武汉大学2004-2010年数学分析考研试题及解答汇总
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武汉大学2004年攻读硕士学位研究生入学考试试题 科目名称：数学分析
科目代码：369
一、计算下列各题：
1．求2
12lim (
...),(1)n
n n a a
a
a
→∞
+
++
> ；
解 212lim (...)n n n a a a →∞+++211()
1l i m ()11(1)
1n
n n n a
a a a a a
→∞-=-=---
； 2
、求lim (sin
sin x →∞
； 解
l i m (1n )x →∞
lim 2cos 2
2
x →∞
=
lim 2sin
02
x →∞
==；
3、求2
3
sin()lim
x x t dt x
→⎰
；
解
2
3
s i n ()l i m
x x t d t x
→⎰
2
2
sin()lim
(')3x x L Hospital x
→=法则 13
=
；
4、 设2
1
1arctan
2n
n k S k
==
∑，求lim n n S →∞
.
解：利用公式arctan arctan arctan
1x y x y xy
--=+，
2
1
11a r c t a n
a r c t a n a r c t a n 22121
k
k k =
-
-+， 2
1
1
arctan 2n
n k S k
==
∑111arctan arctan 2121n
k k k =⎛
⎫=- ⎪-+⎝
⎭∑
1
a r c t a n 1
a r c t a n 21
n =-+，
lim 4
n n S π
→∞
=
，即2
1
1arctan
24
k k
π
∞
==
∑。
5. 求
4
8
12
4
8
12
1...
59!
13!
1...3!
11!15!
ππ
π
ππ
π
+
+
+
++
+++！
7！；
解 设
4
8
12
4
8
12
1...
()59!
13!
1()
...3!
11!15!
A B π
π
π
ππ
π
π
π+
+
+
+=
+
+++！
7！，
则有
33
()()sin ()()2
A B e e A B ππ
πππππππππ-⎧-=⎪
⎨-+=⎪⎩ 23
()4()
4e e
A e e
B π
π
ππ
πππππ
---⇒
=
=- 。 6. "
(,)()(),()(,)xy x xy y
F x y x yz f z dz f z F x y =
-⎰
设：其中为可微函数，求。
解 '2
(,)()()()()xy x y
y
F x y z f z dz x xy xf xy =
-+-⎰
，
"22
2
(,)(
)(23)()(1)()xy x x F x y f x y f xy xy y f xy y
y
'=
+-+-。
二、设113(1)0(1,2,3...)3n n n
x x x n x ++>=
=+，，，证明：lim n n x →∞
存在，并求出极限。
证明：2
13(1)333n n
n n n n
n
x x x x x x x ++--=
-=
++，
13n n
x x +-
=
+，
1(1)n n n x x x +>>>
当不难证明
1(2)n n n x x x +<
<<
当不难证明
得到单调有界数列，所以存在极限，不难知极限。
三、(),()[,](,)'()0f x g x a b a b g x ≠设在上连续，内可导，，
()()'()(,)()()
'()
f a f f a b
g g b g ξξξξξ-∃∈=
-证明：，使
证明：（另外，还可以用上下确界的方法做）
()()()()()()()()()()()
(,),
'()'()()()'()'()()()'()0()'()()'()'()()'()()'()(()())'()(()()H x f x g x f x g b f a g x H a f a g b H b R olle a b H f g f g f g b f a g f g f a g f g b f g g f f a f g b g ξξξξξξξξξξξξξξξξξξ=--=-=∈=+--=-=-⇒-=-构造辅助函数根据中值定理，存在整理：)'()0,()()()0g x g x g b g ξ≠-≠ 从而单调，从而原式成立
四、讨论(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)
x y f x y x y ≠==⎩在（0，0）点的连续性和可微性。
解：（1）连续性：
22
1
()||0|(,)|0x y xy f x y +≤=
≤=
→，(,)(0,0)x y →，
(,)(0,0)
lim (,)0(0,0)x y f x y f →==，
所以(,)f x y 在(0,0)点处连续;
（2）可微性
(,0)(0,0)
(0,0)lim
0x x f x f f x
→-==,
(0,)(0,0)
(0,0)lim
0y y f y f f y
→-==;
由于
当
0→时
,
(,)(0,0)(0,0)|
|f x y f x f y
--