圆的基本性质培优讲义1(含答案)

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初中数学竞赛辅导讲义及习题解答_第18讲_圆的基本性质

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答学历训练1．D是半径为5cm的⊙O内一点，且OD＝3cm，则过点D的所有弦中，最小弦AB= ．2．阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖．例如：图甲中的三角形被一个圆所覆盖，图乙中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：(1)边长为lcm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm；(2)边长为lcm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm；(3)长为2cm，宽为lcm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是cm．(2003年南京市中考题) 3．世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性．(1)请问以下三个图形中是轴对称图形的有，是中心对称图形的有(分别用下面三个图的代号a，b，c填空)．(2)请你在下面的两个圆中，按要求分别画出与上面图案不重复的图案(草图) (用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些)．a．是轴对称图形但不是中心对称图形．b．既是轴对称图形又是中心对称图形．4．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若AB=10cm，CD＝8cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为( )A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm5．一种花边是由如图的弓形组成的，ACB 的半径为5，弦AB ＝8，则弓形的高CD 为( )A ．2B ．25C ．3D ．316 6．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB 、CD 、EF ，如果AB+CD=EF ，那么AB+CD 与E 的大小关系是（）A ．AB+CD ＝EFB ．AB+CD=FC ． AB+CD<EFD ．不能确定7．电脑CPU 芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄形圆片，叫“晶圆片”．现为了生产某种CPU 芯片，需要长、宽都是1cm 的正方形小硅片若干．如果晶圆片的直径为10．05cm ，问：一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张?请说明你的方法和理由(不计切割损耗)．8．如图，已知⊙O 的两条半径OA 与OB 互相垂直，C 为AmB 上的一点，且AB 2+OB 2=BC 2，求∠OAC 的度数．9．不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l ，垂足为E ，BF ⊥l ，垂足为F ．(1)在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．10．以AB 为直径作一个半圆，圆心为O ，C 是半圆上一点，且OC 2＝AC ×BC ，则∠CAB= ．⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒11．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在BC 的中点A ′上，若BC=5，则折痕在△ABC 内的部分DE 长为．12．如图，已知AB 为⊙O 的弦，直径MN 与AB 相交于⊙O 内，MC ⊥AB 于C ，ND ⊥AB 于D ，若MN=20，AB=68，则MC —ND= ．13．如图，已知⊙O 的半径为R ，C 、D 是直径AB 同侧圆周上的两点，AC 的度数为96°，BD 的度数为36°，动点P 在AB 上，则CP+PD 的最小值为．14．如图1，在平面上，给定了半径为r 的圆O ，对于任意点P ，在射线OP 上取一点P ′，使得OP ×OP ′=r 2，这种把点P 变为点P ′的变换叫作反演变换，点P 与点P ′叫做互为反演点．(1)如图2，⊙O 内外各有一点A 和B ，它们的反演点分别为A ′和B ′，求证：∠A ′=∠B ；(2)如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形．①选择：如果不经过点O 的直线与⊙O 相交，那么它关于⊙O 的反演图形是( )A ．一个圆B ．一条直线C ．一条线段D ．两条射线②填空：如果直线l 与⊙O 相切，那么它关于⊙O 的反演图形是，该图形与圆O 的位置关系是．15．如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的圆O ，对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点为P ，AB=BD ，且PC=0．6，求四边形ABCD 的周长． 16．如图，已知圆内接△ABC 中，AB>AC ，D 为BAC 的中点，DE ⊥AB 于E ，求证：BD 2-AD 2=AB ×AC ．17．将三块边长均为l0cm 的正方形煎饼不重叠地平放在圆碟内，则圆碟的直径至少是多少?(不考虑其他因素，精确到0．1cm)18．如图，直径为13的⊙O ′，经过原点O ，并且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，线段OA 、OB(OA>OB)的长分别是方程0602=++kx x 的两根．⌒ ⌒(1)求线段OA 、OB 的长； (2)已知点C 在劣弧OA 上，连结BC 交OA 于D ，当OC 2=CD ×CB 时，求C 点坐标；(3)在⊙O ，上是否存在点P ，使S △POD =S △ABD ?若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．参考答案⌒。

第一章圆(讲义)(含答案)

第一章圆（讲义）➢知识点睛1.圆的基本概念及性质：在同一平面内，到定点的距离等于一个固定长度的所有的点构成的图形叫做圆。

这个定点叫做圆的圆心。

连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。

通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。

直径所在的直线是圆的对称轴。

2.圆的周长与面积:圆的一周长度称为圆的周长，圆的周长与它的直径长度之比称为圆周率，记为π。

因此圆的周长C=rπ=。

圆的内部区域面积称dπ2为圆的面积，圆的面积S=2πr。

3.两个大小不同的同心圆之间的部分称为圆环。

设大圆半径为R，小圆半径为r，则圆环面积S=()2222-=-。

R r R rπππ➢精讲精练经典例题1圆与扇形相关概念：（1）圆中心的一点叫做，一般用字母表示。

（2）连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做，用字母表示。

（3）通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做，用字母表示。

直径长度是半径长度的倍。

（4）决定圆的大小；决定圆的位置；圆有条对称轴。

（5）图中涂色部分是一个。

圆上A、B两点之间的部分叫做。

顶点在圆心，两条半径组成的∠AOB，叫做。

（6）圆的周长式：；圆的面积公式：。

经典例题2（1）图中圆的周长是多少？圆的面积是多少？（单位：厘米，π取3.14）（2）下图的周长及面积分别是多少？(π取3.14，单位：米)经典例题3计算下图涂色部分的面积。

（π取3.14）经典例题4如图，有五个同心圆的半径分别是1、2、3、4、5，求图中阴影部分的面积。

（π取3.14）经典例题5如图是圆环的一半，面积是28.26平方厘米，那么图形的周长是多少？（π取3.14）【参考答案】经典例题1：（1）圆心，O（2）半径，r（3）直径，d ，2（4）半径，圆心，无数（5）扇形，弧AB ，圆心角（6）C =π2πd r ，S =2πr经典例题2：（1）周长：94.2cm ，面积：706.52cm（2）周长：40.56米，面积：105.12平方米经典例题3：84.78经典例题4：47.1经典例题5：24.84。

华师大初三上册培优讲义第十二讲圆的基本性质

第十二讲圆的基本性质学习目标1、知识目标：理解圆的轴对称性和旋转不变性；在知识框架的建立过程中进一步掌握由这两个性质得到的垂径定理及逆定理，以及圆心角定理、圆周角定理及推论；2、能力目标：进一步培养学生的探究能力、思维能力和解决问题的能力。

3、情感目标：通过课堂学习，熏陶学生乐于探究、善于总结的数学学习品质。

一、知识讲解课前测评1．（2018春衡阳市中考模一）有下列四个命题：①三点确定一个圆;①平分弦的直径垂直于弦;①圆周角等于圆心角的一半;①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等。

则四个判断中正确的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2、（2017秋南川区期中）如图，CD为①O的直径，AB①CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．3．（2017秋颍上县期末）如图，A，B，C三点在①O上，且①BOC=100°，则①A的度数为（）A．40° B．50° C．80° D．100°4、（2017秋澧县张公庙中学期末）若四边形ABCD是①O的内接四边形，且①A:①B:①C=1:3:8，则①D的度数是（）A. 10°B. 30°C. 80°D. 120°5．（2017秋黄冈期中）已知①O的半径为13，弦AB=24，弦CD=10，AB①CD，求这两条平行弦AB，CD 之间的距离．知识点回顾（或新课预习）1、圆的定义：（1）圆的位置由________确定，圆的大小由______确定．（2）以O点为圆心的圆叫做圆O，记作______．2、圆的基本元素：（1）弦：连结圆上任意两点的_________叫做弦．经过________的弦叫做直径．并且直径是同一圆中__________的弦．（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧；劣弧：_____________半圆周的圆弧叫做劣弧；优弧：_____________半圆周的圆弧叫做优弧；．（3）等圆：________相等的两个圆叫做等圆．3、弧、弦、圆心角之间的关系：（1）在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的_______相等，所对的_______相等．（2）在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的_______相等，所对的_______相等．（3）在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的_______相等，所对的_______相等．4．圆的对称性：圆既是______对称图形，它的对称轴是______________；圆又是______对称图形，它的对称中心是__________．5．垂径定理及推论：（1）垂径定理：垂直与弦的直径__________，并且平分弦所对的__________。

第一讲培优圆的基本性质

第一讲圆的基本性质一、知识点圆的有关概念：特别注意：长度相等的弧是等弧吗? 圆的基本性质有：1、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理 • 如果弦长为2r ，圆的半径为R,那么弦心距为d . R 2 r 2.2、垂径定理 ____________________________________ 及其推论.此定理及推论，在证题中很重要，其内容不容易记忆，可这样理解：如果一条直线具备下列条件中的2条，就具备其他3条。

（1）经过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧。

3. 圆周角定理及其推论。

其中以下列两个结论应用最为广泛：（1）直径所对的圆周角是直角；（2）同弧所对的圆周角相等。

二、基础训练1. 下列结论正确的是（）A .弦是直径 B.弧是半圆 C .半圆是弧 D.过圆心的线段是直径2、 .给出下列命题（I ）垂直于弦的直线平分弦；（2 ）平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3 ）平分弦的直线必过圆心（4 ）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。

