动点产生的面积问题-教师版

1 / 29xy12QPAOCBxyAOB【例1】 如图，已知直线l ：22y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，将直线y=x向上平移1个单位长度得到直线P A ，点Q 是直线P A 与y 轴的交点，求四边形PQOB 的面积． 【难度】★★【答案】65．【解析】由题意可得：直线P A 的解析式为1+=x y令⎩⎨⎧+-=+=221x y x y ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==3431y x ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛3431，P ．∵点Q 是直线P A 与y 轴的交点， ∴()01Q ，． ∵直线l ：22y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ， ∴B （1，0），C （0，2）． ∴65311211221=⨯⨯-⨯⨯=-=CPQ COB PQOB S S S △△四边形． 【总结】考察四边形面积的求法，不规则图形的面积用割补法来解决．【例2】 如图，已知直线AB ：2y x =+与直线OA ：13y x =交于点A ，与直线OB ：3y x =交于点B 两点．求△AOB 的面积． 【难度】★★ 【答案】4．【解析】令⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y x y 312，解得：⎩⎨⎧-=-=13y x ，则()31A --，． 令⎩⎨⎧=+=x y x y 32，解得：⎩⎨⎧==31y x ，则()13B ，． 设直线AB 与x 轴相交于C ，则C （－2，0），∴412213221=⨯⨯+⨯⨯=+=OCB OAC OAB S S S △△△．【总结】考察三角形面积的求法，不能直接求面积则用割补法来解决，注意交点坐标 的求法．例题解析【例3】 如图，已知直线3y x =+的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，把△AOB 的面积分为2：1两部分，求直线l 的解 析式． 【难度】★★【答案】2y x =-或x y 21-=．【解析】∵直线3y x =+的图像与x 轴、y 轴分别交于∴A （－3，0），B （0，3），∴293321=⨯⨯=OAB S △．当OBA OBCS S △△32=时， 则2932321⨯=⨯⨯C y ，则2=C y ， ∵C 点在直线AB 上，∴C （－1，2）， 则直线l 的解析式为：2y x =-；当OBA OBC S S △△31=时，则2931321⨯=⨯⨯C y ，则1=C y ， ∵C 点在直线AB 上，∴C （－2，1），则直线l 的解析式为：x y 21-=．综上直线l 的解析式为2y x =-或x y 21-=．【总结】考察面积的求法，本题中要注意分类讨论．3 / 29【例4】 如图，已知，在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE =2．（1）如图1，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积；（2）如图2，当四边形EFGH 为菱形，且BF =a 时，求△GFC 的面积．（用含a 的代数式表示）【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）过点G 作GM ⊥BC 于M ．∵四边形EFGH 为正方形时，∴︒=∠+∠90BEF AEH ∵︒=∠+∠90AHE AEH ，∴BEF AHE ∠=∠ ∵BEF AHE ∠=∠，B A ∠=∠，EF EH =， ∴BEF AHE ≌△△同理可知：BEF MFG ≌△△ ∴2===AE BF GM∴10=-=BF BC FC ，则10=GFC S △； （2）过点G 作GM ⊥BC 于M ，连接HF ∵AD ∥BC ，∴MFH AHF ∠=∠ ∵EH ∥FG ，∴GFH EHF ∠=∠ ∴MFG AHE ∠=∠∵MFG AHE ∠=∠，GMF A ∠=∠，GF EH =， ∴MFG AHE ≌△△∴2==AE GM∴()a a GM FC S GFC -=⨯-=⋅=122122121△．【总结】本题主要考察菱形、正方形的性质和全等三角形的判定和性质．A BCDEF 图1GHABCDE F 图2GHMM4 / 29【例5】 如图1，正方形ABCD 的边长为2，点A (0， 1)和点D 在y 轴正半轴上，点B 、C 在第一象限，一次函数y ＝kx ＋2的图像l 交AD 、CD 分别于E 、F ． （1）若△DEF 与△BCF 的面积比为1∶2，求k 的值； （2）联结BE ，当BE 平分∠FBA 时，求k 的值． 【难度】★★★【答案】（1）1=k ；（2）2=k ．【解析】（1）∵正方形ABCD 的边长为2，点A (0， 1)和点D 在y 轴正半轴上，点B 、C 在第一象限， ∴B (2， 1)，C (2， 3)，D (0， 3)．∵一次函数y ＝kx ＋2的图像l 交AD 、CD 分别于E 、F ， ∴E (0， 2)． 设F (m ， 3)，∵△DEF 与△BCF 的面积比为1∶2， ∴()212221121=⨯-⨯⋅m m ，解得：1=m ，∴F (1， 3) ∵F (1， 3)在直线y ＝kx ＋2上，∴1=k ； （2）延长BE 交CD 的延长线于H ， ∵BE 平分∠FBA ，∴ABE FBE ∠=∠∵CD ∥AB ，∴ABE H ∠=∠，∴FBE H ∠=∠，∴FB=HF ∵AE =1，DE=1，∴AE=DE∵AE=DE ，BAE HDE ∠=∠，BEA HED ∠=∠ ∴△HED ≌△BEA∴HD=AB =2，∴H (－2， 3) 设F (n ， 3) ∵FB=HF ，∴()22222+=+-n n ，解得：21=n ， ∴F (21， 3) ∵F (21， 3)在直线y ＝kx ＋2上， ∴2=k ．【总结】考察等腰三角形的性质和两点之间的距离公式的运用，注意点的坐标与解析式的关系．