2012年福建高考理科数学试卷及答案(word版)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）

数学试题（理工类）

第I 卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1. 若复数z 满足i zi -=1，则z 等于（ ）

A ．i --1

B ．i -1

C ．i +-1

D ．i +1 2. 等差数列}{n a 中，7,10451==+a a a ，则数列}{n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3. 下列命题中，真命题是（ ）

A ．0,0

0≤∈∃x e

R x B ．22,x R x x >∈∀

C ．0=+b a 的充要条件是

1-=b

a

D ．1,1>>b a 是1>ab 的充分条件 4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）

A ．球

B ．三棱锥

C ．正方体

D ．圆柱 5. 下列不等式一定成立的是（ ）

A ．)0(lg )41lg(2

>>+

x x x B ．),(2sin 1sin Z k k x x

x ∈≠≥+π C ．)(||212

R x x x ∈≥+ D ．)(11

12R x x ∈>+

6. 如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概

率为（ ）

A ．

41 B ．51 C ．61 D ．7

1

7. 设函数⎩⎨

⎧=为无理数

为有理数x x x D ,0,1)(，则下列结论错误的是（ ）

A ．)(x D 的值域为}1,0{

B ．)(x D 是偶函数

C ．)(x

D 不是周期函数 D ．)(x D 不是单调函数

8. 双曲线22

214x y b

-=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）

A ．5

B ．24

C ．3

D ．5

9. 若直线x

y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩

⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为

A ．

21 B ．1 C ．2

3

D ．2 10. 函数

)(x f 在],[b a 上有定义，若对任意],[,21b a x x ∈，有

)]()([2

1

)2(

2121x f x f x x f +≤+，则称)(x f 在],[b a 上具有性质P 。设)(x f 在[1,3]上具有性质P ，现给出如下命题： ①)(x f 在]3,1[上的图像时连续不断的；②)(2

x f 在]3,1[上具有性质P ；

③若)(x f 在2=x 处取得最大值1，则1)(=x f ，]3,1[∈x ；④对任意

]3,1[,,,4321∈x x x x ，有)]()()()([4

1

)2(

43214321x f x f x f x f x x x x f +++≤+++。

其中真命题的序号是（ ）

A ．①②

B ．①③

C ．②④

D ．③④

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。

11. 4)(x a +的展开式中3

x 的系数等于8，则实数=a _________。

12. 阅读右图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s 值等于___________ 13. 已知ABC ∆的三边长成公比为

2的等比数列，则其最大角的余弦值为

_________。

14. 数列}{n a 的通项公式12

cos +=π

n n a n ，前n 项和为n S ， 则=2012S ___________。

15. 对于实数b a ,，定义运算“*”：⎩⎨⎧>-≤-=*b

a a

b b b

a a

b a b a ,,22，设

)1()12()(-*-=x x x f ，且关于x 的方程为)()(R m m x f ∈=恰有三个互不相等的

实数根321,,x x x ，则321x x x 的取值范围是_______________。

三、解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16. （本小题满分13分）

受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：

将频率视为概率，解答下列问题：

（I ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；

（II ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ，生产一辆

乙品牌轿车的利润为2X ，分别求1X ，2X 的分布列；

（III ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌

轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。

17. （本小题满分13分）

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。

（1）0

0020217cos 13sin 17cos 13sin -+； （2）0

0020215cos 15sin 15cos 15sin -+； （3）0

0020212cos 18sin 12cos 18sin -+； （4）0

2

2

48cos )18sin(48cos )13(sin --+-； （5）0

2

2

55cos )25sin(55cos )25(sin --+-。

（I ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

（II ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。