双曲线离心率求解的基本方法
双曲线离心率常见求法整理归纳
1双曲线离心率求法 在双曲线中，1c e a =>，c e a ===== 方法一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e1．已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为 . 2．已知双曲线22212x y a -=(a >)的两条渐近线的夹角为3π,则双曲线的离心率为 .3．已知1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段12F F 为边作正三角形12MF F ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 .4．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率=e .5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 .6．设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是 . 7．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C 的离心率为 .8．已知双曲线的渐近线方程为125y x =±，则双曲线的离心率为 . 9.过双曲线12222=-by a x 的一个焦点的直线交双曲线所得的弦长为2a ，若这样的直线有且仅有两条，则离心率为 .10．双曲线两条渐近线的夹角等于90，则它的离心率为 ．方法二、构造,a c 的齐次式，解出e1．过双曲线22221x y a b-=((0,0)a b >>)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________．2．设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若1F 、2F ，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为________．3．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________．方法三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形1．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为________．2．双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为12,F F ,若P 为其上一点，且12||2||PF PF =,则双曲线离心率的取值范围为________．3．设12,F F 分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=，且12||3||AF AF =，则双曲线离心率为________．4．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12,F F ，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为________．5．如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB ∆是等边三角形，则双曲线的离心率为________．6．设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上的任意一点，12,F F 分别是其左右焦点，离心率为e ，若12||||PF e PF =，此离心率的取值范围为________．方法四、双曲线离心率取值范围问题例1.(本题需要使用双曲线的第二定义解决)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P 使1221sin sin PF F a PF F c∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．例2.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是 ．例 4.已知点P 在双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支上，双曲线两焦点为12,F F ，2221||||PF PF 最小值是8a ，则此双曲线的离心率的取值范围是 ． 例 5.双曲线2222222211x y y x a b b a-=-=与的离心率分别是12,,e e 则12e e +的最小值为 ．与准线有关的题目1．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 .2．已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为 . 3.设点P 在双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左支上，双曲线两焦点为12,F F ，已知1PF 是点P 到左准线l 的距离d 和2PF 的比例中项，则此双曲线的离心率的取值范围是 ．4．已知双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，124PF PF ab =，则双曲线的离心率是_______.。
双曲线离心率如何求——从一道高考真题谈起
双曲线离心率如何求从一道高考真题谈起ʏ河南省禹州市第一高级中学 冯会远求双曲线的离心率,是高考常考题型㊂那么双曲线的离心率该如何求呢?让我们从一道高考真题谈起㊂题目:(2023年高考新课标Ⅰ卷)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点分别为F 1㊁F 2,点A 在双曲线C 上,点B 在y 轴上,F 1A ңʅF 1B ң,F 2A ң=-23F 2B ң,则双曲线C 的离心率为㊂分析:方法1:利用双曲线的定义与向量数量积的几何意义得到|A F 2|,|B F 2|,|B F 1|,|A F 1|关于a ,m 的表达式,从而利用勾股定理求得a =m ,最后利用余弦定理得到a ,c 的齐次方程,进行得解㊂方法2:依题意设出各点坐标,从而由向量坐标运算求得x 0=53c ,y 0=-23t ,t 2=4c 2,将点A 代入双曲线C 的方程得到关于a ,b ,c 的齐次方程,最后得解㊂图1解析:(方法1)依题意,如图1,设|A F 2|=2m ,则|B F 2|=3m =|B F 1|,|A F 1|=2a +2m ㊂在R t әA B F 1中,9m 2+(2a +2m )2=25m 2,则(a +3m )(a -m )=0,故a =m 或a =-3m(舍去)㊂所以|A F 1|=4a ,|A F 2|=2a ,|B F 2|=|B F 1|=3a ,则|A B |=5a ㊂故c o s øF 1A F 2=|A F 1||A B |=4a 5a =45㊂所以在әA F 1F 2中,c o søF 1A F 2=16a 2+4a 2-4c 22ˑ4a ˑ2a=45,整理得5c 2=9a 2㊂故e =c a =355㊂(方法2)依题意,得F 1(-c ,0),F 2(c ,0),令A (x 0,y 0),B (0,t )㊂因为F 2Aң=-23F 2B ң,所以(x 0-c ,y 0)=-23(-c ,t ),则x 0=53c ,y 0=-23t ㊂又F 1A ңʅF 1B ң,所以F 1A ң㊃F 1B ң=83c ,-23t㊃(c ,t )=83c 2-23t 2=0,则t 2=4c 2㊂又点A 在双曲线C 上,则259c 2a 2-49t 2b2=1,整理得25c 29a 2-4t 29b 2=1,即25c 29a 2-16c29b2=1㊂所以25c 2b 2-16c 2a 2=9a 2b 2,即25c 2(c 2-a 2)-16a 2c 2=9a 2(c 2-a 2)㊂整理得25c 4-50a 2c 2+9a 4=0㊂则(5c 2-9a 2)(5c 2-a 2)=0,解得5c 2=9a 2或5c 2=a 2㊂又e >1,所以e =355或e =55(舍去)㊂故e =355㊂点评:解决过双曲线焦点的三角形的关键是充分利用双曲线的定义,结合勾股定理与余弦定理得到关于a ,b ,c 的齐次方程,从而得解㊂从这道高考真题的解法可以看出,双曲线离心率的求法主要有两种方法:定义法和方程法㊂我们再来看几个变式题㊂变式1:过双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点F ,作x 2+y 2=a 2的一条切线,设切点为T ,该切线与双曲线E 在第一象限交于点A ,若F A ң=3F T ң,则双曲线E 的离心率为( )㊂A.3 B .5C .132 D .152分析:取线段A T 中点,根据给定条件,结03 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月合双曲线定义及勾股定理解答㊂图2解析:如图2,令双曲线E 的右焦点为F ',半焦距为c ,取线段A T 