6二次根式混合运算(经典)

∴原式＝
老师忠告
(1)题目中的隐含条件为a＝
1 <1，所以 a2－2a＋1＝ 2＋ 3 2 a－1 ＝|a－1|＝1－a，而不是a－1；
(2)注意挖掘题目中的隐含条件，是解决数学问题的关键之
一，上题中的隐含条件a＝ a2－2a＋1＝ 的培养，提高解题的正确性.
2 a－1 ＝|a－1|
＝1－a是进行二次根式化简的依据，同学们应注重分析能力
2
1 a
） -4
2
其中a = ，
1 3
1 1 (2)已知 x＋x＝－3，求 x－x的值．
1 ∴x－x＝± 5 1 1 1 1 2.注意到(x－x)2＝(x＋x)2－4，可得(x－x)2＝5，x－x＝± 5.
解：
12 12 (2)∵x－x ＝x＋x －4＝(－3)2－4＝5
练习： 已知 x = 1 3 +2 2 ，求 x - 6 x +2 x -3
2
的值 .
2010 2 2 2010 2010 2
[2分] [4分] [4分]
＝1
知能迁移:
10 6 (1) － 18－ ； 2 2 1－1 2 (2)(－3) － 4＋ 2 .
(3)已知 10 的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值．
10 6 解：(1) － 18－ ＝3 2－3 2－1＝－1 2 2 1－1 2 (2)(－3) － 4＋ 2 ＝9－2＋2＝9
例5：化简：
解：原式= ( =
32 2
2
32 2
( 2 1)
2
2 1)
2 1
2 1
= =
2 1 (
2 1)
2 1
2 1
=-2
1 已知a，b分别是
36
3 的整数部分和小数部分，
那么a – 2b 的值是 ； 2
1
已知 x + 3x-1=0， 求
2
x 2
2 的值。 x2
可.
(3)已知a＝3＋2 5 ，b＝3－2 5 ，求a2b－ab2的值；
解：∵a－b＝(3＋2 5)－(3－2 5 )＝4 5 ， ab＝(3＋2 5 )(3－2 5 )＝－11， ∴a2b－ab2＝ab(a－b)＝(－11)×4 5 ＝－44 5 .
x －y (4)已知x＝ ，y ＝ ，求 2 2 的值； 2＋ 1 2－ 1 x ＋y
解：∵x＝
2－ 1 2
2－ 1
2＋ 1
2
2
＝( 2 －1)2＝3－2 2 ， ＋1
y＝
2＋ 1
＝( 2 ＋1)2＝3＋2 2 ， 2－ 1
∴x＋y＝6，x－y＝－4 2 ，xy＝1.
x－y ＝ 6×－4 2 原式＝ x＋y 2 2 x＋y －2xy 6 －2×1
＝ －24 2 ＝－ 12 2 . 34 17
(3)∵3< 10<4 ∴ 10的整数部分 a＝3， 小数部分 b＝ 10－3 ∴a2－b2＝32－( 10－3)2＝9－(10－6 10＋9)＝－10＋6 10
二：二次根式运算中的技巧
例 4 、（ 1 ） 当 x =
(2)
1 2
,y
1 3
1
时，求代数式
, b= 1 5 2
x x
, 求
y
a
2
y x y
2
的值；
已 知 ： a=
5 2
2 a b b 7的 值
解 ： (1 )
x x x （ （ x x xy x -y y

y x （ y x y x y） y）
(2)Q a
1 5 2 1 5 2

5 2 ,
=
y） y )( yx y
练习： 1.已知ab=3，求 a
b a
+b
a b
的值
2.已知a+b=-8,ab=12,求
b
b a
+a
a b
的值
2. 已知 a 2
3
b2
3 （c 2
3） 0
2
求 3a + 5b – c 的值。
解：
Q 2a
2
3ab b
2
0
（ a -b ) ( 2 a b ) 0
b=
2
5 2.
2
=
x
a 2ab b 7
2
=
x +y x -y
1 1 1 1 32 3 5. 1 32 3
（ a -b ） 7 3 4 7 9
2
2 当x ,y 时， 原式= 1 2 3 2

例2：
(1)已知 x＝2－ 3，y＝2＋ 3，求：x2＋xy＋y2 的值．
∴当a＝
原式＝
1 时， 2＋ 3
1 －1－(2＋ 3 )＝－1－2 3 . 2＋ 3
规范解答 解：∵a＝
1 <1，∴a－1<0. 2＋ 3 ∴ a2－2a＋1＝ a－12 ＝|a－1|＝1－a. a＋1a－1 1－ a 1 － ＝ a－ 1 ＋ . a＋1 aa－1 a ∴当a＝ 1 时， 2＋ 3 原式＝ 1 －1＋(2＋ 3 )＝3. 2＋ 3
a a a a
当 a b=0时 ，
即 a= b,
原式=
=0.
当 2a b 0时 ， 即 2a= b, 原式= a a 2a 2a a (1 a (1 2) 2) 1 1 2 2 2 2 3.
1:
先化简，再求值：
（a
1ຫໍສະໝຸດ Baidua
） 4 （ a
三：注意二次根式运算中隐含条件
2 2 1 a －1 a －2a＋1 例3 已知：a＝ ，求 － 的值． 2 a＋1 2＋ 3 a －a
学生作答
2 a ＋ 1 a － 1 a － 1 解：原式＝ － a＋1 aa－1 ＝ a － 1 － a －1 ＝ a － 1 － 1 . aa－1 a
解：(1)∵x＝2－ 3，y＝2＋ 3 ∴x＋y＝(2－ 3)＋(2＋ 3)＝4，xy＝(2－ 3)×(2＋ 3)＝1 ∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝42－1＝15
1.x2＋xy＋y2是一个对称式，可先求出基本对称式x＋y＝4，
xy＝1，然后将x2＋xy＋y2转化为(x＋y)2－xy，整体代入即
二次根式运算 （提高篇）
三更灯火五更鸡，正是男儿读书时； 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。
一：二次根式混合运算
例1：计算：(每小题4分)
(1)(3 2－1)(1＋3
2010
2)－(2
2010
2－1)
2
(2)( 10－3)
·( 10＋3)
2
〉〉解题示范——规范步骤，该得的分一分不丢！
(1)解：原式＝(3 2) －1－[(2 2) －4 2＋1] ＝18－1－8＋4 2－1 ＝8＋4 2 (2)解：原式＝[( 10－3)( 10＋3)] ＝[( 10) －3 ] ＝(10－9)