概率论第一讲

F的结构？在F上的概率如何构造？这是本章将要
讨论的主要问题，为此我们必须引入测度论的概念。
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第一节 集合代数和σ-代数
一、集合代数和σ-代数
定义1.1.1 设Ω是任一非空集合， A是由Ω的一些子集组成 的非空集合类，若A 满足： 1. Ω∈ A ； 2. 若A∈ A ，有A∈A （余运算封闭）； 3. 若A，B∈ A ，有A∪B∈ A （有限并运算封闭）； 则称A是Ω上的一个集合代数，简称集代数。 容易证明集代数对有限交运算也封闭，即：
2.P ( Ω ) = 1（归一性）
3 .若事件 A1 , A2 , L 两两互不相容，则有： ⎛ ∞ ⎞ ∞ P ⎜ U Ak ⎟ = ∑ P ( Ak ) （可列可加性） ⎜ ⎟ ⎝ k =1 ⎠ k =1
称P( A)为事件Α的概率。
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第一章 概率空间
n ⎫ ⎧ ⎪ ⎪ Ak , A1, A2 , L An形如(a, b] ⊂ R,−∞ ≤ a ≤ b ≤ +∞⎬ A = ⎨ A ⊂ R, A = ⎪ ⎪ k =1 ⎭ ⎩
U
则： A是集代数。
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第一节 集合代数和σ-代数
定义1.1.2 设Ω是任一非空集合， A是由Ω的一些子集组成的 非空集合类，若A 满足： 1. Ω∈ A 2. 若A∈ A ，有A∈A （余运算封闭）；
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第一章 概率空间
在初等概率论中，我们定义随机事件A为样本空间Ω的子 集，即 A ⊂ Ω，但事实上是不是任何一个样本点构成的集合都 是一个随机事件？（举例说明） 例：Ω={1,2,3,4,5,6} 取A ={ Φ, A, A, Ω } 容易验证， A为事件域， Φ, A, A, Ω 均为事件 其中A不妨取A={1,2}，
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第一节 集合代数和σ-代数
四、单调类和λ-系、π-系
实际问题中要检验一个集合类是否为σ-代数比较困难，但把 集代数与单调类结合起来讨论，会使问题简化。 定义1.1.4 设A 由Ω的一些子集组成的非空集合类，且满足：
,n 1. 若 An ∈ A = 1,2,L，A1 ⊂ A2 ⊂ L 以后表为An ↑ ，则U An ∈ A ,n 2. 若 An ∈ A = 1,2,L，A1 ⊃ A2 ⊃ L 以后表为An ↓ ，则I An ∈ A
概率论与随机过程
唐碧华 黎淑兰 学时数：54 教材：王玉孝，《概率论与随机过程》，北邮出版社 参考书： 陆大琻，《随机过程及其应用》，清华大学出版社 严士健等，《测度与概率》，北京师范大学出版社 张朝金著，《概率中的反例》 王玉孝，《概率论与随机过程习题解答》，北邮教材 中心
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推广情形：设 Ω = R(n) = (x1, x2,Lxn ) : xi ∈R(1),i =1,2,Ln 为n维 (n) 实数空间，考虑由 R 的一些子集组成的集合类： G
{
}
⎧ ⎫ (1) = ⎨∏(− ∞, ai ] : ai ∈ R , i = 1,2,Ln⎬ ⎩ i=1 ⎭
n
(n) 称σ(G)为 R 上的Borel域，记作B (n)中。
A={3,4,5,6}
考虑Ω的样本点B={1}，虽然B⊆ Ω，但此时B并不是我们所 讨论的事件（见张朝金著《概率中的反例》）
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第一章 概率空间
概率的定义——若对 E 的每一个事件A，有一个实数 与之对应，记为P(A)，且满足：
~
1.0 ≤ P ( A ) ≤ 1 （非负性）
设事件域： ⎧ ⎫ 1 ⎤ ⎛ F = ⎨ An = ⎜ a + , b ⎥ n = 1,2, L⎬ n ⎦ ⎝ ⎩ ⎭ 显然，∀n，有：An ∈ F 但： An = (a, b]∉ F U
n =1
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∞
第一章 概率空间
若把P(A)看作集合A的函数，那么象高等数学里 的普通函数一样，我们必须考虑A在何范围内，A→ P(A)才有定义？这是初等概率论的遗留问题。为此， 我们考虑以事件A为元素的集合，称为集合类或事件 体，记作F 。
1. 2. 3. 4.
