力矩分配法

1解,3 :
2
1,3
1) 2)
求分配2.系7 2数.5: 求固端弯－矩0:.9
0.5 0.4
S121323A1A212－10M1..430.327(i.k357－N6130.5..3392m56.,.,1476)86,213S,32BS3B122300－..64324613i713i...78296803359..,42.46,8,
q 12kN / m
A EI
B EI
C
10m
10m

0.571 0.429
M F 100 100 0
0
分 配
28.6
57.1 42.9
0
传
递
M 128.6 42.9 42.9 0
q 12kN / m 42.9 M
128.6
单结点力矩分配法基本原理
第一步：锁定。在B处加附加刚臂，使
4i 3i

i

1/
2
1
3
B
q 64 1
C 64
1
16
l
2ql
EI C
11
A
32 l
l
1B

4i
3i 3i

i

3/8
1C

4i

i 3i

i
1/ 8
结点 B A
1
C
杆端 B1 A1 1A 1B 1C C1

1/2 3/8 1/8
q
2ql
ql2 / 4
ql2所/ 8 的结果是 ql2 /近4 似解吗?
SAB 3i
SAB i
力矩分配系数μij :
等于该杆件的转动刚度除以刚结于i结点的 各杆 转动刚度之和。
ij
Sij S
i
且有
ij 1
利用分配系数的概念，近端弯矩可表达为：
Mij

ij
(M
u
i
)
(1)分配系数
BA

S BA SBA SBC
BC

S BC SBA SBC
2)逐次放松：每次放松一个结点(但相邻结点必须锁 住)进行单结点的力矩分配与传递。轮流放松各结点， 经多次循环后各结点渐趋平衡。
3)叠加：将各次计算所得杆端弯矩相加(代数和)就得 到杆端最终弯矩。
固定状态:
M
F 1A

ql 2
/
8

150
M
F 12

ql 2
/ 12

100
q 12kN / m
q 12kN / m B
A EI
B EI
C
10m
10m
q 12kN / m
M
u B
A
B
C
ql2 / 12
B
M u' B
C
A
B
固定状态:
M
F AB

ql 2
/ 12

100kN .m
M
F BA

100kN .m
M
F BC

M
F CB

0
放松状态:
M
d BA


BA
(

M
u B
)

57.1
§8.1 基本概念
力矩分配法是基于位移法的逐步逼近精确解 的近似方法,它可以避免建立和求解代数方程,直接 计算出杆端弯矩. (1)应用条件：
结点无未知线位移的刚架和连续梁。 (2)正负号规定：
杆端弯矩以顺时针为正。结点外力偶荷载及附 加刚臂上的约束力矩(结点不平衡力矩)均以顺 时针为正。
一.基本概念
R1 74 69.97 143.97(kN )()
R1
100kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
i=1.92 1 i=1.37 2 i=2.4
3
i=1
B
2.5m
3.5m
2m
4.8
μ
0.513 0.478 0.363 0.637
m
78.1 －102.0 102.0 －33.3
B
M
F BC
(1)固定状态:
(2)放松状态:
M
u B

M
u' B
需借助分配系数,传递 系数等概念求解
q 12kN / m B
A EI
B EI
C
10m
10m
q 12kN / m
M
u B
A
B
C
ql2 / 12
B
M u' B
C
A
B
转动刚度：
使AB杆的A端产生单位转动，在A端所需施加的杆 端弯矩称为AB杆A端的转动刚度，记作SAB。
B EI
C
10m
10m
q 12kN / m
M
u B
A
B
C
ql2 / 12
M
u B
A
B
C
BC 3i /(3i 4i) 3 / 7 0.429 BA 4i /(3i 4i) 4 / 7 0.571
固定状态:
M
F AB

