立体几何第1讲
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2020 春季班高一数学讲义
立体几何
立体几何
第一节 空间几何体的结构特征、三视图和直观图
一、基础知识
1.简单几何体 1多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面 侧棱 侧面形状
互相平行且相等 互相平行且相等
平行四边形
多边形 相交于一点，但不一定
相等 三角形
互相平行且相似 延长线交于一点
梯形
①特殊的四棱柱
平行
直平行
四棱柱
底面为
――――→
平行四边形
六面体
侧棱垂直
――――→
于底面
六面体
底面为
――→
矩形
长方体
底面
――――→
正四棱柱
侧棱与底面
――――→
正方体
边长相等
边长相等
上 述 四 棱 柱 有 以 下 集 合 关 系 ： { 正 方 体 }{ 正 四 棱 柱 }{ 长 方 体 }{ 直 平 行 六 面
体}{平行六面体}{四棱柱}．
2．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )
A．球
B．三棱锥
C．正方体
D．圆柱
3．(2019·福州模拟)一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出它的直
观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为 2 的正方形，则原平面图形的面
立体几何
[题组训练] 1．下列结论中错误的是( ) A．由五个面围成的多面体只能是三棱柱 B．正棱台的对角面一定是等腰梯形 C．圆柱侧面上的直线段都是圆柱的母线 D．各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体
2．下列命题正确的是( ) A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转 体是圆台 D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
二、常用结论
1．常见旋转体的三视图 (1)球的三视图都是半径相等的圆． (2)底面与水平面平行放置的圆锥的正视图和侧视图为全等的等腰三角形． (3)底面与水平面平行放置的圆台的正视图和侧视图为全等的等腰梯形． (4)底面与水平面平行放置的圆柱的正视图和侧视图为全等的矩形． 2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”
坐标轴的夹角改变， “三变” 与 y 轴平行的线段的长度变为原来的一半，
图形改变. 平行性不改变，
“三不变” 与 x 轴和 z 轴平行的线段的长度不改变， 相对位置不改变.
2
2020 春季班高一数学讲义
考点一 空间几何体的结构特征
[典例] 下列结论正确的是( ) A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．六条棱长均相等的四面体是正四面体 C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台
圆
▲球的截面的性质 (1)球的任何截面是圆面； (2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面； (3)球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 的关系为 r＝ R2－d2. 2．直观图 (1)画法：常用斜二测画法． (2)规则： ①原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为 45°(或 135°)， z′轴与 x′轴和 y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于 x 轴和 z 轴的线段 在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 3．三视图 几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方和正 上方观察几何体画出的轮廓线.
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2020 春季班高一数学讲义
立体几何
2．已知正三角形 ABC 的边长为 2，那么△ABC 的直观图△A′B′C′的面积为________．
考点三 空间几何体的三视图
考法(一) 由几何体识别三视图 [典例] (2019·长沙模拟)如图是一个正方体，A，B，C 为三个顶点，D 是棱的中点，则 三棱锥 ABCD 的正视图、俯视图是(注：选项中的上图为正视图，下图为俯视图)( )
②多面体的关系：
棱柱
一个底面退化
――→
棱锥
平行于底面的
――→
棱台
为一个点
平面截得
(2)旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球▲
图形
互相平行且相等，垂 长度相等且相交
母线
延长线交于一点
直于底面
于一点
1
2020 春季班高一数学讲义
轴截面
侧面展 开图
全等的矩形 矩形
全等的等腰三角 全等的等腰梯形
形
扇形
扇环
立体几何
[题组训练]
1．如图 1 所示，是一个棱长为 2 的正方体被削去一个角后所得到的几何体，其中 DD1 ＝1，AB＝BC＝AA1＝2，若此几何体的俯视图如图 2 所示，则可以作为其正视图的是( )
2.(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视
图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等
腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积
之和为( )
A．10
B．12
C．14
D．16
5
2020 春季班高一数学讲义
立体几何
[课时跟踪检测]
1．对于用“斜二测画法”画平面图形的直观图，下列说法正确的是( ) A．等腰三角形的直观图仍为等腰三角形 B．梯形的直观图可能不是梯形 C．正方形的直观图为平行四边形 D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
考点二 空间几何体的直观图
[典例] 已知等腰梯形 ABCD，CD＝1，AD＝CB＝ 2，AB＝3，以 AB 所在直线为 x 轴，则由斜二测画法画出的直观图 A′B′C′D′的面积为 ________．
[题组训练] 1.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正 方形，则原来的图形是( )
考法(二) 由三视图判断几何体特征
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三
视图如图所示．圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面
上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的
路径中，最短路径的长度为( )
A．2 17
B．2 5
C．3
D．2
(2)(2019·武汉调研)已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中最小的
面积为________．
4
2020 春季班高一数学讲义
立体几何
考法(三) 由三视图中的部分视图确定剩余视图 [典例] (2018·唐山五校联考)如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图 为( )
立体几何
立体几何
第一节 空间几何体的结构特征、三视图和直观图
一、基础知识
