二重极限与累次极限的关系

类 似 地 ， 定 义 ｆｘＹ 在 点 （。ｙ） 先 对 Ｙ 可 （，） ，０处
后对
注 ：１ 二 重极 限定义 中 ， ） （。ｙ） （） （ ， ，０蕴涵 ， ）
着 扩 。 和
的 同时性 和 任意 性 ， 同时性 是指
ｙ
２
ｌｍ ｉ
１８ ５
南 昌 高专 学 报
２１ ０ ０年
再 求 二 重 极 限 ， （ ，） 直 线 ｙ ｍ 令 ｚＹ 沿 ＝ ｘ趋 于
（ ， ）有 ００ ，
（
ｙｉ— ）０但 ｓ ＝ ｎ
ｆ ｘ ｙ 不存在 。 ￣ ，）
塑 一警 ＝ ｌ ｉ ｍ
但这 并不 能 说 明ｆ ｘ ｙ 在点 （ ， ） 的极 限 （ ，） Ｏ ０处
（ 吕梁 高 等专 科 学校 数 学 系 山西 吕梁 ０ ３ ０ ） ３ ０ ０
摘 要 ： 文 分 析 了二 元 函数 的 二 重 极 限及 累 次 极 限 的 定 义 ， 且 讨 论 和 总 结 了这 两 种 极 限 之 间的 区别 和 本 并
内在联 系。 关 键 词 ： 元 函 数 ： 重极 限 ： 次极 限 二 二 累
８则 称 当 Ｐ Ｐ 时 在 Ｄ上 收 敛 ， 称 Ａ 为 厂 ， ０ 厂 并 当 时的二 重极 限 ， 为 ｔ 厂Ｐ） 记 ｉ （ ｍ
．
２１由定 义 可 知 ， 重 极 限 与 累 次极 限 的本 ． ． 二 质 不 同 ， 者之 间并 没有 蕴 涵关 系 ， 且 ， 个 累 二 并 两 次极 限 之间 也没 有蕴 涵关 系 。
个 重 要 内容 ， 对初 学 者 来 说 ， 二元 函数 的两 种 极 限—— 二 重 极 限 与 累 次极 限 之 间 的 关 系 是 他 们
学 习 的难 点 。为 了搞 清 楚 这 两 种 极 限 之 间 的关 系 。我们 首先 要 紧紧 抓住 这两 种极 限 的定 义 ， 理
任 意一 点 ， 管 以何 种 方 式 趋 向 于 点 （ ） 函 不 ％， ， 数 ｆ ｘ ） （ ， 都趋 向 于 唯一 固定 数 值 Ａ， 正是 二重 这 极 限求 解 的难 点 之 处 ， 时反 过 来 考 虑 ， 也 为 同 这 判 断二 重 极 限 的不存 在 提供 了方法 ， 即若 Ｐ沿两
ｒ＿÷
，
（ ， ） 的 累次极 限和二 重极 限 。 ００ 处
解 ： 先 ｆ ｘＹ 在 点 （ ，） 的两 个 累次 极 首 （ ，） Ｏ０处
限都 存在 ， 别 为 ： 分
Ｖ ＋ Ｘ ０ Ｊ ， ｙ — —｝ ＼’） ， ＝ Ｏ 。
ｌ ｉ ｍ ｌ ｉ ｍ
２ ３ ｌｍ ＿ｙ＋ｙ ｉ ：一１
中 图分 类 号 ： ７ ０ｌ２
文 献标 识 码 ： Ａ
文 章 编 号 ：０ ８ ７ ５ （０ ０ ０ — １７ ０ １０ — ３４ ２ １ ）２ ０５ — ２
二 元 函 数 的极 限是 多 元 函数 微 积 分 学 的一
