艺术生高考数学专题讲义：考点29 等比数列

考点二十九 等比数列

知识梳理

1．等比数列的有关概念 (1)定义：

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，a n ＋1a n ＝q ．

说明：等比数列中没有为0的项，其公比也不为0. (2)等比中项：

如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab ．

说明：任何两个实数都有等差中项，但与等差中项不同，只有同号的两个数才有等比中项．两个同号的数的等比中项有两个，它们互为相反数． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －

1．

(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.

3．等比数列的性质

已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ； (2)数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列；

(3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公比q ≠－1)．

典例剖析

题型一 等比数列中基本量解题

例1 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝32，S 3＝9

2，则公比q ＝________.

答案 1或－1

2

解析 设数列的公比为q ，∵a 3＝32，S 3＝9

2，∴

⎩⎨⎧

a 1q 2＝32

，

a 1

(1＋q ＋q 2

)＝92

，

两式相除得1＋q ＋q 2

q 2

＝3，即2q 2－q －1＝0.

∴q ＝1或q ＝－1

2

.

变式训练 在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81，则a n ＝________． 答案 3n －

1

解析 设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩

⎪⎨⎪⎧a 1＝1，

q ＝3.

因此a n ＝3n －

1.

解题要点 在等比数列中，基本量是a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)使问题得解．

题型二 利用等比数列的性质解题

例2 已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10等于________. 答案 －7

解析 方法一 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧

a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，

a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪

⎨⎪⎧ q 3＝－1

2，a 1＝－8，

∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.

方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧

a 4＝4，

a 7＝－2.

∴⎩⎪⎨⎪⎧

q 3＝－2，

a 1＝1或⎩⎪

⎨⎪⎧

q 3＝－1

2，a 1＝－8，

∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.

变式训练 在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，则a 41a 42a 43a 44＝________. 答案 1 024

解析 (2)方法一 a 1a 2a 3a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 41·

q 6＝1，① a 13a 14a 15a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15＝a 41·q 54＝8，②

②÷①：a 41·q 54a 41·q 6＝q 48＝8⇒q 16＝2，

又a 41a 42a 43a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43 ＝a 41·q 166＝a 41·

q 6·q 160 ＝(a 41·q 6)·(q 16)10＝1·210＝1 024.

方法二 由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为p ， 设T 1＝a 1·a 2·a 3·a 4＝1， T 4＝a 13·a 14·a 15·a 16＝8， ∴T 4＝T 1·p 3＝1·p 3＝8⇒p ＝2.

∴T 11＝a 41·a 42·a 43·a 44＝T 1·p 10＝210＝1 024.

解题要点 在数列问题中，要特别关注项数的特征，等比数列中项数和相等，则积相等，即“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，巧妙利用性质可以减少运算量，提高解题速度． 题型三 等比数列的前n 项和及其性质

例3 若等比数列{a n }满足a 1＋a 4＝10，a 2＋a 5＝20，则{a n }的前n 项和S n ＝________． 答案

109

(2n

－1) 解析 由题意a 2＋a 5＝q (a 1＋a 4)，得20＝q ×10，故q ＝2，代入a 1＋a 4＝a 1＋a 1q 3＝10，得9a 1＝10，得a 1＝10

9

.

故S n ＝10

9（1－2n ）1－2

＝10

9(2n －1)．

变式训练 已知数列{a n }满足2a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝1，则数列{a n }的前10项和S 10为________. 答案 43

(2－

10－1)

解析 ∵2a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1a n ＝－1

2

.

又a 2＝1，∴a 1＝－2，∴{a n }是首项为－2，公比为q ＝－1

2的等比数列，

∴S 10＝a 1（1－q 10）1－q

＝

－2（1－2

－10

）1＋12

＝43

(2－10

－1). 例4 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则 S 9∶S 3等于________. 答案 3∶4

解析 由等比数列的性质知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)， 将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝3

4

.

变式训练 等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝31

32，则公比q ＝________.

答案 －1

2

解析 由S 10S 5＝31

32，a 1＝－1知公比q ≠1，

则可得S 10－S 5S 5＝－132

.

由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5， 故q 5＝－132，q ＝－1

2

.

解题要点 1. 运用等比数列的前n 项和公式时，必须对q ＝1与q ≠1分类讨论．