中点M ,连接O T ,A F ',F 'M ㊂因为F A 切圆x 2+y2=a 2于T ,所以O T ʅF A ,|F T |=|O F |2-|O T |2=c 2-a 2=b ㊂因为F A ң=3F T ң,所以|A M |=|M T |=|F T |=b ,|A F '|=|A F |-2a =3b -2a ㊂而O 为F F '的中点,于是F 'M ʊO T ,即F 'M ʅA F ,|F 'M |=2|O T |=2a ㊂在R t әA F 'M 中,(2a )2+b 2=(3b -2a )2,整理得b a =32㊂所以双曲线E 的离心率e =ca=1+b 2a2=132,选C ㊂点评:本题采用了定义法,关键是应用双曲线的定义和几何图形的性质,求出a 与b 的关系式,进而再通过a 2+b 2=c 2,来求a 与c 的关系式,即双曲线的离心率㊂变式2:已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点分别为F 1㊁F 2,点M 在双曲线E 上,әF 1M F 2为直角三角形,O 为坐标原点,作O N ʅM F 1,垂足为N ,若2MN ң=3N F 1ң,则双曲线E 的离心率为㊂分析:根据给定条件,确定直角三角形的直角顶点位置,建立方程并结合双曲线定义求出|M F 1|,|M F 2|,再借助相似三角形性质列式求解㊂图3解析:әF 1M F 2为直角三角形,显然øM F 1F 2ʂ90ʎ,否则N 与F 1重合㊂若øF 1M F 2=90ʎ,由O N ʅM F 1,得O N ʊM F 2,则N 为M F 1的中点,与2MN ң=3N F 1ң矛盾㊂于是øM F 2F 1=90ʎ,即M F 2ʅx 轴,如图3㊂令双曲线半焦距为c ,由x =c ,x 2a 2-y 2b2=1,得y 2=b 4a2㊂因此,|M F 2|=b 2a ,|M F 1|=b2a +2a =a 2+c 2a㊂由2MN ң=3N F 1ң,得|N F 1|=25|M F 1|=2(a 2+c 2)5a㊂显然әO N F 1ʐәM F 2F 1,则|N F 1||F 1F 2|=|O F 1||M F 1|,即a 2+c 25a c =a c a 2+c2,整理得a 2+c 2=5a c ㊂则e 2-5e +1=0,解得e =5+12或e =5-12(舍去),所以双曲线E 的离心率为5+12㊂点评:本题采用了方程法,即通过建立关于离心率的方程来求得离心率,解答的关键是充分利用几何图形中相似三角形的对应边成比例建立方程㊂变式3:双曲线C :x 2a 2-y2b 2=1(a >0,b >),过虚轴端点且平行x 轴的直线交双曲线C 于A ,B 两点,F 为双曲线的一个焦点,且A F ʅB F ,则该双曲线的离心率e 为㊂分析:解决本题的落脚点是 A F ʅB F ,对于解决线线垂直问题,高中阶段我们常用的策略有:(1)两条直线垂直且斜率存在,则两条直线斜率之积等于-1;(2)考虑三边边长,利用勾股定理构造直角三角形;(3)转化为向量问题,两条垂线对应向量的数量积为零;(4)利用直角三角形的几何性质㊂解析:(方法1,利用 两条直线垂直且斜率存在,则两直线斜率之积等于-1)如图4,已知A ,B 两点的纵坐标都为b ,将b 代入双曲线方程得x =ʃ2a ,所以A (-2a ,b ),B (2a ,b )㊂13解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月图4设F (c ,0)为双曲线右焦点,则k A F =-bc +2a ,k B F =-bc -2a㊂因为A F ʅB F ,所以k A F ㊃k B F =-b c +2a ㊃-bc -2a=-1,整理得c 2+b 2=2a 2㊂①易知c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂离心率e =1+ba2=62㊂(方法2,әA F B 是直角三角形,利用勾股定理解题)根据方法1可得A (-2a ,b ),B (2a ,b )㊂设F (c ,0)为双曲线的右焦点,则:|A B |=22a ,|A F |=(c +2a )2+b 2,|B F |=(c -2a )2+b 2㊂因为A F ʅB F ,所以由勾股定理得:|A F |2+|B F |2=|A B |2,即(c +2a )2+b 2+(c -2a )2+b 2=8a 2㊂整理得c 2+b 2=2a 2㊂①又在双曲线中有c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂故离心率e =1+ba2=62㊂(方法3,转化为向量求解)根据方法1可得A F ң=(c +2a ,-b ),B F ң=(c -2a ,-b )㊂因为A F ʅB F ,所以A F ңʅB F ң㊂则(c -2a )(c +2a )+b 2=0,整理得c 2+b 2=2a 2㊂①又双曲线中有c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂故离心率e =1+ba2=62㊂(方法4,转化为直角三角形性质求解)由方法2可得|A B |=22a ,如图5,设图5虚轴端点为C ,连接C F ,则|C F |=|A B |2=2a ㊂即c 2+b 2=2a ,c 2+b 2=2a 2㊂后面过程与前三种方法相同㊂(方法5,转化为双曲线定义求解)图6如图6,设虚轴端点为C ,连接C F ,则|C F |=|C A |=|C B |=2a ㊂由题意|A F |-|B F |=2a ,|A F |2+|B F |2=8a 2,得|A F |=(3+1)a ,|B F |=(3-1)a ㊂t a n øF A B =|B F ||A F |=(3-1)a(3+1)a=2-3,则t a nøF C B =t a n 2øF A B =33,故øF C B =30ʎ,øF C O =60ʎ㊂因为s i n øF C O =|O F ||C F |,所以s i n 60ʎ=c2a,则e =62㊂点评:双曲线有两个虚轴端点以及两个焦点,本题未明确给出哪个端点哪个焦点,看似让人无从下手,实则增加了问题的灵活性,同学们只需根据双曲线的对称性,任意选取其中的一个虚轴端点和焦点即可解决本题㊂方法总结:离心率是双曲线最重要的几何性质,求离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出a ,c ,代入公式e =ca ;②只需要根据条件得到关于a ,b ,c 的齐次式,结合b 2=c 2-a 2转化为a ,c 的齐次式,然后等式两边分别除以a 或a 2转化为关于e的方程,解方程即可得离心率e 的值㊂当求双曲线的离心率时一定要注意数形结合思想和双曲线定义的应用㊂(责任编辑 徐利杰)23 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月。
如何求双曲线的离心率
%
2 姨 3 －1
%
故选D. = 姨 3 +1，
%
与渐近线y=
b 得出其斜率的乘积为-1， 进而求得b和a， x垂直， c a
点评 ： 本题把双曲线的问题放在正六边形中考查 ， 情境新 颖 ， 综合考查多方面的能力 ， 掌握正六边形的性质是解决本题的 基础 . 利用性质得出计算 2a=|EC|-|FE| 的值是解题的关键 ． 例 6 （2012 年浙江杭州第二中学高三模拟） 如图 3， F2为双
如何 求 双 曲
离心率 的 线
黄 健
筅湖北省广水市育才高中
也可求出渐近线的方程， 即
b % 2 当双曲线的 = 姨e －1 . 但要注意， a x2 y 2 （a>0， － =1 a2 b2
焦点所在的坐标轴不确定时上述两类问题都有两解.
例 1 （2012 年湖北黄冈高三模拟） 双曲线
%
则它的离心率e=______. ） 的一条渐近线方程为y= 姨 2 x， b>0 2 由于新课标降低了对双曲线的要求， 双曲线中基本知识必然 成为高考考查的热点， 考查中常常涉及到双曲线基本量 （a、 b、 c、 ） 之间的关系以及双曲线的渐近线， 特别是双曲线的离心率， 求 e 双曲线离心率涉及到解析几何 、 平面几何、 代数等多个知识点， 综合性强， 方法灵活， 解题关键是挖掘题中的隐含条件， 能够体 现双曲线解题的技巧与方法. 下面通过具体例子分类解析如何 求解双曲线的离心率.
一 、利用渐近线与离心率的关系求解
双曲线的渐近线也是用来反映双曲线的开口大小的程度 的， 所以双曲线的离心率与渐近线之间有着密切的联系， 二者之 间可以互求. 已知渐近线的方程时，可得 b a +b =1+ a a2
巧解双曲线的离心率问题
(1,
2]
，故选A.
典例4：已知双曲线C： a2 － b2 ＝1 (a＞0，b＞0)的左、右焦点
分别为F1，F2，点P为双曲线右支上一点，若|PF1|2＝8a|PF2|，则双曲
线C的离心率的取值范围为
A．(1，3] B．[3，＋∞) C．(0，3) D．(0，3]
（下转第255页）
**注：本文系福建省教育科学“十三五”规划2018年度课题《高中数学教学渗透数学文化的实践与研究》（立项批准号FJJKXB18-605）研究 成果。
角三角形，则双曲线的离心率为( )
几何法：根据几何关系找出 a与c 的关系式 解析：∵△ABF2是直角三角形， ∴∠AF2F1＝45°， |AF1|＝|F1F2|，＝2c. ∴b2＝2ac，∴c2－a2＝2ac，∴e2－2e－1＝0.
解得e＝1± 2 .又e>1，
∴e＝1＋ 2 .
