高中数学竞赛试卷及详细解答
2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2023年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

暨2023年全国高中数学联合竞赛加试试题(模拟4)一.(本题满分40分)如图,ABC D 的外接圆为ω,P 为BC 边上一点,满足APB BAC Ð=Ð.过点A 作ω的切线交ABP D 的外接圆于点Q ,Q 关于AB 中点的对称点为T ,AT 交QP 于点D .证明:111AB AC CD+>.(答题时请将图画在答卷纸上)二.(本题满分40分)设c 是非负整数.求所有的无穷正整数数列{}n a ,满足:对任意正整数n ,恰存在n a 个正整数i 使得1i n a a c +≤+.三.(本题满分50分)设正整数6n ≥,图G 中有n 个顶点,每个顶点的度数均至少为3.设12,,,k C C C 是G 中所有的圈,求12gcd(,,,)k C C C 的所有可能值,其中C 表示圈C 中顶点的个数.四.(本题满分50分)对非负整数,a b ,定义位异或运算a b ⊕,是唯一的非负整数,使得对每个非负整数k ,222k k k a b a b ⊕⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦都是偶数.例如:2229101001101000113⊕=⊕==.求所有正整数a ,使得对任意整数0x y >≥,都有x ax y ay ⊕≠⊕.暨2023年全国高中数学联合竞赛加试(模拟4)参考答案及评分标准说明:1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分.2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次,不得增加其他中间档次.一.(本题满分40分)如图,ABCD的外接圆为ω,P为BC边上一点,满足APB BACÐ=Ð.过点A作ω的切线交ABPD的外接圆于点Q,Q关于AB 中点的对称点为T,AT交QP于点D.证明:111AB AC CD+>.(答题时请将图画在答卷纸上)二.(本题满分40分)设c 是非负整数.求所有的无穷正整数数列{}n a ,满足:对任意正整数n ,恰存在n a 个正整数i 使得1i n a a c +≤+.三.(本题满分50分)设正整数6n ≥,图G 中有n 个顶点,每个顶点的度数均至少为3.设12,,,k C C C 是G 中所有的圈,求12gcd(,,,)k C C C 的所有可能值,其中C 表示圈C 中顶点的个数.四.(本题满分50分)对非负整数,a b ,定义位异或运算a b ⊕,是唯一的非负整数,使得对每个非负整数k ,222k k k a b a b ⊕⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦都是偶数.例如:2229101001101000113⊕=⊕==.求所有正整数a ,使得对任意整数0x y >≥,都有x ax y ay ⊕≠⊕.。
高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案一、选择题(每题3分,共15分)1. 下列哪个数不是有理数?A. πB. √2C. 1/3D. -3.142. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1,求f(-2)的值。
A. -1B. 3C. 5D. 73. 一个圆的半径为5,它的面积是多少?A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 已知等差数列的首项为3,公差为2,求第5项的值。
A. 11B. 13C. 15D. 175. 以下哪个是二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的根?A. 2B. 3C. -2D. -3二、填空题(每题4分,共20分)6. 一个三角形的内角和为______度。
7. 若a,b,c是三角形的三边,且a^2 + b^2 = c^2,则此三角形是______三角形。
8. 一个正六边形的内角为______度。
9. 将一个圆分成4个扇形,每个扇形的圆心角为______度。
10. 若sinθ = 1/2,且θ在第一象限,则cosθ = ______。
三、解答题(每题10分,共65分)11. 证明:对于任意实数x,等式e^x ≥ x + 1成立。
12. 解不等式:2x^2 - 5x + 3 > 0。
13. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2,求前n项和Sn。
14. 求函数y = x^3 - 3x^2 + 2x的极值点。
15. 已知椭圆的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1(a > b > 0),求椭圆的焦点坐标。
四、附加题(10分)16. 一个圆内接正六边形的边长为a,求圆的半径。
答案一、选择题1. A2. B3. B4. C5. A二、填空题6. 1807. 直角8. 1209. 9010. √3/2三、解答题11. 证明:设g(x) = e^x - (x + 1),则g'(x) = e^x - 1。
