工程力学__第14章压杆的平衡稳定性与压杆设计习题解
《工程力学》参考习题解析
2011年课程考试复习题及参考答案工程力学计算题：1.梁结构尺寸、受力如图所示，不计梁重，已知q=10kN/m，M=10kN·m，求A、B、C处的约束力。
2.铸铁T梁的载荷及横截面尺寸如图所示，C为截面形心。
已知I z=60125000mm4，y C=157.5mm，材料许用压应力[σc]=160MPa，许用拉应力[σt]=40MPa。
试求：①画梁的剪力图、弯矩图。
②按正应力强度条件校核梁的强度。
3.传动轴如图所示。
已知F r=2KN，F t=5KN，M=1KN·m，l=600mm，齿轮直径D=400mm，轴的[σ]=100MPa。
试求：①力偶M的大小；②作AB轴各基本变形的内力图。
③用第三强度理论设计轴AB的直径d。
4.图示外伸梁由铸铁制成，截面形状如图示。
已知I z=4500cm4，y1=7.14cm，y2=12.86cm，材料许用压应力[σc]=120MPa，许用拉应力[σt]=35MPa，a=1m。
试求：①画梁的剪力图、弯矩图。
②按正应力强度条件确定梁截荷P。
5.如图6所示，钢制直角拐轴，已知铅垂力F1，水平力F2，实心轴AB的直径d，长度l，拐臂的长度a。
试求：①作AB轴各基本变形的内力图。
②计算AB轴危险点的第三强度理论相当应力。
6.图所示结构，载荷P=50KkN，AB杆的直径d=40mm，长度l=1000mm，两端铰支。
已知材料E=200GPa，σp=200MPa，σs=235MPa，a=304MPa，b=1.12MPa，稳定安全系数n st=2.0，[σ]=140MPa。
试校核AB杆是否安全。
7.铸铁梁如图5，单位为mm，已知I z=10180cm4，材料许用压应力[σc]=160MPa，许用拉应力[σt]=40MPa，试求：①画梁的剪力图、弯矩图。
②按正应力强度条件确定梁截荷P。
8.图所示直径d=100mm的圆轴受轴向力F=700kN与力偶M=6kN·m的作用。
简明工程力学14章压杆稳定
1 Fcr ' = Fcr ' ' , tgα = , α = 18.43o 3
§14-4 欧拉公式的应用范围 · 临界应力总图
一、 欧拉公式的应用范围 1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
σ cr
Fcr = A
w Fcr
w=0；
代表了压杆的直线平衡状态。 代表了压杆的直线平衡状态。
此时A可以不为零。 此时 可以不为零。 可以不为零
l
w l 2 x
M (x)= Fcrw
x
B y (a)
B y (b)
w = A sin kx ≠ 0 失稳 失稳!!!
失稳的条件是： 失稳的条件是： sin kl = 0
kl = nπ
§14–1 压杆稳定性的概念
构件的承载能力： ①强度 ②刚度 ③稳定性 工程中有些构 件具有足够的强度、 刚度，却不一定能 安全可靠地工作。
P
一、稳定平衡与不稳定平衡 ：
1. 不稳定平衡
2. 稳定平衡
3. 稳定平衡和不稳定平衡
二、压杆失稳与临界压力 ：
1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。 1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。 理想压杆
y
B y (c)
B (d)
x
§14-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的 欧拉公式 · 压杆的长度系数
各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况 两端铰支 一端固定 两端固定 另端铰支 Fcr 失 稳 时 挠 曲 线 形 状 A C— D C B Fcr B Fcr B 一端固定 另端自由 Fcr 两端固定但可沿 横向相对移动 Fcr
【工程力学 课后习题及答案全解】第14章压杆的平衡稳定性与压杆设计习题解
（C）增加 1/2 倍；
（D）[FP]随着 A 的增加呈非线性变化。
正确答案是 D 。
— 77 —
由于 i = I ，柔度 λ = µl
A
i
而临界应力 σ cr
=
π2 E λ2
或 σ cr
= σs
− Rλ2
σ cr = a − bλ
所以， σ cr
−
5a
不存在线性关系， [FP
]
=
σ cr [n]st
图（b）两杆作为整体绕 y 轴失稳 µ = 2
FPcr
= π2 EI y ( µl ) 2
= π2 E ⋅ 2 ⋅ πd 4
4l 2
64
= π3 Ed 4 128l 2
图（c）两杆作为整体绕 z 轴失稳 µ = 2
FPcr
= π2 EI z ( µl ) 2
=
π2 E
⋅
2⋅
πd (
4
4l 2
64
+ πd 2 4
(a)
7
nw
=
