第九章傅立叶变换与频域分析

e ( n ) = [ 2 , 5 , 9 ,12 , 9 , 5 ]
循环卷积 f ( n ) = 如表9.2所示。
m =0
∑ x ( m ) y (( n − m ))
4
5
R5 (n)
，用表格法来计算，
17
表9.2 表格法求循环卷积
离散傅立叶变换的导出有多种方法，比较方便，同时 物理意义也比较清晰，是从离散时间傅立叶变换 （DTFT）和从离散傅立叶级数（DFS）入手。
5
【例9-1】试计算常用信号 RN (n)和 4π cos( n) R (n) 的N点DFT。 N
N
解：
N,k = 0 2π 2π N−1 −j kn −j kN X1(k) = ∑RN (n)e N = 1−e N = Nδ(k),0 ≤ k ≤ N −1 , , n=0 −j 2π k = 0,k =12L N −1 1−e N
(9-3)
利用 E(k),F(k)的隐含周期性可以得到 X (k) 另外一半值. 从而得到N点DFT分解计算式：
k X (k ) = E (k ) + WN F (k ) 0 ≤ k ≤ N / 2 −1 k X (k + N / 2) = E (k ) − WN F (k ) 0 ≤ k ≤ N / 2 − 1
a，b为任意常数。如果两个序列的长度不同 则短的序列补零使得两个序列长度相同即 可。
12
2.时间翻转特性 时间翻转特性
DFT [ x ( N − n)] = X ( N − k )
DFT 证明： [ x( N − n)] = ∑ x( N − n)WNnk = ∑ x(m)WN( N −m) k = ∑ x(m)WNm( N −k )
N −1 2π 2π 2π
−j kn 4π 1 N −1 − j N n ( k − 2 ) 1 N −1 − j N n ( 2+ k ) X 2 (k ) = ∑ cos( n)e N = ∑ e + ∑e N 2 n =0 2 n =0 n =0
N 1 N −1 − j N n ( 2+ k − N ) N X 2 ( k ) = δ ( k − 2) + ∑ e = [δ (k − 2) + δ (k − ( N − 2))],0 ≤ k ≤ N − 1 2 2 n =0 2
【例9-2】设有两序列分别为
x ( n ) = [1，1], 1， y ( n ) = [ 2 ,3 , 4 ,5 ]
2 2
求它们的线性卷积和5点循环卷积。 5 解：线性卷积 e(n) = ∑ x(m) y(n − m) = ∑ y(n − m) ,直接计算得
到6点序列值：
m =0
m =0
e(0) = 2 e(1) = 5 e( 2) = 9 e(3) = 12 e( 4) = 9 e(5) = 5
−1
图9-2 蝶形流图
第三节 傅立叶变换的性质
（Properties of the Fourier Transform） Transform）
设序列和都是N点长，它们对应的N点DFT 分别为 X (k ) 和 Y (k ),来讨论傅立叶变换的一 些性质。 1. 线性
DFT ax(n) + by(n)] = aX(k) + bY(k),0 ≤ k ≤ N −1 [
第九章傅立叶变换与频域分析
傅立叶变换及其意义（ 第一节 傅立叶变换及其意义（Fourier Transform） ） 快速傅立叶变换（ Transform） 第二节 快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform） 傅立叶变换的性质（ 第三节 傅立叶变换的性质（Properties of the Fourier Transform） ） 第四节 频域分析（Frequency Domain analysis） 频域分析（ ） 频域分辨率和谱图表示（ 第五节 频域分辨率和谱图表示（Frequency Resolution in Frequency Domain） ） 幅值平方相干函数（ 第六节 幅值平方相干函数（Magnitude-Squared Coherent Function） ） 频域滤波（ 第七节 频域滤波（Filtering in Frequency Domain） ）
