数列概念和通项公式(公开课)教学文稿

注意：an 表示第 n 项，{ an}表示一个数列.
二、新课讲解
3.数列的分类 (1)按项数分： 项数有限的数列叫有穷数列
项数无限的数列叫无穷数列
(2)按项之间的大小关系： 递增数列， 递减数列， 常数列， 摆动数列。
练习: 判断下列数列是属于哪类数列.
(1) 全体自然数构成的数列:0，1，2，3，…
三、练习
1. 写出下列数列{an}的前5项 （1）a1=5，an=an-1+3 (n≥2)； （2）a1=2，an=2an-1 (n≥2)；
思考：你（能1）否5利，用8，上1面1，两1题4，的1条7 件求出数列{an}的 通（项2）公2式，？4，8，16，32
分析（1）后一项比前一项多3
（2）后一项是前一项的2倍
2.数列中的每一个数叫做这个数列的项。
各项依次叫做这个数列的首项，第2项，···， 第n项， ···
数列的一般形式可以写成：a1,a2,a3.......an
简记为{an} 2, 4, 6, 8, 10, ····, 20, ···
a1,a2,a3,a4,a5,... a 1 0 , . . .
问 ： an与 {an}一 样 吗 ？
图1
n
1
2
3
4
5…
2n
2 4 8 16 32 … 图2
a 1 2 a2 4 a3 8 a4 16 a5 32 …
如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个 公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
二、新课讲解
例1.根据下列数列的前几项的值, 写出数列的一个通项公式:
观察下面数列的各项之间有什么关系？
1，1，2，3，5，8，13，21，…
分析：这是意大利人斐波那契首先得出的数列称为斐波 那契数列。此数列从第三项起，每一项是它前面两项的和。
如果用 an 表示数列的第n项（n N *），则
且
a1
an2
1, a2
an1
1.
an
,
n
N
*
(2)
则公式(2)就称为数列的递归公式。
2.已知
an
9n(n1)(nN) 10n
,试问数列中有没有最大项
如果有,求出这个最大项,如果没有,说明理由。
1、 选择题
补充练习
( 1 )下面数列是有穷数列的 是 (
)
A.1,0,1,0, B.1, 1 , 1 , 1 ; 234
C.2,22,222 , D.0,0,0,0,
( 2 )以下四个数中 ， 是数列 { n( n 1 )}中的一项是 (
问：数列中的项an和序号n之间有何关系？
n1 a1221 n2 a2422 n3 a3623 n4 a4824 n5 a51025
nnan??? an 2n
如果数列{ a n }的第n项 a n 与序号n之间的关系
可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做 这个数列的通项公式。
不是每一个数列都能写出其通项公式 如:1.1, 1. 14,1. 141，1.1415,1.14159…
an
n
n
1
,
则它的第 5项 a 5 _______;
( 5 )数列 1 , 3 , 7 , 15 , 的一个通项公式 2 4 8 16
为 __________ ____;
( 6 )数列 0 , 1 lg 2 ,lg 3 ,lg 2 , 的一个通项公 2
式为 __________ _____ .
问题3：数列的通项公式可以看成数列的
函数解析式。那么，根据通项公式，你能 确定这个数列哪些方面的性质？
例题分析
1、根据数列的前4项,写出它的一个通项公式
(1) 2 , 4 , 6 , 8
(2) 1, 3 , 5 , 7
(3) 1, 4 , 9 , 16
(4) 1, 1 , 1 , 1
(5) 1, 1 , 1 , 1
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数列概念和通项公式(公开课)
1， 2， 6， 15， 40， 104，（273 ） 3, 2, 11, 14, 27 ， 34， （51 ）
❖-1的1次幂，2次幂，3次幂，……排列成一列数：
1 ， 1 ， 1 ， 1 1 ， 2 ， 2 2， 2 3 ， 2 63
❖三1，角2形，数3，：41，…3…，的6，倒1数0，排·列成·的·一列数： 正方形1， 数1 ：， 1，14， ，1 9，， 1 6，· ··
23
4
(6) 2, 0, 2, 0
an是n x 的函数 y
序号n 1 2 3 4 … n 项an 4 8 12 16 … ?
