复合函数知识总结与例题

第一篇、复合函数问题一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题： （一）例题剖析：(1)D ，又f用，作用围不变，所以D x g ∈)(例1._____________。

0，1） 又f 对lnx1，e ） 例2.______________。

解析：先求f即ff 对f(x)作用x（2）思路：D ，所以f 的作用围为E ，又f 对x例3. _________。

所以f f对x例4. ______________。

解析：先求ff f对x作用，作用围不变，所以（3）D E，又f F例5. ____________。

又f评注：函数定义域是自变量x的取值围（用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的围是f的作用围，f的作用对象可以变，但f的作用围不会变。

利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。

（二）同步练习：x(f2的定义域。

1、已知函数)x(f的定义域为]1,0[，求函数)答案：]1,1[-2、 已知函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-，求)x (f 的定义域。

答案：]9,3[-3、 已知函数)2x (f y +=的定义域为)0,1(-，求|)1x 2(|f -的定义域。

答案：)23,1()0,21(⋃- 4、设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为（ ）A. ()()4,00,4Y -B. ()()4,11,4Y --C. ()()2,11,2Y --D. ()()4,22,4Y --解：选C.由202x x +>-得，()f x 的定义域为{}|22x x -<<。

故22,222 2.xx⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩，解得()()4,11,4x ∈--U 。

故⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为()()4,11,4--U5、已知函数)(x f 的定义域为)23,21(-∈x ，求)0)(()()(>+=a ax f ax f x g 的定义域。

［解析］由已知，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-.232,2321,2321,2321a x a ax a a x ax （1）当1=a 时，定义域为}2321|{<<-x x ； （2）当a a 2323>，即10<<a 时，有221a a ->-， 定义域为}232|{a x a x <<-；（3）当a a 2323<，即1>a 时，有221aa -<-，定义域为}2321|{ax a x <<-.故当1≥a 时，定义域为}2321|{a x a x <<-；当10<<a 时，定义域为}.232|{a x a x <<-［点评］对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。

三、复合函数单调性问题（1）引理证明已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增函数.证明：在区间b a ,(）任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =,)(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <，故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数. （2）．复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。

为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. （3）、复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤： ⅰ 确定函数的定义域；ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =。

ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为减函数。

（4）例题演练例1、 求函数)32(log 221--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明解：定义域 130322-<>⇒>--x x x x 或单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 则)32(log 121211--=x x y )32(log 222212--=x x y---)32(121x x )32(222--x x =)2)((1212-+-x x x x∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x ∴)32(121--x x >)32(222--x x 又底数1210<<∴012<-y y 即 12y y < ∴y 在),3(+∞上是减函数同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数［例］2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性. ［解］由01232>--x x 得函数的定义域为}.31,1|{-<>x x x 或则当1>a 时，若1>x ，∵1232--=x x u 为增函数，∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.若31-<x ，∵1232--=x x u 为减函数. ∴)123(log )(2--=x x x f a 为减函数。

当10<<a 时，若1>x ，则)123(log )(2--=x x x f a 为减函数，若31-<x ，则)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.例3、.已知y=a log (2-xa )在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值围. 解：∵a ＞0且a ≠1当a ＞1时，函数t=2-x a >0是减函数由y=a log (2-xa )在［0，1］上x 的减函数，知y=a log t 是增函数， ∴a ＞1由x ∈［0，1］时，2-xa ≥2-a ＞0,得a ＜2,∴1＜a ＜2当0<a<1时，函数t=2-xa >0是增函数由y=a log (2-xa )在［0，1］上x 的减函数，知y=a log t 是减函数，∴0<a<1由x ∈［0，1］时，2-xa ≥2-1＞0, ∴0<a<1综上述，0<a<1或1＜a ＜2例4、已知函数2)3()2(2-+--=-a x a ax x f （a 为负整数）的图象经过点R m m ∈-),0,2(，设)()()()],([)(x f x pg x F x f f x g +==.问是否存在实数)0(<p p 使得)(x F 在区间)]2(,(f -∞上是减函数，且在区间)0),2((f 上是减函数？并证明你的结论。

