对数的大小比较讲议

对数的大小比较分类讲议
（关沮中学 陆家顺）
1、底数相同，真数不同的对数大小比较。

例1、比较2log 3.4，2log 8.5的大小；
解（单调性法）：
5
.8log 4.3log 0,12log 222<∞+>=所以）是增函数
，所以它在（的底数对数函数x y 例2、22ln =a 若，33ln =b ，5
5ln =c ，试比较c b a ,,的大小关系。

解法一、底数相同（以10为底），真数化同次根式，比较真数大小（单调性法）
98< ，∴b a <.3225< ,∴a c <. ∴b a c <<
解法二、作差法。

∴a c <
∴ b a <.
∴b a c <<
2、底数不同，真数相同的对数大小比较
例1：比较5log 3，6log 3，7log 3的大小
解法一（换底法）利用倒数关系化为同底比较。

∵3330log 5log 6log 7<<<，
∴5log 3>6log 3>7log 3
解法二（图像法）
其图像如图所示，
由图可知5log 3>6log 3>7log 3
例2：比较1log 1log 3
13与的大小
解：由对数的性质：1的对数是0可知 1log log 3
13=
3、底数与真数都不相同的对数大小比较
例1：比较6log 7log 76与的大小
解法一（中间值法）
17log 6log ,16log 7log 7766=<=>而
∴6log 7log 76>
解法二（图像法）
其图像如图所示，
由图可知6log 7log 76>
例2：比较0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8的大小；
解法一（中间值法）
∵0.901.1 1.11>=， 1.1 1.1log 0.9log 10<=，
0.70.70.70log 1log 0.8log 0.71=<<=，
∴0.91.1>0.7log 0.8> 1.1log 0.9
解法二（图像法）
其图像如图所示，
由图可知 0.91.1>0.7log 0.8> 1.1log 0.9
例3：比较4log 3log 32与的大小.
解（放缩法） (利用当ab b a b a 222>+≠时，进行放缩) 先作差商再放缩。

. ∴ 4log 3log 32>
另解：（放缩法）先作商再放缩
1
3
lg 3lg )
29lg (3
lg )28lg (3lg )24
lg 2lg (3
lg 4lg 2lg 3lg 3lg 4lg 2lg 3
lg 4log 3
log 2222
222
2
232==>=
+>==
∴ 4log 3log 32>
例4：比较5log 3log 116与的大小
解（指对数互化法）设y x ==5log ,3log 116
2323115,63<< ∴32
32115,63<<
∴32
321111,66><y x ∴32
,32
><y x
∴5log 3log ,116<<即y x
4、含参对数大小的比较
例1：比较21
log 2 )1(log 2
2++a a 的大小。

解（单调性法）
21
43)21(122>++=++a a a ∴21
log 2 < )1(log 22++a a
例2：比较πa log ， )0,0(log ≠>a a e a 的大小
解（分类思考法）当1>a 时，e a a log log >π
当10<<a 时，e a a log log <π 例3：已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小。

解法一（分类思考法）：∵log 4log 4m n <， ∴4411log log m n <， ①当1m >，1n >时，得44110log log m n <<， ∴44log log n m <， ∴1m n >>．
②当01m <<，01n <<时，得44110log log m n
<<， ∴44log log n m <， ∴01n m <<<．
③当01m <<，1n >时，得4log 0m <，0log 4>n ， ∴01m <<，1n >， ∴01m n <<<． ④当10<<n ，1>m 时，不存在在。

综上所述，m ，n 的大小关系为1m n >>或01n m <<<或01m n <<<． 解法二（图像法）分类作图如下，由图可知m ，n 的大小关系为1m n >>或01n m <<<或01m n <<<
例4、比较已知函数)2(log )(2+=x x f ， 若0<c<b<a ，试比较c c f b b f a a f )(,)(,)(的大小。

解（特殊值法）a b c <<<0 可设2,6,14===c b a
所以124log )(,2168log )(,721416log )(222======c c f b b f a a f 12172<< ， ∴c c f b b f a a f )()()(<<。