当x < 0时,g'(x) < 0,当x > 0时,g'(x) > 0。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联合竞赛一试(A 卷)参考答案及评分标准说明:1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题5分为一个档次,不得增加其他中间档次.一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分.1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ,则32log (log )m 的值为 . 答案:4049.解:323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m .2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q .若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和,则2a 的取值范围是 .答案:1,0(0,2)4. 解:因为数列{}n a 的各项和为11a q,注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列,于是2{}n a 的各项和为2121a q. 由条件知211211a a q q,化简得11a q . 当(1,0)(0,1)q 时,22111(1),0(0,2)244a q q q . 3. 设实数,ab 满足:集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9],则a b 的值为 .答案:7.解:由于2210(5)25x x a x a ,故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间,而B 是至多有一个端点的区间,所以必有[1,9]A ,故9a .进一步可知B 只能为[4,) ,故0b 且34b b ,得2b .于是7a b .4. 在三棱锥P ABC 中,若PA 底面ABC ,且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4,则该三棱锥的体积为 .答案:34. 解:由条件知PA AB ,PA AC .因此PA AC .在ABC 中,22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ,故sin B .所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ,故其体积为1334ABC V S PA . 5. 一个不均匀的骰子,掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次,所得的点数分别记为,a b .若事件“7a b ”发生的概率为17,则事件“a b ”发生的概率为 . 答案:421. 解:设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p .由于126,,,p p p 成等差数列,且1261p p p ,故16253413p p p p p p . 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p . 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p . 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p . 由于117P ,所以21143721P . 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数.若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25,则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 .答案:11.解:记2x t ,则当[0,5)x 时,[1,32)t ,且t 随x 增大而严格增大.因此,()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数.注意到()f t 有最小正周期5,设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点,则()f t 在[2,32)上有6m 个零点,又设()f t 在[1,2)上有n 个零点,则625m n ,且0n m ,因此4,1m n .从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数,即311m n .7. 设12,F F 为椭圆 的焦点,在 上取一点P (异于长轴端点),记O 为12PF F 的外心,若12122PO F F PF PF ,则 的离心率的最小值为 .答案 解:取12F F 的中点M ,有12MO F F ,故120MO F F . 记1212,,PF u PF v F F d ,则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u , 222121222cos PF PF uv F PF u v d ,故由条件知222222v u u v d ,即22232u v d . 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v (当3v u 时等号成立).所以 的离心率d e u v .当::u v d 时, 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8,且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8,则称(,,)a b c 为“幸运数组”,例如(9,8,202400)是一个幸运数组.满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 .答案:591.解:对于幸运数组(,,)a b c ,当10a b c 时,分两类情形讨论. 情形1:a 是两位数,,b c 是三位数.