设序列的长度N＝2m，其中m为正整数，如果不满 足该条件，可以通过补零方法来达到该条件。既 然点长为偶数，就先把序列分成两组，偶数项为 一组，奇数项为一组，分别用两个序列来表示：
e(r ) = x(2r ) f (r ) = x(2r + 1)
N −1 n =0
N 0 ≤ r ≤ −1 2来自百度文库
式中 ⊗ 表示循环卷积运算符，式中 ∗表示线性卷积运算符。循环 卷积和线性卷积存在一定关系，由第六章知道，循环卷积 是N点循环卷积结果，(n)序列长度为N，线性卷积 e(n) 序列长 f 度为2N－1。假设序列 f 1 ( n ) 是 x ( n ), y ( n ) 两 个序列的L点循环卷 积，L>N，就需要对 x(n), y(n) 补零，然后以L为周期进行周期 延拓, 则它们的L点循环卷积为：
f (r )WNk 2 r
N / 2 −1
∑
2 k e(r )WN rk + WN
N / 2 −1
∑
r =0
根据的可约性，有
X (k ) =
N / 2 −1
2 rk WN rk = WN / 2
N / 2 −1 k N
，上式变成：
(9-2)
∑
r =0
e(r )W
rk N /2
+W
∑
r =0
k f (r )WNkr/ 2 = E (k ) + WN F ( k )
1 DFT [ x ( n ) y ( n )] = N
∑ X ( l )Y (( k − l ))
l=0
N −1
N
R N (k )
时域循环卷积对应于DFT的相乘，注意不要和线性卷积混淆， 两个序列线性卷积对应于DTFT的相乘：
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DFT [ x(n) ⊗ y (n)] = DFT [ f (n)] = X (k )Y (k ) DTFT [ x(n) ∗ y (n)] = DTFT [e(n)] = X (e jw )Y (e jw )
∑ ∑ x(m) y(n + kL − m)R
+∞
L −1
L
( n) =
k = −∞
∑ e(n + kL) R
+∞
L
( n)
(9-6)
16
式（9－6）表示循环卷积是线性卷积以L为周期进行周期延 拓，然后取L点主值的结果。明显，如果 L ≥ 2 N − 1线性卷积 就等于循环卷积结果，如果 L < 2 N − 1 ,则循环卷积是线性卷积 以L为周期延拓的混叠。
其中 E (k ), F (k ) 分别为
N / 2 −1 rk E (k ) = ∑ e(r )W N / 2 r =0 N / 2 −1 rk F (k ) = ∑ f (r )W N / 2 r =0
e(r ), f (r ) 的N/2点DFT：
0 ≤ k ≤ N / 2 −1 0 ≤ k ≤ N / 2 −1
(9-4)
将式（9-4）用信号流图表示，如图9-2，左边表示输入， 右边表示输出，支路上的箭头表示乘法运算，乘的因 子只对有相位变换而没有幅度变换，所以被称为旋转 因子，由于此图像蝴蝶，故称为蝶形运算。一个蝶形 运算只包括一次复数乘法、两次复数加法。
E(k) X (k)
F(k)
k WN
X (k + N / 2)
2π
WN = e
周期性:
n N
−j
2π N
旋转因子具有下列性质：
W =W
n N
n + rN N
共轭对称性:
W = (W )
m N n N /r
−n * N
可约性:
W =W
W =W
m rN
m N
第二节 快速傅立叶变换
（Fast Fourier Transform） Transform）
FFT是对计算DFT的快速算法的总称，FFT算 法很多，最经典的一种就是库利－图基算法， 包括基于时间抽选和频率抽选的以二为基底 的FFT算法；由以二为基底发展了任意基数 的FFT算法。
~ ( n ) y
L −1
L
=
k = −∞
L −1 +∞
∑
+∞
y ( n
+
kL
)
f 1 (n) = ∑ ~ ( m) L ~ ( n − m) L R L ( n) = ∑ x(m) ∑ y ( n + kL − m) R L (n) x y