所以选A 二、求离心率的范围
≥
1 2
S∆IF1F2
所以
r 2
PF1
−r 2
PF2
≥r 4
F1F2
，
r 两边约去 2 得 PF1 =
PF2
+
1 2
F1F2
,∴
PF1
−
PF2
=
1 2
F1F2
，
根据双曲线定义，得 PF1 − PF=2 2a, F1F=2 2c ，∴ 2a ≥ c ⇒ 离心
率为 e=
c a
≤
2
，双曲线的离心率x2取值y2范围为
2019 年 9 月
巧解双曲线的离心率问题 *
李建生
（厦门外国语学校石狮分校 ）
摘 要：通过列举各种方法求解双曲线离心率问题，让学生掌握解决双曲线离心率的方法与技巧 关键词：直接法 通径法 几何法 设而不求法 导数法
高考离心率知识点总结
高考离心率知识点总结高考是对学生十几年学习成果的一次总结和检验。
其中，数学作为高考的一门重要科目，对于许多学生来说，是十分关键和困惑的。
而在数学中，离心率是一个涉及到椭圆、抛物线和双曲线的重要概念。
本文将对高考中常见的离心率知识点进行总结。
离心率是描述圆锥曲线形状的一个重要参数，它是椭圆、抛物线和双曲线的特征之一。
一般来说，离心率越大，圆锥曲线形状越扁平。
离心率的计算公式如下：离心率=√(1-(b²/a²))其中，a是椭圆的长半轴长度，b是椭圆的短半轴长度。
接下来，我们将通过具体的例子来讨论高考中可能遇到的离心率问题。
1. 椭圆的离心率求解假设有一个椭圆的长轴长度为8，短轴长度为6。
我们可以先计算出椭圆的离心率。
离心率=√(1-(6²/8²))=√(1-36/64)=√(1-9/16)=√(7/16)因此，这个椭圆的离心率为√(7/16)。
2. 抛物线的离心率求解抛物线是一种特殊的圆锥曲线，其离心率定义为1。
所以，无论抛物线的形状如何，其离心率始终为1。
3. 双曲线的离心率求解对于双曲线，其离心率的计算稍微复杂一些。
假设有一个双曲线的方程为x²/16 - y²/9 = 1，我们可以通过方程来求解其离心率。
首先，将方程化简为标准形式，即(x²/16) - (y²/9) = 1。
然后，我们将方程与椭圆的标准方程进行比较，可以发现椭圆的长半轴为4，短半轴为3，进而计算出椭圆的离心率。
离心率=√(1-(3²/4²))=√(1-9/16)=√(7/16)因此，这个双曲线的离心率为√(7/16)。
综上所述，离心率是数学中重要的概念之一，对于高考尤为重要。
本文通过椭圆、抛物线和双曲线的例子，展示了离心率的计算方法。
希望通过这篇文章的阅读，学生们能够对离心率有一个更加清晰的理解，从而在高考中能够更好地应用和运用相关知识。
离心率的五种求法
离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 23 C. 26 D. 332解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26 C. 23 D 2 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c c a 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
双曲线离心率求解的基本方法
精品文档双曲线离心率的求法、利用双曲线定义 例1.已知椭圆E 上存在点P ,在P 与椭圆E 的两个焦点F 、F 2构成的△ FPF 2中, sin. PF 1F 2 : si n. FfF 2:si n. PF 2F 1 ^7 :10 :11.则椭圆 E 的离心率等于 ________二、利用平面几何性质2 2例2 设点P 在双曲线 冷-爲=1(a . 0,b . 0)的右支上，双曲线两 a b 焦点F 、F 2, I PF I=4| PF 2 I ,求双曲线离心率的取值范围。
三、 利用数形结合例3 (同例2)四、 利用均值不等式2 2务一笃_1(a . 0,b . 0)的右支上，双曲线两焦a b六、 利用直线与双曲线的位置关系2X 2例6已知双曲线—-y = 1(a . 0)与直线I : x • y = 1交于P 、Qa 两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。
七、 利用点与双曲线的位置关系2例7已知双曲线■X 〒一 y 2 = 1(a > 0)上存在p 、Q 两点关于直线a x - 2y =1对称，求双曲线离心率的取值范围。
八、 利用非负数性质2 2例8已知过双曲线 务-花-1(a ■ 0,b . 0)左焦点R ,的直线I 交a b双曲线于 P Q 两点，且OP_OQ ( O 为原点)，求双曲线离心率的取值范围。
九、 利用双曲线性质2 2例9.已知双曲线务-首-1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F i (-c,0), F 2(C ,0) •若双曲a b 线上存在点P 使si n PF i F 2朋，则该双曲线的离心率的取值范围是 __________________________sin /PF 2F 1 c精品文档 例4已知点P 在双曲线 点为斤、F 2 , |一丄最小值是8a ,求双曲线离心率的取值范围。
|PF 2|五、利用已知参数的范围例5已知梯形ABCD 中, |AB | = 2|CD |，点E 分有向线段AC 所成的比为，，双曲线过 C 、D E 三点，且以 A B 为焦点，当 <3- 4 <- 求双曲线离心率的取值范围。
双曲线离心率常考题型总结-高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
第18讲 双曲线离心率常考题型总结【知识点梳理】椭圆的离心率()10<<=e ac e ，222222221a b a b a a c e +=+== 【题型目录】题型一：利用双曲线的定义、几何性质求离心率的值 题型二：双曲线的离心率范围范围问题题型三：椭圆和双曲线共焦点离心率之间的关系（利用定义或者焦点三角形面积公式） 题型四：利用中点弦公式（点差法）求离心率 【典型例题】题型一：利用双曲线的定义、几何性质求离心率的值【例1】（2022·安徽省临泉第一中学高二期末）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，M 是双曲线C 上一点，若120MF MF ⋅=，2212OM OF c ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ） A 3B 31 C 2D 21【答案】B【分析】根据双曲线的定义及几何性质结合向量的数量积直接可得离心率. 【详解】()()22121221111242OM OF MO F F MF MF MF MF c ⎛⎫⋅=-⋅=-+⋅-= ⎪⎝⎭，则222122MF MF c -=，又因为120MF MF ⋅=，12MF MF ⊥，即222124MF MF c +=， 所以13MF c =，2MF c =， 所以1223a MF MF c c =-=-， 则31e =+， 故选：B.【例2】（云南省三校2023届高三上学期高考备）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点为1F ，2F ，过1F 且垂直于x 轴的直线交C 于M ，N 两点，若22MF NF ⊥，则C 的离心率为（ ） A 21 B ．2C 3D 2【答案】A【分析】由题可得112F M F F =，从而可建立方程，即可得出双曲线的离心率.【详解】由题可得:MN x c =-，代入双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，解得2b y a=±，又22MF NF ⊥，∴112F M F F =，即22b c a =，222c a ac ∴-=， 2210e e ∴--=，12e ∴=±，1e >， 21e ∴=+. 故选：A【例3】（2022·陕西省安康中学高三阶段练习（文））设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F O为坐标原点，若双曲线上存在点M 满足1222MF MO MF ==，则双曲线的离心率为（ ） A ．6 B ．3C 6D 3【答案】C【分析】判断M 点位置，过点M 作x 轴的垂线，垂足为A ，可得22cAF =，132c AF =，设2MF m =，利用勾股定理表示出2||MA ，可得2232m c =，结合双曲线定义可得2m a =，即可求得a,c 的关系，进而求得离心率.【详解】因为1222MF MO MF ==,则2MO MF =， M 在双曲线右支上， 过点M 作x 轴的垂线，垂足为A ，则A 为2OF 的中点，所以22cAF =，132c AF =， 设2MF m =，则12MF m =，故在1Rt MAF △中，2229||44MA m c =-.在Rt 2MAF 中，222||4c MA m =-，则22229444c m c m -=-，即2232m c =.因为122MF MF a -=，则2m a =，所以223(2)2a c ⨯=，即226c a =， 所以6ce a==， 故选：C.【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1x y C a b -=（0,0a b >>）的左、右焦点，A ，B 是C 右支上的两点，且直线AB 经过点2F ．若222AF BF =，以12F F 为直径的圆经过点B ，则C 的离心率为（ ） A 17 B 2C 5D 15+ 【答案】A【分析】由以12F F 为直径的圆经过点B 得1290F BF ∠=︒，结合双曲线的定义及勾股定理可得解.【详解】由题意得1290F BF ∠=︒，设2BF m =，则12BF m a =+，22AF m =，122AF m a =+，||3AB m =，在1Rt ABF 中，由勾股定理得()()()2222322m a m m a ++=+，解得23m a =， 则223BF a =，183BF a =， 在12Rt F BF 中，由勾股定理得()22228233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22179c a =，所以C 的离心率173c e a ==， 故选：A.【例5】（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过点1F 3l 与双曲线C 的左､右两支分别交于,M N 两点，且()220F M F N MN +⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2B 3C 5D ．