2.3应力莫尔圆、应力平衡微分方程
02讲-应力与平衡、位移与应变 PPT
用转轴公式能求得斜面上的 正应力和剪应力。
王正伟
主应力
Principal Stress
对于给定的应力状态，若改变斜面方向，则斜面应力的大小和 方向都会发生改变，因此是否存在一个面，使得只存在正应力 而无剪应力？
() g
x xy xz
xy y
yz
xz yz 0 z
1、2、3
、2、3
王正伟
主应力的性质 Principal Stress
在笛卡尔坐标系中，用六个平行于坐标面的截面在一点周 围截取一个正六面体微元。正六面体的六个面法向矢量与坐标 轴平行，同向的三个面称之为正面，反向的三个面称之为负面。 将作用在正面上的应力矢量沿坐标轴方向分解。
1 xxi xy j xzk
2 yxi yy j yzk
3 zxi zy j zzk
王正伟
外力、载荷 Load
面力是作用在物体表面上的 外力。
p lim F S 0 S
体积力是作用在物体内部体积 上的外力。
F f lim
V 0 V
王正伟
应力矢量(应力) Stress Vector
应力矢量(应力)
( )
lim S0
F S
若取 S 为变形前面元的初始面积，则上式给出工程应力，亦称 名义应力，常用于小变形情况。 对于大变形问题，应取 S 为变形后面元的实际面积，称真实应 力，简称真应力, 也称柯西应力。
四面体体积为：
V 1dhdS 3
王正伟
斜面应力公式 Cauchy Formula
四面体平衡条件为：
(1) dS1 (2) dS2 (3) dS3
()
dS
f
(1dhdS) 3
0
第07讲 简单应力和平衡方程
本章小结
公式： 一个核心方程：斜微分面上的应力方程 主应力 主切应力 八面体应力 一个结论方程：平衡微分方程。
思考题
应力张量与其偏张量，主方向一致；
思考题
3 2 ( 1 2 3 )
'2 '2 '2 —
1）某向（例如z轴）垂直的平面上无应力，该方向为主方向
z
xz
yz
0
2）各应力分量与z轴无关，应力分量对z的偏导数为零，所 有应力分布可在x,y坐标面内表示出来
平面应力问题
２、平面应力状态的形式
x yx 0
xy y
0
0 0 0
x 0 zx
0
2
0
0 0 3
, 0)
半径
1 3
2
应力状态的几何描述
应力状态的几何描述
1 2 3 0 13 1 3
2 0
应力平衡微分方程
f ( x, y, z )
x
f ( x, y, z )
x d
x
f ( x dx , y , z )
轴对称应力状态
ij
z
0 z
z
0
z z z
z 0 z
ij
0
应力状态的几何描述
1、平面应力状态的分析
x yx 0
x
2 x
2
dx
2
x
dx
应力平衡微分方程
其余8个应力分量可类似得到。Q’点的应力状态
第十四章 应力分析讲解
NOTE:
1）若1= 2= 3= + ，即球应力状态时，主切应力为零，
即：
12 = 23 = 31 =0
2） 若三个主应力同时增加或减少一个相同的值时，主切应
力值将保持不变。
3） m = ( 1+2 + 3)/3= ( x +y + z)/3=J1/3
4.应力球张量和应力偏张量 1）应力张量的分解
二、三维坐标系中的应力分量和应力张量
图2-5 直角坐标系中单元体上的应力分量
x xy xz yx y yz zx zy z
作用面为X 作用面为Y 作用面为Z
作
作作
用
用用
方 向
方方 向向
NOTE:
为
为为
X
YZ
12））截σi、面τ正ij 负的，命与名应规力则分量的正
负
3） 切应力互等定理
4）九个应力分量有六个独立，
能
完全确定一个应力状态
5）应力分量能在不同的坐标系
之
间进行转换
ij=
x xy xz yx y yz zx zy z
应力张量
式中：
1） ij 是二阶张量的缩写记号 2） ij 为二阶对称张量
