第1讲 振动的运动学

2012-9-28
设简谐位移方程（代数表示） x＝Asinωt
用矢量表示方法可以很清楚地看出位移、速度、加 速度旋转矢量的相对位置关系（即相位关系）。
则
x

A con t

A
sin( t

)超前于位移
2
2
x A 2 sin t A 2 sin(t )超前位移π
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习题2 一个机器内某零件的振动规律为
x 0.5sin t 0.3cost ， x 的 单 位 是 cm ， 101/ s 。这个振动是否简谐振动？求出它的
振幅、最大速度及最大加速度，并用旋转矢量表示 这三者见的关系。
解： x 0.5sint 0.3cost 0.5sin t 0.3sin(t ) 2
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x1 5 x1 20
5 Asin(t1 ) 52 ( 20)2 A2 （1）
20 A cos(t1 )

x2 10 x 2 5
10 Asin(t2 ) 5 A cos(t2 )
102
——这种情况以后经常用到。
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§4 拍（beat）
前边说过，两个具有不同频率的简谐振动的合 成运动不再是简谐振动。我们研究下面两个简谐振 动的合成问题。
x1 a co s 1t

x
2

b
cos 2t
其中ω1≠ω2但相差很小，这时合成运动就 是一种特殊的振动——拍 。
1、用三角函数的代数表示法 如前所述，但研究两个同频率简谐振动合成
时，物理概念不清晰，不直观。 例如：
x1 A1 sin( t 1 ) A2 sin( t 2 )
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3
2、旋转矢量表示方法
用矢量的逆时针旋转表示简谐振动是很方便的。
以矢量的水平位置为起点t＝0，矢量的模A——振
矢量表 示见图
Aω ω
A
ωt
t=0
Aω2 2012-9-28
2、旋转矢量表示方法
x1 A1 sin(t 1) A2 sin(t 2 )
A2
φ2 φ
o x2
φ1 x1
x
A
A1 x
x2
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4
33、、复复数数表表示示方法 我们知道，一个复数z=a+bi可以表示复平面的一
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振动时而加强,时而减弱的现象叫拍
x1
x2 t
x t
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ω1≠ω2，但相差不大 x t
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拍的圆频率，频率及周期分别用ωb，fb，Tb表示， 则 ωb＝∆ω＝ω1－ω2弧度/秒，
fb
b 2
2 1 2
赫兹，
Tb

1 fb
2
2 1
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3、复数表示方法
用复数表示振动时，其速度和加速度为：
x dx iAe it dt
x

d2x dt 2

2 Aeit
可以看到，每求一次导数，就在前边乘上一个
iω，而每乘一个i（按复数乘法可知）就是把这复

数矢量逆时针 2 转，这在求导数运算中带来了方 便。
另外，还有一种自然频率（又称频率）。 f——每秒振动的次数，单位 周/秒（赫兹、次/秒）。
f , 2f 2
T 1 2 （freguence） f
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由上式可以看到:
也
速度：
是
x A con t （其中Aω——速度幅）单位毫米/秒
固 频
率
的
加速度：
秒
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§5 习题
习题2-1 有一作简谐振动的物体，它通过距离平衡位
置为 x1 5cm及x2 10cm
时的速度分别为
v1 20 cm / s及 v2 5cm / s 求其振动周期、振幅和最大
速度。
解：设物体振动规律为
x Asin(t ) .
x A cos(t ) A sin(t ) 2
34 e
3
习题4 一个物体放在水平台上，当台面沿铅垂方向 作频率为5Hz的简谐振动时，要使物体不跳离平台，对台 面的振幅应有何限制？
解：使物体不跳离平台条件，平台的最大加速度不大 于重力加速度g
A 2 g
2f
A
g (2f
)2

9800 (2 5)2
9.93mm
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及复数表示法 §3 简谐振动的合成 §4 拍（beat） §5 本章习题
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§1 简谐振动参量
简谐振动是最简单的周期振动，其位移方 程可以用正弦或余弦函数描述另行x=Asinωt 。
x A
0
t
T
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其中振动参量有： x——振动任一瞬时的位移（线位移或角位移），单位毫 米或弧度。 t——时间，单位秒（time）。 A——振幅（最大振动位移）amplitude。 T——振动周期，振动一次（一周）所需的时间，单位：秒。 ω——圆周率（角频率），表示振动快慢，单位：弧度/秒。
x

