1991考研数二真题及解析

1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设ln(13)x

y -=+,则dy =＿＿＿＿＿＿. (2) 曲线2

x y e -=的上凸区间是＿＿＿＿＿＿.

(3)

2

1

ln x

dx x +∞

=⎰

＿＿＿＿＿＿. (4) 质点以速度2

sin()t t 米每秒作直线运动,

则从时刻1t =

秒到2

t =的路程等于＿＿＿＿＿＿米.

(5) 1

10

1lim x x x

e

x e

+

→-=+＿＿＿＿＿＿.

二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1) 若曲线2

y x ax b =++和3

21y xy =-+在点(1,1)-处相切,其中,a b 是常数,则 ( )

(A) 0,2a b ==- (B) 1,3a b ==- (C) 3,1a b =-= (D) 1,1a b =-=-

(2) 设函数2 , 01,

()2,12,

x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩记0

()(),02x F x f t dt x =≤≤⎰,则 ( )

(A) 32 , 013()12,1233x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩ (B) 32

, 013

()72,1262x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩

(C) 3

22 , 013

()2,123

2x x F x x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩ (D) 32 , 013()2,122x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩

(3) 设函数()f x 在(,)-∞+∞内有定义,00x ≠是函数()f x 的极大点,则 ( )

(A) 0x 必是()f x 的驻点 (B) 0x -必是()f x --的极小点

(C) 0x -必是()f x -的极小点 (D) 对一切x 都有0()()f x f x ≤

(4) 曲线2

2

11x x e y e

--+=

- ( )

(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线

(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (5) 如图,x 轴上有一线密度为常数μ,长度为l 的细杆,有一质量为m 的质点到杆右端的距离

为a ,已知引力系数为k ,则质点和细杆之间引力的大小为 ( )

(A) 0

2()l km dx a x μ

--⎰ (B) 2

0()l km dx a x μ-⎰ (C) 0

2

2

2()l km dx a x μ-+⎰ (D) 2

202()l

km dx a x μ+⎰ 三、(每小题5分,满分25分.)

(1) 设cos sin x t t y t t =⎧⎨=⎩

,求22

d y dx . (2) 计算

4

1

⎰

(3) 求 20

sin lim

(1)

x x x x

x e →--.

(4) 求

2

sin

x xdx ⎰.

(5) 求微分方程x

xy y xe '+=满足(1)1y =的特解. 四、(本题满分9分)

利用导数证明：当1x >时,有不等式ln(1)ln 1x x

x x

+>

+成立. 五、(本题满分9分)

求微分方程cos y y x x ''+=+的通解. 六、(本题满分9分)

曲线(1)(2)y x x =--和x 轴围成一平面图形,求此平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.

七、(本题满分9分)

如图,A 和D 分别是曲线x

y e =和2x

y e

-=上的点,AB 和DC 均垂直x 轴,且

:2:1AB DC =,1AB <,求点B 和C 的横坐标,使梯形ABCD 的面积最大.

八、(本题满分9分)

设函数()f x 在(,)-∞+∞内满足()()sin f x f x x π=-+,且(),[0,)f x x x π=∈, 计算

3()f x dx π

π

⎰.

1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析

一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)【答案】ln 3

31

x

dx -

+ 【解析】由复合函数求导法则,即(())y f x ϕ=的微分为(())()dy f x f x dx ϕ''=,有

1ln 33ln 3(1)1331

x

x x dy dx dx --=

⋅⋅-=-++.

(2)

【答案】( 【解析】求函数()y f x =的凹凸区间,只需求出y '',若0y ''>,则函数图形为上凹,若

0y ''<,则函数图形为上凸,由题可知

22221

2(2)(2)4()2

x x x y e x e x e x ---''=-+-⋅-=-.

因为2

40x e

->,所以当21

02

x -

<时0y ''<,函数图像上凸,

即21,222x x <-

<<时, 函数图像上凸.

故曲线上凸区间为(. (3)【答案】1

【解析】用极限法求广义积分.

1ln ln11ln 1lim lim ()111b

b b b b b x b b →+∞→+∞⎧⎫⎪⎪

⎡⎤=-

++-=-++=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭

. (4)【答案】

1

2

【解析】这是定积分的应用.

设在t t dt →+时刻的速度为2

sin()t t ,则在dt 时间内的路程为2

sin()ds t t dt =,所以从

时刻1t =

2

t =