3）张量可以合并、分解；有主方向，有主值及不变量 4〕张量可以利用圆柱坐标/球坐标表达
1 2
x
y
2
x
2
y
2
2 xy
12
1
2 2
＝
x
2
y
2
2 xy
23
第二章 连续介质塑性理论
ij ji
x yx zx X 0 x y z xy y zy Y 0 x y z yz z Z 0 xz x y z
应力莫尔圆：
( x '
x y
2
)2 x ' y '2 (
x y
2
) 2 xy 2
（3）几何方程与小应变张量 ● 几何方程 小变形时的应变张量柯西（Cauchy）应变张量，位移与应变的关系称为几何方程
ε 1 ( u u ) 2
ij (ui , j u j ,i )
第二章 连续介质塑性理论
§2.1 预备知识
物体在外力作用下，会发生形状和尺寸的改变，称为变形。 弹性变形：外力除去后能恢复原状的变形 塑性变形：外力除去后不能恢复原状的变形
§2.1.1 单轴拉伸变形抗力曲线
（1）工程应力-应变曲线
工程应力（名义应力、条件应力）：试件所受载荷除以试件的原始截面积
P / A0
1 1
ij 应变速率：
1 i , j u j ,i ) (u 2
§2.1.3 不可压缩条件及等效应力、等效塑性应变
（1）不可压缩条件（Incompressibility condition）
d p ii 0
p ii 0 或
【例】 长方体塑性均匀变形 （2）等效应力（Effective stress）、应力强度
'ij sij ij m ij
3 应力偏量的特征方程： det[ 'ij ' ij ] ' J 2 ' J 3 0
注岩笔记-勘察-(4)应力莫尔圆
如图为常规三轴试验中土样的受力状态，仅考虑最大主应力σ1和最小主应力σ3对土体强度及破坏包线的影响。
如下图，其中，θ为假定破坏面与最大主应力面之间的夹角；σ为假定破坏面上的法向应力；τ为假定破坏面上的剪应力。
受力平衡，则
σ·ac=σ1·ab·cosθ+σ3·bc·sinθ
τ·ac =σ1·ab·sinθ-σ3·bc·cosθ
而
sinθ=bc/ac
cosθ=ab/ac
计算得到
即得到应力莫尔圆的表达公式。
应力莫尔圆及参数见下图。
在法向应力变化不大时，抗剪强度与法向应力的关系近似为一条直线，其抗剪强度表达式如下：
τf=c+σtanφ
其中，τf为土体抗剪强度；σ为破坏面上的法向应力；c为黏聚力；φ为内摩擦角。
当土体发生剪切破坏，即破坏面上剪应力达到其抗剪强度τf时，该土体达到极限平衡状态。
根据土体的应力莫尔圆和抗剪强度包线的相对位置关系，可以直观地判别
土体是否发生剪切破坏。
第1章应力分析及应力平衡微分方程
，可以把σij（Stress tensor ）分解成与体积变化有关 的量和形状变化有关的量。前者称为应力球张量
(Spherical stress tensor) ，后者称为应力偏张量
(Deviatoric stress tensor) 。设σm为平均应力，则有
m
1 3
(
x
y
z)
按照应力叠加原理，σij具有可分解性。因此有
整理后可得S：zdA xzdAx yzdAy zdAz
求和约定： 全应力：
Sx xl yxm zxn S y xyl ym zyn Sz xzl yzm zn
S j ijli
S2
S
2 x
Sy2
Sz2
很重要！ （１－１）
（１－２）
沈阳工业大学
1.1.２ 点的应力状态
由于微元体处于静力平衡状态，所以，绕其各轴 的合力矩为零，因此可以得到
xy= yx, yz= zy zx= xz 称为剪应变互等定律
沈阳工业大学
1.1.２ 点的应力状态
一，一点的应力状态：是指通过变形体内某点的 单元体所有截面上的应力的有无、大小、方向等 情况。
一点的应力状态的描述