ABCD EFxy OH5 / 29【例6】 如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x ＋12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，过点A 的直线交y 轴正半轴于点M ，且点M 为线段OB 的中点． （1）求直线AM 的表达式；（2）试在直线AM 上找一点P ，使得S △ABP ＝S △AOB ，请求出点P 的坐标； （3）若点H 为坐标平面内任意一点，是否存在点H ，使以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形?若存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由． 【难度】★★★【答案】（1）6+=x y ；（2）P (6， 12)或P (－18， －12)； （3）H (－12， 0)或H (－6， 18)或H (56-， 518)． 【解析】（1）∵函数y ＝2x ＋12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，∴A (－6， 0)，B (0， 12)∵点M 为线段OB 的中点， ∴M (0， 6)， 则直线AM 的表达式为6+=x y ； （2）当点P 在AM 的延长线上时∵S △ABP ＝S △AOB ，∴OP ∥AB ，则可知直线OP 的表达式为x y 2=． ∵P 在直线AM 上，∴令⎩⎨⎧+==62x y x y ，解得：⎩⎨⎧==126y x ， ∴P (6， 12)；当P 在AM 的反向延长线上时，过P 点作PN ⊥OB ，垂足为H 设P (n ， n+6)∵AONP ABO BPN ABP S S S S 梯形△△△--=， S △ABP ＝S △AOB ，()()()()1262166621126216621⨯⨯=--⨯--⨯-⨯⨯----⋅n n n n ，解得：18-=n ，则P (－18， －12)．（3）存在点H ，使以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形．若以AM 为底，BM 为腰，过点B 作AM 的平行线，当点H (－12， 0)时，以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形；若以BM 为底，AM 为腰，过点A 作BM 的平行线，当点H (－6， 18)时，以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形；若以AB 为底，BM 为腰，过点M 作AB 的平行线，当点H (56-， 518)时，以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形．【总结】本题综合性较强，本题一方面考察面积的确定，另一方面考察等腰梯形的性质和分类讨论．ABOMxy6 / 29【例7】 如图1，已知直角坐标平面内点A (2, 0)，P 是函数y ＝x （x ＞0）图像上一点，PQ ⊥AP 交y 轴正半轴于点Q ． （1）试证明：AP ＝PQ ；（2）设点P 的横坐标为a ，点Q 的纵坐标为b ，那么b 关于a 的函数关系式是_______；（3）当S △AOQ ＝23S △APQ 时，求点P 的坐标．【难度】★★★【答案】（1）见解析；（2）22-=a b ；（3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--255255，P 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++255255，P ． 【解析】（1）过P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为H 、T ，∵P 是函数y ＝x （x ＞0）图像上一点 ∴PH=PT ，PH ⊥PT∵PQ ⊥AP ，∴QPT APH ∠=∠∵QPT APH ∠=∠，PH=PT ，QTP AHP ∠=∠ ∴△PHA ≌△PTQ ∴AP ＝PQ ；（2）由（1）可得：TQ a AH =-=2 ∵OH OT TQ OQ ==+， ∴a a b =-+2， 即22-=a b ； （3）设()P a a ，， ∵2221-=⋅⋅=a OQ OA S AOQ △，222122+-==a a AP S APQ △， ∴()2232222+-=-a a a ， 解得：255±=a ． ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--255255，P 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++255255，P ． 【总结】本题主要考察全等的运用，及三角形面积的求法，注意利用面积公式确定点的坐标．P QAy O x7 / 29【例8】 如图，矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，M 是CD 的中点，点P 在矩形的边上沿A B C M →→→运动，试写出△APM 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数关系，写出定义域，并画出函数图像． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】当P 在AB 上运动时，即10≤<x ，y =x AP AD S APM =⋅=21△；当P 在BC 上运动时，即31≤<x ， ∵PCM ABP ABCM APM S S S S △△梯形△--=， ∴y =454432123+-=----=x x x S APM △； 当P 在CM 上运动时，即273≤<x ， y =x x S APM -=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-=2722721△．函数图像如由图所示．【总结】本题主要考察面积与动点的结合，注意进行讨论．【例9】 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝CD ＝AD ＝5cm ，BC ＝11cm ，点P 从点D 出发沿DA 边以每秒1cm 的速度移动，点Q 从点B 出发沿BC 边以每秒2cm 的速度移动（当点P 到达点A 时，点P 与点Q 同时停止移动），假设点P 移动的时间为x （秒），四边形ABQP 的面积为y （cm 2）． