《弹性力学》习题库

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第1章 第2章 第3章
第1章 习题
✓1-2 ✓1-4 ✓1-7 ✓1-8
习题 1-2
• 一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否 作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质 地基能否作为理想弹性体？
答：一般的混凝土构件可以作为理想的弹性 体，而钢筋混凝土构件不可以作为理想的弹 性体；一般的岩质地基不可以作为理想弹性 体，而土质地基可以作为理想的 弹性体。
yx
MO 0
y
x
y
h h
y
xdx h F sin 0
y0
2
h h
y
xdx Fh sin
y0
2
例2.7.1
上端面： y 0
h
h
(
y
)
dx
y0
F
sin
h h
(
y
)
y
0
xdx
Fh 2
sin
h
h
(
yx
)
y
dx
0
F
cos
注意： y , xy 必须按正向假设！
例 2.7.2
如图所示，列出其边界条件（固定边不写）。
y
f1y ax df1y
y
dy
v c
x
f2x by df2x c
x
dx
例 2.4.1
例2.4.1：当应变为常量时，ex =a, ey =b , gxy =c ，试求对应的位移分量。
u f1y ax, v f2x by
f1y ax df1y
y
dy
f1y u0 y
F 300 O
x
b/2 b/2
gy
h
q
y h b, 1
左右边界：
x 0 : ( x )x0 gy, ( xy )x0 0 x b : ( x )xb 0, ( xy )xb q
b
0 ( y ) y0 dx
3F 2
上边界：
b
0 ( y ) y0 xdx
3 Fb 4
b 0
(
xy
) y0
0
B 45°
0
0
1 2
(0
σx)
x
A
x 2 0
例 2.3.1
（1）求主应力的大小及方向
x 2 0 , y 0,
2
x
2
y
2
2 xy
tan 1
1 xy
x
y
C
0
30
O
° 0
0
B 45°
0
x
A
1,2 (1 2)0
1 arctg( 2 1)
例 2.3.1
面应力分量 x , y , xy ，且它们不沿z方向变化，仅
为x、y的函数。可以认定此问题是平面应力问题。
图 2-14
例 2.1.3
如图所示的几种受力体是否是平面问题？若是， 则是平面应力问题，还是平面应变问题？
qq z
qqzq
oo o xx o x
o
zz
z
yy y
y
qqqzy
平非面平应面力变问问题题
f2x by df2x c
x
dx
f2x v0 c x
u u0 ax y, v v0 by (c )x
例 2.6.1
q
试列出图示问题的边界条件。
h
(1) x 0,
hx a
ux0 0, vx0 0
y
(2) x a, l 1, m 0; fx 0, fy 0
l( x )xa m( xy )xa fx m( y )xa l( xy )xa f y
hh
a
qq
y
下边界：u 0,v 0
ya
ya
例 2.6.2
左边界： x h
l 1, m 0 f x 0 f y q
l( x )s m( xy )s fx m( y )s l( xy )s f y
1 ( x )s 0 ( xy )s 0 0 ( y )s 1 ( xy )s q
q
o
x
hh
a
qq
y
x
0,
xh
xy
q
xh
例 2.6.2
上边界： y 0
l 0, m 1 f x q f y 0
l( x )s m( xy )s fx m( y )s l( xy )s f y
0 ( x )s 1 ( xy )s q 1 ( y )s 0 ( xy )s 0
u a, v b, v u c x y x y
u f1y ax, v f2x by
u v c
y x
u , v c
y
x
例 2.4.1
例2.4.1：当应变为常量时，ex =a, ey =b , gxy =c ，试求对应的位移分量。
u f1y ax, v f2x by
u
仅为 x，y 的函数的弹性力学问题，因此，此问题是
平面应力问题。
例 2.1.2
➢（本章习题2－1）
如图2－14，试分析说明，在不受任何面力作 用的空间体表面附近的薄层中，其应力状态接近 于平面应力的情况。
答中，：可在以不受认任为何在面该力薄作层用的的上z 空下O间表y 体面x表都面无附面近力的，薄且层在 薄层内所有各点都有 z zx zy 0，只存在平
d
x
F 2
例 2.7.3
习题2-9（1）
o
h1 x
在主要边界 x 0, x b 上，应
精确满足下列边界条件：
g b h2
( x )x0 g y h1 , ( xy )x0 0
( x )xb g y h1 , ( xy )xb 0 y h2 b
在小边界（次要边界） y 0 上，能精确满足下
b
h1 x
h2
b
0 y yh2 dx gh1b
b
0
y
xdx 0
y h2
b
0
yx
dx 0
y h2
y h2 b
例 2.7.3 q
习题2-9（2）
FN
h/2
x
下边界：y h
2
M
h/2
FS
q1
l
( y ) yh 0, ( xy ) yh q1 y
列边界条件:
( )y y0 gh1, ( xy )y0 0
例 2.7.3
习题2-9（1）
o
在小边界（次要边界）y
有位移边界条件：
h2
上，
g
b
h1 x
h2
u 0,v 0
yh2
y h2
y h2 b
例 2.7.3
习题2-9（1）
o
这两个位移边界条件可以用圣维
南原理，改用三个积分的应力边 g
界条件来代替，当板厚δ=1时，
例 2.1.1
➢例
如果某一问题中， z zx zy 0 ，只存在
平面应力分量 x , y , xy ，且它们不沿z方向变化， 仅为x、y的函数，试考虑此问题是否就是平面应力
问题？
答：平面应力问题，就是作用在物体上的外力，约束
沿 z 向均不变化，只有平面应力分量 x , y , xy ，且
（2）沿与水平面成30°倾角的微面上的全应力和正 应力。
l30o 1/ 2, m30o 3 / 2
px xl xym py xyl ym
px
2 2
30, py
1 2
0
y
C
0
30
O
° 0
0
B 45°
0
x
A
n l2 x m2 y 2lm xy
n
1 2
30
例 2.4.1
例2.4.1：当应变为常量时，ex =a, ey =b , gxy =c ，试求对应的位移分量。
例 2.2.1
例2.2.1：如图所示单位宽度薄板悬梁，跨度为l，其
上表面承受三角形分布载荷作用，体力不计。试根据
材料力学中的应力表达式 方程导出另两个应力分量。
x
2q0 h3l
x3
y
，由平衡微分
解:(1)将 代x 入平衡微分方程第一式
x
2q0 h3l
x3 y
x
x
yx
y
fx
0
xy
3q0 h3l
p(x)
p0
(3) AC段（y =x tan β）:
A
B
x
m cos(N, y) cos
y N
l
h C
l cos(N, x) cos(90 ) sin
x ( sin ) xy cos yxtan 0 y cos yx ( sin ) yxtan 0
先求应力分量 x , y , xy ：
y
C
0
30
O
° 0
0
B 45°
0
x
A
CB面上
y 0, xy 0
例 2.3.1
先求应力分量 x , y , xy ：
AB面上: 方向向量:
2
2
l45o 2 , m45o 2
y
C
0
30
O
° 0
n lm(σ y σx ) (l 2 m2 ) xy
q
o
x
hh
a
qq
y
x
xh 0, xy
q
xh
例 2.6.2
右边界： x h
l 1, m 0 f x 0 f y q
l( x )s m( xy )s fx m( y )s l( xy )s f y