x1 a sin t

x
2

b sin( t

) 2

b cos
t
b Aa
合成振动仍写成 x A sin( t ) 0 t
b
这里 A a2 b2
tg a
就是说 x a sin t b cos t a 2 b 2 sin(t )
显然，合成后的振动就是矢量 A 在垂直轴上的投影
x＝Asin（ωt＋φ）；
结论：两个具有相同频率但不同相位的简谐振 动合成后仍是简谐振动，其振幅及初相位公式如上。 但是，两个频率不同的简谐振动合成后不再是简谐 振动。
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〔特例〕，两个简谐振动具有相同频率，但相位差
90º，即两旋转矢量互相垂直。
同频率振动，合成为简谐振动
x Asin(t )
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振幅： A 0.52 0.32 0.58cm
最大速度： vmax A 18.2cm / s 最大加速度 ： amax A 2 571.9cm / s2
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习题3
已知以
3e i5t
个矢量。
虚(Im)
矢量的长度称为z的模，即
A z a2 b2
A
b
θ
实(Re)
a
矢量与实轴的夹角θ称为幅角，记为argz，即
argz tg-1 b a
我们又知道，复数z的实部和虚部分别是：Rt(z)
＝a＝Acosθ；Im(z)＝b＝Asinθ〔注：arg——
argument, Re——real, Im——imaginary〕
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复数矢量按逆时针方向以ω为角速度旋转。该旋转 矢量在实轴及虚轴上的投影： Re (z) ＝Acosωt； Im (z) =Asinωt 都可以表示简谐振动。
(Im)
ω
A
ωt
(Re) 2012-9-28
3、复数表示方法 复数可以合成指数形式
z＝Acosωt＋iAsinωt＝Aeiωt。 我们约定，用复数旋转矢量在虚轴的投影表示
简
x A 2 sin t
谐 函
（其中Aω2——加速度幅）单位毫米/秒2 数
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2
下面介绍两个同频率不同相位的简谐振动
x1 A1 sin t
φ——初相位（t＝0时的相位）

x
2

A2
sin( t
)
x 比x 超前φ相位，即x 比x
21
21
x
x2(t)
幅，旋转角速度ω——振动的圆频率到t瞬时，矢量
与水平轴的夹角ωt即相位角，旋转矢量在垂直轴的
投影Asinωt或在水平轴的投影Acosωt都可以代表简
谐振动。自然频率f就是每秒转的周数，单位周/秒。
显然
2f
用矢量表示方法可以很清楚地看出位移、速度、 加速度旋转矢量的相对位置关系（即相位关系）。
]

3sin
5t

5 sin(5t

2
)
32 52 sin(5t arg tan 5)
3
Re[ x1

x2
]

3cos 5t

5 cos(5t
源自文库

2
)
32 52 cos(5t arg tan 5) 3
所以 合成的复数表示为
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5
i ( 5 t arg tan )
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§3 简谐振动的合成 如果一质点的振动包含两个频率相同而有相位 差φ的简谐振动：
x1 A1 sin t x2 A2 sin(t )
我们来求它的合成运动，用代数方法虽然可 求，但很烦琐，用矢量相加方法求这个合成运动很 方便。
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合成后的位移矢量为：A A1 A2
复
数 表i(5示t 的)
5e 2
两
个
简
谐
振动分别为
和
，试求它们的
合成的复数表示式，并写出其实部与虚部。
解： x1 3ei5t i(5t ) x2 5e 2
显然是同频率振动，合成仍然为简谐振动。
X x1 x2 Aei(5t )
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Im[ x1

x2
周永清
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运动学——描述质点或系统的运动形态 （位移、速度、加速度、相位等）随时间变化 的规律的学科，不涉及受力情况。
更一般的说，从几何方面研究而不涉及物 理原因。
前边说的第二类分类方法就是从运动学角 度把系统的运动分为简谐振动、一般周期振动 等等。
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振动的运动学
§1 简谐振动参量 §2 谐振动的矢量表示法
提前φ/ω秒达到位移最大值。 x1(t)
A2 A1
注意：只有频率相同，相位 差φ才保持不变。
0
ωt
φ 关于超前的理解谁先达到波峰或波谷谁就是超前的。
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§2 简谐振动的矢量表示法及 复数表示法
描述简谐振动的数学表示方法有三种： 用三角函数的代数表示法
矢量表示方法
复数表示
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简谐振动：x＝Asinωt＝Im (z)＝Im〔Aeiωt〕简单 写成x＝Aeiωt 〔注意：不要理解成振动是复数〕
就是指他的虚部（虚部本身是个实数；例如 Im (z)=Asin ωt）
注意：振动现象本身是实际存在的，用复数表 示简谐振动指的是用其中的实部或虚部（我们这里 用虚部）来表示振动。
很重要
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4、小结 简谐振动有三种表示方法，其中代数方法x＝
Asinωt比较符合我们的习惯。但在表示同频率简 谐振动合成时，矢量表示方法有着物理概念清晰、 直观的优点。复数表示方法在求导运算中带来了方 便。这里再重复一遍，用矢量表示简谐振动，说的 是当矢量逆时针旋转时，它在垂直轴（或水平轴） 上的投影的变化可以代表简谐振动；用复数表示简 谐振动，说的是当复数矢量逆时针旋转时，它在虚 轴（或实轴）上投影，即虚部（或实部）的变化可 以代表简谐振动。
x

A2
A
A1

t
0
矢量 A的模即合成后的振幅可由余弦定理求得：
A A12 A22 2 A1 A2 cos(180 ) A12 A22 2 A1 A2 cos
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合成后振动矢量 A比 A1超前φ角
tg A2 sin A1 A2 cos

( 5 )2

A2
（2）
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9
5 由（1），（2）解得
T 2 2 2.81s 5
A 10.1cm
最大速度 vmax A 22.58cm / s
所以，振动周期 T 2.81s
所以 振动周期
振幅 A 10.1cm
最大速度
最大速度 vmax 22.58cm / s