等式约束不定最小二乘问题的双曲MGS消去算法
不定最小二乘问题的改进的不完全双曲Gram-Schmidt预处理算法
ｍ ｏ ｆｅ ｒ ｍ — ｃ ｄｉ ｄ Ｇ ａ ｉ Ｓ ｈｍ ｉ ｄｔ
Ｌ ｉｎｊａ ， Ｌ Ｕ Ｑｉ —ｕ Ｉ ａ－ ｎ Ｘ ｕ Ｉ ａ ｈ ａ ｏ （ ｏｌ ｅｏ ｃｅ ｃｓ Ｓ ａ ｇ ａ Ｕｎｖ ｒｉ ， ｈ ｎ ｈ ｉ ０ ４ ４ Ｃ ｉａ Ｃ ｌ ｇ ｆ ｉ ｅ ， ｈ ｎ ｈ ｉ ｉｅｓ ｙ Ｓ ａ ｇ ａ ０ ４ ， ｈｎ ） ｅ Ｓ ｎ ｔ ２
通信作者： 刘巧华，研 究方 向为数值线性代数 ． Ｅ ｍａｌ ｑ ｌ ＠ｓａ ． ｕｅ ｕＣ — ｉ ｈｉ ｔｆ ｓ ．ｄ ．ｎ ： ｕ ｈ
应用数学与计算数学学报
第２ ６卷
Ｃｈｉ ｓ ｂｒ ｒ Ｃ１ ｓ ｎｃ ｉ ｎ ０２ ２ １ ｎｅ ｅ Ｌｉ ａ ｙ ａｓ ｉ ａｔ ｏ ４ ．
Ｋ ｅ ｒ ｓ ｉ ｄ ｆ ｉｅ ｌａ ｔｓ ｕ ｒ Ｉ １ ｒ ｂ ｅ ｉ ｃ ｍｐ ｅ ｅ ｈ ｐ ｒ ｏ ｉ ｄ — ｙ ｗｏ ｄ ｎ ｅ ｎ ｔ ｅ ｓ ｑ ａ ｅ ｆ ｉ ＬＳ ｏ ｌｍ； ｎ ｏ ｌｔ ｙ ｅ ｂ ｌ ｍｏ ｉ ｐ ｃ
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ＲＥＳ ）ｍｅｈ ｄ ａ ｅ ｐ ｅ ｏ ｄｔｏ ｅ ｙ ｔ ｅ ｉｃ ｍ ｐｅｅ ｈ ｐ ｒ ｏｉ ｄ ｆ ｄ Ｇｒ ｍ— ｔ ｏ ｒ ｒ ｃ ｎ ｉｉｎ ｄ ｂ ｈ ｎ ｏ ｌｔ ｙ ｅ ｂ ｌ ｍｏ ｉｅ ａ ｃ ｉ Ｓ ｈ ｄ Ｉ ＧＳ ｒｔ ｅｓ ｌ ｔ ｎ ｏ ｈ ａ ｇ ｎ ｐ ｒｅｉｄ ｆ ｉｅｌａ ｔｓ ｕ ｒ ｃ ｍｉｔ ｆＨＭ １ｆ ｈ ｏｕ ｉ ｆ ｅｌｒ ｅａ ｄ ｓ ａ ｓ ｎ ｅ ｎｔ ｅ ｓ ｑ ａｅ ｏ ｏ ｔ ｉ
第十一章最小二乘问题
第十一章 最小二乘问题一、内容提要§11.1最小二乘问题1． 定义 给定矩阵nm RA ×∈，向量m b R ∈，求nR x ∈0，使得0||||min ||||nx Rb Ax b Ax ∈−=−, 称上述问题为线性最小二乘问题，简称为最小二乘问题；称解0x 为最小二乘解。
最小二乘问题也可以看作是线性方程组,m n Ax b A R ×=∈的最小二乘问题，相应地最小二乘解0x 称为线性方程组的最小二乘解。
2． 数学性质定理1 最小二乘问题的解恒存在；且解唯一的充分必要条件是 n A rank =)(。
定理2 最小二乘解满足方程组T T A Ax A b =，反之，若x 是上述方程组的解，则其是最小二乘解。
称上述方程为最小二乘问题的正规方程组（或法方程组或Euler 方程）。
3． QR 分解定理3 设矩阵nm R A ×∈列满秩，即n A rank =)(。
则存在列标准正交矩阵nm RQ ×∈及非奇上三角矩阵nn RR ×∈，使得QR A =，且在约定R 的对角元素0>ii r 情形下，上述分解唯一, 称之为矩阵A 的QR 分解。
所谓列标准正交矩阵 ()n q q Q L 1=，指的是列向量组标准正交，也即E Q Q T =。
利用QR 分解，可计算出最小二乘解：1） 作矩阵A 的QR 分解，QR A =； 2） 求解上三角方程组，TRx Q b =。
4． 相关概念设1(,,)m nn A a a R×=∈L ，定义矩阵A 的值域为，},|{)(n R x Ax y y A R ∈==1(,,)n L a a =L ；矩阵A 的零空间定义为. },0|{)(nR x Ax x A N ∈==，定理 4 )()(TA N A R =⊥， )()(A N A R T=⊥。
§11.2 奇异值分解1． 定义与结论 设矩阵nm RA ×∈，则A A T的特征值为1210r r n λλλλλ+≥≥≥>===L L ，称n i i i ,,1,L ==λσ为矩阵A 的奇异值；并称1,r σσ为A 的最大奇异值和最小奇异值。
最小二乘问题
2
如 果 存 在 Rn , 对 任 意 Rn , 使 x y ( r ( x ), A x Ay ) 0 则 有 r ( x ) r ( y ) , y R n 即 x是 矛 盾 方 程 组 b的 最 小 二 乘 解 Ax .