暂不考虑,b c 的大小关系,先在,,a b c 的非最高位(五个位置)中选三个位置填0,剩下五个位置还未填,任选其中两个填2,最后三个位置填写4,8,9,这样的填法数为3255C C 3!600 .再考虑其中,b c 的大小关系,由于不可能有b c ,因此b c 与b c 的填法各占一半,故有300个满足要求的幸运数组.情形2:,a b 是两位数,c 是四位数.暂不考虑,a b 的大小关系,类似于情形1,先在,,a b c 的非最高位(五个位置)中选三个位置填0,剩下五个位置填2,2,4,8,9,这样的填法数为600.再考虑其中,a b 的大小关系.若a b ,则必有20a b ,c 的四个数字是0,4,8,9的排列,且0不在首位,有33!18 种填法,除这些填法外,a b 与a b 的填法各占一半,故有600182912个满足要求的幸运数组. 综上,所求幸运数组的个数为300291591 .二、解答题:本大题共3小题,满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9. (本题满分16分) 在ABC 中,已知sin cos sin cos cos 22A AB B C,求cos C 的值.解:由条件知cos 44C A B. …………4分 假如44A B,则2C ,cos 0C ,但sin 04A ,矛盾. 所以只可能44A B .此时0,2A B ,2C A . …………8分注意到cos 04C A ,故2C ,所以,42A B ,结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ,又cos 0C ,化简得28(12cos )1C ,解得cos C…………16分 10.(本题满分20分)在平面直角坐标系中,双曲线22:1x y 的右顶点为A .将圆心在y 轴上,且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”.若两个好圆外切于点P ,圆心距为d ,求d PA 的所有可能的值. 解:考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r .由0 与 的方程消去x ,得关于y 的二次方程2220002210y y y y r .根据条件,该方程的判别式22200048(1)0y y r ,因此220022y r .…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ,显然P 在y 轴上.设(0,)P h ,12, 的半径分别为12,r r ,不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ,则有2211()22h r r ,2222()22h r r .两式相减得2212122()h r r r r ,而120r r ,故化简得122r r h. …………10分 进而221211222r r r r ,整理得 221122680r r r r .① 由于12d r r ,(1,0)A ,22212()114r r PA h ,而①可等价地写为2212122()8()r r r r ,即228PA d ,所以d PA…………20分 11.(本题满分20分)设复数,z w 满足2z w ,求2222S z w w z 的最小可能值.解法1:设i (,)z a b a b R ,则2i w a b ,故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ,22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b . ①…………5分记1t a .对固定的b ,记255B b ,求22()(4)f t t B t B 的最小值.由()(4)f t f t ,不妨设2t .我们证明0()()f t f t ,其中0t . 当0[2,]t t 时,04[2,4]t t ,22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 (用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增). …………10分当0[,)t t 时,22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 (用到04t t ). …………15分所以200()(4)1616S f t B t .当0b (①取到等号),011a t 时,S 取到最小值16.…………20分解法2:设1i,1i (,)R z x y w x y x y ,不妨设其中0x . 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ,2222(41)(24)i w z x x y x y .所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y . …………5分利用a b a b ,可得8S x ,① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x . ②…………10分注意到方程282(1)x x 2.当2x 时,由①得816S x .当02x 时,由②得222(1)2(12))16S x .因此当2,0x y 时,S 取到最小值16. …………20分 解法3:因为2w z =−,所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−,33+的距离,所以把i z x y =+换成其实部x 时,都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<,因此我们有以下几种情况:1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+;2.若(13x∈−−,则()88f x x=−+,在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−,则2()24f x x x=−+,在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+;4.若13x∈− ,则()88f x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−+=−+;5.若3x≥+,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述,所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。