其中正确的命题有（）3、下列命题中，真命题是（）B.2C.3D.4AB 是O O 的直径，CD 是弦.若AB = 10cm, CD = 8cm 那么A , B 两CD 的距离之和为（）A. 12cmB. 10cmC.8cmD.6cmB. 2个C. 3个D. 4个4、 A .相等的圆心角所对的弧相等C.度数相等的弧是等弧下列命题中，真命题的个数为①顶点在圆周上的角是圆周角； ③90°的圆周角所对的弦是直径; B.相等的弦所对的弧相等 D .在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等②圆周角的度数等于圆心角度数的一半; ④直径所对的角是直角；⑤圆周角相等，贝U 它们所对的弧也相等；⑥同弧或等弧所对的圆周角相等. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个5、直角二角形两直角边长分别为 .3和I ，那么它的外接圆的直径是（A.1 &如图, 点到直线7、如图，在以0为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C, D 两点，AB=10cm, CD=6cm,则AC 的长为()A. 0. 5cmB. 1cmC. 1.5cmD. 2cm8、如图，点A,D,G,M 在半圆上，四边形 ABOC, DEOF,HMNO 匀为矩形，BC=a,EF=bNH=C, 则下列各式中正确的是()9、如图，CD 为。

中考复习讲义圆的基本概念与性质含答案.doc

圆的基本概念与性质内容基本要求略高要求较高要求圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题1．圆的定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O 叫做圆心，OA 叫做半径． 2．弧与弦：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作»AB ，读作弧AB ．等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 3．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

一与圆有关概念【例1】判断题（1）直径是弦 ( ) （2）弦是直径 ( ) （3）半圆是弧 ( ) （4）弧是半圆( ) （5）长度相等的两条弧是等弧 ( ) （6）等弧的长度相等( )中考说明自检自查必考点中考必做题（7）两个劣弧之和等于半圆 ( ) （8）半径相等的两个圆是等圆 ( ) （9）两个半圆是等弧( ) （10）圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R( )【答案】（1）√；（2）×；（3）√；（4）×；（5）×；（6）√；（7）×；（8）√；（9）×；（10）√【例2】如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )A ．a b c >>B ．a b c ==C ．c a b >>D ．b c a >>ON MHGFE DC B A【答案】B【例3】如图，直线12l l ∥，点A 在直线1l 上，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线12l l 、于B 、C 两点，连接AC BC 、．若54ABC ∠=︒，则∠1的大小为________【答案】72°【例4】如图，ABC ∆内接于O e ，84AB AC D ==，，是AB 边上一点，P 是优弧¼BAC 的中点，连接PA 、PB 、PC 、PD ，当BD 的长度为多少时，PAD ∆是以AD 为底边的等腰三角形？并加以证明．【答案】解：当4BD =时，PAD ∆是以AD 为底边的等腰三角形．证明：∵P 是优弧¼ABC 的中点∴»»PBPC = ∴PB PC =在PBD ∆与PCA ∆中， ∵4PB PC PBD PCB BD AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪==⎩∴PBD PCA SAS ∆∆≌（）．∴PD PA =，即4BD =时，PAD ∆是以AD 为底边的等腰三角形．【例5】如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A B C D A ⇒⇒⇒⇒滑动到A 止，同时点R 从点B 出发，沿图中所示方向按B C D A B ⇒⇒⇒⇒滑动到B 止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为_________【答案】4π- 【解析】根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，可知：点M 到正方形各顶点的距离都为1，故点M 所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，点M 所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD 的面积减去4个扇形的面积．二垂径定理及其应用【例6】如图，AB 是O e 的直径，BC 是弦，OD BC ⊥于E ，交弧BC 于D ．（1）请写出五个不同类型的正确结论；（2）若82BC ED ==，，求O e 的半径．【答案】（1）不同类型的正确结论有：22290•ABC BE CE BD DC BED BOD A AC OD AC BC OE BE OB S BC OE BOD BOE BAC ==∠=︒∠=∠⊥+==⋯V P V V V ①；②弧弧；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨是等腰三角形；⑩∽（2）∵OD BC ⊥，∴12BE CE ==4BC =设O e 的半径为R ，则2OE OD DE R =-=-，在Rt OEB V中，由勾股定理得： 22222224OE BE OB R R +=-+=，即（），解得：5R = ，∴O e 的半径为5．【例7】如图，在O e 中，120,3AOB AB ∠=︒=，则圆心O 到AB 的距离=_______【答案】23【例8】如图，D 内接于O e ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交O e 于点E , 连接,AE BE 则下列五个结论①AB DE ⊥,②AE BE =,③OD DE =,④AEO C ∠=∠,⑤»¼12AB ACB =，正确结论的个数是( )A ．2B ．3C ． 4D ．5【答案】A【例9】如图，AB 为O e 的直径，CD 为弦, AB CD ⊥,如果70BOC ∠=︒,那么A ∠的大小为（）AA ． 70︒B ． 35︒C ． 30︒D ．20︒【答案】B【例10】如图，AB 是O e 的在直径，弦CD AB ⊥于点E ，若8CD =，3OE =,则O e 的直径为（）BAA ．10B ．12C ．14D ．16【答案】A【例11】如图，O e 是ABC ∆的外接圆，60BAC ∠=︒，若O e 的半径OC 为2，则弦BC 的长为（） A ．1B C ．2D ．【答案】D【例12】小英家的圆镜子被打破了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（）A ．2BC ．D ．3【答案】B【解析】考查垂径定理与勾股定理的应用．此题关键找到圆心，由不在同一条直线上的三点确定唯一一个圆．如图，作线段,AB BC 的垂直平分线交于点O ，点O 即为圆镜的圆心，连结OA ,由图可知 1,2AD OD==，由勾股定理得半径OA =ODCBA【例13】如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得=∠DOE sin 1213．（1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？【答案】（1）∵OE ⊥CD 于点E ，CD =24， ∴ED =12CD =12．在Rt △DOE 中，∵sin ∠DOE =ED OD =1213， ∴OD =13（m ）．（2）OE5． ∴将水排干需：50.510÷=小时．【例14】如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（）ABCDA ．5米B ． 8米C ．7米 D．米【答案】B【例15】如图，AB 为O e 的直径，弦CD AB ⊥,垂足是E ,连接OC ，若5,8OC CD ==,则AE =_______OBA【答案】2【例16】一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径10OB =,截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是（）A ．16B ．10C ．8D ．6 【答案】A【例17】已知，如图，1O e 与坐标轴交与A （1,0）、B ( 5，0)两点，点1O 的纵坐标为5，求1O e 的半径。

初三上册数学直升班培优讲义学生版第11讲圆(一)(学生版)