（１） 数值表达：x=50MPa，xz=35MPa （２） 图示表达：在单元体的三个正交面上标
第1章 应力分析
沈阳工业大学
第 1 章 应力分析
1.1 点的应力状态 1.2特殊应力状态 1.3应力平衡微分方程
沈阳工业大学
1.1 点的应力状态
1.1 .1应力 1.1.2 点的应力状态 1.1.3主应力及应力张量不变量 1.1.4主切应力和最大切应力 1.1.5应力偏张量和应力球张量 1.1.6八面体应力和等效应力 1.1.7应力莫尔圆
3-1-4 应力分析_应力莫尔圆及应力平衡微分方程
10 3 10
l1=
10 1
m2= 10
最大切应力τmax=500MPa
金属塑性成形原理
解析法验证：
2 3 0
三个不变量： J1 x y z 4
J2
(x y
yz
zx )
2 xy
2 yz
2 zx
21
ij 3
0
6 0(100MPa) 0 0
J3
x
y z
2 xy
yz zx
( x
金属塑性成形原理
练习题1： 应用莫尔圆分析单向拉伸时的各横截面上的应力变化状态。
y B（ σy＝40 τyx＝0 ） θ
τ C (0,20)
2θ
A
A
（ σx＝0 τxy＝0 ）
Bσ
(40,0)
x
当2θ＝90°（θ＝45°）时，截面的剪切力 达到最大值20MPa
金属塑性成形原理
练习题2：物体中某点为平面应力状态，应力张量为：
试利用莫尔圆图解主应力,主方向和最大切应力
τ
τmax (0,5)
2 3 0
ij 3 6 0(100MPa)
0 0 0
2α2
B(6,3)
σ2 (-3,0) 2β2
A(-2,-3) σ2＝－3
2α1 σ1(7,0)
O(2,0) D
σ
2β1 σ1＝7
OD的长度＝1/2（6+2）＝4；R＝5；
y
B
以应力主轴为坐标轴，作一斜微分面，其方向
余弦为l，m，n，则有 :
金属塑性成形原理
l2 m2 n2 1
S1 1 l S2 2 m S3 3 n S 2 S12 S22 S32 12l 2 22m2 32n2
摩尔应力圆公式
摩尔应力圆公式好的，以下是为您生成的文章：咱来聊聊这个摩尔应力圆公式。
你说这玩意儿，乍一听好像挺复杂，其实啊，要是把它掰开了揉碎了，也没那么吓人。
我记得有一次，我给学生们讲这个摩尔应力圆公式的时候，那场面可有意思了。
有个小同学，瞪着一双大眼睛，满脸写着“这是啥呀，老师你饶了我吧”。
我就笑了笑，跟他们说：“别慌，咱们一步一步来。
”这摩尔应力圆公式啊，就像是一个神秘的宝藏地图，能帮我们找到材料内部应力的秘密。
它的表达式是这样的：（σ₁ - σ₃）/ 2 乘以 sin2α 加上σₘ = （σ₁+ σ₃）/ 2 。
这里面的σ₁、σ₃分别代表最大主应力和最小主应力，α 呢，是某个平面与最大主应力平面的夹角，σₘ 就是这个平面上的正应力。
咱就拿盖房子打个比方。
你想啊，房子的大梁得承受多大的力啊。
要是不搞清楚这些应力，万一哪天大梁咔嚓一下断了，那可不得了。
这时候，摩尔应力圆公式就派上用场了。
通过这个公式，我们能算出不同方向上的应力大小，看看大梁在哪个地方受力最大，哪个地方又比较轻松，然后就能针对性地加强或者优化设计。
还有一次，我带着学生们去工地参观。
看到那些工人师傅在搭建脚手架，我就问学生们：“你们想想，这脚手架上的钢管，它受到的力能用摩尔应力圆公式来分析不？”学生们一下子来了精神，七嘴八舌地讨论起来。
有个聪明的小家伙还真说对了，他说可以把钢管看成一个受力的单元，然后通过测量和计算，就能用这个公式算出应力情况，确保脚手架的安全。
其实啊，在我们的生活中，很多地方都能用到这个摩尔应力圆公式。
比如说桥梁的设计，道路的铺设，甚至是你坐的椅子、用的桌子，都离不开对材料应力的考虑。
学习摩尔应力圆公式，就像是掌握了一把打开材料世界大门的钥匙。
刚开始的时候，可能会觉得有点晕头转向，但只要多琢磨，多练习，你就会发现，它其实没那么难。