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）在移动的过程中，求四边形ABQP 的面积与四边形QCDP 的面积相等时x 的值；（3）在移动过程中，是否存在x 使得PQ ＝AB ，若存在，求出所有的x 的值；若不存在，请说明理由． 【难度】★★【答案】（1）102+=x y （50≤≤x ）； （2）3=x ；（3）35=x 或311=x ． 【解析】（1）作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，∵AB ＝CD ＝AD ＝5cm ，BC ＝11cm ， ∴BE=CF =3，则4=AE ．ABCDMPABCDPQE F8 / 29∵2DP x BQ x ==，， ∴()10242521+=⨯+-⨯=x x x y （50≤≤x ）； （2）当四边形ABQP 的面积与四边形QCDP 的面积相等时， 四边形ABQP 的面积等于四边形ABCD 的面积的一半，∴()41152121102⨯+⨯⨯=+x ，解得：3=x ；（3）∵PQ ＝AB ，AD //BC ，∴四边形ABQP 为平行四边形或等腰梯形． 当四边形ABQP 为平行四边形时，则AP ＝BQ ，∴x x 25=-，解得：35=x ；当四边形ABQP 为等腰梯形时，则四边形PQCD 为平行四边形，∴x x 211-=，解得：311=x ；综上所述，当PQ ＝AB 时，x 的值为53或113．【总结】本题主要考察动点背景下的平行四边形和等腰梯形的性质的综合运用．【例10】 已知：如图1，在线段AE 的同侧作正方形ABCD 和正方形BEFG （BE ＜AB ），连结EG 并延长交DC 于点M ，作MN ⊥AB ，垂足为N ，MN 交BD 于P ．设正方形ABCD 的边长为1． （1）证明：△CMG ≌△NBP ；（2）设BE ＝x ，四边形MGBN 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果按照题设方法作出的四边形BGMP 是菱形，求BE 的长． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）∵正方形ABCD 和正方形BEFG ，∴︒=∠45ABD ，︒=∠45BEG ∵CM ∥BE ，∴︒=∠=∠45BEG CMG ∵正方形ABCD ，MN ⊥AB ，∴四边形BCMN 是矩形， ∴CM=NB ． ∵CM=NB ，PNB C ∠=∠，PBN CMG ∠=∠ ∴△CMG ≌△NBP ；（2）∵正方形BEFG ，BE ＝x ， ∴x BE BG ==， ∴x CG -=1，ABC DEFGPMN9 / 29∴()()212111212+-=-+=x x x y （10<<x ）； （3）由已知可得：MN ∥BC ，MG ∥BP ， ∴四边形BGMP 是平行四边形．要使四边形BGMP 是菱形，则MG BG =， ∴()x x -=12，解得：22-=x ， ∴当22-=BE 时，四边形BGMP 是菱形．【总结】本题考察正方形的性质和动点背景的下面积问题，解题时注意认真分析题目中的条件．【例11】 已知：在梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝4，点E 在边AB上，CE ＝CD ．（1）如图1，当∠BCD 为锐角时，设AD ＝x ，△CDE 的面积为y ，求y 与x 之间 的函数解析式，并写出函数的定义域； （2） 当CD ＝5时，求△CDE 的面积． 【难度】★★★【答案】（1）x x y 4212+-=（40<<x ）；（2）27或252．【解析】（1）过C 作CF ⊥AD 交AD 延长线于F∵AD //BC ，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝4， ∴四边形ABCF 是正方形．∵CE ＝CD ，BC=CF ，∴△BCE ≌△FCD ，∴DF=BE ∵AD ＝x ，∴x DF -=4，∴x BE -=4 ∴ADE BEC ABCD y S S S =--△△梯形 ()()1114444222x x x x =+⨯-⋅⋅-⨯⨯- 2142x x =-+， 定义域为：40<<x ；（2）当∠BCD 为锐角时， ∵CD ＝5时，CF=4，∴由勾股定理可得：3=DF ，则1=AD代入解析式中可得：27=y ；当∠BCD 为钝角时，易知3DF BE ==．AB CDEFA B CDEF10 / 29∴CDEBCEADEABCD SS SS=--梯形111(47)43417222=⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯ 252=． 综上所述，△CDE 的面积为27或252． 【总结】考察全等三角形的构造和正方形的性质的综合运用，第（2）问要注意分类讨论．【例12】 如图1，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3,0），（0,1），点D是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x m =-+交折线OAB 于点E ．（1）当点E 恰为AB 中点时，求m 的值；（2）当点E 在线段OA 上，记△ODE 的面积为y ，求y 与m 的函数关系式并写出定义域；（3）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试判断四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，写出该重叠部分的面积；若改变，写出重叠部分面积S 关于m 的函数关系式． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】∵四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3,0），（0,1），∴B （3,1）． （1）当点E 恰为AB 中点时，则E （3，21） ∵点E 在直线12y x m =-+上， ∴代入E 点坐标，可得：2=m ；（2）当点E 在线段OA 上，∵直线12y x m =-+交折线OAB 于点E ， ∴E （m 2，0），∴m m y =⋅⋅=1221（312m <≤）； （3）设O 1A 1与CB 相交于点M ，OA 与B 1C 1相交于点N ，则四边形O 1A 1B 1C 1与 矩形OABC 的重叠部分的面积为四边形DNEM 的面积．