240.6 158.7
= 1.52 < [n]st ，不安全。
3．条件 [σ ] = 160MPa 意谓着既要保证 CD 强度，又要保证 AB 杆稳定。
CD
梁中： M max
= MB
= 0.3FP ， FNx
=
FAB
cosθ
=
3 cotθ 2
⋅ FP
， FQ
=
FP
σ max
=
MB W
+ FNx A
解：
1．①（图（a）） sinθ = 7
4
∑ M C = 0 ， 900FP = 600FAB sin θ
材料力学习题册答案第章压杆稳定
第 九 章 压 杆 稳 定一、选择题1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q 时处于直线平衡状态。
在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力,则压杆〈A ）。
A 、弯曲变形消失，恢复直线形状； B 、弯曲变形减少,不能恢复直线形状； C 、微弯状态不变；D 、弯曲变形继续增大。
2、一细长压杆当轴向力P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态,此时若解除压力P ，则压杆的微弯变形<C)A 、完全消失 B 、有所缓和 C 、保持不变 D 、继续增大3、压杆属于细长杆,中长杆还是短粗杆，是根据压杆的〈D ）来判断的。
A 、长度B 、横截面尺寸C 、临界应力D 、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的〈 A )对临界应力的影响。
A 、长度，约束条件，截面尺寸和形状；B 、材料,长度和约束条件；C 、材料，约束条件，截面尺寸和形状；D 、材料，长度，截面尺寸和形状; 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 试判断哪一根最容易失稳。
答案：〈 a )6、两端铰支的圆截面压杆，长1m ,直径50mm .其柔度为 ( C 〉A 。
60；B 。
66。
7；C .80；D 。
507、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图<D ）所示截面形状，其稳定性最好.8、细长压杆的<A ）,则其临界应力σ越大。
A 、弹性模量E 越大或柔度λ越小；B 、弹性模量E 越大或柔度λ越大；C 、弹性模量E 越小或柔度λ越大；D 、弹性模量E 越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是,压杆的柔度〈C ）A 、λ≤P E πσB 、λ≤s E πσC 、λ≥PEπσ D 、λ≥sEπσ10、在材料相同的条件下，随着柔度的增大<C ）A 、细长杆的临界应力是减小的,中长杆不是；B 、中长杆的临界应力是减小的，细长杆不是;C 、细长杆和中长杆的临界应力均是减小的;D 、细长杆和中长杆的临界应力均不是减小的; 11、两根材料和柔度都相同的压杆〈A ）A 。
压杆稳定计算
第二节
欧拉在 1774 年首先解决的。
细长压杆的临界力
现在我们来求压杆的临界力 Plj ，即杆弯曲后在平衡状态时的纵向力 P，这个问题是 设有一根等截面的直杆 AB，长为 L，两端铰支(图 25-2)，在纵向力 P 作用下，发生 微小弯曲变形，选取坐标轴如图所示，杆在弯曲状态下，距下端为 x 的任一截面的挠度 为 y，该截面的弯矩为 M（x）= -Py （ a） 压杆开始丧失稳定时，挠度很小，可以根据挠曲线的近似微分方 程来进行分析，将式（a）代入挠曲线近似微分方程得 d2 y EI = M ( x) = − Py d x2 P (b) 令 k2 = EI 那么上面的微分方程就可写成 d2 y + k2 y = 0 d x2 它的通解是 y=c1sinkx+c2coskx 不知道，所以式中的K也是一个待定值。 要确定上述这几个待定值，可以利用杆端的两个边界条件。在 A 端，即 x=0 处，挠 度 y=0，把它代入式（c） ，即可求得 c2=0 因此挠度曲线方程为 y=C1sinkx (d) 又在 B 端，即 x= l 处，挠度 y=0，代入上式得
P lj
=
π
2
EI
2
(0 .7 l )
2 2
（25-4）
综合上述四个公式可得临界力的一般表达式为
P lj =
π EI = π EI 2 2 (μl ) L0
（25-5）
式中 μ 为长度系数，其值取决于压杆两端的约束情况，可见表 25-1。L0= μ l ，为 压杆的计算长度；E为杆件材料的弹性模量：I为杆件截面的惯矩。
k= l
或 (e)
若取C1=0，则由式（d）得挠曲线方程为y=0，表示杆仍保持直线形式，这个结论与原来
填空题(120道)工程力学题库
1、A03 B03 力的性质静力学基础2分三力平衡汇交定理是。