m =0 m =0 k = −∞
=
k = −∞ m = 0
(9-1)
则N点DFT运算也相应分为两组：
nk X (k ) = DFT ( x(n)) = ∑ x( n)WN =
∑
n为偶数
nk x(n)WN +
∑
n为奇数
x(n)WNnk
=
=
N / 2 −1
∑
r =0
r =0
x(2r )W
2 rk N
+
N / 2 −1
∑
r =0
x(2r + 1)WNk (2 r +1)
即序列的循环移位相当于频域的相移。 即序列的循环移位相当于频域的相移。根据时域和频 域的对偶性质，则频域的循环移位对应时域的调制： 域的对偶性质，则频域的循环移位对应时域的调制：
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mn W N x ( n) = IDFT [ X ((k + m)) N R N ( k )]
4.循环卷积 循环卷积
9.1.2 离散傅立叶变换（DFT）
X (k ) = DFT[ x(n)] = ∑ x(n)e
n=0 N −1 −j 2π kn N
,0 ≤ k ≤ N − 1
j nk 1 N −1 x(n) = IDFT[ X (k )] = ∑ X (k )e N ,0 ≤ n ≤ N − 1 N k =0
2π
第六章介绍了循环卷积的计算，这里考虑时域循环卷积 F ( k ) = X ( k )Y ( k ) 结果和频域的关系。设 N −1 则有: f (n) = ∑ x(m) y ((n − m)) N R N ( n) (9-5) m =0 通常把式（9-5）称为循环卷积，它的结果仍然是N点长的序列, 循环卷积交换序列的先后次序得到的结果都相同。时域和频 域的对偶关系，可以得到频域循环卷积对应时域相乘：
第一节 傅立叶变换及其意义 （Fourier Transform） ）
9.1.1 傅立叶变换的意义及各种变换对
x(n) e jw0 n x(n)
Ak e jwk n ∑
k
y (n)
H (e jw )
H (e jw0 )e jw0 n
图9.1
y (n)
H (e jw )
Ak H (e jwk )e jwk n ∑
13
上式表示的含义为，先将序列 x (n) 以N为周期进行周期 ~ 性延拓，得到 x ( n) ，然后再进行移 位，得 x 到 ~ ( n + m ) = x (( n + m )) N ，最后取主值序列，得到 f (n) 仍 然是一个N点长的序列。
N −1 n=0
循环移位后的DFT为:
F ( k ) = DFT [ f ( n )] = ∑ x (( n + m )) N W Nnk R N ( n ) = W N− mk X ( k )
n =0 m =1 m =1 N −1 N N
这里需要补充 x ( N ) =
x ( 0 ) 因而有 DFT [ x ( N − n)] = X ( N − k )
3.序列的循环移位 序列的循环移位 序列的循环移位在第六章详细介绍过， 这里简单给出循环移位的定义：
f (n) = x((n + m)) N R N (n)
~ nk − − = RN (k )∑ ~(n + m)WN = RN (k ) DFS[ ~(n + m)] = RN (k )WN mk X (k ) = WN mk X (k ) x x
n =0
N −1
F ( k ) = W N− mk X ( k )
因此，序列循环移位后的DFT为：
− F ( k ) = W N mk X ( k )
k
如果一个LTI系统的输入可以表示为周期复指数的线性 组合，则输出也一定能表示成这种形式，并且输出线性 组合中的加权系数与输入中对应的系数有关。 2
各种信号的傅立叶级数和傅立叶变换对 ：
傅立叶变换的意义 把一个无论多复杂的输入信号分解成 复指数信号的线性组合，那么系统的输出 也能通过图9.1的关系表达成相同复指数信 号的线性组合，并且在输出中的每一个频 率的复指数函数上乘以系统在那个频率的 频率响应值。 一个域离散必然另外一个域周期，相反的， 如果一个域连续必然另外一个域是非周期 的。