AB CDEOxy∵DM ∥NE ，DN ∥ME ，∴四边形DNEM 是平行四边形 ∵NED MED ∠=∠，NED MDE ∠=∠，∴NED MED ∠=∠， ∴ME MD =，∴四边形DNEM 是菱形过D 作DH ⊥OA ，垂足为H ，设菱形DNEM 的边长为a∵D （22-m ，1），E （m 2，0）， ∴DH =1，HE =()2222m m --=，∴2NH EN EH a =-=-， 在直角△DHN 中，()22212+-=a a ，解得：45=a ∴菱形DNEM 的面积为：55144⨯=．【总结】本题综合性较强，一方面考查面积与动点的结合，另一方面考查面积的定值，注意进行分析．【例13】 如图1，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G ． （1）当E 是AB 中点时，求证AG ＝BF ；（2）当E 在边AB 上移动时，观察BF 、AG 、AE 之间具有怎样的数量关系?并证明你所得到的结论；（3）联结DF ，如果正方形的边长为2，设AE ＝x ，△DFG 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域．【难度】★★★【答案】（1）见解析；（2）AE AG BF =+；（3）2212+=x y （20<<x ）．【解析】（1）当E 是AB 中点时，AE=BE∵AE=BE ，AEG BEF ∠=∠，B EAG ∠=∠ ∴△EAG ≌△EBF ∴AG ＝BF（2）AE AG BF =+过点F 作FH ⊥DA ，垂足为H ，则四边形ABFH 是矩形 ∴FH=AB=AD∵DE ⊥FG ，∴DEA ADE G ∠=∠-︒=∠90 ∵FH=AD ，DEA G ∠=∠，G A ∠=∠ ∴△FHG ≌△DAE ， ∴GH=AE ，即AE AG HA =+ ∵BF=HA ， ∴AE AG BF =+；A BCD EF GH（3）由（2）可得：FG=DE ∴224+==x DE FG ∴221442122222+=+⋅+=x x x y （20<<x ） 【总结】本题主要考察正方形背景下的动点问题，注意对常见辅助线的添加以及线段间的转化．【例14】 如图1，梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B ＝90°，AD ＝18，BC ＝21．点P 从点A 出发沿AD 以每秒1个单位的速度向点D 匀速运动，点Q 从点C 沿CB 以每秒2个单位的速度向点B 匀速运动．点P 、Q 同时出发，其中一个点到达终点时两点停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）当AB ＝10时，设A 、B 、Q 、P 四点构成的图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出定义域；（2）设E 、F 为AB 、CD 的中点，求四边形PEQF 是平行四边形时t 的值．【难度】★★★【答案】（1）t S 5105-=（5.100≤≤t ）； （2）23=t ． 【解析】（1）由题意可得：AP =t ，CQ =t 2，则()t t t S 51051022121-=⨯-+⨯=（5.100≤≤t ）；（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，取CH 的中点G ，则四边形ABHD 是矩形．∵F 是CD 的中点，G 是CH 的中点，∴DH FG 21=∵AD //BC ，∠B ＝90°，AD ＝18，BC ＝21∴CH =21-18=3，CG =2321=CH∴232-=-=t GC QC QG ∵四边形PEQF 是平行四边形， ∴PE=QF∵AB FG AE 21==，90A FGQ ∠=∠=GABCDE F PABCD Q图1备用图H∴△AEP ≌△GFQ ， ∴QG=AP∴t t =-232， 解得：23=t ，即当四边形PEQF 是平行四边形时，t 的值为32． 【总结】本题一方面考察梯形背景下的动点结合，另一方面考察中位线及平行四边形的性质的综合运用，注意认真分析．【例15】 如图1，在菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AB ＝4．左右作平行移动的正方形EFGH 的两个顶点F 、G 始终在边BC 上．当点G 到边BC 中点时，点E 恰好在边AB 上．（1）如图1，求正方形EFGH 的边长；（2）设点B 与点F 的距离为x ，在正方形EFGH 作平行移动的过程中，正方形EFGH 与菱形ABCD 重叠部分的面积为y ，求y 与x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结FH 、HC ，当△FHC 是等腰三角形时，求BF 的长． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）当点G 到边BC 中点时，BG=2，∵∠B ＝45°，正方形EFGH 的两个顶点F 、G 始终在边BC 上． ∴BF=EF=FG ∵BG=2，∴FG=1， 即正方形EFGH 的边长为1；（2）当10≤<x 时，()212121122++-=--=x x x y ，当31≤<x 时，1=y ；（3）当FH=HC 时，∵HG ⊥CF ，∴FG=CG=1， ∴2114=--=--=FG GC BC BF ； 当FC=HC 时，∵CG CG FG FC +=+=1，2221GC GC GH HC +=+= ∴112+=+GC GC ，解得：0=GC ， ∴3014=--=--=FG GC BC BF ；当FH=FC 时，则2=FC ，此时24-=-=FC BC BF ， 综上所述，当△FHC 是等腰三角形时，BF 的长为2或3或42-．HAB C DEF G【总结】本题主要考察平行四边形与正方形的性质的综合运用，解题时注意对等腰三角形要进行分类讨论．