5
2
2
数值分析
数值分析
对x Rn , (r ( x ), Ax Ay ) 0, y Rn ( x y )T AT r ( x ) 0, y Rn AT r ( x ) 0 r ( x ) N ( AT ) AT (b Ax ) 0 AT Ax AT b
数值分析
第四章 最小二乘问题
问题的提出
给定m 1个数据点xi x0 , x1 , , xm , yi y0 , y1 , , ym , 及基函数 j ( x ) j 0
n m
( m n)
构造出拟合函数s( x ) H span 0 ( x ), , n ( x ) , 使 ( yi s( xi ))2 min
A为列满秩时，称A为A的“左逆”；
1 1 例 已知A 1 1 , 求A的广义逆A。 1 1 解：A是列满秩的矩阵，可以求它的左逆 14 A ( A A) A 8 -4
T 1 T
10
2 2
2 2
数值分析
验算有A A I 2 , 但AA I 3。
2
b Ax
2
min 的解.
1 1 0 1 1 x1 1 为矛盾方程组. 例: x 1 2 2 0
4
数值分析
数值分析
定理1 : x R n是矛盾方程组Ax b的最小二乘解的 充分必要条件是 : x是方程组AT Ax AT b的解.
最小二乘解
2
2
Ga * y 2 2cT GTGa * GT y) Gc 2
2
2
Ga * y 2 Gc 2 Ga * y 2
2
2
2
n
即： 法方程组的解a使得Q s(xi ) yi 2达到最小！ i0
3 最小二乘解的唯一性
当0( x),1( x),L ,n ( x)线性无关时，则矩阵G 0 1 L n 列满秩
§1 最小二乘法
实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实 际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数的记录:
编 拉伸
编 拉伸倍
编 拉伸倍 强度
号 倍数(x) 强度(y) 号 数(x) 强度(y) 号 数(x) (y)
1
1.9
1.4 9
5
5.5 17
4
4
2
2
1.3 10 5.2
5
18
4
拉伸倍数x强度y191455171310522118115519454225251263642046352728136521898527251471532265239581352726241081纤维强度随拉伸倍数增加而增加并且24个点大致分布在一条直线附近因此可以认为强度y与拉伸倍数x的主要关系应是线性关为待定参数其中找一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点一最小二乘法原理偏离程度大小的度量标与数据点作为衡量称为平方误差从而确定1中的待定系数求解yx
给出一组离散点，确定一个函数逼近原函数，插值是的一种手段。 但在实际问题中，数据不可避免的会有误差，插值函数会将这些误差也 包括在内。因此，我们需要一种新的逼近原函数的手段：
①不要求过所有的点（可以减小误差影响）； ②尽可能表现数据的趋势，靠近这些点。
算法#03--具体解释最小二乘法原理和代码
算法#03--具体解释最⼩⼆乘法原理和代码最⼩⼆乘法原理最⼩⼆乘法的⽬标：求误差的最⼩平⽅和，相应有两种：线性和⾮线性。
线性最⼩⼆乘的解是closed-form（例如以下⽂），⽽⾮线性最⼩⼆乘没有closed-form，通经常使⽤迭代法求解（如⾼斯⽜顿迭代法，本⽂不作介绍）。
【⾸先得到线性⽅程组】1.概念最⼩⼆乘法（⼜称最⼩平⽅法）是⼀种数学优化技术。
它通过最⼩化误差的平⽅和寻找数据的最佳函数匹配。
利⽤最⼩⼆乘法能够简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平⽅和为最⼩。
最⼩⼆乘法还可⽤于曲线拟合。
2.原理函数原型：已知：（x0，y0）。
（x1。
y1）…（xi，yi）…（xn，yn）个点，n>=k。
偏差平⽅和：偏差平⽅和最⼩值能够通过使偏导数等于零得到：简化左边等式有：写成矩阵形式：公式①将这个范德蒙得矩阵化简后可得到：公式②也就是说X*A=Y，那么A = (X’*X)-1*X’*Y，便得到了系数矩阵A，同⼀时候，我们也就得到了拟合曲线。
⾼斯消元法【然后解线性⽅程组，即公式①】1.概念数学上，⾼斯消元法（或译：⾼斯消去法）（英语：Gaussian Elimination），是线性代数中的⼀个算法，可⽤来为线性⽅程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆⽅阵的逆矩阵。
当⽤于⼀个矩阵时。
⾼斯消元法会产⽣出⼀个“⾏梯阵式”。
2.原理3.伪代码这个算法和上⾯谈到的有点不同。
它由绝对值最⼤的部分開始做起。
这样能够改善算法的稳定性。
本算法由左⾄右地计算。