模块一模块二模块三圆的基本概念垂径定理圆周角定理模块一圆的基本概念定义示例剖析圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.固定的端点0叫做圆心，线段0A叫做半径. 圆0•由圆的定义可知：\(1)圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在冋一个圆上•因此，圆(是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的n\圆心,—才、半径图形.(2 )要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位表示为“ O 0 ”置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小.圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；or\ /圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；‘ \◎能够重合的两个圆叫做等圆. 等圆丄同心圆弦和弧：1 .连接圆上任意两点的线段叫做弦. 经过圆心的弦叫做直径，并且直径是冋一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍. 优弧、弦2 .圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 7弦以A、B为端点的弧记作A B，读作弧AB . 2J^7B在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 劣弧3.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条表示：劣弧A B弧都叫做半圆.优弧ACB或AmB4.在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.圆心角和圆周角：1.顶点在圆心的角叫做圆心角.2 .顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周A 圆心角司角扇形和弓形1 .一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫\厂扇形，设扇形的圆心角为，则扇形的面积和弧长：0)S r , l r . 扇形\丿)\ 360 180B弓B2 .由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.模块二垂径定理1.圆的对称性圆是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴是任意一条过原点的直线，对称中心是圆心.2 .垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.注意：垂径定理中的五个元素一一“过圆心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣弧”，构成知二推三•模块三圆周角定理定理示例定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半.推论1 :半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）.推论2:圆内接四边形的对角互补.模块圆的基本概念如图,判断下列正误.(1)(2)(3)(4) 半径相等的两个圆是等圆过圆心的线段是直径半圆所对的弦是直径直径是圆中最大的弦ACB如图，A B90如图，四边形ABCt® 4是O O的内接四边形，则A BCD 180，由推论2，我们可以得到圆内接四边形的外角等于内对角，如图，即DCE A .(((())))(5) 半圆是弧( ) (6) 长度相等的弧是等弧 ( ) (7) 两个端点能够重合的弧是等弧( ) (8) 圆中任意一条弦所对的弧有两条，其中一条优弧，一条劣弧()(9) 圆的半径是 R ,则弦长的取值范围是大于0且不大于2R ( )(1) 如图2-1, AB 为O O 的直径，CD 是O O 的弦，AB 、CD 的延长线交于点 E ,若AB 2DE , E 18 , AOC _______________ . (2)如图2-2,两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为 16cm 2,则该半圆的半径为(1) ________________________________________________________________________________________ 如图 3-1, CD 为 O O 的直径，AB CD 于 E , DE 8cm , CE 2cm ，则 AB ____________________________ (2) ____________ 如图3-2，矩形ABCD 与圆心在 AB 上的O O 交于点G 、B 、F , GB 8cm , AG 1cm , DE 2cm , 则 EF ________ .(3) ______________ (安徽芜湖中考) 如图3-3，在O O 内有折线 OABC ，其中OA 8 , AB 12 , 则BC 的长为 ______________.模块二垂径定理IIB 60 , 图2-1 图3-1(1) _____________________________________________________________________________________ 如图4-1,过O O 内一点M 的最长弦长为12cm ,最短弦长为8cm ,则0M 长为 ___________________________________ .(2) 如图4-2,点P 是半径为5的O 0内一点，且0P 3，在过点P 的所有O 0的弦中，弦的长度为整数的条数有 _______________ .(1)直径为50cm 的O 0中，弦AB//弦CD ，又AB 40cm , CD 48cm ，则AB 和CD 两弦的距离为 .例题4(2)(郴州中考) 已知在O 0中，半径r 5 , AB、CD是两条平行弦，且AB 8 , CD 6，则AC 的长为.如图，P为O O外一点，过点P引两条割线FAB和PCD，点M , N分别是A B , C D的中点，连接MN 交AB, CD 与E, F .(1)求证：△ PEF为等腰三角形;模块三圆周角定理根据上面的推理，可以发现 ___________________________________________________ .(2) 若点D 是优弧A B 上任意一点，试判断 ADB 与 ACB 的大小关系•根据上面的推理，可以发现： _________________________________________ .(3) 如果点D 在劣弧A B 上，此时 ADB 和 ACB 的大小关系还一样吗？可以得到什么结论？(1) 一条弦分圆为1:5两部分，则这条弦所对圆周角的度数为例题8(2)如图8-1 , A 、B 、C 、D 是O O 上的点，直径CEB .AB 交CD 于点E ,已知 C 57 , D 45，则(3) 如图8-2, AB 为e O 的弦，△ ABC 的两边 EDC 70，贝U C ____________ .BC 、AC 分别交e O 于D 、E 两点， B 60 ,(4) ________ 如图8-3, △ ABC 内接于e O , AB 是直径, 长为 _____ .BC 4 , AC 3 , CD 平分 ACB ，则弦 BD 的(1)已知A B 为O O 圆周上任意两点，C 是优弧A B 上一点，请你判断 ACB 与 AOB 的大小关系.D图8-1 图8-2 图8-3例题9如图，△ ABC是O0的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与A, B重合），设OABC •猜想与之间的关系，并给予证明.模块一圆的基本概念CD是O O 的直径，EOD 87 , AE 交O O 于B ,且AB OC ，求 A 的度数.（1）如图2-1，点A 、D 、G 、M 在半圆O 上，四边形ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，设BC a , EF b , NH c ,则下列选项中正确的是（）.A . abcB . a b cC . cabD . b c a（2）（河南中考）如图2-2，在半径为 5，圆心角等于45的扇形AOB 内部作一个正方形 CDEF ,使点C 在OA 上，点D 、E 在OB 上，点F 在AB 上，则阴影部分的面积为（结果保留n ） ________________如图,11o 模块二垂径定理 G H OFC 图2-1 A D E 图2-212 (2)已知O 0的直径是10cm , O 0的两条平行弦 AB 6cm , CD 8cm ，则弦AB 与CD 间的距离为 .(湖北中考)如图，AB 是O 0的直径，且 AB 10,弦MN 的长为8，若弦MN 的两端在圆上滑动时，始终与AB 相交，记点A 、B 到MN 的距离分别为h 1 , b ，则|h 1 h 2|等于 _________________________________________.(1)如图3-1，是一条水平铺设的直径为中此时水最深为 _______________ 米. 2米的通水管道横截面，其水面宽为 1.6米，则这条管道(2)如图3-2 ,已知C 是弧AB 的中点，半径0C 与弦AB 相交于点D ,如果那么CD . 0AB 60 , AB 3 , (3)(安徽中考)如图3-3, O 0过点B C .圆心O 在等腰直角△ ABC 的内部, BC 6，则O 0的半径为 ___________________ .BAC 90 , 0A 1 ,6cm ，最短的弦长为 4cm ，贝U 0M 的长等于 _____________最长的弦长为Fh 2 A Nh 1 E OB模块三圆周角定理，（四川成都中考）如图7-1, △ ABC内接于O0 , AB BC , ABC 120 , AD为O0的直径,6，那么BD __________ .(2)贝U A0DA. 70（四川南充中考）（）.如图7-2, AB 是O0 的直径，点C、D 在O 0 上, B0C 110 , AD//0C ,60 C. 50 D. 40 （3）（山东泰安中考）圆周角的度数为如图7-3, O0的半径为1, AB是O 0的一条弦，且AB , 3，则弦AB所对图7-1如图，已知AB是半圆0的直径，C为半圆周上一点, 与AC的数量关系并证明.M是A C的中点，MN AB于N,试判断MN(1)AD13。

圆的基本性质教案(含答案)

DB圆的基本性质基础知识回放集合：圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹：1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线垂径定理:垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD圆心角定理圆周角定理圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半即：∵∠AOB 和∠ACB 是所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACBBC BD =AC AD =BBAOMAP圆周角定理的推论：推论1弧即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径即：在⊙O 中，∵AB 是直径或∵∠C=90°∴∠C=90° ∴AB 是直径推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形即：在△ABC 中，∵OC=OA=OB∴△ABC 是直角三角形或∠C=90°注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

培优数学讲义圆的性质

圆的性质例题1 ●观察计算当5a =，3b =时， 2a b+_________________．当4a =，4b =时， 2a b+_________________．●探究证明如图所示，ABC ∆为圆O 的内接三角形，AB 为直径，过C 作CD AB ⊥于D ，设AD a =，BD =b ．（1）分别用,a b 表示线段OC ，CD ；（2）探求OC 与CD 表达式之间存在的关系（用含a ，b 的式子表示）．●归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出2a b+与的大小关系是：_________________________． ●实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．B例题2.如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OA∥PE.（1）求证：AP＝AO；（2）若弦AB＝12，求tan∠OPB的值；（3）若以图中已标明的点（即P、A、B、C、D、O）构造四边形，则能构成菱形的四个点为，能构成等腰梯形的四个点为或或.例题3、已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点（不与点A、B、G重合），直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r.（1）如图1，当点E在直径AB上时，试证明：OE·OP＝r2（2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由.（图1）（图2）例题4、阅读下面的情境对话，然后解答问题（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？（2）在Rt∆ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt∆ABC 是奇异三角形，求a：b：c；ABD的中点，（3）如图，AB是⊙O的直径，C是上一点（不与点A、B重合），D是半圆⌒CD在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E使得AE＝AD，CB＝CE．○1求证：∆ACE是奇异三角形；○2当∆ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．例题5、已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD.（1）如图①，当PA的长度等于______时，∠PAB=60°；当PA的长度等于______时，△PAD是等腰三角形；（2）如图②，以AB边所在的直线为x轴，AD边所在的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3.设P点坐标为（a，b），试求2S1S3-S22的最大值，并求出此时a、b的值.例题6、已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧⌒AD上到一点E 使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H．（1）求证：AC⊥BH；（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长．（6题图）例题7、.如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D 作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF.（1）当∠AOB＝30°时，求弧AB的长；（2）当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.圆的性质作业1、如图,以O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 切小圆于点C ,若120AOB ∠= ,则大圆半径R 与小圆半径r 之间满足（）A ．R =B ．3R r =C ．2R r =D．R =2、如图，⊙O 的弦AB 垂直平分半径OC ，若AB =6，则⊙O 的半径为（） A. 2 B.2 2 C.22 D.623、在圆柱形油槽内装有一些油。

圆培优讲义

《圆》培优讲义（一）一、圆的基本概念例：思考：车轮为什么是圆的？否则：试想，如果车轮是方的或者是椭圆的，坐车的人会有什么感觉？例：如图：AB、CB为⊙O的两条弦，试说出图中的所有弧。

OAB C例：判断对错1、长度相等的两条弧是等弧。

2、一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧。

3、两个半圆是等弧。

4、半径相等的弧是等弧。

5、半径相等的两个半圆是等弧。

6、分别在两个等圆上的两条弧是等弧。

例：下列说法错误的是A、直径相等的两个圆是等圆。

B、圆中最大的弦是通过圆心的弦。

C、同圆中，优弧和劣弧的和等于一个整圆。

D、直径是圆中最长的弦。

例：AB为圆O的直径，点C在圆O上，OD//BC。

求证：OD是AC的垂直平分线OD例：圆O 的半径为5，弦AB//CD ，且AB=6，CD=8，求以两平行弦为底的梯形的面积。

对应练习：1. 设AB ＝3厘米，画图说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形：（1）和点A 的距离等于2厘米的点的集合；（2）和点B 的距离等于2厘米的点的集合；（3）和点A 、B 的距离都等于2厘米的点的集合；（4）和点A 、B 的距离都小于2厘米的点的集合2. 在下面的矩形中，如果OA 、OB 、OC 、OD 的中点分别为E 、F 、G 、H 。

求证：E 、F 、G 、H4个点在同一个圆上。

二、圆的轴对称性例1. 如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8厘米，圆心O 到AB 的距离为3厘米，求⊙O 的半径。

AOE变式1：如上图，若以O 为圆心再画一个圆交弦AB 于C ，D ，则AC 与BD 间可能存在什么关系?（1）（2）B A A BOC CD D OE变式2：如下图，若将AB 向下平移，当移到过圆心时，结论AC ＝BD 还成立吗?B变式4：如图，设AO ＝BO ，求证AC ＝BD 。