【例16】 如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，A (0，4)，C (5， 0)，点D 是y 轴正半轴上一点，将四边形OABC 沿着过点D 的直线翻折，使得点O 落在线段AB 上的点E 处．过点E 作y 轴的平行线与x 轴交于点N ．折痕与直线EN 交于点M ，联结DE 、OM . 设OD ＝t ，MN ＝s ． （1）试判断四边形EDOM 的形状，并证明；（2）当点D 在线段OA 上时，求s 关于t 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）用含t 的代数式表示四边形EDOM 与矩形OABC 重叠部分的面积．【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）四边形EDOM 是菱形．∵将四边形OABC 沿着过点D 的直线翻折，使得点O 落在线段AB 上的点E 处， ∴EDM ODM ∠=∠，DE OD =． ∵EM ∥OD ， ∴DME ODM ∠=∠， ∴DME EDM ∠=∠，∴EM DE =，∵DE OD =，∴EM OD =． ∵EM ∥OD ，∴四边形EDOM 是平行四边形， ∵EM DE =，∴平行四边形EDOM 是菱形； （2）由（1）可得：OD ＝EM = t ， ∵EN =OA =4， ∴t s -=4（24t <<）； （3）当点D 在线段OA 上时，∵t EM ED OM OD ====，4=EN ，s t =-4∴()22224816224ON OM MN t t t t =-=--=-=-∴四边形EDOM 与矩形OABC 重叠部分面积为：224224OD ON t t t t ⋅=⋅-=-； 当点D 在线段OA 延长上时（如图所示），∵4AD t BD t =-=，， ∴2222(4)224AE BD AD t t t =-=--=-， ∴四边形EDOM 与矩形OABC 重叠部分面积为：2244824AE OA t t ⋅=-⨯=-， 综上所述，四边形EDOM 与矩形OABC 重叠部分的面积为224t t -或824t -． 【总结】本题主要考察菱形的判定方法和性质的综合运用，解题时注意进行分析．MA BCDE MNAB C OOxy xyE DN【例17】 已知：如图1，梯形ABCD 中，AD //BC ，∠A ＝90°，∠C ＝45°，AB ＝AD ＝4．E 是直线AD 上一点，联结BE ，过点E 作EF ⊥BE 交直线CD 于点F ．联结BF ．（1）若点E 是线段AD 上一点（与点A 、D 不重合），（如图1所示） ①求证：BE ＝EF ；②设DE ＝x ，△BEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出此函数的定义域；（2）直线AD 上是否存在一点E ，使△BEF 是△ABE 面积的3倍，若存在，直接写出DE 的长，若不存在，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）①在AB 上截取AG=AE ，连接EG ，∵∠A ＝90°，AG=AE ， ∴︒=∠=∠45AEG AGE ， ∴︒=∠135BGE ∵AD //BC ，∠C ＝45°， ∴︒=∠135D ，∴D BGE ∠=∠ ∵AG=AE ，AB ＝AD ， ∴ED=BG∵∠A ＝90°，EF ⊥BE ， ∴DEF ABE ∠=∠∵ED=BG ，D BGE ∠=∠，DEF ABE ∠=∠ ∴△BGE ≌△EDF ， ∴BE ＝EF ；②∵DE ＝x ，∴4AE x =-， ∵∠A ＝90°，∴()222244+-=+=x AB AE BE ，∵BE ＝EF ， ∴()()23284444212122222+-=+-⋅+-=⋅⋅=x x x x EF BE y （40<<x ）；A BCDEFABCD图1备用图备用图ABCDGEF G（2）①当点E 在线段AD 上时，∵()11448222ABE S AB AE x x =⨯⨯=⨯⨯-=-△，又3BEFABESS=，∴()23282832+-=-⨯x x x ，解得：522±-=x （负值舍去），∴522+-=DE ；②当点E 在线段DA 延长线上时，延长BA 到G ，使得BG =DE ，连接EG ， 则△AGE 是等腰直角三角形．同（1）可证△BGE ≌△EDF ， ∴BE ＝EF ，21122BEF S BE EF BE =⨯⨯=⨯= ∵()824421-=-⨯⨯=x x S ABE △，又3BEFABES S=，∴()23288232+-=-⨯x x x ，解得：5210±=x ，∴5210±=DE ；③当点E 在线段AD 延长线上时，延长AB 到G ，使得BG =DE ，连接EG ， 则△AGE 是等腰直角三角形．同（1）可证△BGE ≌△EDF ， ∴BE ＝EF ，21122BEF S BE EF BE =⨯⨯=⨯==，∵()144282ABE S x x =⨯⨯+=+△，又3BEFABESS=，∴()28323282x x x ++⨯+=，解得：2x =±，∴2DE =+；综上所述，当△BEF 是△ABE 面积的3倍时，DE 的长为2-+或10±或2+【总结】本题综合性较强，主要考察全等三角形的构造方法和梯形的性质运用，注意对点在直线上的准确理解，要分多种情况进行讨论．【例18】 如图，已知正方形ABCD 的边长为3，菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在正方形的边AB 、CD 、DA 上，AH ＝1，联结CF ． （1）当DG ＝1时，求证菱形EFGH 为正方形；（2）设DG ＝x ，△FCG 的面积为y ，写出y 关于x 的函数解析式，并指出x 的取值范围；（3）当DG ＝433时，求∠GHE 的度数．【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）当DG ＝1时，∵AH ＝1，∴DG=AH∵菱形EFGH ， ∴HG=HE ，∵90A D ∠=∠=， ∴△HDG ≌△EAH ， ∴AEH DHG ∠=∠ ∵︒=∠+∠90AEH AHE ，∴︒=∠+∠90DHG AHE ，∴︒=∠90GHE ∴菱形EFGH 是正方形；（2）联结GE ，过F 作FM ⊥DC 交DC 的延长线于M ， ∵CD ∥AB ，∴AEG CGE ∠=∠∵FG ∥HE ，∴HEG FGE ∠=∠，∴HEA FGC ∠=∠ ∵HEA FGC ∠=∠，M A ∠=∠，FG=HE ， ∴△AHE ≌△MFG ， ∴1==FM HA ，∴()x x y 21233121-=-⋅⨯=（30<<x ）；（3）∵正方形ABCD 的边长为3，AH ＝1， ∴DH =2．