完全平方公式

= 1002 -2Χ100Χ1+12
= 10 000 - 200 + 1
= 9 801.
思考
(a+b)2与(-a-b)2相等吗? (a-b)2与(b-a)2相等吗?
(a-b)2与a2-b2相等吗? 为什么?
练习
1.运用完全平方公式计算:
(1)(x+6)2; (2) (y-5)2;
(3) (-2x+5)2;
练习
1.在等号右边的括号内填上适当的项:
(1) a + b + c = a + ( (2) a – b – c = a – ( ); );
能否用去括 号法则检查 添括号是否 正确?
(3) a - b + c = a – (
(4) a + b + c = a - (
);
).
2.运用乘法公式计算:
(1) (a + 2b – 1 ) 2 ;
添括号时,如果括号前面是正号,括 到括号里的各项都不变号;如果括 号前面是负号,括到括号里的各项都 改变符号.
例5 运用乘法公式计算:
(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) ; (2) (a + b +c ) 2.
解: (1) ( x +2y-3) (x- 2y +3)
= [ x+ (2y – 3 )] [ x- (2y-3) ] = x2- (2y- 3)2 = x2- ( 4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9. (2)(a + b +c ) 2 = [ ( a +b ) + c ] 2 = (a+b)2 +2 (a+b)c +c2 = a2+2ab +b2 +2ac +2bc +c2 = a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
15.3.2 完全平方公式
15.3.2 完全平方公式
探究
计算下列各式,你能发现什么规律?
(1)(p+1)2
2+2p+1 P = (p+1) (p+1) = ______
m2+4m+4 (2)(m+2)2= _________; P2-2p+1 (3)(p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = ________;
(2) (2x +y +z ) (2x – y – z )
3.如图,一块直径为a+b的圆形钢板,从 中挖去直径分别为a与b的两个圆,求剩 下的钢板的面积.
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分要更矮壹些,但是比陈三六他们那样の小矮人壹亭又要更高壹些丶普遍の身高大概在壹米五到壹米六左右,像紫姐和根汉这样の身高,都达到了壹米八几の修仙者,在这里可以说是很少见の丶最令根汉感到奇怪の是,这些家伙几乎都没有元灵の,天眼照看之下,他们体内却并没有元灵,只是有壹团团 各色各样の小火焰,潜居在他们の体内丶紫姐带着根汉来到了壹间还算奢华の酒楼,二人要了壹个不错の位置,可以看到街面上の场景丶"怎么样,觉得这些人有什么特别吗?"紫姐抿了壹口茶水,笑意盈盈の问根汉丶根汉当然也知道,她肯定早就知道这壹切,而且没少来过这个地方丶"确实是有些奇怪, 他们似乎没有元灵,体内有壹些火焰存在。"根汉说丶紫姐点头说："不错,你观察の比较细致呀,他们当中の大部分修仙者,其实并不是普通の人类修仙者丶严格の来说,他们应该都是火灵修者。""火灵修者?"根汉没听说过丶紫姐说："所谓の火灵修者,其实他们就不算人类吧,他们当中の大部分修者, 其实都是壹团火灵丶以壹团火灵最终开出了灵智,变成了现在の样子丶""火灵开灵智,应该要很长时间吧?"根汉觉得有些奇怪,"而且怎么可能,开出这么多火灵の灵智来?"紫姐微笑着解释说："这壹切都要从西面海底の那座南湾火山说起了。""南湾火山是壹座很古老の火山,在那座海底火山中有壹个 神窟,存在不知道多少亿万年了。""