变式5：如图，设OC ＝OD ，求证AC ＝BD 。

结论：得出解决这类题的关键在于利用垂径定理，由圆心O 引弦AB 的垂线。

【精品设计初中数学】初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第18讲圆的基本性质

第十八讲圆的基本性质到定点(圆心)等于定长(半径)的点的集合叫圆，圆常被人们看成是最完美的事物，圆的图形在人类进程中打下深深的烙印．圆的基本性质有：一是与圆相关的基本概念与关系，如弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角等；二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一中心对称图形．用圆的基本性质解题应注意：1．熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明；2．了解弧的特性及中介作用；3．善于促成同圆或等圆中不同名称等量关系的转化．熟悉如下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为和，则∠BAC度数为．32作出辅助线，解直角三角形，注意AB与AC有不同的位置关系．注：由圆的对称性可引出许多重要定理，垂径定理是其中比较重要的一个，它沟通了线段、角与圆弧的关系，应用的一般方法是构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形知识结合起来．。

圆培优讲义

COBA例：判断对错1、长度相等的两条弧是等弧。

2、一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧。

3、两个半圆是等弧。

4、半径相等的弧是等弧。

5、半径相等的两个半圆是等弧。

6、分别在两个等圆上的两条弧是等弧。

例：下列说法错误的是A、直径相等的两个圆是等圆。

B、圆中最大的弦是通过圆心的弦。

C、同圆中，优弧和劣弧的和等于一个整圆。

D、直径是圆中最长的弦。

例：AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，OD//BC。

求证：OD 是AC 的垂直平分线ADOC B例：圆O 的半径为5，弦AB//CD，且AB=6，CD=8，求以两平行弦为底的梯形的面积。

对应练习：1. 设AB＝3 厘米，画图说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形：（1）和点 A 的距离等于2 厘米的点的集合；（2）和点 B 的距离等于2 厘米的点的集合；（3）和点 A、B 的距离都等于2 厘米的点的集合；（4）和点 A、B 的距离都小于2 厘米的点的集合B2. 在下面的矩形中，如果 OA、OB、OC、OD 的中点分别为E、F、G、H。

求证：E、F、G、H4 个点在同一个圆上。

二、圆的轴对称性例 1. 如图，已知在⊙O中，弦AB 的长为8 厘米，圆心O 到AB 的距离为3 厘米，求⊙O的半径。

EAO变式 1：如上图，若以 O 为圆心再画一个圆交弦 AB 于C，D，则AC 与BD 间可能存在什么关系?A C E D BO （1）A C D BO（2）变式 2：如下图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论 AC＝BD 还成立吗?变式 4：如图，设 AO ＝BO ，求证 AC ＝BD 。

变式 5：如图，设 OC ＝OD ，求证 AC ＝BD 。

结论：得出解决这类题的关键在于利用垂径定理，由圆心 O 引弦 AB 的垂线。

九年级数学-培优专题讲义-圆的基本性质

圆的基本性质姓名：上课时间：1.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为______ ,若点P是弧BAD上一动点，则∠BPD大小是否会改变，若不变求出该角，若变化，请说明理由。

2. 如图，B为在⊙O的半径OC上一点（不与点O，C重合），点E在圆上，以OB，BE为边作矩形OBED，延长DO到点A，使OA＝OB，连接AC，则( )A．AC＞DB B．AC＜DBC．AC＝DB D．AC与BD的大小关系不能确定．第1题图第2题图考点一、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧考点二、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

考点三、圆周角定理及其推论圆周角定理基础巩固EDAOCB一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

考点四、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

例1：（19年元调）如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且AD＝CB，求证：AB＝CD第18题图例2：如图，△ABC的顶点在⊙O上，点E，F分别为边AB，AC的中点．（1）求证点A，E，O，F在同一个圆上，并在图中画出该圆的圆心；（2）⊙O的直径MN＝4，点A固定，点B在半圆弧上运动，当点B从点M运动到点N的过程中，请直接写出点E运动路径的长．例3：如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=BC.延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE.(1)求证：∠B=∠D；(2)若AB=13，BC﹣AC=7，求CE的长.典型例题NEOABMFEOB例4：在⊙O中,AB为直径,C为⊙O上一点．（1）如图1,过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P,若∠CAB=27°,求∠P的大小；（2）如图2,D为弧AC上一点,且OD经过AC的中点E,连接DC并延长,与AB的延长线相交于点P,若∠CAB=10°,求∠P的大小．例5：如图，在四边形ABCD中，(1) 若∠BAD+∠BCD=1800，则图中有____ 对相等的角（小于1800）；（2）若∠BAC=∠BDC,且AB=AC ，证明：∠ADB=∠ACB .例6：（19年元调）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O为△ABC的外接圆(1) 如图1，求证：AD是⊙O的切线(2) 如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G①求证：AG＝BG②若AD＝2，CD＝3，求FG的长1.在⊙O 中，弦AB 的长为6，圆心O 到AB 的距离为4，则⊙O 的半径为（） A ．10B ．6C ．5D ．42.如图所示，点A ，B 和C 在⊙O 上，已知∠AOB ＝40°，则∠ACB 的度数是（）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°3.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点．若∠B ＝110°，则∠ADE 的度数为___________.4．如图，两个等圆⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，O 1B 的延长线交⊙O 2于点C ，若∠O 1＝35°，则∠O 1O 2C 的度数为 A ．65° B ．70° C ．75° D ．80°．5.如图，在⊙O 中，半径OA ⊥弦BC ，点E 为垂足，点D 在优弧上．（1）若∠AOB=56°，求∠ADC 的度数；（2）若BC=6，AE=1，求⊙O 的半径．6.如图，OA 、OB 、OC 都是⊙O 的半径，∠AOB ＝2∠BOC(1) 求证：∠ACB ＝2∠BAC ；(2) 若AC 平分∠OAB ，求∠AOC 的度数7.如图,⊙O 的直径AB 的长为10，弦AC 的长为5，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D. （1）求BC 的长；（2）求弦BD 的长.A BCOAC BO 1O 28.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，求EC的长．9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2。

九年级(上)培优讲义：第5讲圆的基本性质

第5讲：圆的基本性质一、建构新知1．圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.2．圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等.3．两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.4．与圆有关的角：(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.二、经典例题例1．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC外接圆半径的长度为．例2．如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°，求CD的长．变式：如图，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，垂足分别为M 、N ，如果MN ＝3，那么BC ＝．例3．如图，在⊙O 中，半径OC 垂直于弦AB ，垂足为点E ．（1）若OC =5，AB =8，求tan ∠BAC ；（2）若∠DAC =∠BAC ，且点D 在⊙O 的外部，判断直线AD 与⊙O 的位置关系，并加以证明．例4. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，FH 是⊙O 的切线，切点为F ，FH ∥BC ，连结AF 交BC 于E ，∠ABC 的平分线BD 交AF 于D ，连结BF ．（1）证明：AF 平分∠BAC ；（2）证明：BF ＝FD .N MO C BA例5. 已知射线OF交⊙O于B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线交射线OF于E.(1)如图所示是点P在圆内移动时符合已知条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合已知条件的图形.(2)观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比较写出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律.(3)点P在移动过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.例6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=35，求⊙O的直径．三、基础演练1．如图所示，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD．如果∠DAC＝78°，那么∠ADO等于()．A．70°B．64°C．62°D．51°2．在半径为27m的圆形广场中心点O的上空安装了一个照明光源S，S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB的顶角为120°(如图所示)，则光源离地面的垂直高度SO为()．A．54m B．m C．m D．m3．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于().A. (4π+8)cm2B. (4π+16)cm2C. (3π+8)cm2D. (3π+16)cm24．如图，的半径为5，弦的长为8，点在线段(包括端点)上移动，则的取值范围是().A. B. C. D.5.“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为() A．12.5寸B．13寸C．25寸D．26寸6．在平面直角坐标系中如图所示，两个圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0，－4)，半径分别是和，则这两个圆的公切线（和两圆都相切的直线）有()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条7．一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为( )．A ．80°B ．100°C ．80°或100°D ．160°或200°8．如图所示，AB 、AC 与⊙O 分别相切于B 、C 两点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B 、C 的一动点，则∠BPC 的度数是( )．A ．65°B ．115°C ．65°或115°D ．130°或50° 9．如下左图，是的内接三角形，，点P 在上移动(点P 不与点A 、C 重合)，则的变化范围是_____.10．如图所示，EB 、EC 是⊙O 是两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E =46°，∠DCF =32°，那么∠A 的度数是____________.11．已知⊙O 1与⊙O 2的半径、分别是方程的两实根，若⊙O 1与⊙O 2的圆心距=5．则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是______________ .12．已知圆的直径为13 cm ，圆心到直线的距离为6cm ，那么直线和这个圆的公共点的个数是______.13. 两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是______. 14. 已知正方形ABCD 外接圆的直径为，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK 的边长为_______________，面积为_______________．四、直击中考1.(2013年湖北)如，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，3AC =，4BC =，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为（） A .95 B . 245 C . 185 D . 522.（2013黑龙江）如图，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，AC 平分∠BAD ，AC 交BD 于点E ，CE =4，CD =6，则AE 的长为（）CADBA ．4B ．5C ．6D ．73．（2013江苏）如图，已知AB 是⊙O 的直径，AD 切⊙O 于点A ，点C 是的中点，则下列结论不成立的是（） A ．OC ∥AE B ．EC =BCC ．∠DAE =∠ABED ．AC ⊥OE4.（2013湖北）如图，DC 是⊙O 直径，弦AB ⊥CD 于F ，连接BC ，DB ，则下列结论错误的是（） A ．B ． A F =BFC ． O F =CFD ． ∠DBC =90°5.（2013湖北）如图，M 是CD 的中点，EM ⊥CD ，若CD =4，EM =8，则所在圆的半径为．6.（2013年广东）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 在第一象限，P Θ与x 轴交于O ,A 两点，点A 的坐标为（6,0），P Θ的半径为13，则点P 的坐标为____________.7.（2013四川）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，点F 是CD 上一点，且满足=31，连接AF 并延长交⊙O 于点E ，连接AD 、DE ，若CF =2，AF =3．给出下列结论：①△ADF ∽△AED ；②FG =2；③tan ∠E =；④S △DEF =4．其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．8．（2013浙江）如图，AE 是半圆O 的直径，弦AB =BC =4，弦CD =DE =4，连结OB ，OD ，则图中两个阴影部分的面积和为． 9. （2013江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （6，0），点B （0，6），动点C 在以半径为3的⊙O 上，连接OC ，过O 点作OD ⊥OC ，OD 与⊙O 相交于点D （其中点C 、O 、D 按逆时针方向排列），连接AB ．（1）当OC ∥AB 时，∠BOC 的度数为；（2）连接AC ，BC ，当点C 在⊙O 上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值．（3）连接AD，当OC∥AD时：①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．10.（2013四川）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．五、挑战竞赛1.如图所示，△ABC的三边满足关系BC=12（AB+AC），O，I分别为△ABC的外心和内心，∠BAC的外角平分线交⊙O于点E，AI的延长线交⊙O于点D，DE交BC于点H．求证：（1）AI=BD；（2）OI=12 AE．第22题图②OPCBA六、每周一练1．在△ABC 中，∠C 为锐角，分别以AB ，AC 为直径作半圆，过点B ，A ，C 作，如图所示．若AB =4，AC =2，S 1﹣S 2=，则S 3﹣S 4的值是（） A ．B ．C ．D ．2.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形， AB ＝AC ，点P 是⋂AB 的中点，连接P A ，PB ，PC ．如图②，若2524sin =∠BPC ，则PAB ∠tan 的值为． 3. 如图1，正方形ABCD 的边长为2，点M 是BC 的中点，P 是线段MC 上的一个动点（不与M 、C 重合），以AB 为直径作⊙O ，过点P 作⊙O 的切线，交AD 于点F ，切点为E ．（1）求证：OF ∥BE ；（2）设BP =x ，AF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）延长DC 、FP 交于点G ，连接OE 并延长交直线DC 与H （图2），问是否存在点P ，使△EFO ∽△EHG （E 、F 、O 与E 、H 、G 为对应点）？如果存在，试求（2）中x 和y 的值；如果不存在，请说明理由．。