当DG ＝433时，213233422222=⎪⎭⎫⎝⎛+=+=DG DH GH ， ∴2132=HE ，∴33522=-=HA HE AE ． 过G 做GN ⊥AB 于N ，∵DG ＝433，335=AE ， ∴33=NE ， ∴21323332222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=EN GN GE ， ∴HE GE GH ==， ∴△EGH 是等边三角形， ∴︒=∠60GHE ．【总结】本题主要考察正方形的性质及全等三角形的综合运用，注意辅助线的合理添 加．ABCD EFG H M N【例19】 已知：如图，四边形OABC 的四个顶点坐标分别为O (0， 0)，A (8， 0)，B (4，4)，C (0， 4)，直线l ：y ＝x ＋m 保持与四边形OABC 的边交于点M 、N （M 在折线AOC 上，N 在折线ABC 上）．设四边形OABC 在l 右下方部分的面积为S 1，在l 左上方部分的面积为S 2，记S ＝S 1－S 2（S ≥0）． （1）求∠OAB 的大小；（2）当M 、N 重合时，求l 的解析式；（3）当m ≤0时，线段AB 上是否存在点N ，使得S ＝0?若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由；（4）求S 与m 的函数关系式． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）过B 作BE ⊥x 轴，垂足为E ，则点E (4，0)∵B (4，4)， ∴44==AE BE ，，∴△ABE 为等腰直角三角形， ∴︒=∠45OAB ； （2）∵S ≥0，∴点M 、N 只能重合到点C (0， 4)，此时4=m ，故直线l 的解析式为：y ＝x ＋4；（3）四边形OABC 的面积()2448421=⨯+⨯．∵直线l ：y ＝x ＋m 保持与四边形OABC 边交于点M 、N ， ∴△AMN 为等腰直角三角形．当S ＝0时，则△AMN 的面积为四边形OABC 的面积的一半． 过N 做x 轴的垂线NH ，则NH=AH=MH ．设a NH =，则122212==⋅⋅a a a ，解得：32=a ， ∴()82323N -，，∵点N 在直线l ：y ＝x ＋m 上， ∴834-=m ；ABC OxyN ME H（4）∵S ＝S 1－S 2（S ≥0），∴834-≥m ．①当0834<≤-m 时，m OM -=，m AM +=8， 经过A (8， 0)，B (4，4)的直线解析式为：8+-=x y ， 令⎩⎨⎧+=+-=m x y x y 8， 解得：⎪⎩⎪⎨⎧+=-=2828m y m x ∴16441282822121++=+⨯+⨯⨯=m m m m S ，1224S S -=， ∴88212422121++=-=-=m m S S S S ； ②当40≤≤m 时，m OM =，m CM -=4，∴()22421m S -=，1224S S -=，∴882242121++-=-=-=m m S S S S ；综上所述，2218880)288(04)m m m S m m m ⎧++≤<⎪=⎨⎪-++≤≤⎩．【总结】本题综合性较强，主要考察图形的运动，包含了一次函数的性质及解析式的求法．解题时要注意从多个角度分析，特别要清楚动点的移动位置．【例20】 在边长为4的正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，P 是对角线AC上一动点，过点P 作PF ⊥CD 于点F ，作PE ⊥PB 交直线CD 于点E ，设P A =x ，PCE S y =△．（1）求证：DF =EF ；（2）当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3）点P 在运动过程中能否使△PEC 为等腰三角形?如果能，请直接写出P A 的长；如果不能，请简单说明理由． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）延长FP 交AB 于点G∵正方形ABCD 中，PF ⊥CD 于点F ，∴四边形AGFD 是矩形， ∴DF=AG ，︒=∠90AGF ∵正方形ABCD ， ∴︒=∠45BAC∵︒=∠90AGF ，∴GP AG =，∴GP DF = 同理可得：BG PF CF ==∵PE ⊥PB ，︒=∠90AGF ，∴FPE GBP ∠=∠ ∵FPE GBP ∠=∠，BG PF =，PFE BGP ∠=∠ ∴△GBP ≌△FPE ，∴GP=EF ∵GP DF =，∴EF DF =； （2）∵P A =x ， ∴x GP AG 22==，x EF DF 22==， 则x DE 2=，∴x CE 24-=， ∵x PF 224-=， ∴()8232122424212+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x x x y （022x ≤≤）（3）点P 在运动过程中能使△PEC 为等腰三角形． 当点E 在CD 边上时，∵︒≥∠90CEP ，要使△PEC 为等腰三角形，则︒=∠=∠45ECP CPE ，则PE ⊥CE ． ∵PE ⊥PB ， ∴BP ∥CD ， ∴BP ∥BA ．于是点P 在AB 上，又点P 在AC 上，∴A 与P 重合，此时AP =0． 当点E 在DC 延长线上时，要使△PEC 为等腰三角形，只能是PC=CE ， ∴易得P A =4．【总结】本题主要考查正方形的性质的综合运用，注意对等腰的分类讨论．A BCDE F P OGxy BAOC【习题1】 如图，直线443y x =-+与y 轴交于点A ，与直线4455y x =+交于点B ，且直线4455y x =+与x 轴交于点C ，求△ABC 的面积． 【难度】★★ 【答案】4．