2【答案】A【分析】结合向量运算、双曲线的定义建立等量关系式，利用直线l 的斜率列方程，化简求得双曲线的离心率.【详解】如图，设D 为MN 的中点，连接2F D .易知2222F M F N F D +=，所以()22220F M F N MN F D MN +⋅=⋅=，所以2F D MN ⊥. 因为D 为MN 的中点，所以22F M F N =.设22F M F N t ==，因为212MF MF a -=，所以12MF t a =-. 因为122NF NF a -=，所以12NF t a =+. 所以114MN NF MF a =-=.因为D 是MN 的中点，11F D F M MD =+，所以12,MD ND a F D t ===. 在Rt 12F F D 中，2224F D c t =-； 在Rt 2MF D 中，2224F D t a =-.所以222244c t t a -=-，解得22222t a c =+. 所以22222122,22F D c a F D t a c =-==+. 因为直线l 的斜率为33， 所以22212221223tan 322F D c a DF F F D a c∠-===+，所以2222221,23c a c a a c -==+， 2c a =，所以离心率为2ca=. 故选：A【点睛】求双曲线离心率的方法有：（1）直接法：利用已知条件将,a c 求出，从而求得离心率e ；（2）方程法：利用已知条件列出关于,a c 或,a b 的方程，化简求得离心率.【例6】（2022·江苏南通·高二期末）已知双曲线2221y x b-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 、Q 是双曲线上关于原点对称的两点，1OP OF =，四边形12PFQF 的面积为2，则该双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3 C ．2 D 5【答案】A【分析】分析可知四边形12PFQF 为矩形，利用勾股定理结合双曲线的定义可得出2122PF PF b ⋅=，利用三角形的面积公式可求得b 的值，即可求得该双曲线的离心率的值.【详解】由已知12OP OF OF ==，所以，11OPF OFP ∠=∠，22OPF OF P ∠=∠， 所以，1122122OPF OF P OPF OF P F PF π∠+∠+∠+∠=∠=，可得122F PF π∠=，由勾股定理可得222212124PF PF F F c +==， 由双曲线的定义可得122PF PF a -=， 所以，()222212121224PF PF PF PF PF PFb ⋅=+--=，由双曲线的对称性可知，四边形12PFQF 为矩形，所以，12212112F PF S PF PF b =⋅==△， 所以，222c a b =+=，故该双曲线的离心率为2ce a==.故选：A.【例7】（2022·陕西安康·高二期末（理））已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点分别为1F ，2F ，A 为C 的左顶点，以12F F 为直径的圆与C 的一条渐近线交于P ，Q 两点，且2π3PAQ ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ） A 5B 2C 3D 21【答案】D【分析】由圆的对称性，并联立渐近线方程求P 、Q 坐标，结合已知易得2π6PAF ∠=，根据2tan 2b PAF a∠=得到齐次方程求参数关系，即可得离心率.【详解】设以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，且P 、Q 关于原点对称，由222b y xa x y c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩或x a y b =-⎧⎨=-⎩，∴(),P a b ，(),Q a b --． ∴(),0A a -，2π3PAQ ∠=， ∴2π6PAF ∠=， ∴23tan 32bPAF a∠==， ∴2234b a =，即()22234c a a -=，∴2273c a =， ∴213c e a ==． 故选：D【例8】（2022·辽宁·高三期中）已知双曲线C ：22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若112,.F A AB F B F B =＝0，则C 的离心率为（ ） A 3B 51 C ．3 D ．2【答案】D【分析】本题首先可结合题意绘出图像，结合已知条件得出1OA F B ⊥、1OF OBc 以及直线1F B 的方程为()ay x c b=+，然后联立直线1FB 的方程与渐近线方程，求出B 点坐标，再然后根据22OB c =得出223b a =，最后根据222c a b -=以及离心率计算公式即可得出结果. 【详解】如图，结合题意绘出图像：因为1F A AB =，120F B F B ⋅=，O 是12F F 中点， 所以A 是1F B 中点，12F B F B ⊥，1OA F B ⊥，1OF OBc ，因为直线OA 是双曲线22221x y a b-=的渐近线，所以OA b k a=-，1F B a k b =，直线1F B 的方程为()ay x c b =+，联立()ay x c bb y xa⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得22222,a c abc B b a b a ⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 则4222222222222()()a c abc OB c b a b a =+=--，整理得223b a =，因为222c a b -=，所以224a c =，2ce a==， 故选：D.【例9】（2022·浙江·温岭中学高二期末多选）设双曲线2222:1x y C a b-=的左右焦点分别为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作圆D 的切线与C 交于M ､N 两点，且124cos 5F NF ∠=，则C 的离心率可以为（ ）A 5B ．53C 34D 13 【答案】BD【分析】当直线与双曲线交于两支时，设过1F 的切线与圆222:D x y a +=相切于点P ，从而可求得1PF ，过点2F 作2F Q MN ⊥于点Q ，由中位线的性质求得12,FQ QF ，在2Rt QNF 中，可求得2,NF NQ ，利用双曲线的定义可得,a b 的关系，再由离心率公式求解即可，当直线与双曲线交于同一支时，同理可求得离心率 【详解】当直线与双曲线交于两支时，设过1F 的切线与圆222:D x y a +=相切于点P ，则1,OP a OP PF =⊥，因为1OF c =，所以222211PF OF OP c a b =-=-=，过点2F 作2F Q MN ⊥于点Q ， 所以OP ∴2F Q ， 因为O 为12F F 的中点，所以1122FQ PF b ==，222QF OP a ==， 因为124cos 5F NF ∠=，12F NF ∠为锐角， 所以1212231cos sin 5F NF F NF ∠∠=-=，所以22122103sin 35QF a a NF F NF ===∠， 所以2121048cos 353a aNQ NF F NF =∠=⨯=， 所以11823aNF NQ FQ b =+=+， 因为122NF NF a -=， 所以8102233a a b a +-=，化简得34b a =， 所以43b a =， 所以离心率为22451133c b e a a ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当直线与双曲线交于一支时，记切点为A ，连接OA ，则1,OA a F A b ==， 过2F 作2F B MN ⊥于B ，则22F B a =， 所以2211222BF F F BF b =-=，因为124cos 5F NF ∠=，所以12F NF ∠为锐角， 所以1212231cos sin 5F NF F NF ∠∠=-=，所以22122103sin 35BF a aNF F NF ===∠，2121048cos 353a a NB NF F NF =∠=⨯=， 所以11823aNF NB F B b =-=-, 所以211082233a a NF NF b a ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，化简得32b a =， 所以23b a =， 所以离心率为222131133c b e a a ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上，双曲线的离心率为53或133，故选：BD【例10】（2022·江西南昌·三模（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P是双曲线右支上一点，且212PF F F ⊥，I 和G 分别是12PF F △的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则双曲线的离心率为（ ） A 3B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由重心坐标求得I 的坐标，再利用圆的切线长定理和双曲线的定义得到G 的坐标，再根据IG 与x 轴平行，由I G y y =求解. 【详解】解：如图所示：由题意得：()()2121,0,,0,,b Fc F c P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2,33c b G a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由圆的切线长定理和双曲线的定义得122AF AF a -=， 所以(),0A a ，则(),I a a ， 因为IG 与x 轴平行， 所以I G y y =，即23b a a=，则223b a =，即224c a =， 解得2e =， 故选：B 【题型专练】1.（2022·福建·泉州市城东中学高二期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，若以点A 为圆心，以b 为半径的圆与C 的一条渐近线交于M ，N 两点，且2OM ON =，则C 的离心率为（ ）A ．