关于Gronwall不等式的一个注记

￣ｐ：） ， ［］ ｅ（ （ｓ ∈口 ． ｘｆ １ ， ｇ ｄｔ ６
那么 ， 根据 不 等式 （ ） 有 １，
见 文献 Ｅ －和 １ ］ 其 中文献 ［ ３修 正 了之 前 一 些教 ＩＩ － ， ２ ２
材 和文 献 中关 于 Ｇｒ ｎ ｌ不 等 式 证 明 的一 些 疏误 ｏ ｗａｌ 之 处． 文将 给 出一 个 新 的证 明 并 得 到 一 个更 为有 本 趣 的结果 ． 命 题 １ Ｇｒｎ ｌ不等 式 ） 设 Ｋ 为 非负 常数 ， （ ｏ ｗａｌ 厂 （）和 ｇ 都 是 区间 ［ ，］上 的连 续非 负 函数 ， （） 口６ 且
［］赵玉 萍．Ｇ ｏ ｗ ｌ不 等 式 的 应 用 及 微 分 方 程 的奇 解 ［］ １ ｒｎ ａｌ Ｊ．
青海 师专 学 报 ： 自然 科 学 版 。２ ０ ， ２ ５ ：０ ２ ． ０ ２ ２ （） ２—１ ．
中的唯一性给出一薪证明． 我们把他写成一个推
论 的形式 ．
［３孙 莉 ． 于 Ｇ ｏ ｗａ 不 等 式 证 明 的 注记 ［］ ２ 关 ｒｎ ｌ ｌ Ｊ ．高 等数 学 研
因此由函数Ｇ 的定义可知 （ ）
Ｆ（） ０ ∈ ［ ，］ ￡ ≤ ，Ｖｔ 口 ６ ，
从 而命 题结 论得 证 ．
证 明 ２ 不 妨 令
证 明 １ 命 题 的后 一 结 论 暗 含 着 前 一 结 论 ，
而 前 一 结 论 正 是 经 典 的 Ｇｒ ｎ ｌ不 等 式 所 包 含 ｏ ｗａｌ 的 内容 ． 在 利 用 数 学 分 析 中证 明不 等 式 的 常用 现 方法 ， 即构 造 辅 助 函数 法 ， 证 明 后 一 不 等式 ． 来
Ｊ
ＩＬＩ （ 一 （ ￡ ｄ ） ）Ｉ
分别把 Ｉ （ ） ｚ 一 （ ）ｌＬ和常 数 Ｏ ， 当作命 题 中的 函 数 ， ｚ ， （ ） 常数 Ｋ， 由命 题我们 可得 （）ｇｚ 和 则
了讨 论常数 Ｋ， 函数 厂 ￡ ， （）为零 时 的特殊 情形 ， （） ｇ ｔ
第１ ４卷 第 ４期
２１ ０ １年 ７ 月
高 等 数 学 研 究
Ｓ ＴＵＤＩ Ｓ Ｉ Ｃ０ＬＬＥ Ｅ Ｎ ＧＥ Ｍ ＡＴＨ ＥＭ ＡＴＩ ＣＳ
Ｖ ｏ ４． Ｏ． Ｌ１ Ｎ ４ Ｊ１ ｕ ．，２ １ ０ １
关 于 Ｇｒ ｎ ｌ不 等 式 的 一个 注 记 ｏ ｗａｌ
赵 云
在ｚ 。≤ ｚ≤ ｚ ＋ ｈ上 存 在唯一 的解 ， 中 。 其
ｈ— ｍｉ ｎ，ｂ） ｎ（
，
（） ２
