位序- 规模法则

2、豪斯道夫（Haus dor f f）维数和位序- 规模法则分析。确定分维的方法中最基本、最常用的是豪斯道夫维数，其定义为：对于一个客体，我们用尺度 r 去度量其容积大小，测量结果则为与 r 有关的数值 N（r），尺度 r 越小，则测量结果 N（r）越大，反之，尺度 r 越大，则测量的结果 N（r）越小，表达式为：

N（r）∝C·r^-D （1）

式中 r 为人口尺度，N（r）则为区域内城镇数目；D 为维数（豪斯道夫维数），C为常数。

位序-规模法则是从城市的规模和城市规模位序的关系来考察一个城市体系的规模分布 ,1913年由奥尔巴克（F.Auerbach）提出。1949 年捷夫（G.K.Zipf）提出在经济发达的国家里，一体化城市体系的城市规模分布可用简单的公式表达：

Pr=P1/R（2）

式中，Pr是第R 位城市的人口；P1是最大城市人口；R 是 Pr 城市的位序。现在被广泛使用的公式实际上是罗特卡模式的一般化：Pi=P1/Ri^q（3）

式中，Pi是第i 位城市的人口；P1是规模最大的城市人口；Ri 是第i 位城市的位序；q 是常数。捷夫模式是 q=1 的特例，对公式2 取对数得：

LgPi=lgP_(1-q)lgRi（4）

通过对比豪斯道夫维数公式和位序-规模法则公式中各字母所代表的意义来看，这两种模型实质是一样的，D 实际上是位序-规模分

布 q 的倒数，即 D=1/q。当D=q=1 时，说明这个区域的第二位城市人口是最大城市人口的 1/2，第三位城市是最大城市人口的1/3。依此类推，当 D<1，即 q>1 时，说明城市规模分布比较集中，大城市很突出，中间城市位序城镇较少，首位度较高，城镇体系不完善；当D>1，即q<1 时，说明城市人口分布比较均匀，高位次的城市规模不是很突出，中小城市发育比较好。当 D→∞，即 q→0 时，区域内所有城市一样大。当 D→0，即 q→∞时，区域内只有一个城市。因为城镇体系的演化受到许多因素的制约，所以后两种极端情况在现实中一般不存在。根据公式（4）与表3，将点列（Ri，Pi）做双对数散点图，见图 3。（图 3）再用线性回归进行模拟计算，即可得出位序-规模法则的线性方程为：

LgPi=5.97-1.24lgRi R^2=0.7902

其中，决定系数 R^2=0.7902 说明重庆市的城镇体系分布符合位序-规模法则，q=1.24>1；显然分维值 D=1/q=0.806<1，说明城市规模分布比较集中，大城市很突出，而中小城市发育不够，首位度较高，城镇体系发育不完善。重庆市现有超大型城市1个，缺乏特大城市，大城市也仅有1个，中等城市11 个，在数量和规模上也偏小，城镇规模比例不合理，城镇体系存在断层现象，城市职能作用得不到有效的发挥。以上的分析结果也正好印证了表2和图1所反映的现象。