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第18讲圆的基本性质

第十八讲圆的基天性质到定点 (圆心 )等于定长 (半径 )的点的会合叫圆，圆常被人们当作是最完满的事物，圆的图形在人类进度中打下深深的烙印．圆的基天性质有：一是与圆有关的基本观点与关系，如弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角等；二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一中心对称图形．用圆的基天性质解题应注意：1．娴熟运用垂径定理及推论进行计算和证明；2．认识弧的特征及中介作用；3．擅长促成同圆或等圆中不一样名称等量关系的转变．熟习以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例 1】在半径为 1 的⊙ O 中，弦 AB 、AC 的长分别为 3 和 2 ，则∠BAC度数为．作出协助线，解直角三角形，注意AB 与 AC 有不一样的地点关系．注：由圆的对称性可引出很多重要定理，垂径定理是此中比较重要的一个，它交流了线段、角与圆弧的关系，应用的一般方法是结构直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形知识结合起来．圆是一个对称图形，注意圆的对称性，可提升解与圆有关问题周祥性．【例 2】如图，用 3 个边长为 1 的正方形构成一个对称图形，则能将其完整覆盖的圆的最小半径为 ( )A ． 2B ． 5 C．5D．5 172 4 16思路点拨所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能经过圆形的某些极点，经过设未知数求解．⌒⌒【例 3】如图，已知点 A 、B、C、D 按序在⊙ O 上，AB=BD ，BM ⊥AC 于 M ，求证：AM=DC+CM ．思路点拨用截长 (截 AM) 或补短 (延伸 DC) 证明，将问题转变成线段相等的证明，证题的重点是促进不一样量的相互变换并打破它．⌒【例 4】如图甲，⊙ O的直径为AB，过半径OA 的中点 G 作弦 C E ⊥AB ，在 CB 上取一点 D ，分别作直线 CD、 ED ，交直线 AB 于点 F， M ．(1) 求∠ COA 和∠ FDM 的度数；(2) 求证：△ FDM ∽△ COM ；⌒(3) 如图乙，若将垂足 G 改取为半径 OB 上随意一点，点CD 、D 改取在 EB 上，仍作直线ED ，分别交直线 AB 于点 F、M ，试判断：此时能否有△FDM ∽△ COM? 证明你的结论．思路点拨(1) 在 Rt△COG 中，利用 OG= 1OA= 1 OC； (2)证明∠ COM= ∠ FDM ，∠ CMO= 2 2∠FMD ； (3) 利用图甲的启迪思虑．注：擅长促成同圆或等圆中不一样名称的相互转变是解决圆的问题的重要技巧，此处，要努力把圆与直线形相合起来，认识到圆可为解与直线形问题供给新的解题思路，而在解与圆有关问题经常用到直线形的知识与方法(主假如指全等与相像)．【例 5】已知：在△ ABC 中， AD 为∠ BAC 的均分线，以 C 为圆心， CD 为半径的半圆交 BC 的延伸线于点 E，交 AD 于点 F，交 AE 于点 M ，且∠ B= ∠CAE ， EF： FD＝ 4：3．(1)求证： AF ＝ DF；(2)求∠ AED 的余弦值；(3)假如 BD ＝ 10，求△ ABC 的面积．(1) 证明∠ ADE ＝∠ DAE ；(2) 作 AN ⊥BE 于 N ，cos∠AED ＝EN，设 FE=4x， FDAE＝3x ，利用有关知识把有关线段用 x 的代数式表示； (3)找寻相像三角形，运用比率线段求出 x 的值．注：本例的解答，需运用相像三角形、等腰三角形的判断、面积方法、代数化等知识方法思想，综合运用直线形有关知识方法思想是解与圆有关问题的重点．学历训练1．D 是半径为5cm 的⊙ O 内一点，且 OD＝ 3cm，则过点 D 的全部弦中，最小弦AB=．2．阅读下边资料：对于平面图形A，假如存在一个圆，使图形 A 上的随意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形 A 被这个圆所覆盖．对于平面图形 A ，假如存在两个或两个以上的圆，使图形 A 上的随意一点到此中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形 A 被这些圆所覆盖．比如：图甲中的三角形被一个圆所覆盖，图乙中的四边形被两个圆所覆盖．回答以下问题：(1) 边长为 lcm 的正方形被一个半径为r 的圆所覆盖， r 的最小值是cm；(2) 边长为 lcm 的等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖， r 的最小值是cm；(3) 长为 2cm，宽为 lcm 的矩形被两个半径都为r 的圆所覆盖， r 的最小值是cm．(2003 年南京市中考题 )3．世界上由于有了圆的图案，万物才显得富裕活力，以下来自现实生活的图形中都有圆：它们看上去多么漂亮与和睦，这正是由于圆拥有轴对称和中心对称性．(1) 请问以下三个图形中是轴对称图形的有，是中心对称图形的有(分别用下边三个图的代号a， b， c 填空 )．(2)请你在下边的两个圆中，按要求分别画出与上边图案不重复的图案(草图 ) (用尺规画或徒手画均可，但要尽可能正确些，雅观些)．a．是轴对称图形但不是中心对称图形．b．既是轴对称图形又是中心对称图形．4．如图， AB 是⊙ O 的直径， CD 是弦，若AB=10cm ， CD ＝ 8cm，那么 A 、B 两点到直线CD 的距离之和为()A ．12cm B． 10cm C． 8cm D ．6cm5．一栽花边是由如图的弓形构成的，ACB 的半径为 5，弦 AB ＝ 8，则弓形的高 CD 为 ()A ．2B ．5C ．3D ．16236．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒与AB 、CD 、EF ，假如 AB+CD=EF ，那么 AB+CDE 的大小关系是（）A ．AB+CD ＝ EFB ． AB+CD=FC ． AB+CD<EFD ．不可以确立7．电脑 CPU 芯片由一种叫 “单晶硅” 的资料制成，未切割前的单晶硅资料是一种薄形圆片，叫“晶圆片” ．现为了生产某种 CPU 芯片，需要长、宽都是 1cm 的正方形小硅片若干．如果晶圆片的直径为10． 05cm ，问：一张这种晶圆片可否切割出所需尺寸的小硅片66 张 ?请说明你的方法和原因 (不计切割消耗 )．8．如图，已知⊙ O 的两条半径 ⌒ 2 2 2OA 与 OB 相互垂直， C 为 AmB 上的一点，且 AB +OB =BC ，求∠ OAC 的度数．9．可是圆心的直线 l 交⊙ O 于 C 、D 两点， AB 是⊙ O 的直径， AE ⊥ l ，垂足为 E ，BF ⊥ l ，垂足为 F ．(1) 在下边三个圆中分别补画出知足上述条件的拥有不一样地点关系的图形；(2) 请你察看 (1) 中所绘图形，写出一个各图都拥有的两条线段相等的结论 (不再标明其余字母，找结论的过程中所连协助线不可以出此刻结论中，不写推理过程)；(3) 请你选择 (1) 中的一个图形，证明 (2) 所得出的结论．10．以 AB 为直径作一个半圆，圆心为O， C 是半圆上一点，且 OC2＝ AC × BC ，则∠ CAB= ．⌒11．如图，把正三角形 ABC 的外接圆对折，使点，则A 落在 BC 的中点 A ′上，若 BC=5折痕在△ ABC 内的部分 DE 长为．12．如图，已知 AB 为⊙ O 的弦，直径 MN 与 AB 订交于⊙ O 内， MC ⊥AB 于 C，ND ⊥ AB于 D，若 MN=20 ，AB= 8 6 ，则 MC—ND= ．⌒13．如图，已知⊙O 的半径为R，C、D 是直径 AB 同侧圆周上的两点，AC 的度数为96°，BD 的度数为36°，动点P 在 AB 上，则 CP+PD 的最小值为．14．如图 1，在平面上，给定了半径为 r 的圆 O，对于随意点 P，在射线 OP 上取一点 P′，使得OP× OP′ =r2，这种把点 P 变成点 P′的变换叫作反演变换，点 P 与点 P′叫做互为反演点．(1) 如图 2，⊙ O 内外各有一点 A 和 B，它们的反演点分别为 A ′和 B′，求证：∠ A′ =∠B ；(2)假如一个图形上各点经过反演变换获得的反演点构成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形．①选择：假如不经过点O 的直线与⊙ O 订交，那么它对于⊙O 的反演图形是 ()A ．一个圆B ．一条直线C．一条线段 D ．两条射线②填空：假如直线l 与⊙O相切，那么它对于⊙O 的反演图形是，该图形与圆O 的地点关系是．15．如图，已知四边形ABCD 内接于直径为 3 的圆 O，对角线AC BD 的交点为P， AB=BD ，且 PC=0． 6，求四边形ABCD 的周长．⌒16．如图，已知圆内接△ ABC 中，AB>AC ，D 为 BAC 的中点，DE ⊥AB ×AC ．是直径，对角线AC 和于 E，求证：BD 2-AD 2=AB 17．将三块边长均为l0cm 的正方形煎饼不重叠地平放在圆碟内，则圆碟的直径起码是多少?(不考虑其余要素，精准到 0． 1cm)18．如图，直径为 13 的⊙ O ′，经过原点 O ，而且与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、B 两点，线段OA 、 OB(OA>OB) 的长分别是方程 x 2 kx 60 0 的两根．