数学竞赛高一试题及答案

数学竞赛高一试题及答案一、选择题(每题5分,共10分)1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \),求\( f(-1) \)的值。
A. 4B. 6C. 8D. 102. 一个圆的半径为5,求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π二、填空题(每题5分,共10分)3. 已知\( a \)、\( b \)、\( c \)为三角形的三边长,且\( a^2 + b^2 = c^2 \),这个三角形是________。
4. 将\( 1 \)、\( 2 \)、\( 3 \)三个数字排列成三位数,所有可能的组合数是________。
三、解答题(每题15分,共30分)5. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \),\( a_{n+1} = a_n + 2n \),求\( a_5 \)。
6. 一个直角三角形的斜边长为\( 5 \),一条直角边长为\( 3 \),求另一条直角边长。
四、证明题(每题15分,共30分)7. 证明:对于任意正整数\( n \),\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 \)。
8. 证明:若\( a \)、\( b \)、\( c \)是三角形的三边长,且\( a^2 + b^2 = c^2 \),则这个三角形是直角三角形。
五、综合题(每题15分,共20分)9. 一个工厂计划在一年内生产\( x \)个产品,已知生产每个产品的成本是\( 10 \)元,销售每个产品的价格是\( 20 \)元。
如果工厂希望获得的利润不少于\( 10000 \)元,求\( x \)的最小值。
10. 已知函数\( g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \),求\( g(x) \)的极值点。
答案:一、选择题1. 答案:B. 6(计算方法:\( f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6 \))2. 答案:B. 50π(计算方法:圆面积公式为\( πr^2 \),代入\( r = 5 \))二、填空题3. 答案:直角三角形4. 答案:6(排列组合方法:\( 3 \times 2 \times 1 = 6 \))三、解答题5. 答案:\( a_5 = 1 + 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) = 1 + 2 + 4 +6 + 8 = 21 \)6. 答案:根据勾股定理,另一条直角边长为\( 4 \)(计算方法:\( 5^2 - 3^2 = 4^2 \))四、证明题7. 证明:根据等差数列求和公式,\( 1 + 2 + ... + n =\frac{n(n+1)}{2} \),立方后得到\( \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \),展开后即为\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 \)。
高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案1. 已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \),求 \( f(x) \) 在区间 \([0, 3]\) 上的最大值和最小值。
答案:首先求导数 \( f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \),令 \( f'(x) = 0 \) 得 \( x = 1 \) 或 \( x = \frac{2}{3} \)。
计算 \( f(0) = 0 \),\( f(1) = 0 \),\( f(\frac{2}{3}) = \frac{2}{27} \),\( f(3) = 6 \)。
因此,最大值为 6,最小值为 0。
2. 计算极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{x^2} \)。
答案:使用洛必达法则,首先求导得到 \( \frac{e^x + \sinx}{2x} \),再次求导得到 \( \frac{e^x + \cos x}{2} \)。
当 \( x \to 0 \) 时,极限为 \( \frac{1}{2} \)。
3. 证明不等式 \( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots +\frac{1}{2n} \geq \frac{1}{2} \ln 2 \) 对所有正整数 \( n \) 成立。