于 固 定 点 （。ｙ） 任 意 性 则 是 指 （ ｙ 作 为 Ｄ 中 ，ｏ， ，）
条 不 同的 曲线趋 于 Ｐ 时 ， ｎ 函数 厂 的极 限不 同或 不
解 它 们 的实 质性 区别 ， 次要 探究 和总 结 两 种极 其
限存 在性 的 内在联 系 。
１ 二 重极 限与 累次极 限的定 义
存在 ， 则此 函数 厂 点 Ｐ 的二 重极 限不存 在 。 在 。 （） ２ 由累 次极 限 的 定 义很 容易 看 出 ， 累 次 求 极 限实 质 上是 求 两 次一元 函数 的极 限 ，因此 ， 累
。 ．
当 Ｐ，ｏ分 别 用 坐 标 （ ， ） （ｏ ｏ表 示 时 ， Ｐ， Ｙ ，Ｘ ｙ）
上 式也 可记 为 （ ｙ
，
，） ｙ 。
，） Ａ ｙ＝ （ ） 也 存 ｙ
２１１累次极 限存在 ， ．． 二重 极 限未必 存在 。
定 义 ２ 对 于二元 函数 ｆｘｙ ， 固定 Ｙ ０ 、 （，）若 ≠ｙ，
极 限 ，） （（ ） 在 ， ） ＝Ｐ） 存 ， ， 且
例 １ 设 ｆ（，） ｘｙ ￣ 求 ｆ（，） 点 、 ｘ） ＝一 ％ｙ ， ， － ｘ） 在 ，
２ｘ ｙ ＋
在， 则称 Ａ为 ｆ ｘ ｙ 在 点 （ ｙ） 先 对 后 对 Ｙ （ ，） ‰，０处 ｌｒ ｉ ａ 的累次极 限 ， 记作 ｉ ｌ ａ ｒ ｙ； ）Ａ
南 昌高 专学 报 ２１ ０ ０年 第 ２期 （ 总第 ８ ７期 ） ２ １ ０ ０年 ４月 出 版 Ｊｕｒ ｆＮ ｎ ｈｎ ｏｅｅ ｏ ｒ ｏ ｏ ｃａ ｇＣ ｌ ｇ Ｎ ．（ｕ ７ Ａ ｒ ０ ０ ｕ ｌ ｏ２ ｍ ８ ） Ｓ ｐ． １ ２
＝重极限与累－ 欠极限的关系
王 旭 琴
次极 限又称 二次 极 限 。
２ 二 重极 限与 累次 极 限存在 性之 间 的关 系
定义 １ 厂 设 为定 义在 ＤＣＲ 上 的二 元 函数 ， 。
Ｐ ０为 Ｄ 的一个 聚点 。 是 一个 确定 的数 ， Ｖｓ 若 ＞ ０ ３ ＞ ， 得 当 Ｐ （ ｏ ）Ｄ时 ， 有 ｊ Ｐ ｌ ， ８０使 Ｅ Ｐ； Ｉ ６ 都 厂 ） ＜ （
１
两个 自变 量 和 Ｙ作 为 Ｄ 中一 个 点 （ Ｙ ， 向 ，） 趋
ｘ ｙ ÷ —０ —ｏ
，） Ｘ． 一ｘ 一 ）： － ， ￣Ｏ ２
收 稿 日期 ：ｏ ９ Ｏ — ６ ２ ｏ 一 １ ０
作 者简 介 ： 旭 琴 （９ １ ） 女 ， 王 １８ 一 。 山西 吕 梁人 ， 梁 高等 专 科 学 校 数 学 系助教 ， 吕 首都 师 范 大 学 在 读 硕 士 ， 主要 研 究方 向 ： 学。 数
２１ ．． ４一个 累次极 限存 在 ． 一个 累次极 限未 另
必存 在 （ 上例 已说 明 ） 。 ２１ ．． ５两个 累次极 限都存 在 ，二者 未必相 等 ， 即 累 次极 限的 两个 极 限运 算 次 序 不 一 定 可交 换