每作出下⾯三个步骤，才跳到下⼀列和下⼀⾏：定出i列的绝对值最⼤的⼀个⾮0的数，将第i⾏的值与该⾏交换，使得该⾏拥有该列的最⼤值；将i列的数字除以该数，使得i列i⾏的数成为1。
第(i+1)⾏下⾯（包含第(j+1)⾏）全部元素都转化为0。
全部步骤完毕后，这个矩阵会变成⼀个⾏梯矩阵，再⽤代⼊法就能够求解该⽅程组。
i = 1j = 1while (i ≤ m and j ≤ n) doFind pivot in column j, starting in row i // 从第i⾏開始。
解等式约束非线性最小二乘问题的混合gn—bfgs方法
解等式约束非线性最小二乘问题的混合gn—bfgs方法以《解等式约束非线性最小二乘问题的混合GNBFGS方法》为标题，本文将讨论混合GNBFGS方法解决等式约束非线性最小二乘问题的过程以及它的优势、缺点和应用等方面。
等式约束最小二乘问题是很常见的优化问题，也是统计分析中常用的模型。
它的本质是根据给定的数据估计待定参数的值，使得损失函数的值最小。
具体来说，在最小二乘问题中，模型为：$$min_{theta in mathbb{R}^{n}} quad sum_{i=1}^{m}f_{i}(theta)$$其中，$f_{i}$是一个由实数参数$theta=(theta_{1},theta_{2},cdots theta_{n})$定义的有限函数，表示每次观测的损失函数。
而解这个问题的关键在于求解$theta$的值，以使得损失函数的和最小。
等式约束最小二乘问题是等式约束优化问题的一个特例，它要求所有的约束函数都具有等式约束形式，模型可以表示为：$$min_{theta in mathbb{R}^{n}} quad sum_{i=1}^{m}f_{i}(theta)s.t. quad g_{j}(theta)=0, quad forall j=1,2,cdots,l$$ 其中，$g_{j}$表示$j$个等式约束函数，它同样由实数参数$theta=(theta_{1},theta_{2},cdots theta_{n})$定义，而且要求等式约束函数的值都为零，也就是既要求损失函数的和最小，又要求等式约束函数的值是零。
为了解决等式约束最小二乘问题，近年来研究者们提出了混合GNBFGS方法，它的基本原理是将等式约束最小二乘问题转化为非线性规划问题，然后再采用代数形式求解，以求得全局最优解。
混合GNBFGS方法的思路是，首先用非线性迭代求解器GN （GaussNewton）求解参数的初始值，然后运用最优化算法BFGS （BroydenFletcherGoldfarbShanno）进行迭代求解，在迭代过程中，采用梯度法按特定规则更新参数，以求得损失函数的最小值。
4-最小二乘法
由于牛顿法在标准假设下是局部二阶收敛的，因此， 由于牛顿法在标准假设下是局部二阶收敛的，因此， Gauss-Newton 法的成功将依赖于所忽略的 法的成功将依赖于所忽略的G(x)中 中 的二阶信息项S(x)在G(x)中的重要性。 中的重要性。 的二阶信息项 在 中的重要性 可以证明： 可以证明： 如果S(x*)=0， 则Gauss-Newton 法也是 如果 ， 二阶收敛的。 二阶收敛的。 如果S(x 相对于 相对于J(x*)T J(x*) 是小的，则 如果 *)相对于 Gauss-Newton 法是局部 线性收敛的。 法是局部Q线性收敛 线性收敛的 太大， 如果S(x 太大 如果 *)太大，则Gauss-Newton 法可 能不收敛。 能不收敛。
≥ Ax − b
*
2
可见， x = x * 时 取到最小值. 可见， 取到最小值.
2 x1 + 2 x 2 = 3 例 给定方程组 x − 2 x = 1 , 试用最小二乘法求此 1 2 方程组的近似解。 x + 4 x = 3 方程组的近似解。 1 2 解 令 f ( x) = ( 2 x1 + 2 x2 − 3 )2 + ( x1 − 2 x2 − 1)2 + ( x1 + 4 x2 − 4 )2 ,
最小二乘问题的求解方法
(一)、线性最小二乘法 (二)、非线性最小二乘法 1. 改进的 改进的Gauss-Newton法 法 2. Levenberger-Marquart方法 方法
最小二乘问题的概念 如下最优化问题称为非线性最小二乘问题。 如下最优化问题称为非线性最小二乘问题。
约束最小二乘法
第27卷第6期增刊 2006年6月仪 器 仪 表 学 报Chinese Journal of Scientific InstrumentVol.27No.6J une.2006 约束最小二乘法孙希延1,2,3 施浒立1 纪元法1,2,31(中国科学院国家天文台 北京 100012)2(桂林电子工业学院应用科技学院 桂林 541004)3(中国科学院研究生院 北京 100039)摘 要 为了准确、实时地估计出有突变时载体的状态,设计一种新的方法2约束最小二乘法,并且给出了递推形式。
实验仿真表明:有状态突变时该方法优于卡尔曼滤波,无状态突变时估计结果与卡尔曼滤波估计结果相当。
