周期卷积、循环卷积和线性卷积比较

数字信号处理实验报告
黎美琪 201300800610 13通信
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实验一名称：周期卷积、循环卷积和线性卷积比较 一、实验目的
1.理解周期卷积、循环卷积、线性卷积的定义
2.用图像显示上述几种卷积并对其进行直观的比较 二、实验步骤 自行设定：
）它们的线性卷积（）求它们的循环卷积（求它们的周期卷积（两个有限长序列
3)8(2)8)1(20
12,81,1129,1)(,2012,81,0129,8)(21==⎩⎨
⎧≤≤≤≤-≤≤=⎩⎨⎧≤≤≤≤≤≤-=N N n n n n x n n n n n x
实验代码：（大部分语句为图像显示处理）
%循环卷积&线性卷积&周期卷积 %%线性卷积
figure(1);
set(gcf, 'color', 'w')%将图的背景设置为白色
x1=[zeros(1,8),[1:4],zeros(1,4),zeros(1,8)];%原有限长序列x1（n ） x2=[zeros(1,8),ones(1,4),zeros(1,4),zeros(1,8)] ; %原有限长序列x2（n ） L=length(x1)%长度L M=length(x2)%长度M
y1=conv(x1,x2) %线性卷积 subplot(311)
stem(x1);
title('有限长序列x1（n ）') axis([1 L 0 5]) subplot(312)
stem(x2);
title('有限长序列x2（n ）') axis([1 M 0 1]) subplot(313) stem(y1);grid on ; title('线性卷积') axis([1 L+M-1 0 11]) %%循环卷积(圆周卷积)
figure(2);
set(gcf, 'color', 'w')%将图的背景设置为白色
%x11=[[1:4],zeros(1,4),[1:4],zeros(1,4),[1:4],zeros(1,4)];
x11=[[1:4],zeros(1,2),[1:4],zeros(1,2),[1:4],zeros(1,2),[1:4],zeros(1,2)]; y2=conv(x2,x11)
P=length(x22)%长度P
subplot(311);
stem(x11);
title('有限长序列x1的周期延拓x11（n）')
axis([1 L 0 5])
subplot(312)
stem(x2);
title('有限长序列x2（n）')
axis([1 M 0 1])
subplot(313)
stem(y2);grid on;
title('循环卷积')
axis([1 P+M-1 0 11])
%%周期卷积
figure(3);
set(gcf, 'color', 'w')%将图的背景设置为白色
x22=[ones(1,4),zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4)];
y2=conv(x1,x22)
Q=length(x22)%长度Q
subplot(311)
%stem(x11);
stem(x11);
%title('有限长序列x1（n）')
title('有限长序列x1的周期延拓x11（n）')
axis([1 L 0 5])
subplot(312);
stem(x22);
title('有限长序列x2的周期延拓x2（n）')
axis([1 Q 0 1])
subplot(313)
stem(y2);grid on;
title('周期卷积')
%axis([1 L+Q-1 0 15])
axis([1 P+Q-1 0 11])
(一)线性卷积
1.线性卷积步骤
1）将序列x2（n）翻褶
2）平行向右移位
3）被卷积两序列对应序号值相乘，再相加
2.线性卷积列表
X2(m)1111000
X2(-m)00001111
X2(1-m)0000111 1 Y(8)=1
X2(2-m)000011 11 Y(9)=3
X2(3-m)00001 111 Y(10)=6
X2(4-m)0000 1111 Y(11)=10
X2(5-m)000 01111 Y(12)=9
X26-m)00 001111 Y(13)=7
X2(7-m) 0 0001111 Y(14)=4
Y(15)=0
X2(8-m) 0000111
1
X2(9-m) 0000111 1 Y(6)=0
X2(10-m) 000011 11 Y(17)=0
X2(11-m) 00001 111 Y(18)=0
X2(12-m) 0000 1111 Y(19)=0
X2(13-m) 000 01111 Y(20)=0
X2(14-m) 00 001111 Y(21)=0
X2(15-m) 0 0001111 Y(22)=0
乘结果都为0，所以前面省略了一部分，这里列出的是主要部分，且x2（n-m）中的n是在8的基础上向右平移的位数。