就像骑自行车，一开始摇摇晃晃，但一旦掌握了平衡，就能自由自在地骑行了。
所以啊，同学们，别被这个公式吓到，只要用心去学，它就是我们解决问题的好帮手。
应力平衡方程推导
应力平衡方程推导应力平衡方程是固体力学中的一条基本方程，描述了力学系统中各点处的应力分布。
对于一个小体素（微元）来说，应力平衡方程可以推导为以下形式：考虑一个小体素在三个坐标轴上分别受到的力和力偶。
在x轴方向上，小体素受到的力可以表示为：∑Fx = ∂σxx/∂x + ∂τyx/∂y + ∂τzx/∂z + Fx = 0其中，∑Fx 表示在x轴方向上作用于小体素的力的矢量和，σxx、τyx、τzx 分别表示小体素在x轴方向上的正应力、剪应力和剪应力。
∂σxx/∂x 表示σxx 关于 x 的偏导数，表示 x 方向上的应力变化率。
类似地，∂τyx/∂y 和∂τzx/∂z 分别表示τyx 和τzx 关于 y 和 z 的变化率。
Fx 表示在 x 方向上外界对小体素施加的体积力。
将它们相加应为 0，即∑Fx = 0。
同理，我们可以得到在 y 轴和 z 轴方向上的应力平衡方程为：∑Fy = ∂τxy/∂x + ∂σyy/∂y + ∂τzy/∂z + Fy = 0∑Fz = ∂τxz/∂x + ∂τyz/∂y + ∂σzz/∂z + Fz = 0其中，τxy、τxz、τyz 分别表示小体素在 yz 平面上的剪应力，σyy、σzz 分别表示小体素在 y、z 轴上的正应力。
∂τxy/∂x、∂τxz/∂x 和∂τyz/∂y 分别表示τxy、τxz 和τyz 关于 x 和 y 的变化率，∂σyy/∂y 和∂σzz/∂z 分别表示σyy 和σzz 关于 y 和 z 的变化率。
将以上三个方程相加，得到整体应力平衡方程：∑Fx + ∑Fy + ∑Fz = 0即：∂σxx/∂x + ∂τyx/∂y + ∂τzx/∂z + Fx + ∂τxy/∂x + ∂σyy/∂y +∂τzy/∂z + Fy + ∂τxz/∂x + ∂τyz/∂y + ∂σzz/∂z + Fz = 0这就是通常所说的应力平衡方程。
第5章 平面问题和轴对称问题 (2)
2.平面应变问题的应力分析
因： xz yz 0 则 xz yz 0 ，即Z向为一 个主方向，假定 z 3 ，根据应力应变顺序 关系有：
z
1 2
(
x
y)
1 2
( 1
2)
m
则应力张量、应力偏张量分别为：
ij
0
0
z
0
z 0 z
应力平衡微分方程：
z 0
z
z z z 0 z
圆柱体在平砧上镦粗时，有 平衡微分方程为：
z 0 z
拉深件底部的网格基 本上保持不变，而 简壁的网格则发生 了很大的变化，原 来的同心圆变成了 筒壁上的水平圆筒 线，而且其间的距 离也增大了。越靠 近筒口增大越多， 原来分度相等的辐 射线变成等距的竖 线，即每一扇形面 积内的材料都各自 在其范围内沿着半 径方向流动。每一 梯形块进行流动时 ，周围方向被压缩 ，半径方向被拉长 ，最后变成筒壁部 分。
2.平面应力状态的应变分析
1）沿 3 方向的应变 3 为最小主应力，根据应力应变顺序关系， 3 0
3 为中间主应力，根据应力应变顺序关系有：
3
1
2
2
3 0
压缩类变形；
3
1
2
2
3 0 伸长类变形
3
1
2
2
3 0 纯切变形
3 为最大主应力，根据应力应变顺序关系 3 0
的点A、E处于单项拉伸状态；与 1 、 2 的
应力分析之应力平衡微分方程
应力平衡微分方程
单元体六个面上的应力分量图
z
zx dz z
zx
z dz z zy zy dz z
yx y yz
dz Q
xz
xy
x
Q’ yz dy yz
y
xz xz dx x
xy
xy x dx
r dr r
o
y
x
r
应力平衡微分方程
轴对称问题的平衡微分方程
r 1 r zr r fr 0 r r z r