关键词 约束最小二乘法 卡尔曼滤波 最小均方差 递推Constraint least square algorithmSun Xiyan1,2,3 Shi Huli1 Ji Yuanfa1,2,3 1(N ational A st ronomical Observatory,Chinese A cadem y of Sciences,B ei j ing 100012,China) 2(A p plied S cience and Technolog y College,Guilin Universit y of Elect ronic Technology,Guilin 541004,China)3(Graduate School,Chinese A cadem y of Sciences,B ei j ing 100039,China)Abstract To estimate the state of t he carrier wit h a sudden change correctly and timely,in this paper a new approach is demonstrated and it s recursive form is also given.The simulation of t he experiment iundicates t hat t he expected performance of t he new approach is superior to t hat of t he KF when t here is a sudden change of t he state, ot her uise,t he evaluative resnlt of t he new approach is good as well as t hat of t he KF.K ey w ords constraint least square kalman filtering least2mean2square error recursive1 引 言天文学的研究促进了最小二乘的提出,于1809年高斯在他的书中详细描述了最小二乘方法[1,2]。
非线性最小二乘问题的方法
⾮线性最⼩⼆乘问题的⽅法1.简介和定义 (1)2.设计⽅法 (5) 2.1.最陡下降法. (7) 2.2.⽜顿法. (8) 2.3.线搜索 (9) 2.4.信赖域和阻尼⽅法 (11)3.⾮线性最⼩⼆乘问题 (17) 3.1.⾼斯-⽜顿法 (20) 3.2. Levenberg–Marquardt⽅法........................................ .24 3.3.鲍威尔的狗腿法 (29) 3.4.混合⽅法：LM和拟⽜顿 (34) 3.5. L–M⽅法的割线形式 (40) 3.6.狗腿法的⼀个正割版本 (45) 3.7.最后的评论 (47)附录 (50)参考资料 (55)索引 (57)1.引⾔和定义在本⼿册中，我们考虑以下问题 定义1.1. 最⼩⼆乘问题 查找x∗，⼀个局部最⼩化器，⽤于1）范例1.1. 最⼩⼆乘问题的重要来源是数据拟合。
例如，请考虑以下所⽰的数据点（t1，y1），...，（t m，y m）图1.1 数据点{（t i，y i）}（⽤+标记）和模型M（x，t）（⽤实线标记）此外，我们给出了拟合模型，模型取决于参数x = [x1，x2，x3，x4]T。
我们假设存在⼀个x†，因此{εi}是数据坐标上的（测量）误差，假定像“⽩噪声”⼀样。
对于x的任何选择，我们都可以计算残差对于最⼩⼆乘拟合，将参数确定为残差平⽅和的最⼩值x∗。
可以看出这是定义1.1中n = 4形式的问题。
在图1.1中⽤实线显⽰了M（x∗，t）的图。
最⼩⼆乘问题是更常见问题的⼀个特殊变体：给定函数F：IR n→IR，找到参数F，该参数给出该所谓的⽬标函数或成本函数的最⼩值。
定义1.2 全局最⼩化器⼀般⽽⾔，这个问题很难解决，我们仅介绍解决以下简单问题的⽅法：找到F的局部极⼩值，这是⼀个⾃变量⽮量，在某个区域内给出了F 的最⼩值，其⼤⼩由δ给出，其中δ是⼀个⼩的正数。
定义1.3 本地最⼩化器在本介绍的其余部分中，我们将讨论优化中的⼀些基本概念，第2章简要介绍了为⼀般成本函数找到局部最⼩化器的⽅法。
最小二乘解
关于线性方程组的解析解线性方程组分为齐次线性方程组Ax=0和非齐次线性方程组Ax=b，其区别在于常数项是否为0向量。
此处x是n 维向量。
对于非齐次线性方程组，是否有解析解取决于A的增广矩阵(A|b)的秩。
分为以下几种情况：.如果r(A)=r(A|b)=n，有唯一解。
这种情况下线性无关方程个数与未知数个数相同。
.如果r(A)=r(A|b)<n，有无穷多解。
这种情况下约束不够，线性无关方程个数小于未知数个数，因此有无穷多解。
.如果r(A)<r(A|b)，无解。
这种情况指没有向量x 能够同时满足Ax=b，因此通常只能求解最小二乘近似解，且前提是r(A)=n。