教学安排
上课时间共17次，概率部分约9次，随机过程部分 约7-8次 笔试70%（期末考试前一月公布考试大纲），论 文30%（题目：结合自己的专业，以概率论与随 机过程某个知识点撰写一篇1500字以上论文，要 求标准论文格式，包括标题、中英文摘要、正文、 参考文献。）
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第一节 集合代数和σ-代数
定义1.1.3 称定理1.1.3中的F0是包含G 的最小σ-代数，或者 是由G生成的σ-代数，记为σ(G)。 例1.1.2 设A⊂ Ω ，且A≠Ω，A≠ Φ则，则包含{A}的最小 σ-代数为 A, A, Φ, Ω 三、Borel域 设Ω=R(1) ，考虑由R(1)的一些子集组成的集合类： G= {(-∞,a],a∈ R(1)} ，称σ(G)为R(1)的Borel域，记为B (1) ，并称B (1)中的元素为一维的Borel集。
n =1
(
)
∞
(
)
n =1 ∞
称A 是Ω上的一个单调类。 容易证明，单调类的交仍是单调类。
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第一节 集合代数和σ-代数
定理1.1.4 设Ω是任一非空集合， G是由Ω的一些子集组成的 非空集合类，则存在唯一的Ω上的单调类µ0，满足： 1. 若G⊂ µ0 2. 对包含G 的任一单调类A，有µ0⊂ A 称这样的单调类µ0为包含A 的最小单调类，记为µ(G) 定理1.1.5 σ-代数是单调类；若一集代数是单调类，则它是σ代数。 n
A
k
∈
3. 若 Ak ∈ A
(k = 1,2, L) ，有
U A ∈ A（可列并运算封闭）
k k =1
∞
则称A是Ω上的一个σ-代数。 定理1.1.2 设A是σ-代数，则： 1. σ-代数A 一定是集代数； 2. 若 Ak ∈ A
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(k = 1,2, L) ，有
k =1 北京邮电大学电子工程学院
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k =1
证明：若An ∈ A (n = 1,2 ,L) ，令Bn = U Ak
Q A是集代数，则：Bn ∈ A (n = 1,2 ,L)
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又 Q A是单调类，且：Bn ↑ (n = 1,2 ,L) ，则U Bn ∈ A
n =1 北京邮电大学电子工程学院
∞
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第一节 集合代数和σ-代数
概率论与随机过程
知识从哪里来? 必然性、偶然性 知识是什么? 概率论与随机过程：随机性、变化过程 知识到哪里去? 如何运用概率论与随机过程的理论知识解决通信中 的实际问题？
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第一章 概率空间
首先，回顾初等概率论的一些基本概念： 随机试验
E
~
，满足如下条件：
1. 在相同条件下可重复进行；
2. 一次试验结果的随机性——不可预知性； 3. 全体可能结果的可知性。
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第一章 概率空间
样本空间Ω——随机试验所有可能出现的结果组成的 集合。 样本点ω——Ω中的元素。 随机事件——样本空间Ω 的子集合，称为事件。 基本事件——Ω中每个样本点所构成的单点集。 必然事件——Ω本身。 不可能事件——不包含任何元素的空集合Φ。
I A ∈ A（可列交运算封闭）
k
∞
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第一节 集合代数和σ-代数
设Ω是一非空集合，FΩ是由Ω的一切子集组成的集 合类，则 FΩ是一个σ-代数。 若 A⊂ Ω ，且A≠Ω，A≠ Φ则集合类 A, A, Φ, Ω 是 一个σ-代数。 显然，集代数的交仍是集代数； σ-代数的交仍是 σ-代数。