r 1 z 2 r f 0 r r z r rz 1 z z rz fz 0 r r z r
应力平衡微分方程
轴对称问题的平衡微分方程 由于子午面在变形过程中始终不会扭曲，轴对 称状态具有以下特点： 1）在θ面上没有剪应力，即r θ ＝ θ r ＝0， θ 是一个主应力； 2）各应力分量与θ坐标无关，对θ的偏导数都 为零。因此有
r zr r fr 0 r z r
x fx 0 x y yx
yx x
y
xy
y
fx fy
y
yx
y y dy
dy
xy x
y y
yx y
dx
fy 0
x
x x dx x
xy
xy x
应力平衡微分方程
轴对称应力状态 在塑性成形中经常遇到旋转体。当旋转体承受 的外力为对称于旋转轴的分布力而且没有周向 力时，则物体内的质点就处于轴对称应力状态。 此时，旋转体的每个子午面都始终保持平面， 而且各子午面之间的夹角始终不变。用圆柱坐 标表示的单元体应力状态为：
莫尔应力圆公式推导
莫尔应力圆公式推导莫尔应力圆是材料力学和土力学中一个非常重要的概念，对于理解材料或土体在复杂应力状态下的强度和变形特性具有关键作用。
接下来咱们就一起好好推导一下这个莫尔应力圆公式。
先来说说啥是莫尔应力圆。
想象一下，咱们有一个物体，它内部各个点都受到不同方向和大小的力，这些力综合起来就形成了复杂的应力状态。
莫尔应力圆就是一种能把这种复杂应力状态直观表示出来的工具。
咱从最基础的开始，假设一个平面内有两个互相垂直的主应力，分别是σ₁和σ₃（σ₁ > σ₃）。
还有一个与主应力方向夹角为α 的斜截面上的正应力σ 和剪应力τ 。
根据应力平衡原理，能得到正应力σ 的表达式：σ = (σ₁ + σ₃) / 2 + (σ₁ - σ₃) / 2 × cos 2α 。
剪应力τ 的表达式是：τ = (σ₁ - σ₃) / 2 × sin 2α 。
为了方便推导莫尔应力圆，咱们把上面两个式子变形一下。
令 x =σ ，y = τ 。
先把正应力的式子变形：σ - (σ₁ + σ₃) / 2 = (σ₁ - σ₃) / 2 × cos 2α 。
然后两边平方：[σ - (σ₁ + σ₃) / 2]² = [(σ₁ - σ₃) / 2 × cos 2α]² 。
再把剪应力的式子变形：τ / [(σ₁ - σ₃) / 2] = sin 2α 。
两边平方：τ² / [(σ₁ - σ₃)² / 4] = sin² 2α 。
因为cos² 2α + sin² 2α = 1 ，所以把上面两个平方后的式子相加：[σ - (σ₁ + σ₃) / 2]² + τ² / [(σ₁ - σ₃)² / 4] = 1 。
整理一下，就得到了莫尔应力圆的方程：(x - (σ₁ + σ₃) / 2)² + y² = [(σ₁ - σ₃) / 2]²。
第四讲 莫尔圆
3.4 莫尔圆
§3.4 莫尔圆
1、莫尔圆（应力圆）
斜截面应力计算公式
=
1 2
(
x
+ y) +
1 2
(
x
− y ) cos2
− xy sin 2
=
1 2
(
x
− y ) sin 2
+ xy
cos2
改写为
σα
− σx
+σy 2
=
σx
−σy 2
cos2α − τxysin2α
τα
=
σx
−σy 2
sin2α
+
τ xy cos2α
把上面两式等号两边平方，然后相加便可消去，得
§3.4 莫尔圆
1、莫尔圆（应力圆）
§3.4 莫尔圆
1、莫尔圆（应力圆）
(
−x
+
2
y )2
+
2
=
(
x
− y )2
2
+
2 xy
x +y R
2
C
R=
(σx
− 2
σy
)2
+
τ
2 xy
§3.4 莫尔圆
1、莫尔圆（应力圆）
首先由Christian Otto Mohr（18351918）于1866年提出。
