离散数学 第七章：图论

或ek与vj关联。 顶点与顶点相邻：如果ek = (vi,vj) E，称vi与vj 若e 相邻； k为有向边，则称vi邻接到vj,
vj邻接于vi 。
边与边相邻：如果ek和ei至少有一个公共顶点关联，
则称ek与ei相邻。
平行边：ei与ej 有两个公共点 （无向图）
ei与ej 有两个公共点，且方向相同（有 向图）
例7.1.2 已知图G中有10条边，4个3度顶点，其余 顶点的度数均小于等于2，问G中至少有多 少个顶点？为什么？ 解：图中边数 m=10，由握手定理知，
G中各顶点度数之和为20，
4个3度顶点占去12度，还剩8度， 若其余全是2度顶点, 则需要4个顶点
来占用8度，所以G至少有8个顶点。
课后例题：7.5, 7.6。 习题：7.1, 7.2，7.3，7.4, 7.5，7.6, 7.7
点均在V1中的全体边为边集的G的子图，称 为V1导出的导出子图。（点的导出子图） (4) 设E1E，且E1，以E1为边集，以E1中边 关联的顶点的全体为顶点集的G的子图， 称为E1导出的导出子图。（边的导出子图）
例子1
a
a
{a,b,c}的导出子图
b c
c
b
a
d e
b
{(a,b),(a,d),(d,e)}的导出子图 注意：没有点c
证明：设vi … vk … vj为vi到vj的长度为L的一条通路， 则序列中必有L+1个顶点。 如果L>n–1，则 此通路的顶点数L+1>n，从而必有顶点vs ，它 在序列中不止出现一次，即有序列vi … vs … vs … vj 。 在路中去掉vs到vs的这些边，至少去掉 一条边后仍是vi到vj的一条通路。此通路比原来
三、正则图与完全图
正则图：各顶点的度都相同的图为正则图； 各顶点的度均为k的图为k次正则图。 完全图：
(1) 设G = < V,E >是n阶的无向简单图，如果
G中任何一个顶点都与其余n–1个顶点相邻，
则G为无向完全图，记作：Kn。
(2) 设D = < V,E >是n阶的有向简单图，如果D 中任意顶点u，vV(uv)，即有有向边 < u,v >，又有有向边< v,u >，则称D为n阶有 向完全图。
G的子图，记作： G' G。 (2) 若G‘G 且 V’=V，（顶点集相同，边集 相同或少边）则G'是G的生成子图。 生成子图子图 若G‘是G的生成子图，则G’一定是G的子图。
例子
G
G1
G2
G3
G4
G1，G2,G4是G的子图
G2，G4是G的生成子图
G3不是G的子图。
(3) 设V1V，且V1 ，以V1 为顶点集，以2端
(握手定理)
总和等于边数之和的两倍。
即 d (v) 2 | E |
vV
握手定理的推论：任何图中，度为奇数的顶 点个数一定为偶数。
例子
边：5 度之和：4+2+2+1+1=10
握手定理成立！
注：环代表两度
出度与入度的关系：在有向图中，各顶点的 出度之和等于各顶点的入度之和。
d (vi ) d (vi ) m
7.1
无向图及有向图
一、基本图类及相关概念
1. 无向图
称{{a,b} | aAbB} 无序积：设A，B为二集合，
为A与B的无序积，记作：A&B。 习惯上，无序对{a,b}改记成(a, b)
有序组(a,b)均用< a,b > 无序对满足(a, b)=(b, a)
无向图：无向图G是一个二元组< V,E >，其中
E1={(a,b),(a,b),(b,c),(b,c),(a,d),(b,d),(c,d)} E2={(v2,v2),(v1,v2),(v2,v3),(v1,v3),(v1,v3),(v1,v4)}
2. 有向图
有向图：有向图D是一个二元组< V,E >，其中 (1) V是非空集 ––– 顶点集 V(D)
(1) V是一个非空集 ––– 顶点集V(G)，每个元
素为顶点或结点；
(2) E是无序积V & V的可重子集(元素可重复出
现)，E ––– 边集E(G)，E中元素称为无向边,
即无序对。
如：
a v1 d
b c
v2
v5 v3
v4
G1=<V1,E1>, G2=<V2,E2>,
V1={a,b,c,d} V2={v1,v2,v3,v4,v5}
注：<d,c>≠<c,d>
3. 相关概念
图的概念