3.线性卷积图像：
(二)周期卷积
基本原理：
将h(n) 进行周期延拓，周期为N ：
∑∞
-∞
=+=
r rN n h n h )
()(~
计算)(~n x 与)(~n h 的周期卷积)(~n y N ：
∑∑∑∑∑∑∑∞
-∞
=∞
-∞=-=∞
-∞
=-=-=-=+=
-+=+-=-=-=
r r N m r N m N m N m N rN n y m rN n h m x rN m n h m x m n h m x m n h m x n y )
()]
()([)()()
(~
)()(~
)(~
)(~1
1
01
1
1.周期卷积步骤
1）将两个主值序列都进行周期延拓得到x11（n ）和x22（n ） 2）对应序号相乘并相加求和 3）周期性重复 2.周期卷积列表
（三）循环卷积 基本原理：
对于有限长序列x(n)和y(n)( 0<=n<=N-1 ) DFT[()]()
DFT[()]()x n X k y n Y k ==
若
()()()F k X k Y k =
1
0()IDFT[()]()(())()
N N N m f n F k x m y n m R n -===-∑
x(n)和y(n)的N 点循环卷积，记作()()n x n y ⊗，这个卷积可以看作是周期序列x （n ）和y （n ）做周期卷积后再取主值序列。

1.循环卷积步骤
1）补零（如果两虚列长度不同，需要补零使两序列长度相同） 2）其中一个序列x1（n ）周期延拓为x2（n ） 3）x11（n ）翻褶，截取计算区域 4）循环移位
5）被卷积两序列对应序号值相乘，再相加 6）取主值序列 2.循环卷积列表
X1(m)
1234000
0 X2(m)
1111000
X11((m))8
12340000 1234000
12340000
3.循环卷积图像：
循环卷积长度N(8)>=N1(4)+N2(4)-1
循环卷积长度N(6)<=N1(4)+N2(4)-1
三、分析总结
1.对比N=8和N=6两种情况下的循环卷积结果：
2.对比周期卷积、循环卷积、线性卷积的结果：
周期卷积
)
(~n y N 是x(n)与h(n)的线性卷积y(n) 的周期延拓。

由于)(~n x 与)(~n h 的
周期都为N ，因此它们的周期卷积
)
(~n y N 的周期也为N ，正好等于y(n)的长度，即上式中
以N 为周期的周期延拓没有发生混叠，线性卷积y(n)正好是周期卷积
)
(~n y N 的一个周期。

循环卷积又是周期卷积的主值序列，因此，此时循环卷积yN(n)与线性卷积y(n)完全
相同，即：
∑-=-≤≤-===⊗=1
1
0)
()()()()(~)()()(N m N N N N n m n h m x n y n R n y n h n x n y 四、学习体会
通过此次实验深入了解了周期卷积、循环卷积、线性卷积三者之间的关系，且对其原理也有了更加深刻的理解。

通过这次实验为学会了一种新的思想：从比较中找出相同点和不同点，这样对概念的理解会更加深刻。

此次实验还遇到了一个问题：stem 图形都是从n=1开始画图的？尝试了多种方法也没能达到目的效果，虽然这个对实验结果没有很大的影响，但是用了多种方法没能成功，且花费了较多时间，没能抓住重点。

⎩⎨⎧-+≤≤-+≥*=*-+≥-+≥-+201
)()()()(1)(11)()()(21212
121211212111N N n N N N n x n x n x n x N N N N N n y N N N N N n y N n f n f N 能代表线性卷积点循环卷积时，即当循环卷积的长度。

周期延拓才无混叠现象为周期进行以时，所以只有当的长度为序列。

的周期延拓序列的主值为周期以是线性卷积点循环卷积可见，。