对于齐次线性方程组，是否有解析解直接取决于A 的秩。
分为以下几种情况：.r(A)=n，且A为n*n 的方阵或线性无关方程个数与未知数个数相同，此时有且只有零解。
.r(A)<n，此时要么矩阵A 的行小于列，要么行向量线性相关，这种情况下约束不够，有无穷解。
.r(A)=n，且A为m行n列的矩阵，其中m>n（线性无关方程个数大于未知数个数），此时解析解也只有零解。
而通常这种情况我们想要求解其非零解，也只能通过最小二乘求解近似解。
事实上，我们在解决许多实际问题时，解析解只有零解或者无解，但我们又不得不求非零解时(尽管它不是完全准确)，我们就需要用到最小二乘法。
最小二乘求非齐次线性方程组最小二乘估计，旨在求解误差平方和最小的非零解。
其原理在我的另一篇专栏里有专门介绍：地主：从零认识最小二乘法，这里直接抛出线性最小二乘法的公式：x=(ATA)−1ATb该公式针对非齐次线性方程组，可直接对ATA求逆，再右乘ATb得到x的最小二乘解。
当然此处ATA是否可逆取决于该方阵是否是满秩矩阵，即要求A满秩。
如果不是满秩矩阵，说明约束不够，仍无法得到可靠的最小二乘近似。
最小二乘求齐次线性方程组然而，对于齐次线性方程组Ax=0的情况，由于b=0向量，我们无法直接通过线性最小二乘公式求解x的非零解。
等式约束条件下迭代最小二乘
等式约束条件下迭代最小二乘以等式约束条件下迭代最小二乘为题，我们先来了解一下最小二乘法的基本概念。
最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，通过最小化实际观测值与理论模型之间的残差平方和，来确定模型参数的估计值。
在实际问题中，我们经常会遇到一些约束条件，这些约束条件可以是等式或不等式。
在等式约束条件下的迭代最小二乘方法中，除了要满足最小二乘法的原理，还要考虑约束条件的限制。
为了更好地理解等式约束条件下的迭代最小二乘方法，我们以一个简单的例子来说明。
假设我们有一批数据点，我们的目标是找到一条直线来拟合这些数据。
然而，我们同时知道这条直线必须经过某个特定的点。
我们可以使用最小二乘法来拟合这些数据点，得到一条直线的初始估计。
然后，我们引入约束条件，即这条直线必须经过特定的点。
我们可以将这个约束条件表示为一个等式。
接下来，我们使用迭代的方法来调整直线的参数，使其既满足最小二乘法的原理，又满足约束条件。
具体地说，我们可以使用拉格朗日乘子法来处理这个问题。
通过引入拉格朗日乘子，我们可以将等式约束条件融入到最小二乘问题中，从而得到一个新的目标函数。
在每一次迭代中，我们可以通过求解这个新的目标函数来更新直线的参数。
同时，我们还需要通过求解拉格朗日乘子来更新约束条件。
通过不断迭代，直到满足收敛条件，我们最终可以得到满足等式约束条件的最优解。
通过以上的简单例子，我们可以看到，在等式约束条件下的迭代最小二乘方法中，我们需要考虑两个方面：最小二乘法的原理和约束条件的限制。
只有同时满足这两个方面，我们才能得到一个既符合数据拟合又符合约束条件的最优解。
需要强调的是，在实际问题中，等式约束条件下的迭代最小二乘方法可能会遇到一些挑战。
例如，约束条件的复杂性、初始估计的选择、迭代过程中的收敛性等等。
因此，对于复杂的问题，我们需要仔细分析和设计算法，以确保得到有效的结果。
等式约束条件下的迭代最小二乘方法是一种常用的数据拟合方法。
通过结合最小二乘法和约束条件，我们可以得到既符合数据拟合又满足约束条件的最优解。
最小二乘问题的解法
Hx
x
u
w
proof
(1)显然成立， ( 2)和(3)可直接得出， 事实上 H T H H 2 ( I 2 ww T )( I 2 ww T ) I 4 ww T 4 ww T ww T I
2
w
令w ( x y ) / x y 2 , 构 造Householde r变 换 2 H I 2 ww T I ( x y )( x y ) T 2 x y 2 注意到 x T x y T y (已 知),于 是 2 x y 2 ( x y ) T ( x y ) 2( x T x y T x ) 2 ( x y ) T x 从而 2 Hx x ( x y )( x y ) T x x ( x y ) y 2 x y 2 proof
i 1 T n
这 里A a i ,, a n .
于 是, 令x ( x1 , , x n ) ,即 有Ax b. 定理得证 Th3.1.2 方程 组 Ax b的解 存在 , 并且 假定 x是其 任一 给 定的 解 , 则方 程组 的全 部解 的集 合是 x N ( A) proof : 如 果y满 足 方 程 组 , 则A( y x ) 0,即( y x ) N ( A), 于是有 y x ( y x ) x N ( A).反 之, 如 果y x N ( A),则 存 在z N ( A),使y x z, 从 而 有 Ay Ax Az Ax b. 证 毕.
