2012高考数学复习 专题6 概率与统计

个整数，b是从集合B中任取的一个整数，求“b − a ∈ A U B”的概率．
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解析 (1)由已知A = { x | −3 < x < 1}，B = { x | −2 < x < 3}． 设事件“ x ∈ A I B ”的概率为P， 1 3 这是一个几何概型，则P = . 1 8
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( 2 )因为a，b ∈ Z，且a ∈ A，b ∈ B， (− − ( 所以，基本事件共12个： 2， 1)，−2, 0 )，−2,1)，−2, 2 )， ( ( (−1， 1)，−1, 0 )，−1,1)，−1, 2 )，， 1)，0, 0 )，0,1)，0, 2 )． (0 − ( − ( ( ( ( (
f ( 2 ) ≤ 12 2b + c ≤ 8 解析：由 ，可得 . f (−1) ≤ 3 b − c ≥ −2 如图所示建立平面直角坐标系． 设区域Ω = {(b，c)} | 0 ≤ b ≤ 4, 0 ≤ c ≤ 4 |，
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2b + c ≤ 8 b − c ≥ −2 }． 则 事 件 A构 成 的 区 域 为 E = {( b， c ) | 0 ≤ b ≤ 4 0 ≤ c ≤ 4 由 图 可 知 ， 区 域 Ω 的 面 积 S Ω = 16. 事 件 A构 成 的 区 域 的 面 积 1 1 S E = 16 − × 2 × 2 − × 2 × 4 = 10. 2 2 S E 10 5 由几何概型的计算公式得P ( A) = = = S Ω 16 8 5 故 事 件 A发 生 的 概 率 为 . 8
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考点3 考点 古典概型与几何概型综合
例3 已知函数f ( x ) = ax 2 − 2bx + a(a，b ∈ R )．
(1) 若a是从集合 {0,1, 2,3}中任取的一个元素，b是从集合 {0,1, 2,3}中任取的一个元素，求方程f ( x ) = 0恰有两个
不等实根的概率；
( 2 ) 若a是从区间[0, 2]中任取的一个数，b是从区间[0,3]中 任取的一个数，求方程f ( x ) = 0没有实根的概率．
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1．列举是处理古典概型的基本方法． 2．列举时，要注意分清“有序”还是 “无序”，按一定次序进行列举，防止重复和 遗漏．采用列表、“树图”等直观手段是防止 重复与遗漏的有效方法． 3．具体事件的给出常常和其他数学知识 相联系，要注意联系相关知识找到相应事件的 基本事件数．
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变式1(2011 广州一模) (1) 在一个红绿灯路口，红灯、黄 5 灯和绿灯的时间分别为30秒、秒和40秒．当你到达路口 时，求不是红灯的概率． 2 )已知关于x的一元二次函数f ( x ) = ax 2 − 4bx + 1.设集合 ( 取一个数作为a和b，求函数y = f ( x ) 在区间[1， ∞)上是 + 增函数的概率． P = {1, 2,3} 和Q = {−1,1, 2,3, 4}，分别从集合P和Q中随机
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面积SΩ = 2 × 3 = 6.
