20172018学年高中数学第四讲数学归纳法证明不等式达标检测新人教A版选修45

第四讲 数学归纳法证明不等式达标检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用数学归纳法证明“对任意x ＞0和正整数n ，都有x n＋xn －2＋xn －4＋…＋1xn －4＋1xn －2＋1xn ≥n＋1”时，需要验证的使命题成立的最小正整数值n 0应为( ) A ．n 0＝1 B ．n 0＝2C ．n 0＝1,2D ．以上答案均不正确解析：当n 0＝1时，x ＋1x≥2成立，故选A.答案：A2．从一楼到二楼的楼梯共有n 级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这n 级台阶共有f (n )种走法，则下面的猜想正确的是( ) A ．f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ≥3) B ．f (n )＝2f (n －1)(n ≥2) C ．f (n )＝2f (n －1)－1(n ≥2) D ． f (n )＝f (n －1) f (n －2)(n ≥3)解析：分别取n ＝1,2,3,4验证，得f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n ＝1，2，f n －1＋f n －2，n ≥3.答案：A3．设凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形的对角形的条数f (n ＋1)为( ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －2解析：凸n ＋1边形的对角线的条数等于凸n 边形的对角线的条数，加上多的那个点向其他点引的对角线的条数(n －2)条，再加上原来有一边成为对角线，共有f (n )＋n －1条对角线，故选C. 答案：C4．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3，n ∈N ＋能被9整除”，利用归纳假设证n ＝k ＋1，只需展开( ) A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3解析：n ＝k 时，式子为k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3，n ＝k ＋1时，式子为(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3，故只需展开(k ＋3)3. 答案：A5．下列说法中正确的是( )A ．若一个命题当n ＝1,2时为真，则此命题为真命题B ．若一个命题当n ＝k 时成立且推得n ＝k ＋1时也成立，则这个命题为真命题C ．若一个命题当n ＝1,2时为真，则当n ＝3时这个命题也为真D ．若一个命题当n ＝1时为真，n ＝k 时为真能推得n ＝k ＋1时亦为真，则此命题为真命题 解析：由完全归纳法可知，只有当n 的初始取值成立且由n ＝k 成立能推得n ＝k ＋1时也成立时，才可以证明结论正确，二者缺一不可．A ，B ，C 项均不全面． 答案：D6．平面内原有k 条直线，它们的交点个数记为f (k )，则增加一条直线l 后，它们的交点个数最多为( ) A ．f (k )＋1 B ．f (k )＋k C ．f (k )＋k ＋1D ．k ·f (k )解析：第k ＋1条直线与前k 条直线都相交且有不同交点时，交点个数最多，此时应比原先增加k 个交点． 答案：B7．用数学归纳法证明34n ＋1＋52n ＋1(n ∈N ＋)能被8整除时，若n ＝k 时，命题成立，欲证当n ＝k ＋1时命题成立，对于34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1可变形为( )A ．56×34k ＋1＋25(34k ＋1＋52k ＋1)B ．34×34k ＋1＋52×52kC ．34k ＋1＋52k ＋1D ．25(34k ＋1＋52k ＋1)解析：由34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1＝81×34k ＋1＋25×52k ＋1＋25×34k ＋1－25×34k ＋1＝56×34k ＋1＋25(34k ＋1＋52k ＋1)．答案：A8．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，而a 1＝1通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 等于( ) A.4n ＋12B ．2nn ＋1C.12n－1D ．12n －1解析：由a 2＝S 2－S 1＝4a 2－1得a 2＝13＝22×3由a 3＝S 3－S 2＝9a 3－4a 2得a 3＝12a 2＝16＝23×4.由a 4＝S 4－S 3＝16a 4－9a 3得a 4＝35a 3＝110＝24×5，猜想a n ＝2n n ＋1.答案：B9．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)(n ∈N ＋)时，从k 到k ＋1，左边需要增加的代数式为( ) A ．2k ＋1 B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋1解析：当n ＝k 时左边的最后一项是2k ，n ＝k ＋1时左边的最后一项是2k ＋2， 而左边各项都是连续的，所以n ＝k ＋1时比n ＝k 时左边少了(k ＋1)，而多了 (2k ＋1)·(2k ＋2)．因此增加的代数式是2k ＋12k ＋2k ＋1＝2(2k ＋1)．答案：B10．把正整数按如图所示的规律排序，则从2 018到2 020的箭头方向依次为( )A ．