［解析］由已知0)2(=-m f ，得02)3(2=-+--a m a am ， 其中.0,≠∈a R m ∴0≥∆即09232≤--a a ， 解得.37213721+≤≤-a ∵a 为负整数，∴.1-=a∴1)2(34)2(2+--=-+-=-2x x x x f ，即.1)(2+-=x x f 242221)1()]([)(x x x x f f x g +-=++--==， ∴.1)12()()()(24+-+-=+=x p px x f x pg x F假设存在实数)0(<p p ，使得)(x F 满足条件，设21x x <，∴].12)()[()()(2221222121-++--=-p x x p x x x F x F ∵3)2(-=f ，当)3,(,21--∞∈x x 时，)(x F 为减函数，∴0)()(21>-x F x F ，∴.012)(,022212221>-++->-p x x p x x ∵3,321-<-<x x ,∴182221>+x x , ∴11612)(2221-->-++-p p x x p , ∴.0116≥--p ①当)0,3(,21-∈x x 时,)(x F 增函数,∴.0)()(21<-x F x F∵02221>-x x ,∴11612)(2221--<-++-p p x x p , ∴0116≤--p . ②由①、②可知161-=p ，故存在.161-=p （5）同步练习：1．函数y ＝21log （x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（ ）A ．（－∞，1）B ．（2，＋∞）C ．（－∞，23）D ．（23，＋∞） 解析：先求函数定义域为（－o ，1）∪（2，＋∞），令t （x ）＝x 2＋3x ＋2，函数t（x ）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y ＝21log （x 2－3x ＋2）在（2，＋∞）上单调递减．答案：B2找出下列函数的单调区间. （1）)1(232>=++-a a y x x ； （2）.2322++-=x x y答案：(1)在]23,(-∞上是增函数，在),23[+∞上是减函数。