ql 2
/ 12

100kN .m
M
F BA
4m 4m
10kN / m
B EI C
6m

M F 40
分 配
1.25
传
递
0.5 0.5 40 45 0
2.5 2.5 0
M 38.75 42.5 42.5 0
42.5
38.75 40kN
10kN / m
M
练习
求不平衡力矩
40kN.m
M
u B
60
20kN / m
A EI
6m
40kN .m
第八章 超静定结构的解法
Methods of Analysis of Statically Indeterminate Structures
基本要求
• 掌握力矩分配法中正负号规定 • 理解转动刚度、分配系数和传递系数的物理意义。 • 掌握力矩分配法的物理意义及其应用条件。 • 熟练掌握应用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架。 • 掌握对称性的利用。 • 了解无剪力分配法计算有例移刚架的步骤。
A
EI
1 EI
B 2 EI
10m
10m
10m
q 12kN / m
A
M
u 1
ql2 / 8
1
ql2 / 12
M
u 2
B
2
28.6
100
-28.6 -57.1-42.9
21.4 6.1
-9.2 -12.2 -6.1
1.8
6.1
1.8 3.5 2.6
… … ...
M
q 12kN / m
A
1
B 2


M
d BA

M
d BC
0
M
u B

M
u' B
M
d BA


BA
(

M
u B
)
B
M u' B
C
A
B
M
d BA
M u' B
B
M
d BC
M
d BC


BC
(

M
u B
)
M
d BA


BA
(
M
u B
)

57.1
M
d BC


BC
(
M
u B
)

42.9
BC 3i /(3i 4i) 3 / 7 0.429 BA 4i /(3i 4i) 4 / 7 0.571
M
d BC


BC
(
M
u B
)

42.9
M
C AB

CBAM BA

28.6
M
C CB

0
最终杆端弯矩:
M AB 100 28.6 128.6 M BA 100 57.1 42.9 M BC 0 42.9 42.9 MCB 0
q 12kN / m
A EI
不能产生转角，求出各扦的固端弯矩。
由荷载产生在结点B附加刚臂上的约束
力矩(即结点不平衡力矩)为各杆端固端 q 12kN / m
弯矩之和。
A EI
B EI
C
10m
第二步；放松。放松结点B，相当于 加反向力偶矩(一MB)。
第三步，叠加。叠加以上两步计算所 A 得的杆端弯矩，就得到原结构最终的 杆端弯矩。
0
固定状态:
不平衡力矩:
M
u B
荷载引起在i点的各杆
端弯矩代数和

M.
F ij
j
方向:顺时针为正.
又称约束力矩.
M
u B

M
F BA

M
F BC
100kN.m
q 12kN / m B
C
A EI
B EI
10m
10m
q 12kN / m
M
u B
A
B
C
ql2 / 12
M
F BA
M
u B
M F 0 -1/4 1/4 1/8 0 0
分配 传递
0
3 3 9 3 3 32 16 64 64 64
M
0
11
1
1 3
3
32 16
64 64 64
§9.2 多结点力矩分配
基本原理：
1)锁定：在全部刚结点处加附加刚臀以控制角位移 发生。计算各杆的固端弯矩和结点的不平衡约 束 力矩。
B EI C
4m
20kN / m
40kN .m
60 A
60 B
C
M
u B

60
40

100kN .m
作图示梁的弯矩图(利用传递系数的概念)
40kN.m 10kN
20kN.m A
EI
6m
B EI C
4m
例2.计算图示刚架,作弯矩图
解: S1B 3i S1A 4i
S1C i
1A

4i
i A
ij
Sij S
i
i
B
C
SBA 4i
SBC 3i
BC 3i /(3i 4i) 3 / 7 0.429
BA 4i /(3i 4i) 4 / 7 0.571 BA BC 1
一个结点上的各杆端分配系数总和恒等于1。
(2)分配弯矩
M u' B
MF 0
分0
配 传 递
0.429 0.571 0.571 0.429 150 -100 100 0 0 -28.6 -57.1 -42.9 0 -9.2 -12.2 -6.1 1.8 3.5 2.6 0 -0.8 -1.0
M0
140 -140 40.3 -40.3 0
140
q 12kN / m
40.3
1,3 2
78.1
12.3 11.6 109.7 －31.2
5.8 5097.1 －62.342－.3109.3
1,3
16 15.2 1537.6 20.9
2
－5.2 －10.3－18.2
0.762 0.238 33.3 －288
129141.1.7 60.6 －51.4
41.7 13
－9.1 288
M
d BC