有限图：V：E 且 |V| = 1 n阶图：|V| = n
n阶m图：|V| = n 且 |E| = m
例子
5阶5图
b
5阶零图
a c
平凡图
悬挂边 悬挂点
e d
孤立点
3. 相关概念
点边关系
顶点与边关联：如果ek = (vi,vj) E，称ek与vi关联，
例7.1.4 画出3个顶点2条边的所有可能非同构的
有向简单图。
解： 3个顶点2条边的无向简单图只有一个：
由这个图可派生出下列4个非同构的有向简单图：
自补图：若G ~G ，则G为自补图
与
互补且同构
与
互补且同构
图G为自补图的必要条件：
对于n阶图G， 若G自补，则G一定有n(n-1)/4
条边。（n=4k或n=4k+1,k≥1）
(2) E是笛卡尔积VV的可重子集，
其元素为有向边，即有序对 在有向图中需要注意E中边的方向，由第 一元素用方向线段指向第二元素。 第一个元素通常称作始点。 第二个元素通常称作终点。
如：
G=<V,E> V={a,b,c,d} E={<a,a>,<a,b>,<a,b>,<a,d>,<d,c>,<c,d>,<c,b>}
环： ek = < vi,vj > 中，若 vi = vj，则ek称为环。
环 不是平行边 环
平行边 平行边
简单图与多重图
简单图：既不包含平行边又不包含环 的图。
多重图：包含平行边 的图。
二、度
度：(1) 在无向图G = < V, E >中，与顶点v(vV)
关联的边的数目(每个环计算两次)，记 作：d(v)。
如：
K4
K5
三阶有向完全图
计算问题：
（1）无向完全图共有n(n-1)/2条边，每个顶 点的度数为n-1。 （2）有向向完全图共有n(n-1)条边，每个顶
点的入度为n-1，每个顶点的出度为n-1。
四、子图与母图：
(1) G = < V,E >， G' = < V' , E' >
若V'V， E'E，则G是G'的母图， G'是
存在 g:VV' 满足：
(1) 任意边e = (vi,vj)E，当且仅当e' = (g(vi),g(vj))E' (2) e与e'的重数相同 则说G G' 由于同构图顶点之间一一对应，边之间一一对应， 关联关系对应相同，所以可以看成同一个图。
图的同构
• 例如下图(a)、(b)、(c)、(d)所示，图(a)、图(b) • 、图(c)和图(d)所表示的图形实际上都是一样的。
通路的长度至少少1。如此重复下去，必可得 到一条从vi到vj的不多于n–1条边的通路。
(2) 在n阶图中，如果从vi到vj (vivj)存在通路，则 必存在从vi到vj 的长度小于等于 n–1的初级通路。 (3) 在n阶图中，如果存在从vi到自身的回路，则 从vi 到自身存在长度等于n的回路。
(4) 在n阶图中，如果从vi到自身存在一条简单回
初级通路一定是简单通路，但简单通路不一定是一
条初级通路。
例子
v6
v1
e6 e1 v1 v2 e2 v3 e5 v5 e4 e3
v3 e5 v5 e3 e4 e2 e5 v4
v4
e1
v2
长度为6的简单通路
e1 v1 v2 e2 v3 e3
长度为6的简单通路
v1 e1 v2
e4
v4
e2
v3
e3
v4
长度为3的初级通路
路，则从vi 到自身存在长度等于n的初级回路。
三、顶点的连通性
两顶点连通：u,v为无向图G的两个顶点，u到v
存在一条通路。规定vi到自身总
是连通的.
两顶点可达：u,v为有向图G的两个顶点，u到v
存在一条通路。规定vi到自身总 是可达的.
连通性的性质：无向图中顶点之间的连通关系是
顶点集V上的等价关系。
证明： (1) 自反性：由于规定任何顶点到自身总是连通的； (2) 对称性：无向图中顶点之间的连通是相互的； (3) 传递性：由连通性的定义可知。
d
e
例子2
a
a b
b
{a,b,c}的导出子图
c
c
d
a
b
{<a,b>,<b,a>,<c,d>}的导出子图
c d
五、补图
补图：给定一个图G = < V,E >，以V为顶点集， 以所有能使G成为完全图的添加边为边集
组成边集的图。记作：～G
如:下图中(1)与(2), (3)与(4)互为补图
六、同构图
图同构：对于G = < V,E >，G' = < V' ,E' >，如果