答案:利用调和级数的性质,将不等式左边的和表示为\( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} \)。
通过放缩和积分估计,可以证明该不等式成立。
4. 已知三角形 \( ABC \) 的内角 \( A, B, C \) 满足 \( A + B +C = \pi \),且 \( \sin A + \sin B + \sin C =\frac{3\sqrt{3}}{2} \),求 \( \cos A + \cos B + \cos C \) 的值。
答案:利用三角恒等式 \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) 和\( \sin x \) 的和为 \( \frac{3\sqrt{3}}{2} \),通过平方和展开,可以求得 \( \cos A + \cos B + \cos C = -\frac{3}{2} \)。
数学竞赛试题及答案高中生

数学竞赛试题及答案高中生试题一:代数问题题目:已知\( a, b \) 是方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \) 的两个实根,求 \( a^2 + 5a + 6 \) 的值。
解答:根据韦达定理,对于方程 \( x^2 + bx + c = 0 \),其根\( a \) 和 \( b \) 满足 \( a + b = -b \) 和 \( ab = c \)。
因此,对于给定的方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \),我们有 \( a + b =-5 \) 和 \( ab = 6 \)。
由于 \( a \) 是方程的一个根,我们可以将 \( a \) 代入方程得到 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。
所以 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。
试题二:几何问题题目:在一个直角三角形中,已知直角边长分别为 3 厘米和 4 厘米,求斜边的长度。
解答:根据勾股定理,直角三角形的斜边长度 \( c \) 可以通过直角边 \( a \) 和 \( b \) 计算得出,公式为 \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)。
将给定的边长代入公式,我们得到 \( c = \sqrt{3^2 + 4^2} =\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) 厘米。
试题三:数列问题题目:一个等差数列的首项 \( a_1 = 3 \),公差 \( d = 2 \),求第 10 项 \( a_{10} \) 的值。
解答:等差数列的通项公式为 \( a_n = a_1 + (n - 1)d \),其中\( n \) 是项数。
将给定的值代入公式,我们得到 \( a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 9 \times 2 = 3 + 18 = 21 \)。
试题四:组合问题题目:从 10 个不同的球中选取 5 个球,求不同的选取方式有多少种。
竞赛数学高中试题及答案

竞赛数学高中试题及答案试题一:多项式问题题目:已知多项式 \( P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 5 \),求 \( P(2) \) 的值。
解答:将 \( x = 2 \) 代入多项式 \( P(x) \) 中,得到:\[ P(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 + 2 \times 2 - 5 = 8 - 12 + 4 -5 = -5 \]试题二:几何问题题目:在直角三角形 ABC 中,角 C 是直角,若 \( AB = 10 \) 且\( AC = 6 \),求斜边 BC 的长度。
解答:根据勾股定理,直角三角形的斜边 \( BC \) 可以通过以下公式计算:\[ BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \]试题三:数列问题题目:给定数列 \( a_n = 2n - 3 \),求数列的前 5 项。
解答:根据数列公式 \( a_n = 2n - 3 \),我们可以计算出前 5 项:\[ a_1 = 2 \times 1 - 3 = -1 \]\[ a_2 = 2 \times 2 - 3 = 1 \]\[ a_3 = 2 \times 3 - 3 = 3 \]\[ a_4 = 2 \times 4 - 3 = 5 \]\[ a_5 = 2 \times 5 - 3 = 7 \]数列的前 5 项为:-1, 1, 3, 5, 7。
试题四:概率问题题目:一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球,随机抽取 2 个球,求抽到一个红球和一个蓝球的概率。
解答:首先计算总的可能组合数,即从 8 个球中抽取 2 个球的组合数:\[ \text{总组合数} = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \]然后计算抽到一个红球和一个蓝球的组合数:\[ \text{有利组合数} = \binom{5}{1} \times \binom{3}{1} = 5 \times 3 = 15 \]所以,抽到一个红球和一个蓝球的概率为:\[ P = \frac{\text{有利组合数}}{\text{总组合数}} =\frac{15}{28} \]试题五:函数问题题目:若函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \),求 \( f(x) \) 的最小值。