莫尔是德国土木工程师，主要从 事铁路施工工程。有缘学习更多 ＋谓ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献 教育（店铺）
2.3应力莫尔圆、应力平衡微分方程
( x y ) sin cos xy (sin 2 cos 2 ) sin 2 xy cos 2 2 S xl S y m x cos2 y sin 2 2 xy sin cos
x y
ij
10
0
10
ij 4 1
0 0
0 4
1）画出该点的应力单元体； 2）求出该点的应力张量不变量、主应力、主 方向、主切应力、最大切应力、等效应力、应 力偏张量及应力球张量。 3）画出该点的应力莫尔圆，并将应力单元体 的微分面分别标注在应力莫尔圆上。
ij xi 0
应力平衡微分方程
轴对称问题的平衡微分方程
z
dq
dq
rz rz dz dr r rq rq dr r
dr dz
r
q
q r r
q
r
rz
zr
dr
q z
o
y
z
q
z
r
r dr r
q
x
r
应力平衡微分方程
轴对称问题的平衡微分方程
xz xz dx x
xy
xy x dx
y
02讲-应力与平衡、位移与应变
王正伟 13601363209
9
斜面应力公式 Cauchy Formula
四面体平衡条件为：
(1) dS1 (2) dS2 (3) dS3
()
dS
f
(1dhdS) 3
0
1 xi xy j xzk 2 yxi y j yzk 3 zxi zy j zk
刚体位移和变形是同时出现的 ，在弹性力学中我们忽略刚体运动 对物体的影响，仅考虑变形。
2022/2/8
王正伟 13601363209
23
位移的描述 Characterization of Displacement
拉格朗日坐标系其坐标系是放在所描述的物
体上随着物体一起运动。 拉格朗日描述法以物体变形前的初始构形为参照构
1 xxi xy j xzk
2 yxi yy j yzk
3 zxi zy j zzk
xx yx
xy yy
xz yz
zx zy zz
王正伟 13601363209
6
面力、应力矢量与应力状态辨析
相同点： 量纲相同； 内力与应力的数学定义相同。
S 0
F S
若取 S 为变形前面元的初始面积，则上式给出工程应力，亦称 名义应力，常用于小变形情况。 对于大变形问题，应取 S 为变形后面元的实际面积，称真实应 力，简称真应力, 也称柯西应力。
2022/2/8
王正伟 13601363209
4
应力矢量(应力) Stress Vector
下图为低碳钢轴向拉伸变形情况，前两个图为小变形情况，应 力计算采用工程应力，第三个真实截面面积相比于初始情况变 化剧烈，因而必须采用真实应力来描述。在以后的讨论中主要 研究小变形问题，因而应力计算上为工程应力。
应力莫尔圆
135的截面 上。
应力莫尔圆的概念与特点
1
单轴压应力 1 > 2 = 3 =0
双轴压应力 1 > 2 > 3 =0
几
种
应
力
状
静水压力 1 = 2 = 3 >0
态
三轴压应力 1 > 2 > 3 >0
的 二
维
应
力莫Biblioteka 尔平面应力(拉压应力) 纯剪应力(等值拉压应力)
圆
1 > 2 =0> 3
1 =－ 3 , 2 =0
(
1
2
)2
2
(
1
2
)2
2
2
应力莫尔圆的概念与特点(以双轴应力状态为例)
以横坐标代表正应力，纵坐标代表剪应力，建立
－ 坐标系，一点的应力状态在该坐标系中可以表
示为一个圆的方程
(
1
2
)2
2
(
1
2
)2
2
2
这个圆就是该点的应力莫 尔圆，圆上某点的坐标
T A( , )
2
2
法线
2
'' ''
面 截 意 任
2
仅有2作用的情况下，任意截面上
正应力 ' ' 2 (1 cos 2 ), 2
剪应力 ' ' 2 sin 2
2