最小二乘法
求解最小二乘的几种方法in Parameter Estimation2 Comments on May 12, 2015Contents [hide]∙ 1 问题描述∙ 2 线性最小二乘o 2.1 Cholesky分解法o 2.2 QR分解法o 2.3 SVD分解法o 2.4 方法比较∙ 3 非线性最小二乘o 3.1 梯度下降法o 3.2 高斯牛顿法o 3.3 Levenberg–Marquardt算法∙ 4 加权最小二乘计算机视觉中的好多问题都涉及到参数估计，即给定一些噪声数据，从中估算出模型参数。
比如VO（Visual Odometry）1中给定前后帧的匹配点对，估计相机的的运动信息，就是可以构造成一个非线性最小二乘的求解问题。
再比如机器学习中给定一些标记好的训练样本集，估计分类器的权重向量参数，也是可以通过一个线性最小二乘问题求解2。
这些例子本质上都是最小二乘在数据拟合中的应用，即通过最小化残差的平方和的方法给这些观测数据拟合出一个最优的模型来。
问题描述最小二乘是求解超定系统的标准方法，通俗的讲，就是方程组的个数大于未知数的个数。
“最小二乘”的意思就是最小化残差（residual）的平方和。
给定m个数据(x1,y1),(x2,y2),...,(x m,y m)(x1,y1),(x2,y2),...,(xm,ym) 和一个模型函数y=f(x,β)y=f(x,β) .其中β={β1,β2,...,βn}β={β1,β2,...,βn}就是要估计的参数。
该参数的估计是通过最小化如下残差的平方和求得的，S=∑i=1m r2i(1)(1)S=∑i=1mri2其中残差为r i=y i−f(x i,β),i=1,2,...,m ri=yi−f(xi,β),i=1,2,...,m。
根据残差函数关于未知参数是否线性，可以把最小二乘分为线性最小二乘和非线性最小二乘。
线性最小二乘线性最小二乘是解决线性回归问题的常用方法，它有一个闭式解。
非线性最小二乘问题的求解方法
⾮线性最⼩⼆乘问题的求解⽅法⽬录希望朋友们阅读后能够留下⼀些提⾼的建议呀，哈哈哈！1. ⾮线性最⼩⼆乘问题的定义对于形如（1）的函数，希望寻找⼀个局部最优的x ∗，使得F (x )达到局部极⼩值F (x ∗) 。
F (x )=12m ∑i =1f i (x )2其中，f i :R n ↦R ,i =1,…,m ，即 x ∈R n ,f i (x )∈R 。
局部极⼩值：存在δ>0，对任意满⾜‖x −x ∗‖<δ 的x ，都有F x ∗≤F (x )。
这⾥举三个简单的例⼦：1. x ∈R ,m =1,f 1(x )=x +1，则F (x )=12（x +1）2，局部极⼩值在x ∗=−1处取得。
2. x ∈R ,m =2,f 1(x )=x +1,f 2(x )=exp (3x 2+2x +1)，则F (x )=12（x +1）2+exp (3x 2+2x +1)，此时就不容易计算出局部最优x ∗的位置了。
3. x ∈R 3,m =1,f 1(x )=x T x ，则F (x )=12(x T x )2事实上，f i 也可以将x 映射到R m 空间中，因为f i (x )2=f i (x )T f i (x )∈R ，最终计算出来的值总是⼀个实数。
对于简单的最⼩⼆乘问题，如1，可以⽤求导取极值的⽅法得到局部极⼩值的位置，然⽽复杂的、⾼维的，如2和3，就只能采取⼀些迭代的策略来求解局部极⼩值了。
注意，是局部极⼩值⽽⾮全局最⼩值！对于凸函数⽽⾔是可以得到全局最⼩值的。
2. 最速下降法假设函数（1）是可导并且光滑的，则可以对函数（1）在x 处进⾏⼆阶泰勒展开为（2）式F (x +Δx )=F (x )+Δx T J +12Δx ⊤H Δx +O ‖Δx ‖3其中 J =∂J (x )∂x 1⋮∂J (x )∂x n ，H =∂2H (x )∂x 1∂x 1⋯∂2H (x )∂x 1∂x n ⋮⋱⋮∂2H (x )∂x n ∂x 1⋯∂2H (x )∂x n ∂x n ，J 和H 分别F 对变量x 的⼀阶导和⼆阶导。
最小二乘问题的求解
1 rank A = n < m 2 rank A = k < n < m
LS问题的种类
最小二乘问题的求解 邓建松
最小二乘问题 初等正交变换
Householder变换 Givens变换
正交变换法
1 m = n:
1 rank A = m = n 2 rank A = k < m = n
最小二乘问题的求解 邓建松
最小二乘问题 初等正交变换
Householder变换 Givens变换
正交变换法
给定矩阵A ∈ Rm×n及向量b ∈ Rm, 确 定x ∈ Rn, 使得
b − Ax 2 = r (x) 2 = min r (y ) 2
y ∈Rn
= min Ay − b 2
y ∈Rn
这就是最小二乘问题，简记 为LS(Least-Squares)问题，其中r (x)称 为残向量
2 m > n:
1 rank A = n < m 2 rank A = k < n < m
3 m < n:
1 rank A = m < n
LS问题的种类
最小二乘问题的求解 邓建松
最小二乘问题 初等正交变换
Householder变换 Givens变换