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定理1.1.6 若A是集代数，则： σ(A)=µ(A) 证明：σ-代数一定是单调类，∴σ(A)⊃µ(A) 因此只须证明µ(A)是一σ-代数。 由于集代数+ 单调类⇒σ-代数 ，所以只须证明 它是集代数即可！ 1. Ω∈ A ⊂µ(A) 2. 若A，B∈ µ(A)，有：A\B∈ µ(A) 2的证明如下：
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第一节 集合代数和σ-代数
不妨分三步加以说明：
µ
A
µ
A
⊇
µ
(
)
µ
A
⊇
1. 辅助集合类µA 为单调类 2. 当A∈A 时，µA ⊇ A 3. 当A∈பைடு நூலகம்(A) ，有：µA ⊇ A 以上定理的证明可以看到有时验证集合类是包含某集 代数的单调类比较困难，因此须引入λ-系、π-系。
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第一节 集合代数和σ-代数
定理1.1.1 设A是由Ω的一些子集组成的非空集合类，则： 1. 若A是由Ω的集代数⇔ A是包含Ω且对余运算和有限交运 算封闭； 2. 若A是由Ω的集代数⇔ A是包含Ω且对差运算封闭。 证明可简单阐述。 例1.1.1 设Ω =R，则：
∞ 1⎤ 1⎤ ⎛ ⎛ (1) (a 另： ∀n，有⎜ a, b − ⎥ ∈ B ，则： , b ) = U ⎜ a, b − ⎥ ∈ B (1) n⎦ n⎦ ⎝ n =1 ⎝
{ 而：b} = (a, b] \ (a, b ) ∈ B (1)
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第一节 集合代数和σ-代数
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第一节 集合代数和σ-代数
证明：对任意的A∈µ(A)，作辅助集合类：
µA={B：B∈µ(A)，A\B，B\A ∈µ(A)}
若能证明对每一个A∈µ(A) ，有：µA=µ(A) 即对差运算封闭，则得证。 显然：µA ⊆µ(A) 只须证µA ⊇µ(A) ，即µA 为包含A 的单调类
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{
}
。
第一节 集合代数和σ-代数
以上定义： σ(G)= B (1) ，其中G= {(-∞,a],a∈ R(1)} ∵ (-∞,a]∈ B (1) ， (-∞,b]∈ B (1) 当b < a ， (-∞,b] \ (-∞,a] = (a,b]∈ B (1)
定理1.1.3 设Ω是任一非空集合， G是由Ω的一些子集组成的 非空集合类，则存在唯一的σ-代数F0，满足： 1. G⊂ F0 ； 2. 对包含G的任一σ-代数A，有F0 ⊂ A 证明：构造F
*
=
A ⊃G
I
A，即所有包含G 的σ-代数的交。
下面说明这样构成的F *即为包含G的最小的σ-代数， F * = F0 由构造性可知它不仅存在而且唯一。 由于σ-代数的交仍为σ-代数，所以F *为包含G的σ-代数。 由构造，则可知其最小性。
{
}
第一节 集合代数和σ-代数
二、包含某一集合类的最小σ-代数
G是由Ω的一些子集组成的非空集合类，那么至 少存在一个σ-代数包含G。为什么？ 由于FΩ是一个σ-代数，且FΩ ⊇ G。 是否存在最小的σ-代数？若存在，是否唯一？
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第一节 集合代数和σ-代数
教学安排
电子讲稿网址： http://wireless.ste.bupt.cn/《布告栏》 考试时间：见研究生院发布的考表 电子邮件：bhtang@bupt.edu.cn mathworld.wolfram.com 超星数字浏览器 上课时间：13:00-16:00pm
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