b ，故无解；对于D ，a 答案 D
2．有关正弦定理的叙述：
①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c .
其中正确的个数是 ( )．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 解析 正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确 定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知 ④正确．
答案 B
3．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为 ( )．
A ．75°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
解析 由S △ABC ＝33＝12BC ·CA ·sin C ＝12×3×4sin C 得sin C ＝32
，又C 为锐角．故C ＝ 60°.
答案 B
4．在△ABC 中，由“a >b ”________推出“sin A >sin B ”；由“sin A >sin B ”________推出“a >b ”．(填“可以”或“不可以”)
解析 在△ABC 中，必有sin B >0，由正弦定理得a b ＝sin A sin B ，于是，若a >b ，则a b >1，则sin A sin B
>1. 由sin B >0，可得sin A >sin B ；反之，若sin A >sin B ，
由sin B >0，可得sin A sin B >1，则a b
>1，a >b . 答案 可以 可以
5．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin A ＝________.
解析 ∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3
， ∴由正弦定理，a sin A ＝b sin B ，1sin A ＝3sin π3
.∴sin A ＝12. 答案 12
6．在△ABC 中，已知a ＝10，B ＝75°，C ＝60°，试求c 及△ABC 的外接圆半径R . 解 ∵A ＋B ＋C ＝180°，∴A ＝180°－75°－60°＝45°.
由正弦定理，得a sin A ＝c sin C ＝2R ，∴c ＝a ·sin C sin A ＝10×3222＝56，∴2R ＝a sin A ＝1022
＝ 10 2，∴R ＝5 2.
综合提高（限时25分钟）
7．在△ABC 中，AB ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝ ( )．
A ．3－ 3 B. 2 C ．2 D ．3＋ 3
解析 ∵AB ＝3，A ＝45°，C ＝75°， 由正弦定理得：BC sin A ＝AB sin C ⇒BC sin 45°＝AB sin 75°＝36＋2
4
， ∴BC ＝3－ 3.
答案 A
8．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝c ＝6＋2且A ＝75°，则b 等于
( )．
A ．2
B ．4＋2 3
C ．4－2 3 D.6－ 2
解析 sin A ＝sin 75°＝sin(30°＋45°)
＝sin 30°cos 45°＋sin 45°cos 30°＝2＋64
， 由a ＝c ＝6＋2可知，C ＝75°，所以B ＝30°，sin B ＝12. 由正弦定理得b ＝a sin A ·sin B ＝2＋62＋64
×12＝2，故选A. 答案 A
9．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13
，S △ABC ＝43，则b ＝______. 解析 cos C ＝13⇒sin C ＝223；S △ABC ＝12ab sin C ⇒12·32·b ·223
＝43⇒b ＝2 3. 答案 2 3
10．已知△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，∠B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是________．
解析 由正弦定理，得x ＝b sin A sin B
＝22sin A ， ∵45°答案 211．在△ABC 中，已知tan B ＝3，cos C ＝13
，AC ＝36，求△ABC 的面积． 解 设AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .
由tan B ＝3，得B ＝60°，∴sin B ＝
32，cos B ＝12
. 又sin C ＝1－cos 2C ＝223， 由正弦定理，得c ＝b sin C sin B ＝36×2233
2
＝8. 又∵A ＋B ＋C ＝180°，
∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C
＝32×13＋12×223＝36＋23
. ∴所求面积S △ABC ＝12
bc sin A ＝62＋8 3. 12．(创新拓展)在△ABC 中，已知b ＋a a ＝sin B sin B －sin A
，且2sin A ·sin B ＝2sin 2C ，试判断其形状．