2、A01 B03 平衡方程静力学平衡2分如图所示系统在力F作用下处于平衡。
欲使A支座约束反力的作用线与AB 成30，则斜面的倾角α应为。
3、A03 B03 力偶的性质静力学基础2分两个力偶的等效条件是。
4、A02 B03 材料力学的基本假设材料力学的基本概念6分材料力学的基本假设有、和。
5、A02 B03 杆件应力拉（压）杆的应力2分轴向拉压杆件横截面上的正应力分布规律是沿方向，分布。
6、A01 B03 圆柱扭转时的切应力分析圆轴的扭转应力2分圆轴扭转时横截面上切应力的方向与垂直，轴表面各点均处于状态。
7、A03 B03 剪力与挤压的概念梁的内力分析4分对称弯曲梁的横截面上有和两种内力。
8、A01 B03 圆轴扭转时切应力梁的强度4分发生对称弯曲的矩形截面梁，最大剪力为max s F ，横截面面积为A ，则最大切应力max τ= ，最大切应力位于 。
9、A03 B03 切应力分析 圆轴的扭转应力 4分单元体上切应力等于零的平面称为 平面，此平面上的正应力称为应力。
10、A02 B03 杆的分析 压杆稳定性分析与设计 8分li μλ=称为压杆的 ，根据λ的大小，可将压杆分为 、和 三种类型。
11、A01 B03 力的简化 平面力系简化 4分在图示力系中，1234F =F =F =F F =，则力系向A 点的简化结果是 ，向B 点的简化结果是 。
12、A03 B03 力的三要素 静力学基础 8分力对物体的作用效应取决于力的三要素，即力的 、和 。
对于刚体而言，力是 矢量。
13、A03 B03 拉（压）杆件的应力 材料力学的基本概念 4分杆件横截面上一点处的总应力，可分解为 应力和 应力。
14、A01 B03 杆件的横向变形和应变 拉压杆的应力变形 2分4B轴向拉伸或压缩杆件中，ε为纵向线应变，ε'为横向线应变，μ为杆件材料的泊松比。
压杆稳定问题PPT课件
MN
Pcr x
y
令k 2 Pcr EI来自M(x)=-Pcr y
dd2xy2 M E(xI)(线弹,小 性变)形
Pcr y EI
d2y dx2
Pcr EI
y
0
d2y dx2
k2
y
0
I：最小惯性矩
yA co k s xB siknx 7
k 2 Pcr EI
yA co k s xB siknx
Ⅲ) s, cr s 短粗杆，小柔度杆 13
计算临界应力小结：
L , p
i
2E P
,
s
a s
b
Ⅰ)欧拉公式（细长杆，大柔度杆）
p , cr
2E 2
Ⅱ)直线经验公式（中长杆，中柔度杆）
p s, crab
Ⅲ)强度问题（短粗杆，小柔度杆）
s, cr s 14
临界应力总图：
L , p
st
18
讨论： 1） 若L=2m 则:14.5 5
Pcr
23.2 2(KNPc)r
P
2.9
n
不安全！
2） 若：
L0.71.513 07.6 4
i
1.3 75
S 56 P 102 s7.4 6P
P cr(ab)A51.78(KN ) 属中柔度杆
Pcr 51.876.48 更安全！
P 80
19
小结
：L；；i ；I
cr
E
a.合理选择截面： I 或 i (面积不变)。
b.合理安排压杆的约束条件与选择杆长。 c.合理选择材料：
强度高的优质钢可以提高短杆的临界应力17。
例、L=1.5m(铰支),d=55mm,A3钢(P=102, S =56） E=210GPa,P=80KN,nst=5,试校核此杆稳定性。
压杆稳定的概念及三种平衡状态-PPT
cr s
a s
b
令
2
a s
b
2 (小柔度杆)
cr s
令 1
2E p
目录
表 1 直线公式的系数 a 和 b
材料 低碳钢 优质碳钢 硅钢 铬钼钢 铸铁 强铝 松木
a(MPa) 304 461 578
980.7 332.2
373 28.7
b(MPa) 1.12 2.568 3.744 5.296 1.454 2.15 0.19
(b): 木杆的横截面与(a)相同，高为 1.4m(细长压杆），当压力为 0.1KN时杆被压弯，导致破坏。
(a)和(b)竟相差60倍，为什么？
(a)
(b)
平衡的三种状态
稳定平衡状态
随遇平衡状态
不稳定平衡状态
平衡刚性圆球受干扰力，刚球离开原位置；干扰力撤消：
稳定平衡 —— 凹面上，刚球回到原位置； 随遇平衡 —— 平面上，刚球在新位置上平衡； 不稳定平衡 —— 凸面上，刚球不回到原位置，
压杆的稳定校核 已知拖架D处承受载荷 例题F=10kN。AB杆外径D=50mm， 内径d=40mm，材料为Q235钢， E[=n2st0]0=G3P。a，校核A=B1杆01 0的，稳定性。
解： CD梁
MC 0
F 2000 FN sin 30 1500
得 FN 26.6kN
AB杆
l 1
dx
x l, v
B
Ak 0
Asin kl B coskl
cos kl 0
kl (2n 1) (n 1,2)
2 k2 F
EI
F
(2n
1)2
(2l)2
2 EI
