小学奥数 数论问题 第八讲 提高篇之数论综合

第八讲提高篇之数论综合

课上习题

【例1】有一个正整数，它加上100后是一个完全平方数，加上168后也是一个完全平方数。这个正整数是多少？

【例2】已知甲、乙两个自然数的最大公约数是6，两数之和为1998。满足上述条件的数一共有多少组？

【例3】数学老师把一个两位数的约数个数告诉了小悦，聪明的小悦仔细思考了一下后算出了这个数。同学们，你们知道这个数可能是多少吗？

课后习题

基础篇

【闯关1】26460 的所有的约数中，6 的倍数有多少个？与6 互质的有多少个？

【闯关2】11 个连续两位数乘积的末4 位都是0，那么这11 个数的总和最小是多少？

提高篇

【闯关3】一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如23-

2

16 ，16 就是一个“智慧数”。请问：从1 开始的自然数数列中，第2008 个“智慧

5

数”是多少？

【闯关4】已知三个互不相等的正整数成等差数列，且三个数的乘积是完全平方数，那么这三个数的和最小是多少？

巅峰篇

【闯关5】有4 个互不相同的三位数，它们的首位数字相同，并且它们的和能被它们之中的3 个数整除。请写出这4 个数。

第八讲提高篇之数论综合

课后习题：

基础篇

【闯关1】26460 的所有的约数中，6 的倍数有多少个？与6 互质的有多少个？

解析：26460÷6=4410=2×3^2×5×7^2约数个数（1+1）（2+1）（1+1）（2+1）=36。

26460 除去2 与3 的因数，剩下为5×7^2，约数个数6 个，这6 个均与6 互质。

【闯关2】11 个连续两位数乘积的末4 位都是0，那么这11 个数的总和最小是多少？

解析：11 个连续两位数，至多3 个5 的倍数，那么还有1 个25 的倍数。把25 放最后一个是最小，这八个数为15～25。

提高篇

【闯关3】一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如23-

2

16 ，16 就是一个“智慧数”。请问：从1 开始的自然数数列中，第2008 个“智慧

5

数”是多少？

解析：所有的奇数均可，a^2-b^2=(a-b)(a+b),所有4 的倍数均可，所有除以4 余2 的均不行。2008÷3=669……1,669×4=2676,2676+4=2680

所以第2008个智慧树是2680

【闯关4】已知三个互不相等的正整数成等差数列，且三个数的乘积是完全平方数，那么这三个数的和最小是多少？

解析：假设三数为k，2k，3k，乘积是6k^3，只要令k=6 即满足

此时三数分别是6，12，18

巅峰篇

【闯关5】有4 个互不相同的三位数，它们的首位数字相同，并且它们的和能被它们之中的3 个数整除。请写出这4 个数。

解析：设为a、b、c、d，和是a、b、c 的倍数，且a

①和=5a=4b=3c a:b:c=12:15:20

8 份<100，1 份≤12，a=108，b=135，c=180，d=117。

②和=6a=5b=4c a:b:c=20:24:30

10 份<100，1 份≤9，无解

综上所述，这四个数是108,135,180,117