立体几何线面平行问题.

a

b 1

A

A

β

α

m

l

a

α

a

α一、知识点

1 1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有

公共点；（3）异面——不在任何．．

一个平面内，没有公共点； 2. 公理4 ：推理模式：//, ////a b b c a c ⇒．

3. 等角定理：

4. 等角定理的推论:若两条相交直线和另两条相交直线分别平行, 那么这两条直线所成的锐角(或直角相等.

5. 空间两条异面直线的画法 6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，推理模式：, , , A B l B l ααα∉∈⊂∉⇒A B 与l 7．异面直线所成的角：已知两条异面直线, a b ，经过空间任一点O 作直线//, //a a b b ''，, a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把, a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线, a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 2

,

0(π

8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线, a b 垂直，记作a b ⊥．

9．求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（210．两条异面直线的公垂线、距离：和两条异面直线都垂直相交．．．．异面直线的的定义要注意“相交11．异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．

12．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共

点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直

线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分

类．它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a α⊂，a A α= ，//a α．

13．线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：, , ////l m l m l ααα⊄⊂⇒．

14. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面

相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：//, , //l l m l m αβαβ⊂=⇒．

二、基本题型

1．判断题（对的打“√”，错的打“×”）

（1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条（）

（2）两线段AB 、CD 不在同一平面内，如果AC =BD ，AD =BC ，则AB

⊥CD （）（3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60º（）（4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直（

）

2．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中

①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60º角；④DM 与BN 垂直. 以上四个命题中，正确命题的序号是（）（A ）①②③（

B ）②④（

C ）③④（

D 3．已知空间四边形ABCD.(1求证：对角线AC 与BD 是异面直线;(2若AC ⊥BD,E,F,G ,H 分别这四条边AB,BC,CD,DA 的中点, 试判断四边形EFGH 的形状;(3若AB

＝BC ＝CD ＝DA, 作出异面直线AC 与BD 的公垂线段.

4．完成下列证明，已知直线a 、b 、c 不共面，它们相交于点P ，A ∈a ，D ∈a ，B ∈b ，E ∈c 求证：BD 和AE 证明：假设__ 共面于γ，则点A 、E 、B 、D 都在平面__ A ∈a ，D ∈a ，∴__⊂γ. P ∈a ，∴P ∈__.

P ∈b ，B ∈b ，P ∈c ，E ∈c ∴__⊂γ，__⊂γ，这与____矛∴BD 、

5 , , , E F G H 分别是空间四边形四条边, , , AB BC CD DA 的中点，（1）求证四边形E F G H 是

2）若AC ⊥BD 时，求证：E F G H 为矩形；（3）若BD =2，AC =6，求2 2

HF

EG

+；（4）

若AC 、BD 成30º角，AC =6，BD =4，求四边形E F G H 的面积；（5）若AB =BC =CD =DA =AC =BD =2，求AC 与BD 间的距离.

6 间四边形A B C D 中，2A D B C ==，, E F 分别是, A B C D 的中点，

EF =, AD BC 7. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 求(1A1B 与B 1D 1所成角;(2AC与BD 1所成角.

8．在长方体D C B A ABCD '''-中，已知AB=a，BC=b，A A '=c(a＞b ，求异面直线B D '与AC

9．如图，已知P 是平行四边形A B C D 所在平面外一点，M 、N 分别

是A B 、P C 1）求证：//M N 平面PAD ；（2）若4M N B C ==，PA = 求异面

直线P A 与M N 10．如图, 正方形A B C D 与ABEF 不在同一平面内, M 、N 分别在A C 、B F 上，且A M F N =求证：//M N 平面C B E F

C

参考答案：

1. （1）×（2）×（3）√ （4）×

2. C

3. 证明：(1∵ABCD 是空间四边形, ∴A 点不在平面BCD 上, 而C ∈平面BCD, ∴AC 过平面BCD 外一点A 与平面BCD 内一点C, 又∵BD ⊂平面BCD, 且C ∉BD. ∴AC 与BD 是异面直线. (2解如图, ∵E,F 分别为AB,BC 的中点, ∴EF//AC,且

EF=2

1AC.

同理HG//AC,且HG=

2

1AC. ∴EF 平行且相等HG , ∴EFGH 是平行四边形.

又∵F,G 分别为BC,CD 的中点, ∴FG//BD,∴∠EFG 是异面直线AC 与BD 所

成的角.

∵AC ⊥BD, ∴∠EFG=90o

. ∴EFGH 是矩形.

(3作法取BD 中点E,AC 中点F, 连EF , 则EF 即为所求.

4. 答案：假设BD 、AE 共面于γ，则点A 、E 、B 、D 都在平面γ ∵A ∈a ，

D ∈a ，∴ a ⊂γ. ∵P ∈a ，P ∈ γ .

∵P ∈b ，B ∈b ，P ∈c ，E ∈c. ∴ b ⊂γ，c ⊂γ，这与a 、b 、c ∴BD 、AE 5. 证明（1）：连结, AC BD ，∵, E F 是A B C ∆的边, AB BC 上的中点，∴//E F A

C ，同理，//H G A C ，∴//E F H G ，

同理，//E H F G ，所以，四边形E F G H 证明（2）：由（1）四边形E F G H ∵//E F A C ，//E H B D ，∴由AC ⊥BD 得，EF EH ⊥，∴E F G H 为矩形.