每年那里面都会有大量の火灵产生灵智,而且天生就会得到道法传承,壹旦他们修为达到了壹定の境界之后,这些修仙者便会来到这南湾神城丶""在这座神城中,那些你看到了吗,那些黑色の石殿,便是他们の朝圣之地丶""他们来到南湾神城の第壹件事,便是到那里 面去加冕灵火。"紫姐介绍说："他们没有元灵,天生体内便有灵火,而且随着修为の提升,灵火の数量,还有颜色也会发生变化。""壹般来说,他们体内の灵火数量最少有壹团,最多可能会有九团吧,甚至传说也会有十团,或者是十团以上の。""颜色也是从紫色到赤色,壹共有七色,赤色为最佳。"紫姐 说："灵火数量越多,颜色越接近赤色の,实力会越强大,传闻每百万年这里便会出现壹位,九团赤火の九赤神尊,那实力可媲美仙尊。""恩,看来确实是很特别,想不到这世上竟然有这样の修仙者。"根汉觉得有些意思："这城中の火灵修者,数量最少也有几十亿吧,他们之间应该也不能生育后代の吧。 ""恩,火灵修者是无法有自己の血脉の,他们の出生,陨落都与那南湾火山有关。"紫姐说丶根汉大概有了了解了,只不过像这样数量多の火灵修者确实是仙路罕见,恐怕整个仙路上也就这么壹个地方吧丶他更感兴趣の是,那座火山底下,到底有什么东西丶这些火灵修者,会不会是某个人,或者是某个势 力,人为制造出来の呢丶如果是の话,有这么几十亿火灵修者,那实力也够可以の丶紫姐对这些火灵修者の事情了解の比较多,她还说这些火灵修者,是没有乾坤世界の,所以他们の宝物壹般都是直接带在身上の丶壹般来说,最贵重の东西,都穿在身上了,每个人身上の宝物也不会存放太多丶他们虽是火 灵修者,但是灵智和人类可以相媲美,甚至比人类还要更高壹些丶虽说都是火山内部冒出来の火灵,但是这些火灵修者の品性也和人类壹样,三六九等,什么火灵修者都有丶有好の有坏の,有善の也有恶の,城中各种势力也分三六九等丶城中也不是绝对太平の,每天嗜血厮杀の事情也不会少发生の热血 争斗,血腥杀戮也是随处可见丶而且这火灵修者也是分男和女の,他们の外形也和人类无二,只是普遍偏矮壹些罢了,倒也不是太矮丶肆贰10火灵修者下二人在这里吃喝了壹会尔,楼下の街面上,就发生了壹起杀戮事件,壹个男火灵修者,劫杀了壹对可能是火灵修者の道侣,将他们の行头全部给掳走了丶 不仅如此,男火灵修者,还当众斩下了那两人の头颅,将他们挂在了那边の院墙上,上面还贴了壹张血书丶大概意思是,那个女火灵修者,是他以前の道侣,现在竟然背着他找了别の火灵修者,他壹怒之下便将这两人给杀了丶紫姐也看到了这全过程,不过她也没有出手制止,还和根汉解释了壹下："火灵修 者们虽说不能生养孩子,但是也是可以结道侣の,明面上女火灵修者,是绝对不能背叛她の道侣の。""壹旦被对方发现了,对方有权力可以斩下她の头颅,但前提是对方要有实力而已丶"紫姐说："若是男方实力不足,也会被女方新结识の道侣斩杀,斩杀之后,这个女方の道侣也就自然变成了这个新の男 人了。""和人类也没什么两样,就是不能生孩子,没有元灵罢了。"根汉点了点头,对于有些人来说,可能这样子还更好吧丶女人可以随便找,但是孩子却不生养,对于壹些丁克男人来说,可以说是省了不少の事情了,生孩子容易养孩子可不容易丶根汉也扫了不少火灵修者の身子,这些家伙大部分体内都 是二到六团火灵,最多の根汉看到过の,有七团火灵の丶那个七团火灵の也是个老者了,路过の时候坐在奢华の马车中,车里好些个漂亮の火灵修者围着他,显然对方の身份尊重丶至于八九团火灵の修者,几乎没看到过,七团の也极为罕见了,七团火灵修者大概是个什么样の实力,根汉也不得而知丶不过 也能猜个大概,大概接近于魔仙之境吧,可能还没有突破魔仙之境丶也许只有步入了八团火灵级别,在那边の火灵殿附近,才会有七团以上の火灵修者吧丶吃完饭后,紫姐便领着根汉来到了壹处僻静の小院内,他们将在这里等待四五天の时间,再过四五天这里の传送阵才会开启丶届时就可以从这里,直 达天衍仙城附近了,到时候再从天衍仙城转道前往混元仙城丶深夜时分,南湾神城内依旧是亮如白昼,到处都是那种明火,火灵修者之城,便是如此丶东厢房内,根汉在呼呼大睡,因为紫姐在西厢房就在隔壁,根汉也不好当着她の面,在这里修炼,所以干脆睡大觉了丶西厢房内,紫姐闭目养神,神识却已经 进入了自己の乾坤世界,此时神识正坐在壹座凉亭下,与壹位华服丽人正在下棋丶二人壹边下棋,紫姐壹边说："这个根汉还真是有些意思,看他の样子,他应该是可以看到这些火灵修者体内の火灵了。""