1.简单几何体 1多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面 侧棱 侧面形状
互相平行且相等 互相平行且相等
平行四边形
多边形 相交于一点，但不一定
相等 三角形
互相平行且相似 延长线交于一点
梯形
①特殊的四棱柱
平行
直平行
四棱柱
底面为
――――→
平行四边形
六面体
侧棱垂直
――――→
于底面
六面体
底面为
――→
矩形
长方体
底面
――――→
正四棱柱
侧棱与底面
――――→
正方体
边长相等
边长相等
上 述 四 棱 柱 有 以 下 集 合 关 系 ： { 正 方 体 }{ 正 四 棱 柱 }{ 长 方 体 }{ 直 平 行 六 面
体}{平行六面体}{四棱柱}．
2．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )
A．球
B．三棱锥
C．正方体
D．圆柱
3．(2019·福州模拟)一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出它的直
观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为 2 的正方形，则原平面图形的面
立体几何
[题组训练] 1．下列结论中错误的是( ) A．由五个面围成的多面体只能是三棱柱 B．正棱台的对角面一定是等腰梯形 C．圆柱侧面上的直线段都是圆柱的母线 D．各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体
2．下列命题正确的是( ) A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转 体是圆台 D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
二、常用结论
1．常见旋转体的三视图 (1)球的三视图都是半径相等的圆． (2)底面与水平面平行放置的圆锥的正视图和侧视图为全等的等腰三角形． (3)底面与水平面平行放置的圆台的正视图和侧视图为全等的等腰梯形． (4)底面与水平面平行放置的圆柱的正视图和侧视图为全等的矩形． 2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”
坐标轴的夹角改变， “三变” 与 y 轴平行的线段的长度变为原来的一半，
图形改变. 平行性不改变，
“三不变” 与 x 轴和 z 轴平行的线段的长度不改变， 相对位置不改变.
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2020 春季班高一数学讲义
考点一 空间几何体的结构特征
[典例] 下列结论正确的是( ) A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．六条棱长均相等的四面体是正四面体 C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台
圆
▲球的截面的性质 (1)球的任何截面是圆面； (2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面； (3)球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 的关系为 r＝ R2－d2. 2．直观图 (1)画法：常用斜二测画法． (2)规则： ①原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为 45°(或 135°)， z′轴与 x′轴和 y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于 x 轴和 z 轴的线段 在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 3．三视图 几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方和正 上方观察几何体画出的轮廓线.
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2020 春季班高一数学讲义
立体几何
2．已知正三角形 ABC 的边长为 2，那么△ABC 的直观图△A′B′C′的面积为________．
考点三 空间几何体的三视图
考法(一) 由几何体识别三视图 [典例] (2019·长沙模拟)如图是一个正方体，A，B，C 为三个顶点，D 是棱的中点，则 三棱锥 ABCD 的正视图、俯视图是(注：选项中的上图为正视图，下图为俯视图)( )
②多面体的关系：
棱柱
一个底面退化
――→
棱锥
平行于底面的
――→
棱台
为一个点
平面截得
(2)旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球▲
图形
互相平行且相等，垂 长度相等且相交
母线
延长线交于一点
直于底面
于一点
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2020 春季班高一数学讲义
轴截面
侧面展 开图
全等的矩形 矩形
全等的等腰三角 全等的等腰梯形
形
扇形
扇环
立体几何
[题组训练]
1．如图 1 所示，是一个棱长为 2 的正方体被削去一个角后所得到的几何体，其中 DD1 ＝1，AB＝BC＝AA1＝2，若此几何体的俯视图如图 2 所示，则可以作为其正视图的是( )
2.(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视
图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等
腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积
之和为( )
A．10
B．12
C．14
D．16
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2020 春季班高一数学讲义
立体几何
[课时跟踪检测]
1．对于用“斜二测画法”画平面图形的直观图，下列说法正确的是( ) A．等腰三角形的直观图仍为等腰三角形 B．梯形的直观图可能不是梯形 C．正方形的直观图为平行四边形 D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
考点二 空间几何体的直观图
[典例] 已知等腰梯形 ABCD，CD＝1，AD＝CB＝ 2，AB＝3，以 AB 所在直线为 x 轴，则由斜二测画法画出的直观图 A′B′C′D′的面积为 ________．
[题组训练] 1.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正 方形，则原来的图形是( )
考法(二) 由三视图判断几何体特征
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三
视图如图所示．圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面
上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的
路径中，最短路径的长度为( )
A．2 17
B．2 5
C．3
D．2
(2)(2019·武汉调研)已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中最小的
面积为________．
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2020 春季班高一数学讲义
立体几何
考法(三) 由三视图中的部分视图确定剩余视图 [典例] (2018·唐山五校联考)如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图 为( )