【解析】∵直线443y x =-+与y 轴交于点A ，∴A （0，4）；∵直线443y x =-+与x 轴交于点D ，∴D （3，0）；令⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=5454434x y x y ， 解得：⎪⎩⎪⎨⎧==223y x ， 则322B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；∵直线4455y x =+与x 轴交于点C ， ∴C （－1，0），∴424214421=⨯⨯-⨯⨯=-=BCD ACD ABC S S S △△△． 【总结】考察面积的求法，不规则图形的面积用割补法来解决，注意交点坐标的确定．随堂检测【习题2】 已知直线2y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 点和B 点，另一条直线(0)y kx b k =+≠经过点C （1，0），且把△AOB 分成两部分．若△AOB 被分成的两部分面积比为1：5，求k 和b 的值． 【难度】★★★【答案】22k b ==-，或2233k b =-=，．【解析】∵直线2y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 点和B 点，∴A （2，0），B （0，2）．若△AOB 被分成的两部分面积比为1：5，那么直线(0)y kx b k =+≠与y 轴或A B 交点的纵坐标为：326122=⨯⨯． 当(0)y kx b k =+≠与直线2y x =-+相交时，交点为D ，当32=y 时，223x =-+，解得：34=x ，∴D （34，32）， ∵点C （1，0），D （34，32）在直线(0)y kx b k =+≠上， ∴22k b ==-，；当(0)y kx b k =+≠与y 轴相交时，交点为E ，当32=y 时，223x =-+，解得：34=x ，∴E （0，32）， ∵C （1，0），E （0，32）在直线(0)y kx b k =+≠上， ∴2233k b =-=，．综上，22k b ==-，或2233k b =-=，．【总结】本题主要考察面积的求法及交点坐标的确定，注意要分类讨论．【习题3】 直线364y x =-+与坐标轴分别交与点A 、B 两点，点P 、Q 同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿O B A →→运动． （1）直接写出A 、B 两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，△OPQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系；（3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）∵直线364y x =-+与坐标轴分别交与点A 、B 两点，∴A （8，0），B （0，6）；（2）∵OA=8，OB=6，∴AB=10．∵点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度， ∴运动时间为8秒，∴点P 的运动速度是（6＋10）÷8=2． 当点P 在线段OB 上运动时(03)t ≤≤， ∵t OQ =，t OP 2=， ∴2t S =；当点P 在线段BA 上运动时(38)t <≤，t OQ =，t t AP 2162106-=-+=， ∵8t OA OQ S S OPAOPQ ==△△，10216tBA AP S S OBA OPA -==△△， ∴t t t t S t t S OAB OPQ 52453241021681021682+-=⨯-⋅=-⋅=△△，综上所述，S 与t 之间的函数关系为：22(03)324(38)55t t S t t t ⎧≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩；（3）当485S =时，∵6321548⨯⨯>，∴点P 在AB 上，当485S =时，524524532=+-t t ，解得：4=t ，∴524=PD ，8=AP ，532=AD ， ∴58=OD ，∴P （58，524）， ∴以点O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标（528，524）或 （512-，524）或（512，524-）ABxyOQ P【习题4】 如图，已知：过点A （8，0）、B （0，83）两点的直线与直线3y x =交于点C ，平行于y 轴的直线l 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右平移，到C 点时停止；l 分别交线段BC 、OC 于点D 、E ，以DE 为边向左侧作等边△DEF ，设△DEF 与△BCO 重叠部分的面积为S （平方单位），直线l 的运动时间为t （秒）．（1） 写出点C 的坐标和t 的取值范围； （2） 求s 与t 的函数关系式． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）∵直线过点A （8，0）、B （0，83），∴直线AB 的解析式为383+-=x y ． 令⎪⎩⎪⎨⎧=+-=x y x y 3383， 解得：⎩⎨⎧==344y x ，∴C （4，43）， 40≤≤t ；（2）作EM ⊥y 轴与M ，DG ⊥y 轴于点G∵直线l 的运动时间为t （秒），∴D （t ，383t -+），E （t ，3t ）， ∴t t t DE 32383383-=-+-=， ∴等边△DEF 的DE 边上的高为：()t t DE 31232382323-=-=． ∵E （t ，3t ），∴t ME =，t MN 33=，同理可得：t GH 33= ∴可求梯形上底为：t t 3323238--， ∴当点F 在BO 边上时：t t =-312，∴3=t ． 当30<≤t 时，重叠部分为等腰梯形，223783238323383233t S t t t t t ⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭； 当43≤≤t 时，重叠部分为三角形，()()348324333123238212+-=--=t t t t S ．【总结】本题综合性较强，主要考察一次函数与动点的结合以及图形的运动，解题时 一方面要清晰动点的运动轨迹，另一方面要学会表示动点的坐标，第（2）问注意 要分类讨论．