(1) 求线段 OA 、 OB 的长；(2) ⌒ 2已知点 C 在劣弧 OA 上，连接BC 交 OA 于 D ，当 OC =CD × CB 时，求 C 点坐标； (3) 在⊙ O ，上能否存在点 P ，使 S △POD =S △ ABD ?若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明原因．参照答案第十九讲转变灵巧的圆中角角是几何图形中最重要的元素，证明两直线地点关系、运用全等三角形法、相像三角形法都要波及角，而圆的特点，给予角极强的活性，使得角能灵巧地相互转变．依据圆心角与圆周角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转变；由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的状况下，改变极点在圆上的地点进行研究；由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角相互联系起来．熟习以下基本图形、基本结论．注：依据极点、角的两边与圆的地点关系，我们定义了圆心角与圆周角，近似地，当角的顶点在圆外或圆内，我们能够定义圆外角与圆内角，这两类角分别与它们的所夹弧度数有如何的关系 ?读者可自行作一番商讨．【例题求解】【例 1】如图，直线AB 与⊙ O 订交于 A ， B 再点，点O 在 AB 上，点 C 在⊙ O 上，且∠AOC ＝ 40°，点 E 是直线 AB 上一个动点 (与点 O 不重合 )，直线 EC 交⊙ O 于另一点D，则使 DE=DO 的点正共有个．思路点拨在直线 AB 上使 DE=DO 的动点 E 与⊙ O 有如何的地点关系?分点 E 在 AB 上 (E 在⊙ O 内 )、在 BA 或 AB 的延伸线上 (E 点在⊙ O 外 )三种状况考虑，经过角度的计算，确立 E 点地点、存在的个数．注：弧是联系与圆有关的角的中介，“由弧到角，由角看弧”是促进与圆有关的角相互转变的基本方法．【例 2】如图，已知△ ABC 为等腰直角三形， D 为斜边 BC 的中点，经过点 A 、D 的⊙ O 与边 AB 、AC 、BC 分别订交于点 E 、F 、M ，对于以下五个结论： ①∠ FMC=45 °；② AE+AF ＝AB ；③ ED BA；④ 2BM 2=BF × BA ；⑤四边形 AEMF 为矩形．此中正确结论的个数是EFBC ()A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个思路点拨充足运用与圆有关的角，找寻特别三角形、特别四边形、相像三角形，逐个考证．注：多重选择单项选择化是最近几年出现的一种新题型，解这种问题，需把条件重组与整合，发掘隐合条件，作深入的研究，方能作出小正确的选择．【例 3】如图，已知四边形ABCD 外接⊙ O 的半径为 5，对角线 AC 与 BD 的交点为E ，且 AB 2=AE × AC ， BD ＝ 8，求△ ABD 的面积．思路点拨由条件出发，利用相像三角形、圆中角可推得 A 为弧 BD 中点，这是解本例的关键．【例 4】如图，已知 AB 是⊙ O ⊥AB 于 D(AD<DB) ，点 E 是 AB AF 与直线 CD 交于点 G ．(1) 求证： AC 2=AG ×AF ；的直径， C 是⊙ O 上的一点，连接 AC ，过点 C 作直线 CD 上随意一点 (点 D 、 B 除外 )，直线 CE 交⊙ O 于点 F ，连接(2)若点 E 是 AD( 点 A 除外 )上随意一点，上述结论能否仍旧建立?若建立．请画出图形并赐予证明；若不建立，请说明原因．思路点拨(1) 作出圆中常用协助线证明△ACG ∽△ AFC ；（ 2）判断上述结论在E 点运动的状况下能否建立，依题意正确画出图形是重点．注：结构直径上 90°的圆周角，是解与圆有关问题的常用协助线，这样就为勾股定理的运用、相像三角形的判断创建了条件．【例 5】如图，圆内接六边形ABCDEF 知足 AB=CD=EF ，且对角线 AD 、BE、CF 订交于一点 Q，设 AD 与 CF 的交点为 P．求证：（ 1）QD AC； (2) CP AC 2 ．PE CE 2 ED EC思路点拨解本例的重点在于运用与圆有关的角，能发现多对相像三角形．CP QC(1) 证明△ QDE∽△ ACF ；(2) 易证，经过其余三角形相像并联合(1) 把特别规问题PE DE的证明转变成惯例问题的证明．注：有些几何问题固然表面与圆没关，可是若能发现隐含的圆，特别是能发现共圆的四点，就能运用圆的丰富性质为解题服务，确立四点共圆的主要方法有：(1)利用圆的定义判断；(2)利用圆内接四边形性质的抗命题判断．学历训练1．一条弦把圆分红2： 3 两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为．2．如图， AB 是⊙ O 的直径， C、D 、E 都是⊙ O 上的一点，则∠1+∠2=．3．如图， AB 是⊙ O 的直径，弦CD⊥AB ， F 是 CG 的中点，延伸AF 交⊙ O 于 E， CF=2 ，AF=3 ，则 EF 的长为．4．如图，已知△ ABC 内接于⊙ O，AB+AC=12 ，AD ⊥ BC 于 D ，AD ＝ 3，设⊙ O 的半径为y ，AB 的长为 x ，用 x 的代数式表示y ， y =．5．如图， ABCD 是⊙ O 的内接四边形，延伸BC 到 E，已知∠ BCD ：∠ ECD＝ 3： 2，那么∠BOD 等于 ()A ．120°B ． 136°C． 144°D． 150°6．如图，⊙ O 中，弦 AD ∥ BC ， DA=DC ，∠ AOC=160 °，则∠ BOC 等于 ()A ． 20°B． 30°C． 40° D ． 50°7．如图， BC 为半圆 O 的直径， A 、D 为半圆 O 上两点， AB= 3 ， BC=2 ，则∠ D 的度数为()A ． 60°B． 120°C．135°D． 150°8．如图，⊙ O 的直径 AB 垂直于弦 CD ，点 P 是弧 AC 上一点 (点 P 不与 A、 C 两点重合 )，连接PC、PD、PA、AD ，点 E 在 AP 的延伸线上， PD 与 AB 交于点 F．给出以下四个结论：2 ⌒ ⌒ 2①CH =AH × BH ；② AD=AC ；③ AD =DF × DP；④∠EPC=∠ APD ，此中正确的个数是 ()A ．1B ． 2 C． 3 D． 49．如图，已知 B 正是△ ABC 的外接圆 O 的直径， CD 是△ ABC 的高．(1)求证： AC · BC=BE · CD；(2)已知 CD=6 ，AD=3 ， BD=8 ，求⊙ O 的直径 BE 的长．10．如图，已知 AD 是△ ABC 外角∠ EAC 的均分线，交 BC 的延伸线于点 D，延伸 DA 交△ABC的外接圆于点 F，连接 FB， FC．(1)求证： FB=FC ；(2)求证： FB2 =FAFD ；(3)若 AB 是△ ABC 的外接圆的直径，∠ EAC=120 °， BC=6cm ，求 AD 的长．11．如图， B 、C 是线段 AD 的两个三均分点，P 是以 BC 为直径的圆周上的随意一点(B、C 点除外 )，则 tan∠APB · tan∠ CPD=．12．如图，在圆内接四边形ABCD 中， AB=AD ，∠ BAD=60 °， AC= a ，则四边形ABCD 的面积为．13．如图，圆内接四边形ABCD 中，∠ A ＝ 60°，∠ B ＝ 90°， AD=3 ，CD=2 ，则 BC=．⌒14．如图， AB 是半圆的直径， D 是 AC 的中点，∠ B=40°，则∠ A 等于()A ． 60°B ．50°C． 80°D． 70°15．如图，已知 ABCD 是一个以 AD 为直径的圆内接四边形，AB=5 ，PC=4，分别延伸 AB 和 DC，它们订交于 P，若∠ APD=60 °，则⊙ O 的面积为 ( )A ． 25πB ．16πC． 15πD ． 13π(2001年绍兴市比赛题)16．如图， AD 是 Rt△ ABC 的斜边 BC 上的高， AB=AC 别订交于点 E、F，弦 EF 与 AD 订交于点 G，则图中与△，过 A 、D 两点的圆与AB 、AC 分GDE 相像的三角形的个数为()A．5B．4C．3D．217．如图，已知四边形ABCD 外接圆⊙ O 的半径为2，对角线 AC 与 BD 的交点为E，AE=EC ，AB= 2 AE，且BD= 2 3，求四边形ABCD 的面积．18．如图，已知ABCD 为⊙ O 的内接四边形， E 是 BD 上的一点，且有∠BAE= ∠ DAC ．求证： (1) △ ABE ∽△ ACD ； (2)ABDC+AD · B C ＝ AC · BD ．19．如图，已知 P 是⊙ O 直径 AB 延伸线上的一点，直线 PCD 交⊙ O 于 C、D 两点，弦 DF ⊥AB于点 H， CF 交 AB 于点 E．(1) 求证： PA· PB=PO ·PE； (2) 若 DE ⊥ CF，∠ P=15 °，⊙ O 的半径为2，求弦 CF 的长．20 ．如图，△ABC内接于⊙O ， BC=4 ， S△ABC = 6 3 ，∠ B 为锐角，且对于x 的方程⌒x2 4x cos B 1 0 有两个相等的实数根， D 是劣弧 AC 上任一点 (点 D 不与点 A 、 C 重合 )， DE 均分∠ ADC ，交⊙ O 于点 E，交 AC 于点 F．(1)求∠ B 的度数；(2)求 CE 的长；(3) 求证： DA 、DC 的长是方程y 2DE y DE DF0 的两个实数根．参照答案。