1 ． 重 视 化 归 思 想 的 运 用 ． 从 集 合 {0,1, 2, 3}中 取 数 a， b 相 当 于 一 个 4 面 的 “ 骰 子 ” 抛 两 次 ． 一 般 来说，取数、摸球、投信、掷硬币等问题，均可 化归为抛骰子问题． 2． 事 件 的 给 出 常 常 和 其 他 知 识 相 联 系 ， 要 注 意 相 关 知 识 的 运 用 ． 本 题 中 f ( x ) = 0恰 有 两 个 不 等 a ≠ 0 实根 ⇔ .列 举 时 ， 容 易 忽 视 a ≠ 0 这 一 条 件 ． ∆ > 0
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解析 (1) 基本事件是遇到红灯、黄灯和绿灯，它们的 时间分别为30秒、秒和40秒，设它们的概率的分别为 5 P，P2，P3， 1 所以不是红灯的概率 30 30 3 P = 1− P = 1− = 1− = . 1 75 5 30 + 5 + 40
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( 2 ) 基本事件为集合P和Q中随机取一个数a和b的可能 结果有(1， 1)， )， 2 )， )， 4 )， ， 1)，2,1)，2, 2 )， − (1,1 (1, (1,3 (1, (2 − ( ( (3 − ( ( 2,3)，2, 4 )， ， 1)，3,1)，3, 2 )，3,3)，3, 4 )，共15种． ( ( ( (
2b 因为函数f ( x ) = ax − 4bx + 1的图象的对称轴为x = ， a 要使f ( x ) = ax 2 − 4bx + 1在区间[1， ∞)上为增函数， +
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2b 当且仅当a > 0且 ≤ 1，即2b ≤ a. a 若a = 1则b = −1；若a = 2则b = −1,1；若a = 3则b = −1,1. 所以事件包含基本事件的个数是1 + 2 + 2 = 5. 5 1 所以所求事件的概率为 = . 15 3
(1) 判断试验是否为等可能性事件，并用字母表示
所求事件．
( 2 ) 计算基本事件的个数n及事件A中包含的基本事
件的个数m. m ( 3) 计算事件A的概率P ( A) = . n
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3．对几何概型，要根据题意判断是直线型、面 积型、体积型还是角度型．判断的关键是看它是否是 等可能的，也就是点是否是均匀分布的．求解的关键 是构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何 度量来求随机事件的概率． 4．要注意古典概型、几何概型与其他知识的联 系，根据问题特点，联想相关知识，找到所求事件满 足的条件．
专题六 概率与统计
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考点1 考点 古典概型
例1(2011 山东卷)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其 中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1) 若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有
可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
( 2 ) 若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结
果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
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1．几何概型常常和二元一次不等式所 表示的平面区域交汇综合． 2．本题求解的关键在于确定事件A构 成的平面区域．
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变式2 已知函数f ( x ) = x 2 + bx + c，其中0 ≤ b ≤ 4， f ( 2) ≤ 12 0 ≤ c ≤ 4.记满足条件 的事件为A，求事 f (−1) ≤ 3 件A发生的概率．
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( 2 )因为a是从区间[0, 2]中任取的一个数，b是从区间 [0,3]中任取的一个数，则试验的全部结果构成区域
{(a，b) | 0 ≤ a ≤ 2， ≤ b ≤ 3}，这是一个矩形区域，其 0 设“方程f ( x ) = 0没有实根”为事件B，则事件B所构 成的区域为{(a，b) | 0 ≤ a ≤ 2, 0 ≤ b ≤ 3，a > b}，其面 1 积S M = × 2 × 2 = 2. 2 由几何概型的概率计算公式可得方程f ( x ) = 0没有实 SM 1 数根的概率为P ( B ) = = . SΩ 3
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考点2 考点 几何概型
1 3 例2 已知函数f ( x ) = x − ( a − 1) x 2 + b 2 x，其中a，b 3 为实常数．
(1) 求函数f ( x ) 为奇函数的充要条件； ( 2 ) 若任取a ∈ [0, 4]，b ∈ [0,3]，求函数f ( x ) 在R上是
增函数的概率．
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( 2 ) 从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的
结果为： ，B )， ，C )， ，D)， ，E )， ，F )， ，C )， (A (A (A (A (A (B ( B，D)， ，E )， ，F )， ，D)， ，E )， ，F )， ，E )， (B (B (C (C (C (D ( D，F )， ，F )，共15种， (E 从中选出两名教师来自同一学校的结果有： ( A，B)， ，C )， ，C )， ，E )， ，F )， ，F )，共6种， (A (B (D (D (E 故选出的两名教师来自同一学校的概率为 6 2 P= = . 15 5
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，即 基本事件总数为16.