BC
(
M
u B
)

42.9
A
B
M
u B
B
C
传递弯矩
M
C AB

CM
d BA

0.5 (57.1)

28.6
M
C CB

CM
d BC

0 (42.9)

0
利用传递系数的概念，远端弯矩可表达为：
M ji Cij M ij
等截面直杆的转动刚度和传递系数如下表
远端支承 远端固定 远端铰结 远端滑动 远端自由
A
B
1
2
作剪力图,求反力
MA 0
q 12kN / m
A
1
Q1A 10 140 1210 5 0 Q1A 74
Fy 0
QA1 46
A Q A1 46
140 1 Q1 A 69.97
74
40.3 B
2
M
4.03
50.03 Q
Fy 0
74 1 69.97
传递系数:远端弯矩Mji与
B
M u' B
C
近端弯矩Mij的比值。
A
B
远端弯矩 C近远 近端弯矩
---传递系数
1 远端固定时:
4i A 1
远端铰支时: 3i A 1
远端定向时: i A
2i
i
C=1/2
B
iB iB
C=0 C=-1
与远端支承 情况有关
M
d BA


BA
(
M
u B
)

57.1
SAB i
SAB i
A1
B
A1
B
SAB=4i SAB
i
SAB=i SAB
i
A1
B
A
B
SAB=3i
SAB=0
在确定杆端转动刚度时： 近端看位移（是否为单位位移） 远端看支承（远端支承不同，转动刚度不同）。
SAB A
i
B
1
SAB 4i
SAB
A
i
SAB
i
SAB i
A1
B
对等直杆，SAB只与B端的支 撑条件有关。
转动刚度 S=4i S=3i S=i S=0
传递系数 C=1/2 C=0 C=-1 C=0
利用传递系数的概念，远端弯矩可表达为：
M ji Cij M ij
利用分配系数的概念，近端弯矩可表达为：
Mij

ij
(M
u
i
)
(1)固定状态:
(2)放松状态:
M
u B

M
u' B
需借助分配系数,传递 系数等概念求解
10m
M
u B
B
C
例1.计算图示梁,作弯矩图
解:
EI
SBA 4 8 0.5EI
EI SBC 3 6 0.5EI
BA

0.5EI (0.5 0.5)EI

0.5
BC

0.5EI (0.5 0.5)EI

0.5
40
45
40kN
10kN / m
40
40kN
A EI
(1)固定状态:
固端弯矩:
M
F ij
荷载引起的单跨梁两端
的杆端弯矩,绕杆端顺时
针为正.
q 12kN / m B
A EI
B EI
C
10m
10m
q 12kN / m
M
u B
A
B
C
ql2 / 12
M
F AB

ql 2
/ 12

100kN .m
M
F BA

100kN .m
M
F BC

M
F CB

100kN .m
M
F BC

M
F CB

0
放松状态:
M
d BA
Leabharlann Baidu

BA
(
M
u B
)

57.1
M
d BC


BC
(

M
u B
)

42.9
M
C AB

CBAM BA

28.6
M
C CB

0
最终杆端弯矩:
M AB 100 28.6 128.6 M BA 100 57.1 42.9 M BC 0 42.9 42.9 MCB 0
A
EI
1 EI
10m
10m
B 2 EI
10m
M
F 21

ql 2
/ 12

100
M1u

M1FA

M
F 12

50
M
u 2

M
F 21

M
F 2B
100
q 12kN / m
A
M
u 1
ql2 / 8
1
ql2 / 12
28.6
50
M
u 2
B
2
110000
放松结点2(结点1固定):
-28.6 -57.1 -42.9
S21 4i
S2B 3i
21 0.571 2B 0.429
放松结点1(结点2固定):
21.4
6.1
-9.2 -12.2 -6.1
1.8
6.1
S12 4i
S1A 3i
12 0.571 1A 0.429
1.8 3.5 2.6
… … ...
q 12kN / m