圆的培优讲义

一、圆的定义1、动态定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆①圆心:确定圆的位置——圆心相同的圆叫做同心圆确定圆需要两个条件②半径：确定圆的大小——半径相等的圆叫做等圆 2、静态定义圆心为O ，半径为r 的圆是所有到定点O 的距离等于定长 r 的点的集合．（1）图上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径 r ）．圆的特点（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．考点1:证明一些点共圆题型1：直角三角形例1、如图，在中BD ⊥AC,CE ⊥AB,证明BCDE 在同一个圆上题型2：矩形、正方形例2证明对角线互相垂直的四边形的各边的中点在同一个圆上.考点2：利用半径相等构造等腰三角形求角度例3：如图，CE 是⊙O 的直径，AD 的延长线与CE 的延长线交于点B ，若BD=OD ，∠AOC=114º，求∠AOD 的度数。

2．圆心、半径固定的端点O 叫做圆心．线段OA 叫做半径，一般用r 表示．以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ” 3．弦、直径连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦．考点3：求弦的最值例4、P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．例5、⊙O 所在平面上的一点P 到⊙O 上的点的最大距离是10，最小距离是2，求此圆的半径是多少？4．圆弧（弧） 1、优弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧的分类 2、半圆 3、劣弧等弧：能够重合的弧叫做等弧，不是长度相等的弧例6、判断下列说法的正误 (1)弦是直径 (2)半圆是弧；(3)过圆心的线段是直径； (4)过圆心的直线是直径 (5)半圆是最长的弧 (6)直径是最长的弦；(7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆; (8)半径相等的两个圆是等圆变式训练：1.如图,⊙O 的直径为10cm,弦AB 为8cm,P 是弦AB 上一点,若OP 的长为整数, 则满足条件的点P 有( )A.2个B.3个C.4个D.5个2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。

32【提高】圆的基本概念和性质(培优课程讲义例题练习含答案)

圆的基本概念和性质—知识讲解（提高）【学习目标】1．知识目标：理解圆的有关概念和圆的对称性；2．能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，•圆的对称性进行计算或证明；3．情感目标：养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯.【要点梳理】要点一、圆的定义及性质1.圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.圆的性质①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.要点诠释：①圆有无数条对称轴；②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.3.两圆的性质两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.【高清ID号：356996 关联的位置名称（播放点名称）：概念、性质的要点回顾】4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.【典型例题】类型一、圆的定义1．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，求证：点A、B、C、D在以点O为圆心的同一个圆上.【答案与解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OC=OB=OD，∴点A、B、C、D在以点O为圆心、OA为半径的圆上.【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等. 举一反三：【变式】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形【答案】C.2．爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。

浙教版初中数学培优讲义九年级教师版第三章《圆的基本性质》全章复习与巩固—知识讲解(提高)