（2）单调增区间是]1,1[-，减区间是]3,1[。

3、讨论)0,0(),1(log ≠>-=a a a y xa 且的单调性。

答案：,1>a 时),0(+∞为增函数，01>>a 时，)0,(-∞为增函数。

4．求函数y ＝31log （x 2－5x ＋4）的定义域、值域和单调区间．解：由μ（x ）＝x 2－5x ＋4＞0，解得x ＞4或x ＜1，所以x ∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当x ∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛μ｜μ＝x 2－5x ＋4｝＝R ＋，所以函数的值域是R ＋．因为函数y ＝31log （x 2－5x ＋4）是由y ＝31log μ（x ）与μ（x ）＝x 2－5x ＋4复合而成，函数y ＝31log μ（x ）在其定义域上是单调递减的，函数μ（x ）＝x 2－5x ＋4在（－∞，25）上为减函数，在［25，＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y ＝31log （x 2－5x ＋4）的增区间是定义域使y ＝31log μ（x ）为减函数、μ（x ）＝x 2－5x ＋4也为减函数的区间，即（－∞，1）；y ＝31log （x 2－5x ＋4）的减区间是定义域使y ＝31log μ（x ）为减函数、μ（x ）＝x 2－5x ＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）．变式练习 一、选择题1．函数f （x ）＝)1(log 21－x 的定义域是（ ）A ．（1，＋∞）B ．（2，＋∞）C ．（－∞，2）D ．]21(，解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，所以⎪⎩⎪⎨⎧≥0)1(log 0121－＞－x x 解得1＜x ≤2． 答案：D2．函数y ＝21log （x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（ ）A ．（－∞，1）B ．（2，＋∞）C ．（－∞，23）D ．（23，＋∞） 解析：先求函数定义域为（－o ，1）∪（2，＋∞），令t （x ）＝x 2＋3x ＋2，函数t （x ）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y ＝21log （x 2－3x ＋2）在（2，＋∞）上单调递减．答案：B3．若2lg （x －2y ）＝lg x ＋lg y ，则xy的值为（ ） A ．4B ．1或41C ．1或4D ．41错解：由2lg （x －2y ）＝lg x ＋lg y ，得（x －2y ）2＝xy ，解得x ＝4y 或x ＝y ，则有x y ＝41或y x ＝1．答案：选B正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x －2y ＞0，所以x ＞2y ．所以x ＝y 舍掉．只有x ＝4y ． 答案：D4．若定义在区间（－1，0）的函数f （x ）＝a 2log （x ＋1）满足f （x ）＞0，则a 的取值围为（ ） A ．（0，21） B ．（0，1）C ．（21，＋∞）D ．（0，＋∞）解析：因为x ∈（－1，0），所以x ＋1∈（0，1）．当f （x ）＞0时，根据图象只有0＜2a ＜l ，解得0＜a ＜21（根据本节思维过程中第四条提到的性质）． 答案：A 5．函数y ＝lg （x－12－1）的图象关于（ ） A ．y 轴对称 B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：y ＝lg （x －12－1）＝x x －＋11lg ，所以为奇函数．形如y ＝x x －＋11lg 或y ＝xx －＋11lg 的函数都为奇函数． 答案：C 二、填空题已知y ＝a log （2－ax ）在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值围是__________． 解析：a ＞0且a ≠1⇒μ（x ）＝2－ax 是减函数，要使y ＝a log （2－ax ）是减函数，则a ＞1，又2－ax ＞0⇒a ＜x2（0＜x ＜1）⇒a ＜2，所以a ∈（1，2）． 答案：a ∈（1，2）7．函数f （x ）的图象与g （x ）＝（31）x的图象关于直线y ＝x 对称，则f （2x －x 2）的单调递减区间为______．解析：因为f （x ）与g （x ）互为反函数，所以f （x ）＝31log x则f （2x －x 2）＝31log （2x －x 2），令μ（x ）＝2x －x 2＞0，解得0＜x ＜2．μ（x ）＝2x －x 2在（0，1）上单调递增，则f ［μ（x ）］在（0，1）上单调递减；μ（x ）＝2x －x 2在（1，2）上单调递减，则f ［μ（x ）］在［1，2）上单调递增．所以f （2x －x 2）的单调递减区间为（0，1）． 答案：（0，1）8．已知定义域为R 的偶函数f （x ）在［0，＋∞］上是增函数，且f （21）＝0， 则不等式f （l og 4x ）＞0的解集是______．解析：因为f （x ）是偶函数，所以f （－21）＝f （21）＝0．又f （x ）在［0，＋∞］上是增函数，所以f （x ）在（－∞，0）上是减函数．所以f （l og 4x ）＞0⇒l og 4x ＞21或l og 4x ＜－21．解得x ＞2或0＜x ＜21．答案：x ＞2或0＜x ＜21三、解答题9．求函数y ＝31log （x 2－5x ＋4）的定义域、值域和单调区间．解：由μ（x ）＝x 2－5x ＋4＞0，解得x ＞4或x ＜1，所以x ∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当x ∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛μ｜μ＝x 2－5x ＋4｝＝R ＋，所以函数的值域是R ＋．因为函数y ＝31log （x 2－5x ＋4）是由y ＝31log μ（x ）与μ（x ）＝x 2－5x ＋4复合而成，函数y ＝31log μ（x ）在其定义域上是单调递减的，函数μ（x ）＝x 2－5x ＋4在（－∞，25）上为减函数，在［25，＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y ＝31log （x 2－5x ＋4）的增区间是定义域使y ＝31log μ（x ）为减函数、μ（x ）＝x 2－5x ＋4也为减函数的区间，即（－∞，1）；y ＝31log （x 2－5x ＋4）的减区间是定义域使y ＝31log μ（x ）为减函数、μ（x ）＝x 2－5x ＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）．10．设函数f （x ）＝532＋x ＋xx2323lg ＋－， （1）求函数f （x ）的定义域；（2）判断函数f （x ）的单调性，并给出证明；（3）已知函数f （x ）的反函数f －1（x ），问函数y ＝f －1（x ）的图象与x 轴有交点吗?若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由．解：（1）由3x ＋5≠0且x x 2323＋－＞0，解得x ≠－35且－23＜x ＜23．取交集得－23＜x ＜23．（2）令μ（x ）＝532＋x ，随着x 增大，函数值减小，所以在定义域是减函数； x x 2323＋－＝－1＋x236＋随着x 增大，函数值减小，所以在定义域是减函数． 又y ＝lg x 在定义域是增函数，根据复合单调性可知，y ＝xx 2323lg ＋－是减函数，所以f （x ）＝532＋x ＋xx 2323lg ＋－是减函数． （3）因为直接求f （x ）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解．设函数f （x ）的反函数f －1（x ）与工轴的交点为（x 0，0）．根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知，f （x ）与y 轴的交点是（0，x 0），将（0，x 0）代入f （x ），解得x 0＝52．所以函数y ＝f －1（x ）的图象与x 轴有交点，交点为（52，0）。