高中数学竞赛初赛试题(含答案)

高中数学竞赛初赛试题(含答案)高中数学竞赛初赛试题(含答案)一、选择题1. 设函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2ax + b,如果 f(1) = 3 且 f'(1) = 4,那么常数 a 和 b 的值分别是多少?A) a = 2, b = 4 B) a = 2, b = 3 C) a = 3, b = 4 D) a = 3, b = 32. 在平面直角坐标系中,点 P(-3,4) 和点 Q(1,-2) 的连线所在直线的斜率是多少?A) -1/4 B) 2/3 C) 2 D) -3/23. 若 a, b, c 是等差数列的前三项,且 a + b + c = 9,那么 a 的值是多少?A) 1 B) 3/2 C) 2 D) 34. 若函数 f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 2 的图像经过点 (2, 8),那么常数a 和b 的值之和为多少?A) 6 B) 8 C) 10 D) 125. 已知等比数列的首项为 4,公比为 2,前 n 项和为 S_n。
下列哪个等式是正确的?A) S_n = 4(2^n - 1) B) S_n = 2(2^n - 1) C) S_n = 2^n + 2 D) S_n = 2^n二、填空题1. 若 3/4 张纸能折成 2^7 层,那么一张纸最多能折成多少层?答案:2^10 层2. 若 1/3 张纸能折成 2^8 层,那么一张纸最多能折成多少层?答案:3 × 2^8 层3. 一条长杆分成三段,第一段比第二段长 2cm,第二段比第三段长4cm,三段的长度之和是 50cm。
请分别求出第一段、第二段和第三段的长度。
答案:第一段:12cm,第二段:14cm,第三段:24cm4. 若 a 和 b 是互质的整数,并且 a × b = 147,那么 a 和 b 的值分别是多少?答案:a = 1,b = 147 或 a = 147,b = 15. 在平面直角坐标系中,顶点为 (0,0),椭圆的长轴在 x 轴上,短轴在 y 轴上,且长轴长为 8,短轴长为 6。
2023全国高中数学联合竞赛加试卷及参考答案

2023年全国高中数学联合竞赛加试卷习题及参考答案一.(本题满分40分)如图,ABC 的外心为O ,在边AB 上取一点D ,延长OD 至点E ,使得,,,A O B E 四点共圆.若2,3,4,5OD AD BD CD ,证明:ABE 与CDE 的周长相等.证明:由,,,A O B E 共圆得AD BD OD DE ,又2,3,4OD AD BD ,所以6DE . ……………10分由OA OB 得OAD OEA ,故OAD OEA ∽,故OA OE AEOD OA AD. 所以22(26)16OA OD OE ,得4OA .进而26OEAE AD AD OA.同理可得OBD OEB ∽ ,28BE BD . ……………20分 由于22OC OA OD OE ,故OCD OEC ∽. ……………30分因此EC OC CD OD. 由2,8OD OE OD DE 知4OC ,又5CD ,故210EC CD . 计算得76821AB AE BE ,561021CD DE EC ,即ABE 与CDE 的周长相等. ……………40分二.(本题满分40分)设,m n 是给定的整数,3m n ≥≥.求具有下述性质的最小正整数k :若将1,2,,k 中的每个数任意染为红色或者蓝色,则或者存在m 个红色的数12,,,m x x x (允许相同),满足121m m x x x x -+++< ,或者存在n 个蓝色的数12,,,n y y y (允许相同),满足121n n y y y y -+++< .C E O A BD C EO A B D解:答案是1mn n -+.若k mn n =-,将1,2,,1n - 染为蓝色,,1,,n n mn n +- 染为红色.则对任意m 个红色的数12,,,m x x x ,有121(1)m m x x x n m x -+++≥-≥ ,对任意n 个蓝色的数12,,,n y y y ,有1211n n y y y n y -+++≥-≥ ,上述例子不满足要求.对k mn n <-,可在上述例子中删去大于k 的数,则得到不符合要求的例子.因此所求1k mn n ≥-+. ………………10分下面证明1k mn n =-+具有题述性质.假设可将1,2,,1mn n -+ 中的每个数染为红色或蓝色,使得结论不成立. 情形一:若1是红色的数,则红色的数均不超过1m -,否则可取一个红色的数m x m ≥,再取1211m x x x -==== ,则11m m x x x -++< ,与假设矛盾. ………………20分故,1,,1m m mn n +-+ 均为蓝色的数,此时取121,1n n y y y m y mn n -=====-+ ,有121(1)11n n y y y m n mn m mn n y -+++=-<-+≤-+= ,(*) 与假设矛盾. ………………30分情形二:若1是蓝色的数,则同情形一可知蓝色的数均不超过1n -,故,1,,1n n mn n +-+ 均是红色的数.此时取121,1m m x x x n x mn n -=====-+ ,与(*)类似,可得矛盾.故1k mn n =-+时结论成立.综上,所求最小的正整数1k mn n =-+. ………………40分三.(本题满分50分)是否存在2023个实数122023,,,(0,1]a a a ,使得20236120231110i j i j k ka a a证明你的结论.解:记20231202311i j i j k kS a a a. 假设存在122023,,,(0,1]a a a ,使得610S . 