取 n=1, 得：
工程力学压杆的稳定问题
稳定安全系数一般大于强度安全系数。
例题 ： 1000吨双动薄板液压冲压机的顶出器杆为一
端 固 定 、 一 端 铰 支 的 压 杆 。 已 知 杆 长 l=2m ， 直 径 d=65mm，材料的E=210GPa，p=288MPa，顶杆工作 时承受压力F=18.3吨，取稳定安全系数nst=3.0。试校 核该顶杆的稳定性。
①
90
②
l
解：由静力平衡条件可解得两杆的压力分别为：
N1 P cos ， N 2 P sin
两杆的临界压力分别为：
2E I 2E I Pcr 1 2 ， Pcr 2 2 l1 l2
要使P最大，只有 N1、 N2 都达
到临界压力，即
P
（） 1 （） 2
①
P cos P sin
2E cr 2 p
或写成：
2E p
令： 2 E p
p
欧拉公式的 适用范围：
p
满足该条件的杆称为细长杆或大柔度杆
如对A3钢，当取E=206GPa，σp=200MPa,则
E p p
2
2 206 109
200 106
应用欧拉公式
654 1012 2 (210 109 ) ( ) 2 EI 64 Fcr N 925.2kN 2 2 (l ) (0.7 2)
Fcr 925.2 103 5.16 n 3 18.3 10 9.8 F
该杆满足稳定性要求
＞ nst 3.0
x l时：v 0
sin kl 0
kl n (n 0,1, 2,)
n k l
工程力学11-压杆的稳定性分析与设计解析
11.1.3 三种类型压杆的临界状态 压杆的分类：
细长杆 ——当F >Fcr时容易发生弹性屈曲 当F≤Fcr时不发生屈曲
中长杆 ——当F >Fcr时发生屈曲，但不再是弹性的
粗短杆 ——不会发生屈曲，失效属于强度破坏
《工程力学》
11.2
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
长细比概念三类不同压杆判断
11.3.2 三类不同压杆的区分
ห้องสมุดไป่ตู้
因，屈曲在弹性范围内导出
故有：
scr =
Fcr A
≤[sp]
在比例极限内有效
稳定平衡构形到屈曲（不稳定平衡构形）是一个 过程。
介于这个过程之间的平衡构形——临界平衡构形
或称：“临界状态” 临界载荷
处于临界状态时，杆件所受的施压载荷
称：“临界载荷”，或临界力，Fcr
《工程力学》
11.1
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
令：当材料达到比例极限时的长细比为“lp” 当材料屈服极限时的长细比为“ls”
细长杆 中长杆 粗短杆
—— l ≥ lp —— lp >l ≥ ls —— l < ls
细长压杆的临界载荷
压杆稳定典型习题解析
压 杆 稳 定典型习题解析1 图示№20a 工字钢，在温度20℃时安装，这时杆不受力，试问：当温度升高多少度时，工字钢将丧失稳定？钢的线膨胀系数α=12.5×10-61/℃。
解题分析：计算λ时，取i 的最小值。
此题是一度静不定问题，利用变形协调方程求解。
解：1、求柔度λ，查表№20a 工字钢 。
cm 12.2n i m =i №20a题1图p 2142m1012.2m 65.0λµλ>=××==−i lc 2、求失稳时的温度杆为细长杆，临界应力公式为22cr )(πλσE =当温度上升∆T 时，杆内的应力 T E ∆T ⋅⋅=ασ 若温度上升∆T 时，杆开始失稳，则有T cr σσ=或 T E E∆⋅⋅=αλ22)(π 于是C 2.39142C 1/105.12ππ∆26222D D=××⋅⋅==−E T ααλ安装时的温度为20℃，故失稳时的温度为°=∆+°=2.5920T T2 图示结构中，AB 及AC 均为圆截面杆，直径d = 80 mm ，材料为Q235钢，求此结构的临界载荷F cr 。
解题分析：分别计算各杆可承担的临界载荷，取小值。
解：1、计算在F 力作用下各杆的轴力F F F 2160cos N1==D ，1N 2F F = F F F 2360sin N2==D ，2N 2N 15.132F F F ==F N2题2图2、计算各杆的柔度1734/mm 08cos30mm 40001ll 1=××==D i l µλ1004/mm 0830sin mm 40001222=××==D i l µλ两杆均为大柔度杆3、分别计算各杆的临界轴力，确定结构的临界载荷kN 7.330N 107.330)30cos m 41(64m)1080(πPa 10200π)(π324392212N1=×=××××××==−D l EI F µkN 4.6612N1cr1==F FkN 990N 10990)30sin m 41(64m)1080(πPa 10200π)(π324392222N2=×=××××××==−D l EI F µ kN 113915.12N 2cr ==F F该结构的临界载荷取两者中较小者，即 F cr =661.4 kN3 图示结构中，分布载荷q = 20 kN /m 。