正交变换法
1 m = n:
1 rank A = m = n 2 rank A = k < m = n
正交变换法
最小二乘问题的解x 又称作线性方程组
Ax = b, A ∈ Rm×n
的最小二乘解 当m > n时，方程组称为超定方程 组或矛盾方程组
最小二乘解
最小二乘问题的求解 邓建松
最小二乘问题
最小二乘问题第22章最小二乘问题22.1 算法最小二乘问题可用下式表达：.)(21)(21)(min 222∑==∈ii R x x F x F x f n 此类问题在实际应用中很常见，特别是进行数据拟合、非线性参数估计时。
最小二乘问题的常见解法有Gauss-Newton 法和Levenberg-Marquardt 法。
1． Gauss-Newton 法该法通过在每一次迭代中求解下列线性最小二乘问题来获得搜索方向k d 。
22)()(min k k k R x x F d x J n -∈ 搜索方向k d 可以用于一维搜索，以保证每一次迭代都使函数f(x)减小。
图22-1演示了采用Gauss-Newton 法求解Rosenbrock 函数最小化问题的路径。
该法只用了48次迭代即完成计算。
Gauss-Newton 法有时会出现矩阵求逆的困难或出现假收敛的情况。
用Levenberg-Marquart 法可以解决此问题。
图22-1 Guass-Newton 法的搜索路径2． Levenberg-Marquart 法（又称阻尼最小二乘法）该法用下式求搜索方向：（)()())()(k k k k T k x F x J d I x J x J -=+λ式中k λ为阻尼因子，它可以控制k d 的大小和方向。
当k λ=0时，即为Gauss-Newton 法。
当∞→k λ时，趋于零向量，即为最速下降法。
因此，只要给一个足够大的)()(,k k k k x F d x F <+λ就始终为真。
因此，即使是遇到影响Gauss-Newton 法有效性的病态二次项，也可以通过阻尼因子k λ来进行控制。
因此，Levenberg-Marquart 法给出的是介于Gauss-Newton 法和最速下降法之间的搜索方向。
图22-2是该法的演示，它用了90次迭代运算，介于Gauss-Newton 法的48次和最速下降法的1000次之间。
第五章--最小二乘问题的解法
第五章 最小二乘问题的解法1.最小二乘问题 1)回归方程问题[]Ti i l i y t t)()()(1,,...,,m i ,...,2,1=是m 个实验点。
现要根据这些点确定y 与l 个物理量l t t t ,...,,21之间的关系式。
设这种关系式为),...,,,...,(11n l x x t t F y =，其中n x x ,...,1是方程中需要待定的n 个参数(系数)。
因此问题是如何通过)(n m m >个实验点，确定方程中的系数。
由于实验点的个数大于待定系数的个数，因此方程中系数的确定是一个超静定问题，无法按一般的方法进行求解。
此时将实验点到曲面距离最短的那个曲面作为所求曲面，从而求取该曲面方程。
即求解[]∑=-mi i i y x t F 12)()(),(min ，这就是最小二乘问题。
2)非线性方程组问题求解非线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),...,(............................0),...,(0),...,(11211n n nn x x f x x f x x f 可转化为求解如下形式的最小二乘问题。
∑=mi n i x x f 112),...,(min显而易见，最小二乘法的一般形式可写为)()(min x f x f T最小二乘法问题实际上是具有n 个变量的无约束极小化问题，前面解无约束优化问题的方法均可应用。
但是最小二乘问题具有一定的特殊性，即目标函数的表达式是由多个表达式的平方和组成，理应有更、更有效的方法。
这正是最小二乘解法要解决的问题。
2.线性最小二乘问题的解法最小二乘法的一般形式可写为)()(min x f x f T特别地，当b Ax x f -=)(，即)(x f 为线性函数时，则最小二乘问题可表示为：2min b Ax -1) 线性最小二乘问题解的条件定理1:*x 是线性最小二乘问题极小点的充要条件是*x 满足b A Ax A T T =。
解等式约束非线性最小二乘问题的混合gn—bfgs方法
解等式约束非线性最小二乘问题的混合gn—bfgs方法着数字控制的迅猛发展，许多机械控制系统由简单的传统控制方法转变为复杂的计算机模型。
最小二乘优化是一个极其重要的优化算法，用于求解具有非线性约束的最小值问题。
基于最小二乘优化的非线性最小二乘问题(NLS)是近年来机器学习领域最受关注的研究问题之一，其主要用于建立复杂非线性模型。
近年来，有关NLS问题的研究也取得了巨大的进展，提出了很多新的算法。
本文旨在探讨解决带有等式约束的非线性最小二乘问题的混合GN-BFGS算法。
首先，通过简要介绍该问题的背景和当前研究，详细说明最小二乘优化算法、GN-BFGS算法和混合算法之间的关系，并定义所涉及的概念。