问题1：数列中的项和序号之间的这种关系
类似于我们以前学过的什么关系？
问题2：数列是一种函数，这种函数有什么
特殊性吗？
探究 数列与函数的关系
1、数列可看成以正整数集N*(或它的有限子集 {1，2，…，n})为定义域的函数 an f(n) 当自变量按从小到大的顺序依次取值时，所对 应的一列函数值。
解：∵a1=1
a2
1 1 a1
112 1
a3
1 1 a2
113 22
a4
1 1 a3
125 33
a5
1 1 a4
138 55
例4（ . 1）已知数列{an}满足a11,an an-1+1(n2),
写出这个数列的通项公式。
（2）已知数列{an}满足a1
1, an an1
n (n2), n1
写出这个数列的通项公式。
(2) 无穷多个3构成的数列:3，3，3，3，… (3) 人民币面额(单位:元)按一定顺序构成的数列:
100,50,20,10,5,2,1,0.5,0.2,0.1,0.05,0.02,0.01. (4) -1的1次幂,2次幂,3次幂,4次幂…构成的数列:
-1，1，-1，1， …
2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12, ···
二、新课讲解
1. 定义：按一定顺序排列着的一列数称为 数列
辨析数列的概念: (1) “1, 2, 3, 4, 5”与“5, 4, 3, 2, 1”是同一 个数列吗？与“1, 3, 2, 4, 5”呢？—数列的有序性 (2) 数列中的数可以重复吗？
(3) 数列与集合有什么区别？
集合: 无序性、 互异性、 确定性. 数列: 有序性、可重复性、确定性.
(1) 5， 7， 9， 1， 11， 3 (2) 3， 9， 2， 78， 124 ， 3
观察：这两个数列有什么特点？
课后探究：
结合函数的有关知识研究这两个数列 的性质
二、新课讲解
4. 数列的项an与项数n的关系
n
1
2
3
4
5…
2n
2 4 6 8 10 …
an 2n a1 2 a2 4 a3 6 a4 8 a5 10 …
234
第一课时
1， 2， 6， 15， 40， 104，（273 ） 3, 2, 11, 14, 27 ， 34， （51 ）
1 ， 1 ， 1 ， 1
1 ， 2 ， 2 2， 2 3 ， 2 63他们有何
1， 1， 1， 1，
共同点？
三角形数2：13，3，46，10，···
共同正特方点形：数1.：是1，一4列，数9，；16，·2.·有·一定的顺序
2、反之，对 yf于 (x)如 ,函果 f数 (i)i(1， 2， 3， ) 有意义，那么 得我 到们 一可 个以 数列
f(1)， f(2)， f(3)， f(n)，
可以用函数的观点研究数列，但又要注意数
列自身的特殊性！
课堂练习：写y出 2x函 3数 与y3x，当 x依次取 1， 2， 3， 时，其函数值构 列成 。的数
图象法
递推法
a1= 2 an= an-1 +2 (n>1)
二、新课讲解
例2.下图中的三角形称为谢宾斯基三角形，在下图4个 三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标 系中画出它的图象.
（1）
（2）
（3）
（4）
二、新课讲解
例 3.已 知 a11 ,an1a1 n 1(n2),写 出 这 个 数 列 的 前 5项 .
(1) 1, 1, 1, 1, (2) 1,1, 1,1, (3) 1, 1, 1, 1, (4) 1， 1 ，1， 1
23 4 (5) 2，0，2，0
二、新课讲解
5. 数列的实质
从映射的观点看，数列可以看作是：序号到数列项
的映射
n
f(n)
1
a1
2
a2
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a3
n
an
…… …… ……
从函数的观点看，数列项是序号的函数。
即: 数列可以看作是一个定义域为正整数集 N（* 或它 的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小 到大依 次取值时对应的一列函数值。
二、新课讲解
6. 数列的表示法 以数列: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ···为例 通项公式法: an=2n 列表法 n 1 2 3 4 5… an 2 4 6 8 10 …
).
A.380 B .39 C .32 D .23
( 3 )已知数列 { an }的通项公式
an
n2 n2
1
,那么 0.98 (
)
A.是这个数列的项 ， 且 n 6 ;
B .是这个数列的项 ， 且 n 7 ;
C .是这个数列的项 ， 且 n 7 ;
D .不是这个数列的项 .
2、 填空题
（ 4） 已知数列 { a n }的通项公式