43B 3C 23D 6【答案】C【分析】通过图形，利用圆、双曲线的几何性质，根据题设得到,,a b c 的等量关系，算出双曲线的离心率． 【详解】过点A 作AP MN ⊥于点P ，则点P 为线段MN 的中点，因为点A 为(,0)a ，渐近线方程为by a=±，所以点A 到渐近线b y x a =的距离为20||1⋅-==⎛⎫+ ⎪⎝⎭ba ab aAP c b a ，在Rt OAP △中，22222||||||⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ab a OP OA AP a c c ，在Rt NPA 中，22222||||||⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ab b NP AN AP b c c ，因为2OM ON =，所以||||||2||||3||=+=+=OP ON NP NP NP NP ， 所以223=⨯a b c c，即223a b ，所以离心率223e 13⎛⎫==+= ⎪⎝⎭c b a a ．故A ，B ，D 错误.故选：C ．2.（2022·河北保定·高一阶段练习）已知12F F 、是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且1212120,3F PF PF PF ∠=︒=，则双曲线C 的离心率为（ ）A 7B 13C 7D 13【答案】B【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==， 所以2PF a =，13PF a =；因为12120F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos120a c a a a =+-⨯⋅⋅︒， 整理可得22413c a =， 所以222134a c e ==，即132e =. 故选：B3.（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线()22:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，一条渐近线为l ，过点2F 且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若122MF MF =，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2 B 3C 5D 6【答案】C【分析】由双曲线定义可得21,MF MF ，根据平行关系可知12cos aF F M c∠=，由余弦定理可构造齐次方程求得离心率. 【详解】设:bl y x a=，则点M 位于第四象限， 由双曲线定义知：1222222MF MF MF MF MF a -=-==，14MF a ∴=； 设过点2F 且与l 平行的直线的倾斜角为α，则tan b a α=，22cos a a ca b α∴==+， 12cos aF F M c∴∠=； 在12F F M △中，由余弦定理得：222122112122cos 2F F MF MF F F M F F MF +-∠=⋅，即22244168a c a a c ac +-=，整理可得：225c a =，225c e a ∴==. 故选：C.4.（2023·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x yC a b ab-=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线C 有一个交点P ，设12PF F △的面积为S ，若()21212PF PF S +=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B 6C 2D ．2【答案】C【分析】根据给定条件，利用直角三角形勾股定理及面积公式列式，再结合双曲线定义即可计算作答. 【详解】依题意，12PF PF ⊥，令1(,0)F c -，2(,0)F c ，则有22221212||||||4PF PF F F c +==，由212||(12||)PF PF S +=得：21211222||2||||6||||||PF PF PF PF PF PF =++，即有212||||PF PF c =，而222221221214(||)||2||2||||||a PF PF PF PF PF c PF =-=+-=，所以2ce a==. 故选：C【点睛】思路点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、122PF PF a -＝，得到a ，c 的关系．5.（2023·全国·高三专题练习）如图，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F M 为双曲线右支上一点，直线1MF 与圆222x y a +=相切于点Q ，2MQ MF =，则双曲线的离心率为（ ）A 5B 6C 5D 6【答案】A【分析】由已知结合双曲线定义可得12FQ a =，在1Rt FQO 中利用勾股定理即可求出. 【详解】由题可得11FQ MF MQ =-，因为2MQ MF =，所以1122FQ MF MF a =-=， 则在1Rt FQO 中，222(2)a a c +=，即5c a =，即5ce a==. 故选：A.6．（2022·河南焦作·高二期末（理））已知双曲线2222x y C a b-： = 1 (00)a b >>，的右焦点F ，过点F 作一条渐近线的垂线l ，垂足为M ，若l 与另一条渐近线交于点N ，且满足5MF MN =，则该双曲线C 的离心率为（ ） A 210B 10C 26D 6【答案】A【分析】作图，利用图中的直角三角形和双曲线的几何关系求出a 与b 的关系即可.【详解】设坐标原点为O ，M 点在第一象限，则22c a b =+，则OF c =， 渐近线1l 的方程为0bx ay -= ，(),0F c ， 运用点到直线的距离公式22bc MF b a b ==+ ，22OM OF MF a ∴=-= ，因为5MF MN =，∴44NF MF b ==，∴4OMFONFS S=，1sin 2OMFSOM OF MOF =∠ ，1sin 2ONFS ON OF NOF =∠ ， 因为x 轴平分∴MON ， 所以44ON OM a ==，又因为OM MN ⊥，所以222OM MN ON +=，即2222516a b a +=， 得22153255b a ==， 设C 的离心率为e ，则22222815c b e a a ==+=，所以821055e ==； 故选：A.7．（2022·河南·高三开学考试（文））设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双曲线的左､右两支分别交于,M N 两点，且()22220,0F M F N F M F N MN ⋅=+⋅=，则双曲线C 的离心率为___________. 【答案】3【分析】根据已知条件作出图形，设D 为MN 的中点，连接2F D ，再根据向量的线性运算以及两向量垂直数量积为0得出2MF N 为等腰直角三角形，再利用双曲线的定义列出方程组，求出2MF 、2NF 和1MF 的长，进而利用几何关系列出关于离心率的齐次式求得双曲线的离心率. 【详解】如图，设D 为MN 的中点，连接2F D ，易知2222F M F N F D +=，∴()22220F M F N MN F D MN +⋅=⋅=， ∴2F D MN ⊥，又D 为MN 的中点，∴22F M F N =，220F M F N ⋅=，∴22F M F N ⊥，∴2MF N 为等腰直角三角形，设22MF NF m ==，由双曲线的定义知11222m MF am MF m a ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得22m a =，∴()1221MF a =-，又122MD MN a ==， ∴1122F D MF MD a =+=.在12Rt F F D 中，122F F c =，22DF MD a ==， ∴2224(22)(2)c a a =+，化简得223c a=，即23e =，又()1,e ∈+∞，∴3e =. 故答案为：3.8．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作直线l 垂直于双曲线的一条渐近线，直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若225AF F B =，则双曲线C 的离心率e 为______． 【答案】153【分析】联立直线方程可得点A ，B 的坐标，结合225AF F B =，可得22b a，进而可得离心率.【详解】由题意，双曲线C 的渐近线为by x a=±，若过2F 的直线l 与直线b y x a =-垂直，垂足为A ，直线l 与直线by x a=交于B ，()2,0F c ， 因为225AF F B =，所以2F 在A ，B 之间，如图所示，直线l 的方程为()ay x c b=-，由()a y x c b b y xa ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22222,a c abc A ab a b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，由()ay x c bb y x a⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得22222,a c abc B a b a b ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，由225AF F B =，可得22225abc abc a b a b -=+-，所以222251a b a b =+-，所以2223b a =，所以双曲线C 的离心率222151133b e a =+=+=．同理，过2F 的直线l 与直线b y x a =垂直时，双曲线C 的离心率153e =．综上所述，双曲线C 的离心率e 为153，故答案为：153. 9．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，已知双曲线()22:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且2BF AF =，则双曲线C 的离心率是________．