然后，介绍本文的主要思想，对GN-BFGS算法和混合算法进行详细分析，并重点阐述算法在实际应用中应用的局限性。
最后，以本文提出的混合GN-BFGS算法在实际应用中为例，具体分析算法的优势及其在解决带有等式约束的非线性最小二乘问题时的可靠性，最后提出对未来研究的建议。
在对NLS问题的理论研究进行深入探索之前，需要首先简要介绍一下最小二乘优化算法，GN-BFGS算法和混合算法之间的关系。
最小二乘优化是一种最广泛应用的最优化算法，广泛应用于控制建模等机器学习领域。
该算法通过最小化残差函数计算参数估计值，从而解决复杂非线性问题。
有等式约束的约束最小二乘优化算法(CLSP)是在最优化算法中提出的，用于优化带有等式约束条件的最小二乘优化问题。
GN-BFGS算法是求解有等式约束条件的NLS问题的一种有效方法，它建立在梯度信息和BFGS变换的基础上，通过梯度降低计算出一系列非线性方程的最优解，从而达到优化的目的。
最后，为了提高求解精度和加快计算速度，还提出了混合GN-BFGS算法，该算法结合了两种算法的优势，可以有效地加快收敛速度，提高求解精度。
接下来，介绍本文的主要思想，具体分析混合GN-BFGS算法，分析其在计算带有等式约束的NLS问题时的可靠性及其优势所在。
解等式约束非线性最小二乘问题的混合GN—BFGS方法
解等式约束非线性最小二乘问题的混合GN—BFGS方法
徐成贤
【期刊名称】《西安交通大学学报》
【年(卷),期】1989(023)002
【总页数】8页(P41-48)
【作者】徐成贤
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O241.2
【相关文献】
1.解非线性最小二乘问题的混合算法 [J], 马晓芳;徐成贤
2.解非线性最小二乘问题的GN—分裂拟牛顿混合算法 [J], 马晓芳;刘刚
3.解非线性对称方程组问题的具有下降方向的近似高斯-牛顿基础的BFGS方法 [J], 袁功林;李向荣
4.解非线性最小二乘问题的ABS方法 [J], 黄志坚
5.解等式约束加权线性最小二乘问题的矩阵校正方法 [J], 赵金熙
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２１ ０ ０数学分类号
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２１ ０ １年 ６月
Ｊ ｎ， ０ １ ｕ ．２ １
பைடு நூலகம்
应用数学 与计算数学学 报
ＣＯ Ｍ Ｍ ＵＮ ．ＡＰＰＬ．Ｍ ＡＴ Ｈ．Ｃ０ Ｍ ＰＵ Ｔ
第２ ５卷 第 １期
Ｖｌ ． ５ ０ ２ ＮＯ １ １ ．
文章编号： １０—３０２ １）１ ０ ５ ９ ０６ ３ （ １ — ６— ６ ０ ００ ０
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２ １ ａ ｈ ｍ ａ ｉｓＳａ ｃ ａ ｓｆｃ ｔｏ ６ Ｆ ５ ６ Ｆ ０ ０ ０Ｍ ｔ ｅ ｔｃ ｂｉ ｔ Ｃｌｓ ｉ ａ ｉ ｎ ５ ０ ； ５ ２ ｅ ｉ
双 曲 ＭＧＳ算法解对 应加权 问题 的本质，得到 一类 消去算法．实验表 明，该算法 以和文献 中 现有的 ＧＨＱＲ算法达到一样的精度 ，但实际计算量只需要 ＧＨＱＲ 算法的一半．
关键词
法
等式约束不定最 小二乘 问题 ；双 曲 Ｑ Ｒ分解 ；双曲 ＭＧＳ算法 ；双 曲 ＭＧ Ｓ消去算
６ Ｆ ５ ６ Ｆ２ ５０；５ ０ 文献标志码 Ａ
ａｃ ｒｔ ｓｔ ｅＧＨＱＲ ｍｅｈ ｄ ｏ ｏａ ｃｙ ， ｔａ．ｂ ｔｒｑ ｉ ｓ ａｆ ｐ ｒｔ ｎ ｃｕａｅａ ｈ ｔｏ ｆ ｊｎ ｚ ｋ ｅ １ ｕ ｅ ｕｒ ｌｏ ｅａｉ ｓ Ｂ ， ｅｈ ｏ
ｏ ｈ ｆ ｅＧＨＱＲ ｔ ｏ ． ｔ ｍｅｈ ｄ
Ｋｅ ｒ ｓ ｑ ａｉ ｏ ｓｒｉｅ ｄ ｆ ｉ ａｔ ｑ ａｅ ｒ ｂｅ ｈ ｐ ｒ ｏｉ ＱＲ ｙｗｏ ｄ ｅ ｕ ｌｙｃ ｎｔａｎ ｄｉ ｅ ｎｔ ｌ ｓ ｕ ｒｓ ｏ ｌ ｔ ｎ ｉ ｅｅ ｓ ｐ ｍ； ｙ ｅｂ ｌ ｃ
Ａ ｐｅ ｂｏ ｉ Ｇ Ｓ ｅ ｉ ｉ ｔ ｏｎ ｍ ｅ ｈ ｈｙ ｒ ｌｃ Ｍ ｌｍ ｎａ ｉ ｔ ｏｄ ｏ ｏ ｖｉ ｈｅ ｆ ｒ ｓ ｌ ｎｇ ｔ
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Ｃｈｉ ｎｅｓ ｂｒ ｒ Ｃ ｌ ｓ ｉ ｃ ｉ ｅ Ｌｉ ａ ｙ ａ ｓ ｆ ａｔ ｏｎ ０ ４ ． ｉ ２ １２
等式 约束不定最小二乘问题的双 曲 ＭＧＳ 消去算法
石 崇， 刘巧华
（ 上海大学理学院，上海 ２０４） ０４ ４
摘要 众所周知 ， 加权法 是解等式约束不定最小二乘 问题的方法之一． 通过探讨极限意 义下，
Ｅ－ ａｉ：ｑ ｉ ｓ ａｆｓ ｕ．ｄｕ．ｎ ｍ ｌ ｈｌ ｕ＠ ｔ ２．ｈ ｅ ｃ
６ ６
应用数学与计算数学学报
第 ２ ５卷
１ Ｉ ｒ ｄｕｃ ｉ ｎ ｎｔ ｏ ｔｏ
Ｃｏ ｓｄｅ ｈｅ ｅ ｕａ ｉｙ ｃ ｎｓｒ ｉ ｄ ｉ ｄｅ ｎ ｔ ｅ ｓ ｑ ｒ ｓ ｐ ｏ ｅ ［ ｎ ｉ ｒｔ ｑ ｌ ｏ ｔ ａ ｎｅ ｎ ｆ ｉｅ ｌａ ｔｓ ｕａ ｅ ｒ ｂｌｍ ｔ ｉ