压杆稳定习题
压杆稳定习题1、对于不同柔度的塑性材料压杆，其最大临界应力将不超过材料的 。
2、图示边长为mm a 10032⨯=的正方形截面大柔度杆，承受轴向压力kN F 24π=，弹性模量GPa E 100=。
则该杆的工作安全系数为 。
A 、4=w n B 、3=w nC 、2=w n D 、1=w n3、两端铰支圆截面细长压杆，在某一截面上开有一小孔。
关于这一小孔对杆承载能力的影响，以下论述中正确的是___。
Ａ、对强度和稳定承载能力都有较大削弱 Ｂ、对强度和稳定承载能力都不会削弱Ｃ、对强度无削弱，对稳定承载能力有较大削弱 Ｄ、对强度有较大削弱，对稳定承载能力削弱极微4. 理想均匀直杆与轴向压力P ＝Pcr 时处于直线平衡状态。
当其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆( ) A 弯曲变形消失，恢复直线形状 B 弯曲变形减小，不能恢复直线形状 C 微弯变形状态不变 D 弯曲变形继续增大5. 两根细长压杆的长度、横截面面积、约束状态及材料均相同，若a 、b 杆的横截面形状分别为正方形和圆形，则二压杆的临界压力Pa 和Pb 的关系为( ) A Pa ＜Pb B Pa ＞Pb C Pa ＝Pb D 不可确定6.细长杆承受轴向压力P 的作用，其临界压力与( )无关A 杆的材质B 杆的长度C 杆承受压力的大小D 杆的横截面形状和尺寸7. 压杆的柔度集中地反映了压杆的( )对临界应力的影响A 长度、约束条件、截面形状和尺寸B 材料、长度和约束条件C 材料、约束条件、截面形状和尺寸D 材料、长度、截面尺寸和形状8. 在材料相同的条件下，随着柔度的增大( )A 细长杆的临界应力是减小的，中长杆不变B 中长杆的临界应力是减小的，细长杆不变C 细长杆和中长杆的临界应力均是减小的D 细长杆和中长杆的临界应力均不是减小的9. 两根材料和柔度都相同的压杆，( )A 临界应力一定相等，临界压力不一定相等B 临界应力不一定相等，临界压力一定相等C 临界应力和临界压力一定相等D 临界应力和临界压力不一定相等10. 在下列有关压杆临界应力σcr的结论中，( )是正确的A 细长杆的σcr值与杆的材料无关B 中长杆的σcr值与杆的柔度无关C 中长杆的σcr值与杆的材料无关D 粗短杆的σcr值与杆的柔度无关11. 在横截面面积等其他条件均相同的条件下，压杆采用图( )所示截面形状，其稳定性最好.A. AB. BC. CD. D二、计算题10.1图示为支撑情况不同的圆截面细长杆,各杆直径和材料相同,哪个杆的临界力最大。
大学工程力学题目与参考答案
工程力学一、判断题：1.力对点之矩与矩心位置有关,而力偶矩则与矩心位置无关。
［ ]2。
轴向拉压时无论杆件产生多大的变形，正应力与正应变成正比。
[ ]3。
纯弯曲的梁，横截面上只有剪力,没有弯矩。
［ ］4。
弯曲正应力在横截面上是均匀分布的。
［ ］5。
集中力所在截面上,剪力图在该位置有突变，且突变的大小等于该集中力。
[ ］6.构件只要具有足够的强度,就可以安全、可靠的工作。
［ ]7。
施加载荷使低碳钢试件超过屈服阶段后再卸载，材料的比例极限将会提高。
[ ]8。
在集中力偶所在截面上，剪力图在该位置有突变. [ ]9.小柔度杆应按强度问题处理。
[］ 10。
应用平面任意力系的二矩式方程解平衡问题时，两矩心位置均可任意选择，无任何限制. ［ ]11.纯弯曲梁横截面上任一点，既有正应力也有剪应力。
［ ]12。
最大切应力作用面上无正应力。
[］ 13。
平面平行力系有3个独立的平衡方程。
［ ]14。
低碳钢试件在拉断时的应力为其强度极限。
[］ 15。
若在一段梁上作用着均布载荷，则该段梁的弯矩图为倾斜直线。
［ ]16。
仅靠静力学平衡方程，无法求得静不定问题中的全部未知量. ［ ]17.无论杆件产生多大的变形，胡克定律都成立. [］18。
在集中力所在截面上,弯矩图将出现突变。
[ ]二、单项选择题：1。
图1所示杆件受力，1—1、2-2、3—3截面上轴力分别是 ［ ]图1A.0，4F ,3FB.—4F ，4F ，3F C 。
0,F ，0 D.0,4F ,3F2.图2所示板和铆钉为同一材料,已知bs []2[]στ=.为充分提高材料利用率，则铆钉的直径应该是［］图2A 。
2d δ=B 。
4d δ= C.4d δπ= D.8d δπ=3。
光滑支承面对物体的约束力作用于接触点，其方向沿接触面的公法线 ［ ]A.指向受力物体，为压力B.指向受力物体，为拉力C 。
背离受力物体，为压力 D.背离受力物体，为拉力4.一等直拉杆在两端承受轴向拉力作用，若其一半为钢,另一半为铝，则两段的 ［ ]A.应力相同，变形相同 B 。
工程力学习题册