【答案】3【分析】连接AF '，BF '，结合双曲线定义及余弦定理解三角形，可得离心率.【详解】设双曲线的左焦点为F '，连接AF '，BF '，由条件可得22BF AF AF AF AF AF a '-=-=-=，则2AF a =，4BF a =，60F AF '∠=︒，所以2222cos FF AF AF AF AF F AF ''''=+-⋅⋅∠， 即222214164162c a a a =+-⨯，即22412c a =，3c a = 所以双曲线的离心率为：3==ce a， 故答案为3.10．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）已知点A ，B 是双曲线()22:10,0x y C a b a b-=>>的左､右顶点，过点B 作倾斜角为3π的直线l 交C 于点P ，点M 是线段AP 的中点.若OM OA =，则该双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3C ．2D 31【答案】A【分析】先由中位线结合OM OA =求得2PB a =，进而求出P 点坐标，代入双曲线C 的方程，求得22b a =，即可求出离心率.【详解】易得O 是线段AB 的中点，又点M 是线段AP 的中点，则OM PB ，又OM OA =，则2AB PB a ==，作PQ x ⊥轴于点Q ，又3PBQ π∠=，则,3BQ a PQ a ==，则(2,3)P a a ，代入C 可得2222431a a a b -=，解得22b a =，故离心率为2212c b a a=+=.故选：A.题型二：双曲线的离心率范围范围问题【例1】设双曲线的中心为点，若有且只有一对相较于点、所成的角为的直线和，使，其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 A ． B ． C ． D ． 【答案】A【解析】设双曲线的焦点在x 轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的离心率ba33b a <∴21()33b a <≤，241()43ba<+≤，2231()2b a <+，又双曲线的离心率为21()c b e a a ==+232e <≤． 【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 为双曲线C 中第一象限上的一点，12F PF ∠的平分线与x 轴交于Q ，若214OQ OF =，则双曲线的离心率范围为（ ） A ．()1,2 B ．()1,4C ．)2,2D ．()2,4【答案】B【分析】根据角平分线的性质得出15PF a =，23PF a =，利用三角形的三边关系以及双曲线的性质即可求解.【详解】设双曲线的半焦距为()0c c ＞， 离心率为e ， 由214OQ OF =，则154QF c =，234QF c =，因为PQ 是12F PF ∠的平分线， 所以12:5:3PF PF =,C O O 06011A B 22A B 1122A B A B =1A 1B 2A 2B C 23(,2]323[,2)33()3+∞3[)3+∞又因为122PF PF a -=， 所以125,3PF a PF a ==，所以53222a a c a c +>⎧⎨<⎩，解得14c a <<，即14e <<，所以双曲线的离心率取值范围为(1,4). 故选：B【例3】（2022四川成都七中高三开学考试（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，1A ，2A 是实轴顶点，F是右焦点，(0,)B b 是虚轴端点，若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得12(1,2)i P A A i =△构成以12A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ）．A ．612,+⎭B ．512,+⎭C ．51⎛+ ⎝⎭D ．51⎫++∞⎪⎪⎝⎭【答案】B【分析】将题意转化为以1A ，2A 为直径的圆与线段BF 有两个不同的交点，再数形结合列不等式化简求解即可.【详解】以1A ，2A 为直径的圆与线段BF 有两个不同的交点， 所以b a >，2222b c a a =->， 解得2c e a=>；且圆心(0,0)到直线BF ：0bx cy bc +-=的距离22bc d a b c =<+，化简得2b ac <，所以22c a ac -<，210e e --<， 又1e >，解得1512e +<<， 所以双曲线离心率的取值范围是1522e +<<． 故选：B【例4】（2022河南高三开学考试（文））已知1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若221PF PF 的最小值为8a ，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．(]2,3C ．(]1,3D ．(]1,2【答案】C【分析】由双曲线定义221PF PF ()2112PF a PF +=，变形后由基本不等式得最小值，从而得12PF a =，再利用双曲线中的范围有1PF c a -，由此结合可得离心率的范围．【详解】1F ，2F 是左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，所以212PF PF a -=，代入221PF PF 得()2222121111112444248PFa PF a a PF a PF a a PF PF PF PF +==++⨯+=，当且仅当12PF a =时取等号，即12PF a =，又点P 是双曲线左支上任意一点，所以1PF c a -，即23a c a e -⇒，13e <.故选：C ．【例5】（2022·湖南·高二期末）已知双曲线()2222:10x y C b a a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，双曲线上存在点P （点P 不与左、右顶点重合），使得21123PF F PF F ∠∠=，则双曲线C 的离心率的可能取值为 （ ） A 6B 3C 10D ．2【答案】BC【分析】由0b a >>可得2e >，记∴PF 1F 2=α ，利用正弦定理结合双曲线及离心率的定义，利用分比定理以及三角恒等变换公式化简离心率.然后利用余弦函数的性质得到离心率的取值范围，进而做出判定.【详解】∴0b a >>，则离心率2212b e a=+>，则排除A ；记()12045PF F αα∠=︒<<︒，1PF m =，2PF n =， 则213,2PF F m n a α∠=-=，由正弦定理结合分比定理可知：22sin 3sin sin 4sin 3sin sin 3sin m n c m n aααααααα-====--， 则()()()sin 42sin 2cos 22cos 2,2sin 3sin sin 2sin 2e αααααααααα===∈-+--， 所以B ，C 是正确的，D 不正确. 故选：BC. 【题型专练】1．2022·江西上饶·高二期末（文））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为122,,c F F 为其左右两个焦点，直线l 经过点(0,)b 且与渐近线平行，若l 上存在第一象限的点P 满足122PF PF b -=，则双曲线C 离心率的取值范围为（ ） A ．2) B ．(2,3) C ．3) D ．(2,)+∞【答案】A【分析】根据题意分析满足122PF PF b -=的点P 的轨迹，再根据此轨迹与直线l 有交点，结合渐近线的性质求解即可；【详解】因为满足122PF PF b -=的所有点在以12,F F 为焦点，长轴长为2b ，短轴长为2222c b a -=的双曲线，即22221x y b a -=上.故若l 上存在第一象限的点P 满足122PF PF b -=，则双曲线22221x y b a-=与直线l 有交点即可.又直线:b l y x b a =±+，数形结合可得，当b a <或22221x y b a -=的经过一象限的渐近线的斜率a b b a > 即可，两种情况均有2222a b c a >=-，故222c a<，故离心率(1,2)e ∈故选：A2.（2022·全国·高二专题练习）设双曲线C ：22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点为F ，双曲线C 的一条渐近线为l ，以F 为圆心的圆与l 交于点M ，N 两点，MF NF ⊥，O 为坐标原点，()37OM ON λλ=≤≤，则双曲线C 的离心率的取值范围是______． 【答案】5524⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【分析】取直线l 的方程为by x a=，过点F 作FE l ⊥于E ，则有EF b =，MNF ∴△为等腰直角三角形，所以||OE a =,||OM a b ,||ON a b ,由OM ON λ=，可得11b a λλ-=+，即可得211()1e λλ-=++，即可得出离心率的取值范围.【详解】解：由题可知，点()0F c ，，如图所示，不妨取直线l 的方程为by x a=，过点F 作FE l ⊥于E ，则F 到直线l 的距离22||1bca EFb b a==+，MF NF ⊥，且||||MF NF =， MNF ∴△为等腰直角三角形，||2||2MN EF b ∴==，||||ME NE b ==，2222||OE OF EF c b a ∴=-=-=，||||||OM OE ME a b =+=+，|||||ON OE NE a b －|－==，OM ON λ=，()a b a b λ∴+=－，即11b a λλ-=+， ∴离心率2211()1()1c b e a a λλ-==+=++， 令()12111f λλλλ-==-++，[]37λ∈，，则()()()37f f f λ⎡⎤∈⎣⎦，，即()13[24f λ∈，]， 5524e ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，．故答案为：5524⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.3.（2022·全国·模拟预测（文））已知点F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，过F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A ．