Hale Waihona Puke Baidu
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当a ≥ 0，b ≥ 0时，方程f ( x ) = 0恰有两个不相等的实
设“方程f ( x ) = 0恰有两个不相等的实根”为事件A， a ≠ 0 根的充要条件是 ⇔ b > a，且a ≠ 0.此时a，b的 ∆ > 0 取值情况有 (1, 2 )， )，2,3)，即事件A包含的基本事 (1,3 ( 件数为3. 所以方程f ( x ) = 0恰有两个不相等的实数根的概率为 3 P ( A) = . 16
切入点：会用数组列举法列举所有事件．
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解析 (1)甲校2男教师分别用A、B表示，女教师用C 表示； 乙校男教师用D表示，女教师分别用E、F 表示． 2 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的 结果为： ，D)， ，E )， ，F )， ，D)， ，E )， ，F )， ， (A (A (A (B (B (B (C D)， ，E )， ，F )，共9种． (C (C 从中选出两名教师性别相同的结果有： ，D)， ，D )， (A (B (C，E )， ，F )，共4种，故选出的两名教师性别相同的概 (C 4 率为P = . 9
切入点：求出函数f ( x ) 在R上是增函数的条件， 建立坐标系aOb，利用几何概型知识处理．
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则对任意x ∈ R，f ( x ) + f ( − x ) = 0恒成立， 1 3 1 3 2 2 即 x − ( a − 1) x + b x − x − ( a − 1) x 2 − b 2 x = 0， 3 3 即2 ( a − 1) x 2 = 0恒成立，所以a = 1. 1 3 2 当a = 1时，f ( x ) = x + b x， 3 1 3 2 则f ( − x ) = − x − b x = − f ( x ) ， 3 所以f ( x ) 为奇函数．
为{(a，b) | a − 1 ≤ b }． 全部试验结果构成的区域 w = {(a，b) | 0 ≤ a ≤ 4, 0 ≤ b ≤ 3}，如图．
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S阴影 所以P ( A ) = SΩ
1 1 3 × 4 − × 1× 1 − × 3 × 3 7 2 2 = = . 3× 4 12
7 故函数f ( x ) 在R上是增函数的概率为 . 12
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变式3(2011 江西八校联考)已知集合A = { x | x 2 + 2x − 3 < 0}， x+2 B = {x | < 0}． x −3 (1) 在区间( −4, 4 ) 上任取一个实数x，求“x ∈ A I B”的概 率；
( 2 ) 设(a，b)为有序实数对，其中a是从集合A中任取的一
切入点： ) 转化为古典概型；2 ) 转化为几何概型． (1 (
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自集合 {0,1, 2,3}中的任意一个元素，则a，b的取值情况 是：
解析 (1)a取自集合 {0,1, 2,3}中的任意一个元素，b取
( 0, 0 )( 0,1)，0, 2 )，0,3)， 0 )(1,1)， 2 )， )，2, 0 )( 2,1)， ( ( (1, (1, (1,3 ( ( 2, 2 )，2,3)，3, 0 )( 3,1)，3, 2 )，3,3)． ( ( ( (
解析 (1) 若f ( x ) 为奇函数，
故f ( x ) 为奇函数的充要条件是“a = 1”．
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( 2 ) f ′ ( x ) = x 2 − 2 ( a − 1) x + b 2 . 若f ( x ) 在R上是增函数， 则对任意x ∈ R，f ′ ( x ) ≥ 0恒成立． 2 所以∆ = 4 ( a − 1) − 4b 2 ≤ 0，即 a − 1 ≤ b . 设 " f ( x ) 在R上是增函数 "为事件A，则事件A对应的区域
设事件E为“b − a ∈ A U B”， 则事件E中包含9个基本事件， 9 3 事件E发生的概率P ( E ) = = . 12 4
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1．对简单的概率问题要能迅速判断出是哪种类型 的概率问题，再套用公式解决． 2．对古典概型，要会用枚举法，借助表格、树形 图等写出所有的基本事件和所求事件包含的基本事件． 求古典概型的一般方法和步骤如下：