专业 学号 姓名 日期 成绩第一章 静力学基础一、是非判断题1.1 在任何情况下，体内任意两点距离保持不变的物体称为刚体。
( ) 1.2 物体在两个力作用下平衡的必要与充分条件是这两个力大小相等、方向相反，沿同一直线。
( ) 1.3 加减平衡力系公理不但适用于刚体，而且也适用于变形体。
( ) 1.4 力的可传性只适用于刚体，不适用于变形体。
( ) 1.5 两点受力的构件都是二力杆。
( ) 1.6 只要作用于刚体上的三个力汇交于一点，该刚体一定平衡。
( ) 1.7 力的平行四边形法则只适用于刚体。
( ) 1.8 凡矢量都可以应用平行四边形法则合成。
( ) 1.9 只要物体平衡，都能应用加减平衡力系公理。
( ) 1.10 凡是平衡力系，它的作用效果都等于零。
( ) 1.11 合力总是比分力大。
( ) 1.12 只要两个力大小相等，方向相同，则它们对物体的作用效果相同。
( ) 1.13 若物体相对于地面保持静止或匀速直线运动状态，则物体处于平衡。
( ) 1.14 当软绳受两个等值反向的压力时，可以平衡。
( ) 1.15 静力学公理中，二力平衡公理和加减平衡力系公理适用于刚体。
( ) 1.16 静力学公理中，作用力与反作用力公理和力的平行四边形公理适用于任何物体。
( )1.17 凡是两端用铰链连接的直杆都是二力杆。
( ) 1.18 如图所示三铰拱，受力F ，F 1作用，其中F 作用于铰C 的销子上，则AC 、 BC 构件都不是二力构件。
( )二、填空题2.1如图所示，F 1在x 轴上的投影为 ；F 1在y 轴上的投影为 ；F 2在x 轴上的投影为 ；F 2在y 轴上的投影为 ；F 3在x 轴上的投影为 ；F 3在y 轴上的投影为 ；F 4在x 轴上的投影为 ；F 4在y 轴上的投影为 。
轴上的投影为 。
2.2将力F 沿x , y 方向分解，已知F = 100 N, F 在x 轴上的投影为86.6 N, 而沿x 方向的分力的大小为115.47 N ， 则F 的y 方向分量与x 轴的夹角β为 ，F 在y 轴上的投影为 。
工程力学压杆稳定ppt课件
解 （1）圆形截面
直径 惯性半径
D 4 A 4 90 3 0 .8 3 m 5 m 3.8 3 5 1 3 0 m
iI A
D D 4 2 //6 4 4 D 4 3.8 3 4 1 5 3 0 8 .4 1 6 3 0 m
柔度
l 11.2 142
i 8.461 03
P
E P
200190 9.93
200160
因为 14 2 P9.3 9，所以属细长压杆，用欧拉公式计算临界力
F cr 2 lE 2 I 2 20 1精0 9 选1 0 p6 p1 t课.2 件4 2 23 021.8 3 5 1 3 0 48.3 8 KN 35
（2） 正方形截面
截面边长 aA 90 3 0 0 1 3 0 m
p, crp cr22Ep.
2E p
p
2E p
cr
无效
（细长压杆临界柔度）
p
欧拉公式的适用围: p，
有效
cr
2E 2
称大柔度杆（细长压杆 ）
例：Q235钢，E20G0P ,p a20M o 0.Pa p
l i
p
2 E 2200103 99 .35100
p
20精0选ppt课件2021
kln （n = 0、1、2、3……）
由 k2 Fcr 可 得 EI
Fcr
n2 2EI
l2
精选ppt课件2021
17
临界载荷:
Fcr
n2 2EI
l2
屈曲位移函数 :y(x)Asinnx
l
临界力 F c r 是微弯下的最小压 力，故取 n = 1。且杆将绕惯性矩最小
的轴弯曲。
最小临界载荷:
压杆稳定 总复习
[P] = 67.14 kN
C
P
4. 图示结构，AB 为刚性梁，BC 为直径d = 40 mm 的圆杆。已知 BC 杆材料的 E = 206 GPa 、 λP = 104 、 λs = 61.4 、经验公式σ cr = a − bλ 中的常数 a = 304 MPa 、 b = 1.118 MPa ； 规定的稳定安全因数 nst = 3 。试确定该结构的许用载荷 [F ] 。
八、压杆稳定
思考题：
1. 若某细长压杆的临界力大，则此压杆的稳定性
；反之，临界力小，则此压杆的
稳定性
。
2. 压杆柔度反映了哪些因素对压杆稳定性的影响？
3. 当压杆两端的约束为球铰链时，对于图示不同截面形状的压杆，在失稳时，其横截面一
定绕 y 轴转动，能够满足这一条件的是图中的（ ）
y
y
y
y
z
z
z
z
4. 如图所示，材料和截面相同的五根细长杆，铰接成一正方形框架。已知框架在 A 、 C 两
端受到数值相等的拉力或压力 F 的作用，则关于该框架稳定性的描述正确的是（ ）
A．图 a 框架先失稳
B．图 b 框架先失稳
C．两种框架稳定性相同
D．条件不够，无法确定
B
B
FA
C
F
FA
C
F
D
D
图a
图b
5. 图示压杆，若在其某一截面处钻一横向小孔，则该杆与原来相比，（ ）