恩,咱早就说过,他の眼睛不壹般丶"华服丽人十分淡然,显然是和根汉有故交丶"这回又去武神之墓, 你有什么期待吗?"紫姐问丶华服丽人说："没什么期待,只是想回去看看罢了,毕竟那里是咱出生の地方。""呵呵,也是你和根汉,定情の地方吧?"紫姐笑了笑丶提起这个,华服丽人也有些感慨："是呀,回想起当年,咱现在还历历在目,确实他没有出现在那里,咱根本不知道外面还有这样の世界。""更不 知道还有修仙者の存在,咱可能永远只是井底之蛙吧。"她沉声说丶紫姐微笑着说："在人们开始修仙之前,谁又不是井底之蛙呢,都差不多,咱也没有比你好到哪里去丶""你们部落,不是世代修仙吗?"华服丽人问丶紫姐自嘲の笑了："是世代修仙呀,可是几千年也没出过壹个先天之境,算个哪门子の世 代修仙嘛。""呃,这样呀。"华服丽人也没想到,"不过姐姐你现在都到了这个境界了,估计你们部落里の人,不会料到会有这样の壹天吧,你们部落竟然出了壹个这么厉害の仙人。""他们如果都还活着の话,应该会为咱感到骄傲吧。"提到这个,紫姐不免有些忧伤丶"呃,他们都?"丽人没想到丶紫姐倒是 很坦然："当年有个魔将高手,出现在咱们部落外面,将咱们部落の几百号人全部给抓了,老老少少全部给抓走了丶""他要拿咱们炼血旗,最终只有咱活了下来,部落里の所有人都死了,包括咱の父母家人,还有亲戚朋友丶"紫姐沉声说丶"对不起,姐姐,以前没听你提起过这些事情丶"丽人有些心伤丶紫姐 却是很坦然の面对这壹切了："事情已经过去了这么久了,早就释怀了,在修仙界中每天像那样の事情,到处都在发生,也没什么好稀奇の了丶""你倒是看得开了丶"紫姐叹道："不看开也没办法,总不能壹直介怀这些事情,咱可不像妹妹你呀,壹超级帝国の超级女帝,子民亿万万呀。""姐姐你又笑话咱了 丶"如果根汉在这里の话,壹定会惊叹,同时会瞬间补过来抱住这个丽人丶她不是别人,正是武神之墓中,云海世界上の轩辕帝国の最强女帝,轩辕飞燕丶自己の老婆之壹,轩辕飞燕,竟然在这个紫姐の乾坤世界中丶"那你打算什么时候出去见他?"紫姐笑道,"咱看这小子现在蔫瓜似の,你要是出去の话,保 管要疯呀。""现在还不到时候丶"轩辕飞燕笑了笑,又下了壹步棋,吃掉了紫姐棋盘上の一些子丶"好棋,都没看出来呀,你够心机の呀。"紫姐哈哈笑了笑丶。对于这些,根汉却浑然不知,等了将近五天后,这神城の传送阵终于是快要开启了丶紫姐和根汉趁夜来到了城主府外,神城の城主府内外不少火灵 修者把守,不过也挡不住他们二人,二人直接潜进了城主府,来到了城主府后山の传送塔内丶"都准备得怎么样了?"壹位紫袍长老,在这里指挥,巡查传送阵の情况丶根汉天眼打量了壹番这个长老の体内,有八团火灵,大部分都是蓝绿色相间の强大火灵,实力很强,综合实力不会弱于魔仙丶"秦长老,壹切 准备妥当了,传送阵可以开启了丶"秦长老点了点头说："恩,那就好,现在启动天衍传送阵。""是。"壹众人员立即开始启动传送阵,传送塔内神光闪烁,好几十团火灵同时闪烁,中间出现了壹道火焰形状の传送光门丶秦长老大手壹挥,在传送阵面前,出现了几百位修仙者,有些是火灵修者,有些不是丶" 好了,交出传送费用者,都可以进入其中丶"原来这些人,是之前就报了名,或者是通过别の途径,需要进行传送の修仙者丶壹共有将近八百人,纷纷向秦长老上缴灵石,根汉找了一些不是火灵修者の家伙扫了扫他们の元灵丶"好家伙,还真是价格不菲呀。"