AB CDEOxy l FPMGxy QPAOC B【作业1】 如图，已知直线P A ：(0)y x n n =+>与直线PB ：2()y x m m n =-+>交于点P ．（1）用m 、n 表示出A 、B 、P 点的坐标；（2）若点Q 是直线P A 与y 轴的交点，且四边形PQOB 的面积56，AB=2，试求 点P 的坐标，并写出直线P A 与PB 的解析式． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）∵直线P A ：(0)y x n n =+>交x 轴与A ，∴A （n -，0），∵直线PB ：2()y x m m n =-+>交x 轴与B ， ∴B （2m，0）， 令⎩⎨⎧+-=+=m x y n x y 2， 解得：323m n x m n y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴P （3m n -，32nm +）；（2）∵点Q 是直线P A 与y 轴的交点， ∴Q （0，n ）．∵四边形PQOB 的面积56，∴()65321221=-⋅-⋅-⋅⋅=-n m n m m m S S CPQ COB △△． ∵AB=2， ∴23=+n m， ∴21m n ==，． ∴直线P A 的解析式为：1y x =+， 直线PB 的解析式为：22y x =-+．【总结】本题主要考察点的坐标的求法及几何图形面积的表示．课后作业xy FEO【作业2】 如图所示，直线y kx b =+的截距为6，该直线分别交x 轴、y 轴于E 、F ，点E 的坐标为（－4，0）． （1）求直线y kx b =+的表达式；（2）若点P （x ，y ）是该直线第二象限上的一个动点，P A ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，垂足分别为点A 、B ，试求四边形OAPB 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）∵直线y kx b =+的截距为6，该直线分别交x 轴、y 轴于E 、F ，∴点E 的坐标为（－4，0），∴直线y kx b =+的表达式为623+=x y ；（2）∵点P （x ，y ）是该直线第二象限上的一个动点，∴623+=x y ，∴()x x x x S 6236232--=⎪⎭⎫⎝⎛+-=（04<<-x ）．【总结】考察一次函数解析式的求法及图形面积的确定， 注意点的坐标与线段长度的关系．【作业3】 如图，已知：直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =90°，AB =6，AD =4，DC =3，点P 从点A 出发，沿ADCB 方向移动，动点Q 从点A 出发，在AB 边上移动，设点P 移动的路程为x ，点Q 移动的路程为y ，线段PQ 平分梯形ABCD 的周长． （1） 求y 关于x 的函数解析式，并写出x 和y 的取值范围；（2） 当P 不在BC 边上时，线段PQ 能否平分ABCD 的面积?若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）过C 做CE ⊥AB 于E ，则CD=AE =3． ∵CE =4， ∴BC =5，∴梯形的周长为18．∵线段PQ 平分梯形ABCD 的周长， ∴9=+y x ． ∵60≤≤y ， ∴93≤≤x ， ∴x y -=9（93≤≤x ）；ABCD PQ E（2）∵P 不在BC 边上时，则73≤≤x ． 当43<≤x 时，点P 在AD 边上，则xy S APQ 21=△． ∵线段PQ 能否平分ABCD 的面积， ∴921=xy ． 由1929xy x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得：，∴36x y =⎧⎨=⎩或63x y =⎧⎨=⎩（舍去）；当74≤≤x 时，P 在CD 边上，此时()y x S ADPQ +-⨯=4421四边形 ∵线段PQ 能否平分ABCD 的面积， ∴()94421=+-⨯y x联立9=+y x ，方程组无解．故当x =3时，线段PQ 平分ABCD 的面积．【总结】本题考察的知识点较多，包含了梯形的性质，面梯形面积及三角形的面积公式，二元二次方程组的解法等，第（1）问注意对解析式的确定，第（2）问注意利用第（1）问的结论，同时要进行分类讨论．【作业4】 如图，在平面直角坐标系中，两个函数162y x y x ==-+，的图像交于点A ，动点P 从点O 开始在线段O 向点A 方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ ∥x 轴交直线BC 于点Q ，以PQ 为一边向下作正方形PAMN ，设它与△ABO 重叠部分的面积为S ．（1） 求点A 的坐标；（2） 试求出点P 在线段OA 上运动时，S 与运动的时间t （秒）的关系式．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】（1）令⎪⎩⎪⎨⎧+-==621x y x y ， 解得：⎩⎨⎧==44y x ，∴A （4，4）；ABCP Q O yx（2）∵动点P 从点O 开始在线段O 向点A 方向以每秒1个单位的速度运动， ∴t OP =， 则P （t 22，t 22）． ∵PQ ∥x 轴，∴Q （t 212-，t 22）， ∴t PQ 22312-=． 当t t 2222312=-时， 23=t ． 当230≤<t 时，t t t t S 262322312222+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=； 当P 到达A 点时，24=t ， 当2423<<t 时，144236292231222+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t S ，综上所述，223(0291442t t S t t ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩．【总结】本题主要考察交点坐标与面积的确定，解题的关键是要能够掌握重叠部分图 形的特点，一开始是矩形，后来才是正方形，要找出这个临界点，这样就将问题简化 了．。