↓→B ．→↓C ．↑→D ．→↑解析：由2 018＝4×504＋2，而a n ＝4n 是每一个下边不封闭的正方形左上顶点的数，故应选D. 答案：D11．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( ) A ．k 2B ．(k ＋1)2C.k ＋14＋k ＋122D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2解析：∵当n ＝k 时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.故当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2，故应选D. 答案：D12．若k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱的对角面的个数为( ) A ．2f (k ) B ．f (k )＋k －1 C ．f (k )＋kD ．f (k )＋2解析：如图所示是k ＋1棱柱的一个横截面，显然从k 棱柱到k ＋1棱柱，增加了从A k ＋1发出的对角线k －2条，即相应对角面k －2个，以及A 1A k 棱变为对角线(变为相应的对角面)．故f (k ＋1)＝f (k )＋(k －2)＋1＝f (k )＋k －1.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n ＝________时等式成立．解析：∵n ＝k 为偶数，∴下一个偶数为n ＝k ＋2. 答案：k ＋214．在数列{a n }中，a 1＝1，且S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列，则S 2，S 3，S 4分别为________，猜想S n ＝________.解析：S 1＝1,2S n ＋1＝S n ＋2S 1. 当n ＝1时，2S 2＝S 1＋2＝3，S 2＝32；当n ＝2时，2S 3＝S 2＋2，S 3＝74；当n ＝3时，2S 4＝S 3＋2，S 4＝158.猜想S n ＝2n－12n －1.答案：32、74、158 2n－12n －115．设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋n ，用数学归纳法证明f (n )≥3.在“假设n ＝k 时成立”后，f (k ＋1)与f (k )的关系是f (k ＋1)＝f (k )·________. 解析：当n ＝k 时，f (k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋k ；当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋2， 所以应乘⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋2·k k ＋1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋2·k k ＋1 16. 有以下四个命题： (1)2n>2n ＋1(n ≥3)．(2)2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n ＋2(n ≥1)． (3)凸n 边形内角和为f (n )＝(n －1)π(n ≥3)． (4)凸n 边形对角线条数f (n )＝n n －22(n ≥4)．其中满足“假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥n 0)时命题成立，则当n ＝k ＋1时命题也成立．”但不满足“当n ＝n 0(n 0是题中给定的n 的初始值)时命题成立”的命题序号是________．解析：当n 取第一个值时经验证(2)，(3)，(4)均不成立，(1)不符合题意，对于(4)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥n 0)时命题成立，则当n ＝k ＋1时命题不成立．所以(2)(3)正确． 答案：(2)(3)三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)用数学归纳法证明对于整数n ≥0，A n ＝11n ＋2＋122n ＋1能被133整除．证明：(1)当n ＝0时，A 0＝112＋12＝133能被133整除． (2)假设n ＝k 时，A k ＝11k ＋2＋122k ＋1能被133整除．当n ＝k ＋1时，A k ＋1＝11k ＋3＋122k ＋3＝11·11k ＋2＋122·122k ＋1＝11·11k ＋2＋11·122k ＋1＋(122－11)·122k ＋1.＝11·(11k ＋2＋122k ＋1)＋133·122k ＋1.∴n ＝k ＋1时，命题也成立．根据(1)(2)，对于任意整数n ≥0，命题都成立．18．(12分)设{x n }是由x 1＝2，x n ＋1＝x n 2＋1x n (n ∈N ＋)定义的数列，求证：x n <2＋1n.证明：(1)当n ＝1时，x 1＝2<2＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，不等式成立，即x k <2＋1k ，那么，当n ＝k ＋1时，x k ＋1＝x k 2＋1x k .由归纳假设，x k <2＋1k ，则x k 2<22＋12k，1x k>12＋1k.∵x k >2，∴1x k <22. ∴x k ＋1＝x k 2＋1x k <22＋12k ＋22＝2＋12k ≤2＋1k ＋1.即x k ＋1<2＋1k ＋1. ∴当n ＝k ＋1时，不等式x n <2＋1n成立．