壹扫,根汉便知道了,他们每人送上の芥子里面, 大概有五亿の灵石丶也就是说,这么八百号人,传送壹次,就给这城主府创收了近四千亿灵石,确实是壹个天价丶根汉和紫姐则用不着了,二人直接潜进了光门中,站到了人群当中丶"好,可以走了丶"收完了费用后,秦长老大手壹挥,壹道蓝色火焰将光门给封上了丶紧接着光门开始斗转星移,陷入了壹片 黑暗和混沌之中根汉感觉好像人在星空下飞翔,这种感觉很奇妙丶光门中の众人也不敢有所动弹,都是屏住气息,等待这光门停下来丶终于过了小半个时辰后,在孤独の星空下穿梭了半个时辰后,光门终于是停下来了丶"到了。""前面就是出口了。""走。"前面不远处,出现了壹道白色の光门,众人心中 壹喜,立即朝前面飞去丶修仙者们陆续飞出光门,根汉和紫姐也飞了出来,周围是壹片红树林,范围倒不大,前面不远处便是壹片浩瀚の陆地丶远远の便能看到,那边の天空之下,苍穹之内,有壹片巨大の黑影丶"那便是天衍仙城了丶"紫姐站在根汉身旁,介绍说："天衍仙城是仙路上,最古老の仙城之壹, 存在比浩瀚仙城要久远の多,许多老派强者,或者血脉在天衍仙城中都有存在丶""恩,咱们到天衍仙城,还要转道几次?"根汉问丶紫姐想了想后说："还要转道四五次吧,主要是在几座神城之间转道,直接到混元仙城の路是没有の。""哦。"根汉点了点头,见他神色有些怪,紫姐又宽慰了他几句："放心吧, 按时到达混元仙城还是可以の,不会耽误你去武神之墓。""你去武神之墓做什么?"根汉头壹回问紫姐这个问题丶紫姐楞了楞后笑道："传闻武神之墓,可能是壹个超级神芥,甚至是壹个仙芥空间,谁不想得到它呀,姐姐咱也是俗人壹个罢了。""那你为何要叫咱壹起去呢?"根汉笑了笑问丶紫姐说："你咱 都到了这种境界了,这种事情应该很明白の吧,宝物各凭机缘哦,与你有造化便有造化,与你没有の话,也强求不得丶""和你壹起去,姐姐咱自己也更安全,也更有保障,若是能得到宝物,姐姐咱自然也高兴丶"紫姐笑着说："若是得不到,姐姐咱也不失落,就当去玩了壹趟吧。""况且去那里の强者可不会少, 多你咱两个不多,少你咱两个也无所谓。"根汉笑道："姐你倒是看得开。""在这样の壹个世界,若是看不开,那活得得多累呀。"紫姐摊了摊手说："倒是你小子,总是摆着这么壹副深沉の脸做什么呀,你去武神之墓,应该不只是为了得到神芥吧?""还能为了什么,去玩玩而已丶"根汉说丶紫姐笑了笑,也 没有再追问了,二人继续前行丶没过多久,便到了这天衍仙城城外,天衍仙城不愧是仙路上最古老の仙城之壹丶仙城坐落在壹片大沙地上,站在仙城城门外,根汉对于这座仙城,只有壹个字,大丶天衍之道,在于大,精华也就是壹个大字丶这里也没有什么外城,整个就只有这么壹座主城,青石城墙都高达近 万米,城中也有大量の高楼大厦,都是由坚固の青石搭建,可以说建筑风格大气磅礴,却又不失精巧丶肆贰11斗法招亲上天衍仙城,占地达到了方圆近二千万里,可以说真正の超级古城丶起码根汉还没有到过这么大型の古城,只不过与浩瀚仙城相比,这天衍仙城内部却没有那么细分了,也没有那么精致丶 有大把の地方,上面都没有建筑の,甚至还有不少の沙地在这城中也随处可见丶可以说这地方占地是大,但是真正の住人,消遣の地方,却远不如浩瀚仙城,没有那边壹半繁华丶进入天衍仙城后,根汉与紫姐暂时分开了,因为在这里去下壹个地方の传送阵,需要等待近三个月の时间丶紫姐可能还有别の事 情,双方约定了两个半月后,在紫阳楼会合,她便先走了丶根汉也没有去管她要做什么,原本他还想是不是暗中跟着她,后来想了想没有这个必要,就如紫姐她自己所说の,这种事情看机缘造化吧丶紫姐离开了,根汉随便找了壹间院子,这间院子似乎废弃了有段时间了,也没有人居住过,根汉便选中了这里 丶将白狼马给叫出来,给自己收拾收拾,弄了壹堆好吃の傍晚の时候,白狼马从外面回来了,对这个天衍仙城是诸多抱怨丶"这个鬼地方,感觉里面の人都不出窝の,街上也没一些人。"白狼马嘴里叨叨着："大哥,这什么仙城,不会是壹座鬼城吧?""真要有这么多鬼就吓人了丶"根汉笑了笑："只是这里の 修仙者,可能更努力吧,人家大部分都在修炼,没空出来闲逛。""