同时考虑1和2，则=+，=+，
再引入sin22+cos22=1，消除，可以得到
应力莫尔圆方程
应力莫尔圆的概念与特点
应力莫尔圆的相关理论
τ
σα
σy τy
e α
E
2α
B1 C
D1
τα
o σy
σx τx
τy
f
σx
x
B2
σ
D2 σx
τx
σy
α 截面上的应力
三、利用应力圆求单元体上任一
从应力圆的半径 CD 1 按方位角 α 的转向转动 2α , 得到半径 CE , α 圆周上 E 点的 σ ¸τ 坐标 就依次为 σα ¸ τα 。（ 证明略 ） τ
说明
点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力， 点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，必对 应于应力圆上某一点的坐标。 应于应力圆上某一点的坐标。
夹角关系： 夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单 元体上对应两截面夹角的两倍。两者的转向一致。 元体上对应两截面夹角的两倍。两者的转向一致。
应力莫尔圆的相关理论
一、 应力圆的概念
σα =
由
σ x +σ y σ x −σ y
+ 2
τα =
2 σ x −σ y 2
cos2α − τ x sin2α
sin2α + τ x cos2α
削去α得到
(σ α −
σx +σ y
2
) + τα = (
2 2
σ x −σ y
2
)
2
2 +τx
(σ α −
σx +σ y
因为σ 因为σx > σy，所以
50
20
σ3
α0 = −19.30
1 − 2τ x α1 = arctg ( ) 2 σ x −σ y
= −19.3
第2章 应力和平衡
(2-4)
或按下标记法与求和约定写为 pi ij n j (i, j x, y, z )
(2-5)
式中 i：自由指标，同一项只出现一次 ，同一方 程中，各项的自由指标应相同。j：哑指标，表示求 和，同一项重复出现，又称为爱因斯坦求和约定。一 方面通过哑指标对求和起缩写的作用，另一方面通过 自由指标可将方程组缩写为一个指标符号方程。
(2-6b)
由图2-5可见：
2 2 2 2 2 2 pn p x p y p z N N
因此，斜截面上的切应力由下式确定。
N ( p ) p p p
2 n 2 N 1 2 2 x 2 y 2 z 2 N
1 2
(2-7)
由此可见，已知物体内任意一点处的六个应力分 量，则应用式（2-6）和（2-7）可求得该点任意斜截 面上的正应力和切应力。也就是说，已知一点处的六 个应力分量，则该点的应力状态就完全确定了。 应力的边界值与面力分量间的关系表达式，即物 体的应力边界条件
yx l y m yz n p y zx l zy m z n p z
或 :
x l xy m xz n p x
（2-8a）
pi ij n j (在S 上）
（2-8b）
9个独立变量的集合，两个下标来表示
ij和eij ——9个应力分量或应变分量
ij,k
——27个独立变量的集合用三个下标表示
求和定约
张量表达式的某一项内的一个下标出现两次， 则对此下标从1到3求和。
A ak k ak k A aij i j aij i j
i j
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应力平衡微分方程
由于单元体处于平衡状态
Fx 0
yx x ( x dx)dydz x dydz ( yx dy )dxdz yx dxdz x y zx ( zx dz )dxdz zx dxdz 0 z
x yx zx 0 x y z
x
2
(1 cos 2 ) 2 2 2 x y
2
y
2