综上，得x n <2＋1n(n ∈N ＋)．19．(12分)证明：tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(n －1)α·tan nα＝ tan nαtan α－n (n ≥2，n ∈N ＋)．证明：(1)当n ＝2时，左边＝tan α·tan 2α， 右边＝tan 2αtan α－2＝2tan α1－tan 2α·1tan α－2 ＝21－tan 2α－2 ＝2tan 2α1－tan 2α＝tan α·2tan α1－tan 2α＝tan α·tan 2α＝左边，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时等式成立，即tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k －1)α·tan kα＝tan kαtan α－k .当n ＝k ＋1时，tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k －1)α·tan kα＋tan kα·tan(k ＋1)α ＝tan kαtan α－k ＋tan kα·tan(k ＋1)α ＝tan kα[1＋tan α·tan k ＋1α]tan α－k＝1tan α⎣⎢⎡⎦⎥⎤tan k ＋1α－tan α1＋tan k ＋1α·tan α[1＋tan(k ＋1)α·tan α]－k ＝1tan α[tan(k ＋1)α－tan α]－k ＝tan k ＋1αtan α－(k ＋1)，所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)和(2)知，当n ≥2，n ∈N ＋时等式恒成立．20．(12分)数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N ＋)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．解析：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1. 当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32.当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74.当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4， ∴a 4＝158.由此猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N ＋)．(2)证明：当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k－12k －1，那么n ＝k ＋1(k ≥1且k ∈N ＋)时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1.∴2a k ＋1＝2＋a k ，∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k－12k －12＝2k ＋1－12k. 这表明n ＝k ＋1时，结论成立， 所以a n ＝2n－12n －1(n ∈N ＋)．21．(13分)在平面内有n 条直线，每两条直线都相交，任何三条直线不共点，求证：这n 条直线分平面为n 2＋n ＋22个部分．证明：(1)当n ＝1时，一条直线把平面分成两部分，而f (1)＝12＋1＋22＝2，所以命题成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1)时命题成立，即k 条直线把平面分成f (k )＝k 2＋k ＋22个部分．则当n ＝k ＋1时，即增加一条直线l ，因为任何两条直线都相交，所以l 与k 条直线都相交，有k 个交点；又因为任何三条直线不共点，所以这k 个交点不同于k 条直线的交点，且k 个交点也互不相同，如此k 个交点把直线l 分成k ＋1段，每一段把它所在的平面区域分为两部分，故新增加了k ＋1个平面部分． 所以f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋1＝k 2＋k ＋22＋k ＋1＝k 2＋k ＋2＋2k ＋22＝k ＋12＋k ＋1＋22.所以当n ＝k ＋1时命题也成立． 由(1)(2)可知当n ∈N ＋时，命题成立， 即平面上通过同一点的n 条直线分平面为n 2＋n ＋22个部分．22．(13分)设x 1>0，x 1≠1，且x n ＋1＝x n x 2n ＋33x 2n ＋1，n ∈N ＋.用数学归纳法证明：如果0<x 1<1，则x n <x n ＋1.证明：用数学归纳法证明： 如果0<x 1<1，则0<x n <1.(1)n ＝1时，x 2＝x 1x 21＋33x 21＋1， 因为0<x 1<1，所以(x 1－1)3<0. 则有x 31＋3x 1<3x 21＋1，故x 2＝x 1x 21＋33x 21＋1＝x 31＋3x 13x 21＋1<1. 故n ＝1时命题成立．(2)当n ＝k (k ≥1)时命题成立， 即0<x k <1，(x k －1)3<0.也有x 3k ＋3x k <3x 2k ＋1，即x 3k ＋3x k3x 2k ＋1<1.故x k ＋1＝x k x 2k ＋33x 2k ＋1＝x 3k ＋3x k3x 2k ＋1<1. 且x k ＋1>0.由(1)、(2)知n ∈N ＋时命题都成立．x n －x n ＋1＝x n －x n x 2n ＋33x 2n ＋1＝3x 3n ＋x n －x 3n －3x n 3x 2n ＋1 ＝2x n x n ＋1x n －13x 2n ＋1<0，于是x n <x n ＋1.。