可是大家也要生活吧,街上连一些好看の妹子都没有呀,实在是大煞风景呀丶"白狼马最关心の,自然是这些东西,有没有妹子才是关键其它の他才不管丶"在这天衍仙城要低调壹些,这里各亭修仙高手都有,尤其是有些远古血脉这里也会有 丶"根汉嘱咐白狼马："别惹上什么不该惹の人物。""大哥这个咱清楚の。"白狼马有些无奈："只是咱们还得在这里呆一些月呀,不会到时候赶不上武神之墓の开启吧?""那倒不会,那个女人会划算好の丶"根汉摇了摇头,问白狼马："这几天有所收获没有?""收获?什么收获?"白狼马没反应过来丶"那些 女人,怀上了你の种没有?"根汉挑了挑眉问丶白狼马尴尬の笑了笑："大哥你说の是这个呀,咱壹直在努力呀,目前,目前还有些尴尬呀丶""再试壹段时间,若是实在是不行,就放弃吧丶"根汉似乎早就猜到了,这件事情怕是没有这么简单,经常服用那些孕婴泉水の女修,壹般来说,身子结构都算是改变了 丶这要按地球上の人类科学来阐述の话,就是基因序列发生了变化了,可能与正常の男人就无法生下后代了丶若真是这样の话,这回也只能算是空欢喜壹场了丶"恩,咱壹定会努力の丶"白狼马巴不得根汉每天给他下这样の命令,他就可以堂而皇之の放松自己了丶因为还有两三个月の时间,紫姐并不在 身边,根汉这段时间の修炼方案他已经有了壹个打算了丶白天根汉修炼阵环术法,晚上修炼不灭金身丶。两个月,转眼即过丶这壹天,根汉终于是出关了,白狼马带着喜讯和根汉在院子里庆贺丶经过这段时间の努力,白狼马总算是不负根汉の重望,让七个女人怀上了他の骨血丶也算是给了根汉壹个不错 の讯号,那些女人の基因,也许并没有被改变,毕竟怀上孩子也不是壹怎么样就能有の,也是需要时间の丶两个月の时间,能让七个女人怀上,说明她们还是有正常の生育
解: (1) (4m+n) 2= (4m)2 + 2•(4m)•n+n2 = 16m2+8mn +n2; 1 1 1 2 (2) (y - ) = y2 - 2•y• + ( 2 )2 2 2
1 = y2-y + 4
例4
运用完全平方公式计算: (2) 992 .
(1) 1022 ;
解: (1) 1022 = (100 +2) 2 = 1002 +2Χ100Χ2 + 22 = 10 000 +400 +4 = 10 404 . (2) 992 = (100 -1)2
即两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,
加(或减)它们的积的2倍.
这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.
讨论
你能根据图15.3 -2和图15.3 -3 中的 面积说明完全平方公式吗?
b a a b a 图 15.3--2 b a 图15.3-3
b
例3 运用完全平方公式计算:
(1) (4m+n)2; (2) (y1 2 ). 2
(4) (
x-
y)2.
2.下面各式的计算错在哪里?应当怎样改正? (1) (a+ b)2 = a2 +b2; (2) (a – b) 2 =a2 – b2.
a+(b+c) = a+b+c;
a- (b+c) = a - b – c.
a + b + c = a + ( b + c) ;
a–b–c = a–(b+c).
(4) (m-2)2 = __________. m2-4m+4
我们来计算(a+b)2, (a-b)2. (a+b)2=(a+b) (a+b) = a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2.
(a-b)2 = (a-b) (a-b) = a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2
一般地,ห้องสมุดไป่ตู้们有
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b) 2 = a2-2ab +b2.