0
| x | 3 ; 2
（3）同理在 yoz 面上的投影也为线段.
b
axbx

ayby

azbz
关于数量积的说明：
(1) a a | a|2 .
(2)
a
b

0
ab.
（3）两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
axbx ayby azbz
ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2
例
a
b1；已（知2）aa与{1b,1的,夹4}角，；b
z

1 2,
x 0
| y | 3 . 2
例2 设一个立体,由上半球面 z 4 x2 y2 和 z 3( x2 y2 )锥面所围成,求它在 xoy 面上的投影.
解 半球面和锥面的交线为
C
:
z

4 x2 y2,
z 3( x2 y2 ),
a
0

|
a a
|
{cos, cos , cos }.
例 1 设有向量 P1P2，已知 P1P2 2，它与 x轴
和
y
轴的夹角分别为
3
和
4
，如果
P1
的坐标为
(1,0,3)，求 P2的坐标.
解 设向量P1P2的方向角为 、 、
, cos 1 , , cos 2 ,
{1,2,2}，求（1）
解
(1)
a
b

1
1

1
(2)

(4)

2

9.
(2) cos
axbx a yby azbz
ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2
1 , 2
3 .
4
2.定义：向量a与b的向量积为
c

a
b
则
ar

r b

{ax
bx ,
ay by ,
az
bz }
a {ax , ay , az }
向量的模与方向余弦的坐标表示式
非零向量 a 的方向角：、 、
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
z
0 ,