《圆的基本性质》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1．理解圆及其有关概念，了解点与圆的位置关系.2. 认识图形的旋转，理解图形的旋转的性质.3. 理解圆的性质，垂径定理，圆心角定理，圆周角定理.4. 理解圆内接四边形的性质.5．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积.6. 会初步综合应用圆的有关知识，解决一些简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义（1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合.（3）不在同一条直线上的三个点确定一个圆.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.点与圆的位置关系判定一个点P是否在⊙O上设⊙O的半径为，OP=，则有点P在⊙O 外；点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.4．与圆有关的角圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.在同圆或者等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.5. 圆内接四边形圆内接四边形的对角互补.要点二、图形的旋转在平面内，一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转.这个定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.图形经过旋转所得的图形和原图形全等.对应点到旋转中心的距离相等.任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点三、正多边形各边相等，各内角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．要点四、弧长及扇形的面积圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的基础知识1. 如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°,点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行（或重合）的直线与⊙O有公共点, 设OP=x，则x的取值范围是（）.≤x≤2C．0≤x≤2 D．x＞2 A．－1≤x≤1 B．2【答案】C；【解析】如图，平移过P点的直线到P′，使其与⊙O相切，设切点为Q，连接OQ，由切线的性质，得∠OQP′=90°，∵OA∥P′Q，∴∠OP′Q=∠AOB=45°，∴△OQP′为等腰直角三角形，在Rt△OQP′中，OQ=1，OP′=2，∴当过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点时，0≤OP≤，当点P在x轴负半轴即点P向左侧移动时，结果相同．故答案为：0≤OP≤2．【总结升华】本题考查了直线与圆的位置关系问题．关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时OP的值．举一反三：【变式】如图，已知⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OB平行的直线于⊙O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是（）.A．-1≤x＜0或0＜x≤1 B．0＜x≤1 C．-2≤x＜0或0＜x≤2 D．x＞1【答案】∵⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，∴过点P′且与OB平行的直线与⊙O相切时，假设切点为D，∴OD=DP′=1，OP′=2，∴0＜OP≤2，同理可得，当OP与x轴负半轴相交时，-2≤OP＜0，∴-2≤OP＜0，或0＜OP≤2．故选C．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理=，2．如图所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上的点，且CF CB BF交CG于点E，求证：CE＝BE．【答案与解析】证法一：如图(1)，连接BC，=．∵ AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB，∴CB GB∵ CF BC =，∴ CF GB =．∴ ∠C ＝∠CBE ．∴ CE ＝BE ．证法二：如图(2)，作ON ⊥BF ，垂足为N ，连接OE ．∵ AB 是⊙O 的直径，且AB ⊥CG ，∴ CB BG =．∵ CB CF =，∴ CF BC BG ==．∴ BF ＝CG ，ON ＝OD ．∵ ∠ONE ＝∠ODE ＝90°，OE ＝OE ，ON ＝OD ，∴ △ONE ≌△ODE ，∴ NE ＝DE ．∵ 12BN BF =，12CD CG =， ∴ BN ＝CD ，∴ BN-EN ＝CD-ED ，∴ BE ＝CE ．证法三：如图(3)，连接OC 交BF 于点N ．∵ CF BC =，∴ OC ⊥BF ．∵ AB 是⊙O 的直径，CG ⊥AB ，∵ BG BC =，CF BG BC ==．∴ BF CG =，ON OD =．∵ OC ＝OB ，∴ OC-ON ＝OB-OD ，即CN ＝BD ．又∠CNE ＝∠BDE ＝90°，∠CEN ＝∠BED ，∴ △CNE ≌△BDE ，∴ CE ＝BE ．【总结升华】上述各种证明方法，虽然思路各异，但都用到了垂径定理及其推论．在平时多进行一题多解、一题多证、一题多变的练习，这样不但能提高分析问题的能力，而且还是沟通知识体系、学习知识，使用知识的好方法．举一反三：【变式】如图所示，在⊙O 内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC 的长为（）A ．19B ．16C ．18D ．20【答案】如图，延长AO交BC于点D,过O作OE⊥BC于E.则三角形ABD为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4在Rt△ODE中，∠ODE=60°，∠DOE=30°,则DE=12OD=2，BE=BD-DE=10OE垂直平分BC，BC=2BE=20. 故选D类型三、图形的旋转3．如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（）A．4，30°B．2，60°C．1，30°D．3，60°【思路点拨】利用旋转和平移的性质得出，∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，进而得出△A′B′C是等边三角形，即可得出BB′以及∠B′A′C的度数．【答案】B；解：∵∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，∴∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，∴△A′B′C是等边三角形，∴B′C=4，∠B′A′C=60°，∴BB′=6-4=2，∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，60°．【总结升华】此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出△A′B′C是等边三角形是解题关键．类型四、圆中有关的计算4．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若OF=4，求AC的长度．【思路点拨】（1）先连接OD、AD，根据点D是的中点，得出∠DAO=∠DAC，进而根据内错角相等，判定OD∥AE，最后根据DE⊥OD，得出DE与⊙O相切；（2）先连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，根据垂径定理推导可得OH=OF=4，再根据AB是直径，推出OH是△ABC的中位线，进而得到AC的长是OH长的2倍．【答案与解析】解：（1）DE与⊙O相切．证明：连接OD、AD，∵点D是的中点，∴=，∴∠DAO=∠DAC，∵OA=OD，∴∠DAO=∠ODA，∴∠DAC=∠ODA，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE与⊙O相切．（2）连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，由垂径定理可得：OH⊥BC，==，∴=，∴DG=BC，∴弦心距OH=OF=4，∵AB是直径，∴BC⊥AC，∴OH∥AC，∴OH是△ABC的中位线，∴AC=2OH=8．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，通常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．本题也可以根据△ODF与△ABC相似，求得AC的长．举一反三：【变式】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【答案】解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°，∴∠DOB=60°，过点D作DG⊥AB于点G，∵OD=6，∴DG=3，∴S△ACF+S△OFD=S△AOD=×6×3=9，即阴影部分的面积是9．类型五、圆与其他知识的综合运用5．.【答案与解析】延长DB至点E，使BE＝DC，连结AE∵△ABC是等边三角形∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝AC∴∠ADB＝∠ACB＝60°∵四边形ABDC是圆内接四边形∴∠ABE＝∠ACD在△AEB和△ADC中，∴△AEB≌△ADC∴AE＝AD∵∠ADB＝60°∴△AED是等边三角形∴AD＝DE＝DB＋BE∵BE＝DC∴DB＋DC＝DA.【总结升华】由已知条件，等边△ABC可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC.本例也可以用其他方法证明.如：（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA.（2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA.6．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（）.A. 3πB. 6πC. 5πD. 4π【答案】B；【解析】阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．则阴影部分的面积是：=6π故选B．【总结升华】根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．即可求解．举一反三：【变式】某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为( ).A. B.72 C.36 D.72【答案】本题解法很多，如两个小半圆面积和减去两个弓形面积等.但经过认真观察等腰直角三角形其对称性可知，阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得，所以由已知得直角边为，小半圆半径为(cm)，因此阴影部分面积为.故选C.《圆的基本性质》全章复习与巩固—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.对于下列命题：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中，正确的有( )．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为（）A．12πcm2B．26πcm2C．πcm2 D．（4+16）πcm23．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( ).A.(4π+8)cm2B.(4π+16)cm2C.(3π+8)cm2D.(3π+16)cm24．如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．35. “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为( )A．12.5寸 B．13寸 C．25寸D．26寸6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．如果将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处．那么旋转的角度等于（）A．55°B．60°C．65°D．80°7．一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为( )．A．80° B．100° C．80°或100° D．160°或200°8．如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．22．4 C．42 D．8二、填空题9．如下左图，是的内接三角形，，点P在上移动(点P不与点A、C重合)，则的变化范围是__ ________.10.如图，⊙0中，弦AB与弦CD交于E，连接AC，OE，BD，若AE=BE，AC∥0E，则∠CDB=．11．如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为______cm.12.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为_______.13.如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE=_______.14.已知正方形ABCD2a，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK的边长为____ ____，面积为_____ ___．15．如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是．16.如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为_______.三、解答题17.（二模）如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．（1）若∠DFC=40°，求∠CBF的度数；（2）求证：CD⊥DF．18.已知：如图，∠PAQ=30°，在边AP上顺次截取AB=3cm，BC=10cm，以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点，求：（1）圆心O到AQ的距离；（2）线段EF的长．19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影部分的面积.20.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】任意一个圆的内接三角形和外切三角形都可以作出无数个．①③正确，②④错误，故选B．2.【答案】D.【解析】底面半径为4cm，则底面周长=8πcm，底面面积=16πcm2；由勾股定理得，母线长=cm，圆锥的侧面面积=×8π×=4πcm2，∴它的表面积=16π+4π=（4+16）πcm2，故选D．3．【答案】A.；【解析】对图中阴影部分进行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系.∵矩形ABCD中，AB=2BC，AB=8cm，∴ AD=BC=4cm，∠DAF=90°，，，又AF=AD=4cm，∴，∴.4．【答案】B.【解析】设OP与⊙O交于点N，连结MN，OQ，如图，∵OP=4，ON=2，∴N是OP的中点，∵M为PQ的中点，∴MN为△POQ的中位线，∴MN=OQ=×2=1，∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，∴线段OM的最小值为1．故选B．5．【答案】D；【解析】因为直径CD垂直于弦AB，所以可通过连接OA(或OB)，求出半径即可.根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，知(寸)，在Rt△AOE中，，即，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).故选D.6.【答案】B；【解析】∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，∴AB1=12BC，BB1=B1C，AB=AB1，∴BB1=AB=AB1，∴△ABB1是等边三角形，∴∠BAB1=60°，∴旋转的角度等于60°．7．【答案】C；【解析】圆周角的顶点在劣弧上时，圆周角为5136010092⨯⨯=°°；圆周角的顶点在优弧上时，圆周角为413608092⨯⨯=°°．注意分情况讨论．8.【答案】C；【解析】∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵圆O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4．二、填空题9．【答案】；10.【答案】90°；【解析】∵AE=BE，∴OE⊥AB，即∠OEB=90°，∵AC∥OE，∴∠CAE=∠OEB=90°，∴∠CDB=∠CAE=90°．11.【答案】45；【解析】连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD=∠BAD（角平分线的性质），∴D=BDC，∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，∴△AOF≌△ODE，∴OE=AF=AC=3（cm），在Rt△DOE中，DE==4（cm），在Rt△ADE中，AD==4（cm）．12.【答案】2；【解析】将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，根据旋转的性质得出∠EAF′=45°，进而得出△FAE≌△EAF′，即可得出EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=4，得出正方形边长即可．13.【答案】50°；【解析】∵BC为，⊙O的直径，∴∠CEB=∠AEB=90°，∵∠A=65°，∴∠ABE=25°，∴∠DOE=2∠ABE=50°.14.【答案】21)a；2(222)a；【解析】正方形ABCD外接圆的直径就是它的对角线，由此求得正方形边长为a．如图所示，设正八边形的边长为x．在Rt△AEL中，LE＝x，AE＝AL＝22x，∴222x x a⨯+=，21)x a =，即正八边形的边长为(21)a -．222224[(21)](222)AEL S S S a x a a a =-=-=--=-△正方形正八边形．15.【答案】①②④；【解析】连接AD ，AB 是直径，则AD⊥BC，又∵△ABC 是等腰三角形，故点D 是BC 的中点，即BD=CD ，故②正确； ∵AD 是∠BAC 的平分线，由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确； ∵∠ABE=90°﹣∠EBC﹣∠BAD=45°=2∠CAD，故④正确； ∵∠EBC=22.5°，2EC≠BE，AE=BE ，∴AE≠2CE，③不正确； ∵AE=BE，BE 是直角边，BC 是斜边，肯定不等，故⑤错误．综上所述，正确的结论是：①②④．16.【答案】72；【解析】连接OA ，OB ，OC ，作CH 垂直于AB 于H ．根据垂径定理，得到BE=12AB=4，CF=12CD=3，由勾股定理∴OE=3，OF=4，∴CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，在直角△BCH 中根据勾股定理得到BC=72，则PA+PC 的最小值为72．三、解答题 17.【解析】解：（1）∵∠ADB=∠ACB ，∠BAD=∠BFC ，∴∠ABD=∠FBC，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠CBF=∠BCF，∵∠BFC=2∠DFC=80°，∴∠CBF==50°；（2）令∠CFD=α，则∠BAD=∠BFC=2α，∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，即∠BCD=180°﹣2α，又∵AB=AD，∴∠ACD=∠ACB，∴∠ACD=∠ACB=90°﹣α，∴∠CFD+∠FCD=α+（90°﹣α）=90°，∴∠CDF=90°，即CD⊥DF．18.【解析】解：（1）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，∵OH⊥EF，∴∠AHO=90°，在Rt△AOH中，∵∠AHO=90°，∠PAQ=30°，∴OH=AO，∵BC=10cm，∴BO=5cm．∵AO=AB+BO，AB=3cm，∴AO=3+5=8cm，∴OH=4cm，即圆心O到AQ的距离为4cm．（2）连接OE，在Rt△EOH中，∵∠EHO=90°，∴EH 2+HO 2=EO 2， ∵EO=5cm ，OH=4cm ， ∴EH===3cm ，∵OH 过圆心O ，OH ⊥EF ， ∴EF=2EH=6cm ．19.【解析】解：∵公共弦AB ＝120r R a 6624222212060603=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-=.20．【答案与解析】证明：（1）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠DCE+∠BCD=180°， ∴∠A=∠DCE， ∵DC=DE，∴∠DCE=∠AEB， ∴∠A=∠AEB；（2）∵∠A=∠AEB， ∴△ABE 是等腰三角形， ∵EO⊥CD， ∴CF=DF，∴EO是CD的垂直平分线，∴ED=EC，∵DC=DE，∴DC=DE=EC，∴△DCE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴△ABE是等边三角形．。

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