Ｋ∽ｅ（ （ ） ｇ ｘ一 ｇ ． ｐ ｓ
在 上述 不等式 两边从 ｎ到 ｔ 分 ， 得 积 可
Ｒ ｘ一 ㈦ｄ ≤ ∽ｅ （ ｐ ｓ ）
一
Ｍ — ｍａ ｛ ｆ ｘ， ｘ Ｉ （ ）１ （ Ｙ ：ｚ， ）∈ Ｒ） ． 证明 方程 （ ） 的存 在性 可参 见文 ［ ］ 以 ２解 ３ ．
作 者 简 介 ｔ 云 （ ９９－） 男 ， 苏溧 阳 人 ， 士 ， 教 授 ， 要 从 事 动 赵 １７ － ， 江 博 副 主 力 系统 研究 ． Ｅｍａｌ ｚ ａ ｙ ｎ ｓ ｄ． ｄ ． ｎ ｉ ｈ ｏ ｕ ＠ ｕ ａ ｅｕ ｃ ． ：
在 述 等 两 同 以 ｘ 一 ｇ）） 得 上 不 式 边 乘 ｅ （ （ｄ ， ｐ ｓｓ可
究 ．２ ０ １ １ ０ ７．０（ ）：６ —０ ９７ ．
推论 Ｉ 设 ， ， ）在矩 形域
Ｒ：Ｉ ｚ— Ｘ ≤ ａ ｏｌ ，ｆ Ｙ一 ｌ ｂ ≤
［］王 高雄 ， 之 铭 ， 恩铭 ， ．常 微 分 方 程 ［ ．北 京 ： ３ 周 朱 等 Ｍ］ 高 等 教 育 出版 社 ，０ ６８ —４ ２ ０ ：２８ ．
区 间Ｉ 。 。 ｉ上 的两 个解 ， ｘ ， ＋ｈ 则
１ （） ｚ 一 （ ）ｌ ｚ ≤ 厂 （） — 厂（ ， ）Ｉ （ ， ） — （） ≤ ｄ
ｒ
Ｋｐ ｓ）Ｖ∈ｎ ． ｅ（ （ｓ ［］ ｘＪ ） ， ．ｄ ｇ ， ６
命 题获证 ． 注 １ 值 得 注意 的 是 ： 述 两 种证 明方 法 避免 上
而 关于这 种特殊 情形 的证 明正是 文 献 ［ ］的主 要 内 ２
容． 此外 ， 还有一 个有 趣 的结论 ， 即在命 题 的条件 下 ， 我 们事实 上证 明 了一 个新 的不 等式
ｒ ￡
。 ） ） 。ｅ（ ） 。 ≤ 一 Ｉ ・ 一 ≤ 冲
（ ｏ≤ Ｘ≤ Ｘ ｏ＋ ） ． 因 此 （ ｚ）＝ （ （ ＝ ｚ） ｚ０≤ Ｘ≤ Ｘ ＋ ＾ ． ： ０ ）
满 足不 等式
（： （ （一 ｅ（ ｓ）￡ 厂）￡ Ｋ （ ｇ） ） ） 冲 ） （一 ｇ
［ Ｋｐ ｓ）（≤ 厂 一ｅ（ （ｓ （ ｘＪ ） ］ ） ） ＿ ｄｇ ｇ
『 ＋ （ｄ ． ｆ（ｇ）一 Ｋ 厂 ）
Ｋ ｐ＇ ）∽一 ∽ ． ｅ（ （ ］ Ｆ ） ｘｆ ｓ ． ｇ ｇ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｉ ｈｉ ｎ ｅ， ａ ｅ ｓｒ ｃ ： ｎ ｔ ｓ ｏｔ ｎ ｗ ｐ ｏ ｆ ｆ ｒ ｏ ｏ Ｇｒ ｗａ ｌ ｎｅ ａ ｉｙ ｓ ｉ ｎ ｏｎ ｌ ｉ ｑｕ ｌｔ ｉ ｇ ｖｅ ｂｙ ｏ ｔ ｕｃ ｉ ｇ ｎ ｃ ｎｓ ｒ ｔｎ ａ