若∴OAF （点O 为坐标原点）的面积为4，双曲线的离心率3,5e ⎡∈⎣，则2a 的取值范围为（ ）A ．2,22⎡⎤⎣⎦B ．4,2⎡⎣C ．2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】根据∴OAF 的面积得到8ab =，然后利用离心率的取值范围得到关于2a 的不等式，求解即可. 【详解】取双曲线的一条渐近线为by x a=，即0bx ay -=. 则F 到渐近线的距离即22bc FA b a b ==+，2222OA OF FA c b a =-=-=，142OAF S ab ∆∴==，即8ab =. 又3,5e ⎡⎤∈⎣⎦，[]2222222213,5c a b b e a a a +∴===+∈，易得22224a b a ≤≤，即22282()4a a a≤≤，解得24,42a ⎡⎤∈⎣⎦. 故选：B.4.（2022·山西·模拟预测（理））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右顶点为(),3,0A Q a 在x 轴上，若C 上存在一点P （异于点A ）使得AP PQ ⊥，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．)2,+∞B ．()2,+∞C ．(2D ．(2【答案】D【分析】设(),P x y ，则由已知可得P 点的轨迹方程为222(2)x a y a -+=(),3x a x a ≠≠，与双曲线方程联立可求出P 点横坐标32223a ab x a b -=+，由题意知点P 在双曲线的右支上，32223a ab a a b->+，化简可得22a b >，从而可求出离心率的取值范围 【详解】设(),P x y ，(,0)A a ∴AP PQ ⊥，P ∴点的轨迹方程为222(2)x a y a -+=(),3x a x a ≠≠.联立()222222221x a y a x y a b ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩得()2223422430a b x a x a a b +-+-=，解得x a =（舍去），32223a abx a b-=+， 由题意知点P 在双曲线的右支上，即x a >， 故32223a ab a a b->+，化简得22a b >， 因为221b e a =+，所以12e <<，故选：D.5.（2022·广西·昭平中学高二阶段练习（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作x 轴的垂线与双曲线交于M ，N 两点，且110NF MF ⋅<，则双曲线C 的离心率的取值范围是__________. 【答案】()21,++∞【分析】表达出M ，N 两点坐标，进而利用向量数量积列出不等式，求出离心率的取值范围. 【详解】当x c =时，22221c y a b-=，解得：2b y a =±，不妨设22,,,b b M c N c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22421122,2,40b b b NF MF c c c a a a ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2222ac b c a <=-，不等式两边同除以2a 得：2e 2e 10-->， 解得：e 21>+ 故答案为：()21,++∞6．（2022·全国·高二课时练习）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率分别为1e ，2e 25，则1e 的取值范围为______，2e 的取值范围为______． 【答案】 5,15⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭351,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【分析】由双曲线的渐近线的斜率小于255，即可得出0<2245b a <,由此即可求出1e 、2e 的取值范围. 【详解】设椭圆和双曲线的焦距分別为12c ，22c ，由题意，得双曲线的渐近线方程为by x a=±，所以2505b a <<，则0<2245b a <， 所以211251,15c b e a a ⎛⎫==-∈ ⎪ ⎪⎝⎭，22223511,5c b e a a ⎛⎫==+∈ ⎪ ⎪⎝⎭． 故答案为：5,15⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；351,5⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭题型三：椭圆和双曲线共焦点离心率之间的关系（利用定义或者焦点三角形面积公式）【例1】（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（ ）A ．43B 43C ．4D 46【答案】B【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论． 【详解】设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为1a ()1a a >，半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可知，设1PF m =，2PF n =，122F F c =， 椭圆和双曲线的离心率分别为1c e a=，21c e a =，因P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，则由余弦定理可得：22242cos3c m n mn π=+-……∴在椭圆中，由定义知2m n a +=，∴式化简为：22443c a mn =-……∴在双曲线中，由定义知12m n a -=，∴式化简为：22144c a mn =+……∴由∴∴两式消去mn 得：222116412c a a =+，等式两边同除2c 得2212234a a c c =+， 即2212134e e =+， 由柯西不等式得2221212*********e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 1211433e e ∴+≤.故选：B【例2】（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知椭圆1C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1e ，椭圆1C 的上顶点为M ，且120MF MF ⋅=，双曲线2C 和椭圆1C 有相同的焦点，且双曲线2C 的离心率为2e ，P 为曲线1C 与2C 的一个公共点．若12π3F PF ∠=，则（ ） A ．212e e = B ．123e e =C ．221252e e += D ．22211e e -= 【答案】BD【分析】先由条件120MF MF ⋅=得出12MF F △为等腰直角三角形，即可得出椭圆长半轴长a ，短半轴b ，长半焦距c 的关系，从而得出椭圆的离心率1e ；然后在焦点三角形12PF F △中，利用余弦定理得出双曲线实半轴长为2a ，半焦距为c 的关系，从而得出双曲线的离心率2e ，依次对选项验证即可。
如何求双曲线的离心率
离心率的五种求法
离心率的五种求法离心率的五种求法一、直接求出a、c，求解e当已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式e=c/a来解决。
例如，已知双曲线2-x^2/y^2=1（a>c）的一条准线与抛物线y^2=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为(3a^2c^2-13c^2)/(2a^2c)。
解法为：抛物线y=-6x的准线是x=2c^2/3，即双曲线的右准线x=c^2/(a-c)=2c^2/3-1/3.由此得到c=2，a=3，e=c/a=2/3.因此，选D。
变式练1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)、F2(-1,0)，则其离心率为√(2/3)。
解法为：由F1(1,0)、F2(-1,0)知2c=2，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a-c=1，a+c=2，解得a=3/2，e=c/a=√(2/3)。
因此，选C。
变式练2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为√13/2.解法为：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=c/a=√13/2.因此，选C。
变式练3：点P(-3,1)在椭圆4x^2/a^2+2y^2/b^2=1（a>b）的左准线上，过点P且方向为(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为√113/5.解法为：由题意知，入射光线为y-1=-x/2，关于y=-2的反射光线（对称关系）为y+5=-2(x+3)，解得a=3，c=√5，则e=c/a=√113/5.因此，选A。
二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。
1到l1的距离，又AB的长为2a，∴XXX的长为a。
设AB的中点为M，则MF1为椭圆的半长轴，由于F1在x轴右侧，∴F1的横坐标为c，且c>a。
设F1为（c，0），则根据椭圆的统一定义，可得c2x2y2a2c2。
其中c为椭圆的半焦距，由题意可得AD的长为a，即MF1的长为a，又MF1为椭圆的半长轴，∴a=c，代入上式得x2y2122c离心率为e=cacc1故选D。
抓住关键__掌握方法_双曲线离心率的求法_王泽龙
，
∴ kAB ·kOP
=－
b2 a2
（值范围
例 7 如图 2，在直角 DEF 中，∠DEF
=
90°，| E→F |
= 2，| E→F + E→D |
=
5 2
，椭圆
C：
x2 a2
+
y2 b2
= 1，以 E、F 为焦点，且过点 D，点 O 为
坐标原点．
（ 1） 求椭圆 C 的标准方程；
为 60°，则双曲线的离心率为
．
分析 先 确 定 双 曲 线 的 图 形，结 合
ＲtB1 OF1 中边角之间几何特征，建立相应的 关系式，进而求解对应的离心率，利用几何法