(1 cos 2 ) xy sin 2
x y
x y
cos 2 xy sin 2
x y 2 2 xy
2
2
n cos
2
0
S x x l xy m x cos xy sin S y xy l y m xy cos y sin
S x m S y l ( xl yx m)m ( xyl y m)l
应力平衡微分方程
同理，得平衡微分方程
x yx zx 0 x y z xy y zy 0 x y z xz yz z 0 x y z
即每个面上在x方向的应力对所在面偏导之和或一 个方向所有应力对各自所在平面求偏导的和为0。 简记为
f 1 f 2 f ( x, y, z ) dx dx 2 x 2 x x x dx x
2
z
zx dz z
ห้องสมุดไป่ตู้ zx
z dz z zy zy dz z
yx
xz
xy
x
Q′
yz
yz y
dy y y
三向应力莫尔圆
对于三向应力状态，设变形体中某点的 且 1 〉 3 ， 2 ， 2 〉 三个主应力为 1 ， 三向应力莫尔圆为：
3
圆心的坐标和半径分别为：
三个圆的半径分别等于三个主切应力
三向应力莫尔圆
三个圆的方程为
每一个圆分别表示某方向余弦为零的斜面上的正 应力和切应力的变化规律。
( x y ) sin cos xy (sin 2 cos 2 ) sin 2 xy cos 2 2 S xl S y m x cos2 y sin 2 2 xy sin cos
x y
xz xz dx x
xy
xy x dx
y
yx
yx y dy
dy
yz
dz
Q
x
zy
x dx x
zx
dx
z y x
dy 泰勒级数 f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 )
z
1 f ' ' ( x0 )( x x0 ) 2 2!
ij xi 0
应力平衡微分方程
轴对称问题的平衡微分方程
z
dq
dq
rz rz dz dr r rq rq dr r
dr dz
r
q
q r r
q
r
rz
zr
dr
q z
o
y
z
q
z
r
r dr r
q
x
r
应力平衡微分方程
轴对称问题的平衡微分方程
第二章
金属塑性变形的力学基础
应力分析
河南科技大学材料学院
平面应力状态下的应力莫尔圆
若已知平面应力状态的三个应力分量 z xz yz 0，如何 求任意斜微分面AC上的正应力σ和切应力τ？
AC面的方向余弦 对于AC面
l cos
m cos sin 2
平面应力状态下的应力莫尔圆
主应力
1 x y x y 2 xy 2 2 2 3 0
2
主应力σ1与x轴之间的夹角
arctan
1 2 2 xy
x y
从某一平面顺（逆）转 的任意斜面上应力在 莫尔圆上对应的是从相应的坐标点顺（逆）时旋 转2 处的点的坐标。
r 1 q r zr r q 0 r r q z r
rq 1 q zq 2 rq 0 r r q z r
rz 1 q z z rz 0 r r q z r
作业
1. 对于Oxyz直角坐标系，已知受力物体内一点的 应力状态为 0 10 10 7 4 0 （单位MPa） 0 10 0
应力平衡微分方程
应力分量是坐标的 连续函数。 Q点: 坐标x，y，z， 应 力状态σij 。过Q点x面上的 正应力 x f ( x, y, z ) Q′点: 坐标x+dx,y+dy, z+dz,应力状态σij+dσij。过 y Q′点x面上的正应力
x d x f ( x dx, y, z )
ij
10
0
10
ij 4 1
0 0
0 4
1）画出该点的应力单元体； 2）求出该点的应力张量不变量、主应力、主 方向、主切应力、最大切应力、等效应力、应 力偏张量及应力球张量。 3）画出该点的应力莫尔圆，并将应力单元体 的微分面分别标注在应力莫尔圆上。