逻辑函数的卡诺图化简法

第十章 数字逻辑基础
补充：逻辑函数的卡诺图化简法
1．图形图象法：用卡诺图化简逻辑函数，求最简与或表达式的方法。

卡诺图是按一定
规则画出来的方框图。

优点：有比较明确的步骤可以遵循，结果是否最简，判断起来比较容易。

缺点：当变量超过六个以上，就没有什么实用价值了。

公式化简法优点：变量个数不受限制
缺点：结果是否最简有时不易判断。

2．最小项
（1）定义：是一个包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的 形式出现一次。

注意：每项都有包括所有变量，每个乘积它中每个变量出现且仅出项1次。

如：Y=F （A ，B ） （2个变量共有4个最小项B A B A B A AB ）
Y=F （A ，B ，C ） （3个变量共有8个最小项C B A C B A C B A BC A C B A C B A C AB ABC ）
结论： n 变量共有2n 个最小项。

三变量最小项真值表
（2）最小项的性质
①任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为1：
②任意两个最小项的乘种为零；
③全体最小项之和为1。

（3）最小项的编号：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用m i 表示。

3．最小项表达式——标准与或式
任何逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式——标准与或式。

而且这种形式是惟一的，即一个逻辑函数只有一种最小项表达式。

例1．写出下列函数的标准与或式：Y=F(A,B,C)=AB+BC+CA
解：Y=AB(C +C)+BC(A +A)+CA(B +B) =ABC C B A ABC BC A ABC C AB +++++ =ABC C B A BC A C AB +++
=3567m m m m +++
例2.写出下列函数的标准与或式：C B AD AB Y ++=
解：)
A
Y+
+
B
=（
+
A
)(
)(C
D
B
＝）
∑
8,7,6,5,4,1,0(
m
列真值表写最小项表达式。

4．卡诺图
（1）．卡诺图及其画法：把最小项按照一定规则排列而构成的方格图。

（2）.构成卡诺图的原则：
①N变量的卡诺图有2n个小方块（最小项）
②最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻
逻辑相邻：只有一个变量取值不同其余变量均相同。

逻辑相邻的最小项可以合并。

几何相邻：一是相邻——紧挨的
二是相对——任一行或一列的两头
三是相重——对折起来后位置相重
两个相邻最小项可以相加合并为一项，同时消去互反变量，合并结果为相同变量。

（3）．二变量卡诺图：对应四个最小项
（4）．三变量卡诺图：将八个最小项按照逻辑相邻性填入对应的小方格。

注意：逻辑相邻的两个相邻最小项只有一个变量不同，其它都相同。

（5）四变量卡诺图
对于五变量及以上的卡诺图，由于很复杂，在逻辑函数的化简中很少使用。

5．变量卡诺图中最小项合并的规律
（1）两个相邻最小项合并可以消去一个因子
（2）四个相邻最小项合并可以消去两个因子
（3）八个相邻最小项合并可以消去三个因子
6．逻辑函数的卡诺图
（1）逻辑函数的卡诺图的画法
①根据函数的变量个数画出相应的变量卡诺图。

②在函数每一个乘积项所包含的最小项处都填1，其余位置填0或不填。

（2）逻辑函数卡诺图的特点
优点：用几何位置的相邻，形象地表达了构成函数的各个最小项在逻辑上的相邻性。

缺点：当函数变量多于五个时，画图十分麻烦，其优点不复存在，无实用价值。

（3）举例：
1．D B A C B A Y += 2．D C AB B A Y ++=
3．C B A D C A C B CD B Y +++=
4.利用图形法化简函数∑=m D C B A F )15,13,12,8,6,5,4,1(),,,(
5.利用图形法化简函数∑=m F )15,4,111,10,8,43,2,10(，，，
6.利用图形法化简函数C B A D C A C B CD B Y +++=
7. 试写出D C BC C B A Y ++=的标准与-或式，并画出卡诺图。

（三）、 用卡诺图化简逻辑函数
步骤：①画卡诺图 ②正确圈组 ③写最简与或表达式
（四）、具有无关项的逻辑函数的化简
（一）、逻辑函数中的无关项
用“×”（或“d ” ）表示
利用无关项化简原则：
①、 无关项即可看作“1”也可看作“0”。

②、 卡诺图中，圈组内的“×”视为“1”，圈组外的视为“0”。

例2. 5. 6 为8421BCD 码，当其代表的十进制数≥5时，输出为“1”，求Y 的最简表达式。

（用于间断输入是否大于5）
解：先列真值表，再画卡诺图。