ａ ｘ ｌ ｒ ｕ ｃｉｎ，ａ ｄ ａ ｎ ｗ ｎ ｑ ａｉ ｓｏ ｔ ｉｅ ．Ｕｓｎ ｏ ｗａｌｉ ｅ ｕ ｌ ｙ ｒ ｏ ｆｔ ｅ ｕ ｉａ ｙ ｆ ｎ ｔ ｉ ｏ ｎ ｅ ｉ ｅ ｕ ｌ ｙ ｉ ｂ ａｎ ｄ ｔ ｉ ｇ Ｇｒ ｎ ｌ ｎ ｑ ａｉ ．ａ ｐ ｏ ｆｏ ｈ ｔ
在 述 等 两 同 以 ｘ 一 ｇｓｓ并 上 不 式 边 乘 ｅ （ （ｄ，令 ｐ ）） Ｇ Ｆ ｘ一 （ ） ∽一 ∽ｅ （ ｓ ｐ ，
则 可 得
．
， ≤ Ｋ＋ｌ （） （）ｓ ∈［ ，］ １ （ ） ｓｇ ｓｄ，Ｖ ｆ 口６，（）
则 有
厂 ｅ（ （ｓ Ｖ∈ｎ］ （ ｘ－ ｓ） ［６ ￡ ｐ ） ， ）Ｋ ｆ ｄ ｇ ， ．
Ｋ＋Ｉ （ ｇ ｓ ｓ ｓ （ ｄ≤ ｆ ） ）
Ｊ 口
唯一性 得证 ．
参 考 文 献
￣ｐ：ｓ１Ｖ ［］ ｅ（ （ｓ 口 ． ｘｆ ） ，ｔ ， ｇｄ ∈ ６
文 ［］。给 出了一 定 条 件 下 方 程 解 的存 在 唯一 ３。 性定 理． 在 ， 现 我们 利 用上述 Ｇｒｎ ｌ不 等式 ， ｏ ｗａｌ 就其
１ ８
高 等 数 学 研 究
２ １ 年 ７月 ０１
∽ｅ （ （ ） ｘ 一 ｓ ｐ 一
上 连续且 关于 ｙ 足 Ｌｐ ｈｔ 条件 （ 满 ｉｓ ｉ ｚ Ｌ为 Ｌｐ ｃｉ 常 ｉｓｈｔ ｚ 数） 则 下述 积分 方程 ，
ｒ
Ｒ ）ｐ ㈤ ｅ（ ｘ一
ｄ≤ ｓ ）
Ｙ— Ｙ ＋ Ｊ ０ 厂 ） ｏ Ｉ （ ， ｄ
进 一步 ， 我们 有
Ｇ （ ）≤ ｏ ．
由此 可见 函数 Ｇ（） 区间 ａ ６ 在 ，］上是 单 调递 减 的 ，
从 而
Ｋ ＋ Ｉ ｇ ｓｄ ，（） （）ｘ≤
Ｇ（）≤ Ｇ（ ）一 ０ ￡ ｎ ，Ｖ￡∈ ［ ，］ 口６ ．
Ｋｘ ｅ（ ｐ
ｄ ， ∈［ ． ｓ Ｖ ］ ）
从 而根 据 条件不 等 式 （ ）可得 １
Ｒ （ ）一 Ｒ（） ￡ｇ（ ）一
基金项 目； 国家 自然 科 学 基 金 （ １ ０ １ １ ，江 苏 省 高 校 自 然 科 学 基 １０１９）
金 （９ Ｂ １０ ７． ０ ＫＪ １ ０ ０ ）
Ｆ （） 尺（） ｇ ￡ ｆｔ一 ￡］ （）≤ Ｋｇ（） ．
Ａ ｔ ｎ Ｇｒ ｎｗａ ｌＩ ｑｕ ｌｔ Ｎｏ ｅ ｏ ｏ ｌ ｎｅ ａ ｉｙ
ＺＨ ＡＯ ｎ Ｙｕ