A．稳定性降低，强度不变
B．稳定性不变，强度降低
C．稳定性和强度都降低
D．稳定性和强度都不变
F
1
习题：
1. 三根直径均为 d = 160 mm 的圆杆，其长度及支承情况如图所示。各杆材料同为 Q235 钢，
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CD 梁中： M B 0.3 FP ， FNx FAB cos FP ， FQ FAB P 3．条件 [ ]M =max 160MPa 意谓着既要保证 C D cot 强度，又要保证 杆稳定。
3 MB m ax W F A
Nx [
] ， 0.3FP 185 10 8
F A B cr 106 k N
C
FAB
(a)
B
D
FP
2．当已知工作载荷为 170kN 时已大于临界载荷， 不安全。下面为凑原书答案，将已知工作载荷改为： FP = 70 kN 由（1 ）， FAB
240 .6 n w 158.7
6 7 FP 158.7 kN
1.52 [n ]st ，不安全。
14 －10 图示托架中杆 AB 的直径 d = 40mm，长度 l = 800mm，两端可视为球铰链约束， 材料为 Q235 钢，试： 1．求托架的临界载荷 FP cr。
— 78 —
2．若已知工作载荷 FP = 70kN ，并要求杆 AB 的稳定安全因数[n ]st = 2.0，校核托架是否 安全。 3．若横梁为 No.18 热轧工字钢，[ ] = 160MPa ，试问托架所能承受的最大载荷有没有变 化。 ³ 1．①（图（a）） sin
工程力学（1）习题全解
第 14 章 压杆的平衡稳定性分析与压杆设计
14 －1 关于钢制细长压杆受力达到分叉载荷之后，还能不能继续承载，有如下四种答案， 试判断哪一种是正确的。 （A ）不能，因为载荷达到临界值时，屈曲位移将无限制地增加； （B）能，压杆一直到折断时为止都有承载能力； （C）能，只要横截面上的最大应力不超过一定限度； （D）不能，因为超过分叉载荷后变形不再是弹性的。 正确答案是 C 。 14 －2 图示 a 、b 、c、d 四桁架的几何尺寸、杆的横截面直径、材料、加力点及加力方 向均相同。关于四桁架所能承受的最大外力 FP ma x 有如下四种结论，试判断哪一种是正确的。 （A ） FP max (a ) FP max (c) FP max (b) FP max (d) ； （B） FP max (a ) FP max (c) FP max (b) FP max (d) ； （C） FP max (a ) FP max (d) FP max (b) FP max (c) ； （D） FP max (a ) FP max (b ) FP max (c) FP max (d) 。 正确答案是 A 。
习题 14-3 图
— 76 —
图(d)下端弹簧不如图 (c)下端刚性好，故图(d) 临界力比图(c)小。 14 －4 一端固定、另一端弹簧侧向支承的压杆。若可采用欧拉公式 FP cr π2 EI /( l ) 2 ， 试确定其中长度系数的取值范围为 （A ） 2.0 ； （B） 0.7 2.0 ； （C） 0.5 ； （D） 0.5 0.7 。 正确答案是 B 。 解：因为弹性支座比自由端刚性好，比铰支刚性差。 14 －5 图示正三角形截面压杆，两端球铰约束，加载方向通 过压杆轴线。当载荷超过临界值时，试问压杆将绕着截面上哪一根 轴发生屈曲，表述有四种。 （A ）绕 y 轴； （B）绕过形心 C 的任意轴； （C）绕 z 轴； （D）绕 y 轴或 z 轴。 正确答案是 B 。 解：因为过正多边形截面形心的任意轴均为形心主轴，且惯性 矩相等。
0
-F P -FP
0 -F P
00 0
FP
-F P
14 －3 图示四压杆均为圆截面直杆，杆长 相同，且均为轴向加载。关于四者分叉载荷大 小有四种解答，试判断哪一种是正确的（其中 弹簧的刚度较大）。 （A ） FPcr (a ) FPcr (b) FPcr (c) FPcr (d) ； （B） FPcr (a ) FPcr (b) FPcr (c) FPcr (d) ； （C） FPcr (b) FPcr (c) FPcr (d) FPcr (a ) ； （D） FPcr (b) FPcr (a ) FPcr (c) FPcr (d) 。 正确答案是 D 。 解：图（b ）上端有弹性支承，故其临界力比图 (a) 大； 图(c)下端不如图(a)刚性好，故图(c) 临界力比图 (a)小；
— 77 — cr [n ]s t A 。当横截面面积 A 增加一
FP cr
π 2 EI min
l2
中各量可知；另外各种钢的弹性模量 E
由于 i
I ，柔度 A π2 E
l
i
而临界应力 cr
2
或 cr sR 2
cr ab
83
d 6 1.5 mm 4 4
习题 14-11 图