求解双曲线的离心率关键是应用几何图形的
性质．
解 如图 1，不失一般性，假设双曲线的
焦点在 x 轴上． 由于 c ＞ b，所以
∠B1 F1 B2 = 60°，∠B1 F1 O = 30°． 在 ＲtB1 OF1 中，
设 MN 的中点为 H，则 KH ⊥ MN，此条件涉及
到弦 MN 的中点及弦 MN 的斜率，故用“点差
法”． 解
( ) （ 1）
x2 + y2 43
= 1，K 0，12
． （ 过程
略）
设 M（ x1 ，y1 ） ，N（ x2 ，y2 ） ，H（ x0 ，y0 ） ，直线 l
的斜率为 k（ k ≠ 0） ，则
2a = | PF1 | － | PF2 | = （ 槡3 － 1） m．
而 2c = 2m，
所以根据离心率的定义，有
e=
c a
=
2c 2a
=2 槡3 － 1
=
槡3
+ 1．
离心率的五种求法
离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 23 C. 26 D. 332变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26 C. 23 D 2变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A33 B 31 C 22D 21 二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
例2：已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A. 324+B.13- C.213+ D. 13+变式练习1：设双曲线12222=-by a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线的离心率为( )A. 2B.3 C. 2 D.332变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ）A3 B26 C 36 D 33 三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
圆锥曲线离心率题型归纳及解题技巧
圆锥曲线离心率题型归纳及解题技巧圆锥曲线是一类常见的数学曲线形状，它的离心率是重要的曲线特征之一。
离心率的概念和求解方法由此可知，有关离心率的题目也就成为高考中的重要题目之一了。
本文将针对离心率圆锥曲线题型，从概念讲解其特点和求解方法，总结出常见的解题技巧，帮助学生们以更加有效的方式解答高考中的有关题目。
一、圆锥曲线离心率概念介绍圆锥曲线（又称双曲线）是由两个圆组成的曲线形状，它的离心率是重要的曲线特征之一。
离心率e的含义是：沿着椭圆的曲线，两个焦点到远点的距离与远点到椭圆长轴之间的比值。
它的取值范围在0到1之间，且不会等于1。
e=|FO|/2a其中FO是椭圆的焦距，2a为椭圆的长轴长度。
显然，离心率越大，椭圆所在的曲线就越“扁”，当离心率等于1时，椭圆就变成了一条直线。
二、离心率椭圆曲线的求解1.解题时首先要判断该圆锥曲线是否为椭圆曲线，及其离心率；2.如果是椭圆曲线，那么根据上述定义，可以计算离心率e，即：e=|FO|/2a；3.若有给定椭圆轴长2a和焦距|FO|，则可直接求出离心率e，即：e=|FO|/2a；4.若有给定椭圆轴长2a和离心率e，则可求出焦距|FO|，即：|FO|=2ae。
三、离心率椭圆曲线常用解题技巧1.学生们在解离心率椭圆曲线的题目时，可以先把题目的数据推导出离心率的大小，这会使问题更加容易解答；2.若问题涉及曲线上某点的坐标，可以根据离心率的大小，判断出曲线的形状，从而更方便的求解曲线上某点的坐标；3.若问题中出现“最大长短轴之比”，可以考虑根据离心率求出曲线的长短轴，然后求出最大长短轴之比；4.若问题中出现“最近点到焦点的距离”，可以考虑从曲线的射影中求解，也可以根据离心率的大小，判断出最近点到焦点的距离；5.还可以根据椭圆的倾斜角，求出椭圆的方程，以及椭圆上某点的关系，从而解答相关题目。
四、结语圆锥曲线离心率是数学曲线形状的重要特征，对于圆锥曲线题来说，学生们应该根据离心率概念及求解方法，掌握一些常用的解题技巧，以达到以更有效的方式解答高考中的有关题目。
离心率问题的7种题型15种方法
离心率问题的7种题型15种方法求离心率常用公式题型一 椭圆离心率的求值方法一 定义法求离心率1. 已知椭圆C 14222=+y a x 的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为（ ） A .31 B .21 C .22 D .322 【解析】 14222=+y a x ，∵ a 2−4=4⇒a =2√2 ，则 e =c a =2√2=√22 ，选C2. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A ．13 B ．12 C ．23 D ．34【解析】由直角三角形的面积关系得bc =124⨯12c e a ==，选B3. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A .45 B .35 C .25D . 15【解析】设长轴为2a ，短轴为2b ，焦距为2c ，则2222.a c b +=⨯ 即22222()44()a c b a c b a c +=⇒+==-. 整理得：2225230,5230c ac a e e +-=+-=，选B4. 椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2．若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为【解析】椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，所以（a﹣c）（a+c）=4c2，即a2=5c2，所以e=55方法二运用通径求离心率5.设椭圆C2222x ya b+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于【解析】不妨假设椭圆中的a=1，则F1（﹣c，0），F2（c，0），当x=c时，由2222x ya b+=1得y=ab2=b2，即A（c，b2），B（c，﹣b2），设D（0，m），∵F1，D，B三点共线，∴，得m=﹣2b2，即D（0，﹣2b2），∴若AD⊥F1B，在，即=﹣1，即3b4=4c2，则3b2=2c=3（1﹣c2）=2c，即3c2+2c﹣3=0，解得c==，则c=，∵a=1，∴离心率e=ac=336.从椭圆22221x ya b+=(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥O P(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是【解析】由题意知A(a,0)，B(0，b)，P2,bca⎛⎫-⎪⎝⎭∵AB∥O P，∴2b bac a-=-.∴b＝c；又∵a2＝b2＋c2，∴22212cea==.∴2e=7.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是【解法一】设1(,0)F c-，2(,0)F c，由题意易知，21212,PF F F c PF===，1212212F Fcea PF PF∴====+【解法二】由题意易知，2122,PF FF c ==由通径得22=a b PF ，故22c=ab ，解得e 1方法三 运用e =e = 8. 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且FD BF 2=，则C 的离心率为【解】 如图，，作DD 1⊥y 轴于点D 1，则由，得，所以，，即，由椭圆的第二定义得又由|BF |=2|FD |，得，a 2=3c 2，解得e ==33，9. 经过椭圆2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A ，B两点，若||||AF BF 112=，求椭圆的离心率。
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双曲线离心率的求法
一、利用双曲线定义
例1．已知椭圆E 上存在点P ，在P 与椭圆E 的两个焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2中， 121221sin :sin :sin 7:10:11.PF F F PF PF F ∠∠∠=则椭圆E 的离心率等于
二、利用平面几何性质
例2 设点P 在双曲线)0b ,0a (1b
y a x 22
22>>=-的右支上，双曲线两 焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。
三、利用数形结合
例3 （同例2）
四、利用均值不等式
例4 已知点P 在双曲线)0b ,0a (1b
y a x 22
22>>--的右支上，双曲线两焦 点为21F F 、，|
PF ||PF |221最小值是a 8，求双曲线离心率的取值范围。
五、利用已知参数的范围
例5 已知梯形ABCD 中，|CD |2|AB |=，点E 分有向线 段所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当4
332≤λ≤时，求双曲线离心率的取值范围。
六、利用直线与双曲线的位置关系
例6 已知双曲线)0a (1y a
x 222
>=-与直线l ：1y x =+交于P 、Q 两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。
七、利用点与双曲线的位置关系
例7 已知双曲线)0a (1y a
x 222
>=-上存在P 、Q 两点关于直线 1y 2x =+对称，求双曲线离心率的取值范围。
八、利用非负数性质
例8 已知过双曲线)0b ,0a (1b
y a x 22
22>>=-左焦点1F 的直线l 交 双曲线于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥（O 为原点），求双曲线离心率的取值范围。
九、利用双曲线性质
例9.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -．若双曲线上存在点P 使1221sin sin PF F a PF F c
∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是。