（ ｐ ｒ ｍｅ ｔｏ ａ ｈ ｍａ ｉｓ ｏ ｃ ｏ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙ ｕ ｈ ｕ ２ ５ ０ ，Ｐ Ｄｅ ａ ｔ ｎ ｆＭ ｔ ｅ ｔ ，Ｓ ｏ ｈ ｗ ｉ ｅ ｓｔ ，Ｓ ｚ ｏ １ ０ ６ ｃ ＲＣ）
．
（ 州大学 数学科学学院 ． 苏 苏州 ２５０） 苏 江 １０ ６
摘
要 通 过 构 造 辅 助 函 数 的 方 法 ， 出 Ｇ ｏ ｗ ｌ不 等 式 的一 个 新 证 明 ， 由此 得 到 一 个 新 不 等 式 ， 后 利 给 ｒｎ ａｌ 并 最
用 Ｇｒｎ ｌ不 等 式 证 明 一 阶 微 分 方 程 解 的 唯一 性 ． ｏ ｗａ ｌ 关 键 词 Ｇｒｎ ａｌ 等 式 ； 一 性 ； 分 ｏ ｗ ｌ不 唯 微
中 圈分 类 号 ０１５ ＩＯ１ ８ ７． ｌ ７ ， 文 献 标 识 码 Ａ 文 章 编 号 １ ０ —３ ９ ２ １ ）４０ １－２ ０ ８１ ９ （０ １０ 。０ ７０
在 常微 分方程 的教 学 中 ， ｏ ｗａｌ 等式 是非 Ｇｒｎ ｌ不 常重要 的一个 不 等式 ， 相 关 的 推 广 形 式 也得 到众 其 多的研究 ． 于 Ｇ ｏ ｗａｌ 等 式 的证 明有 好 几 种 ， 关 ｒｎ ｌ不
下给 出唯一 性 的另一 种证 明 ．
￣ｘ 一 ｇ ）） Ｋ ｏ（ （ ＋ ， ｐ
所以
假 设 函数 （ ） ｚ 和 （ ） ｚ 分别 是积 分方程 （ ）在 ２
Ｒ） Ｋｐｔ） Ｋ （≤ ｅ（ （ ） ． ｘｆ ｇ
结 合条件 不等式 （ ） 可 得 １，
－（）≤ Ｒ（）＋ Ｋ ≤ 厂￡ ￡
不妨 令
Ｒ 一Ｉ （ ｇｓ （ ） ‘ ５ （ ， 厂） ）
那 么有
Ｒ （）一 厂 ｇ ￡ ， ￡ （） （）
Ｆ ｔ 一 Ｋ＋ ｌ （） （）ｓ （） 厂 ｓｇ ｓｄ 一
收 稿 日期 ； ０ ９— １ ２０ ０— ２ ； 改 日期 ： ０ １— ０ ３修 ２１ ５— １ ． Ｚ
ｕ ｉ ｕ ｎ ｓ ｆｓ ｌ ｔ ｎ ｏ ｉｓ ｒ ｅ ｉ ｅ ｅ ｔ ｌ ｑ ａ ｉ ｎ ｓ ｐ ｏ ｉ ｅ ｎ ｑ ｅ ｅ ｓ ｏ ｏ ｕ ｉ ｓ ｆ ｒ ｆ ｔｏ ｄ ｒｄ ｆ ｒ ｎ ｉ ｕ ｔｏ ｓ ｉ ｒ ｖ ｄ ｄ ｏ ｒ ｆ ａ ｅ
Ｋｅ ｗｏ ｄ ｙ ｒ ｓ： Ｇｒ ｎｗａ ｌｉ ｅ ａ ｉｙ，ｕ ｑ ｅ ｓ ，ｄ ｆｅ ｅ ｅ ｏ ｌ ｎ ｑｕ ｌｔ ｎｉ ｕ ｎｅ ｓ ｉｆ ｒ ｎｃ