1 — 79 —
l
i
1 150 1.5
100 P 属细长杆
FP cr cr A n w FPcr FN
π2 E 2 π2 100 0.510 5120
1 2 使轴受压力 FN
14 －11
由变形谐调：
1 (t 2 t1 )l
FN l EA 2 ( t 2 t1 ) l
FN ( 1 2 )(t 2t1 ) EA
P
i
2π2 E
s
2 π2 210 10 9 600
（p 为内压， D 为管径， 为壁厚，A 为管横截面积）
cr (a) cr (b)
选（D ）。 14 －7 提高钢制大柔度压杆承载能力有如下方法，试判断哪一种是最正确的。 （A ）减小杆长，减小长度系数，使压杆沿截面两形心主轴方向的柔度相等； （B）增加横截面面积，减小杆长； （C）增加惯性矩，减小杆长； （D）采用高强度钢。 正确答案是 A 。 解：由大柔度压杆临界力公式： 值差别不大。 14 －8 根据压杆稳定设计准则，压杆的许可载荷 [ FP ] 倍时，试问[FP ]将按下列四种规律中的哪一种变化？ （A ）增加一倍； （B）增加两倍； （C）增加 1/2 倍； （D） [FP ]随着 A 的增加呈非线性变化。 正确答案是 D 。
习题 14-5 图
14 －6 同样材料、同样载面尺寸和长度的两根管状大柔度压杆，两端由球铰链支承， 承受轴向压缩载荷，其中管 a 内无内压作用，管 b 内有内压作用。关于二者横截面上的真实 应力 (a) 与 (b) 、临界应力 cr (a ) 与 cr (b) 之间的关系，有如下结论，试判断哪一结论是正确 的。 （A ） (a) (b) ， cr (a ) cr (b) ； （C） (a) (b) ， cr (a ) cr (b) ； 正确答案是 D 。
π2 EIz ( l )
2
4
图（b ）两杆作为整体绕 y 轴失稳 = 2
F Pcr
2
π2E 4l
2
2
πd4 64
πd4 64
π3 Ed 4 128l 2
πd 2 4 a π3 Ed 2 ( ) 2 2 128 l 2
图（c）两杆作为整体绕 z 轴失稳 = 2
cot F 2P 3 2 30.6 10 4 160 10 6 ， FP 73.5kN 106kN FPcr
FP cr 取 73.5kN，减小。 图示长 l = 150mm、直径 d = 6mm 的 40Cr 钢制微型圆轴，在温度为 t1 60 ℃时 安装，这时，轴既不能沿轴向移动，又不承受轴向载荷；温度升高时轴和架身将同时因热膨 胀而伸长，轴材料线膨胀数 1 1.2510 5 / ℃，架身材料的线膨胀系数 2 7.5 10 6 / ℃。40Cr 钢的 s =600MPa ，E = 210GPa。若规定轴的稳定工作安全因数 [n] st = 0.2 ，且忽略架身因受力 而引起的微小变形，试校核当温度升高到 t 2 60 ℃时，该轴是否安全。 ³ 温升时
2
π d4 64
π 3 Ed 4 32 l 2
比较（ 1）（ 2）（3 ）（ 4）后知图 (b)临界力最小：
F Pcr π 3 Ed 4 128l
2 12 π3 200 109 20 4 10 128 32
861 N
即
两杆共同绕 y 轴失稳时的临界力最小（图 b ）。
d 4 20 mm 157.5
pD 4 F 解： (a) FP cr ， (b)Pcr A A (a) (b) F F A A
（B） (a) (b) ， cr (a ) cr (b) ； （D） (a) (b) ， cr (a ) cr (b) 。
M C
7 4 7
0 ， 900 FP 600F AB sin
F P
2 3
4
F AB sin
6
FAB
（1）
②
i
d
10 mm i 10 80 P ，中柔度杆
习题 14-10 图
cr 2350.0068 2 191.5 MPa FAB cr cr A cr FPcr 7 6 πd2 4 191.5 π 4 40 2 240.6 kN
F
(a) 习题 14-9 图
(b)
(c)
(d)
³ 本题可能的失稳方式有四种，如解图所示 图（a）两杆分别失稳 = 0.5
πd 4 π 2 E 2 3 π EI 64 π 2Ed 单根 F P cr 2 ( l ) 2 (0.5l ) 16l π3 Ed 4 F P cr 2 F P cr 8l 2 π 2 EI y (l )
所以， cr 5 a 不存在线性关系， [ F P ] c r
[n ] st
A5 A 非线性关系，选 D 。
14 －9 图示结构中两根柱子下端固定，上端与一可活动的刚性块固结在一起。已知 l = 3m，直径 d = 20mm，柱子轴线之间的间距 a = 60mm。柱子的材料均为 Q235 钢，E = 200GPa ， 柱子所受载荷 FP 的作用线与两柱子等间距，并作用在两柱子所在的平面内。假设各种情形下 欧拉公式均适用，试求结构的分叉载荷。 F F F