不妨设12202301a a a ,则将12023i j i j a a去掉绝对值后,k a 的系数为22024k ,从而202311(22024)k k kS k a a. ……………10分 当11011k 时,由基本不等式知 11(22024)(20242)220242k k kkk a k a k a a. ……………20分当10122023k 时,由于1()(22024)k f x k x x在(0,1]上单调增,故1(22024)(1)22025k k kk a f k a. 从而1011202311012220242(22025)k k S k k1011110101012202422k k k. ……………30分注意到202422(20242)2202444k k k k ,故61010101210114410S ,这意味者不存在122023,,,a a a 满足条件. ……………50分四.(本题满分50分)设正整数,,,a b c d 同时满足: (1) 2023a b c d +++= ; (2) ab ac ad bc bd cd +++++ 是2023的倍数; (3) abc bcd cda dab +++是2023的倍数. 证明:abcd 是2023的倍数. 证明:易知22023717=⨯. 首先,由(1),(3)知2()()()()() a b a c a d a a b c d abc bcd cda dab +++=+++++++是2023的倍数,故,,a b a c a d +++中至少有一个是 7的倍数. ……………10分由对称性,不妨设a b +是7的倍数,则) 2023( c d a b +=-+也是7的倍数,()()ac ad bc bd a b c d +++=++也是7的倍数,故结合(2)知ab cd +是7的倍数,因此22) (()()a c a a b c c d ab cd +=+++-+也是 7的倍数.又平方数除以 7的余数只能是0,1,2,4,因此22,a c 只能同时是 7的倍数, 这表明,,,a b c d 都是 7的倍数. ………………20分同上面分析可知:) ()()( a b a c a d +++是217的倍数,故或者其中有一个因子是217的倍数,或者其中有两个因子是 17的倍数.如果有一个因子是217的倍数,不妨设a b +是217的倍数,结合 ,a b 都是7的倍数知,a b +是 22023717=⨯的倍数,但这与2023a b c d +++=及,,,a b c d 是正整数相矛盾! ………………30分因此,,a b a c a d +++中至少有两个是17的倍数.不妨设,a b a c ++都是17的倍数,那么b d +也是17的倍数,由2()()(2)()ab ac ad bc bd cd a b d b d c a a b a a c a +++++=+++++++-知,22a 是17的倍数,故a 是17的倍数.因此,,,a b c d 都是17的倍数,这就说明了abcd 是44717⨯的倍数,也就是2023的倍数.………………50分。
全国高中数学竞赛试题及答案

全国高中数学竞赛试题及答案试题一:函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \),求\( f(x) \)的极值点。
2. 求解方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的所有实根。
3. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上的单调性。
试题二:解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \),其中\( a > b > 0 \),求椭圆的焦点坐标。
2. 求圆\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)的切线方程,已知切点坐标为\( (m, n) \)。
3. 证明点\( P(x_1, y_1) \)和点\( Q(x_2, y_2) \)的连线\( PQ \)的中点坐标为\( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) \)。
试题三:数列与级数1. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \),公差\( d = 2 \),求第10项\( a_{10} \)。
2. 求等比数列\( b_1, b_2, b_3, \ldots \)的前\( n \)项和,其中\( b_1 = 1 \),公比\( r = 3 \)。
3. 判断数列\( c_n = \frac{1}{n(n + 1)} \)的收敛性。
试题四:概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球,求至少有2个红球的概率。
2. 抛掷一枚均匀硬币4次,求正面朝上的次数为2的概率。
3. 某工厂生产的产品中有2%是次品,求从一批产品中随机抽取10个产品,至少有1个是次品的概率。
试题五:组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子,将球分配到盒子中,每个盒子至少有一个球,求不同的分配方法总数。
2. 证明:对于任意的正整数\( n \),\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。
数学竞赛试题及答案高中

数学竞赛试题及答案高中一、选择题(每题4分,共40分)1. 若函数f(x) = 3x^2 - 6x + 5,下列哪个选项是f(x)的对称轴?A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = -2答案:A2. 已知数列{an}的通项公式为an = 2^n,求数列{an}的前n项和Sn。
A. Sn = 2^(n+1) - 2B. Sn = 2^(n+1) - 1C. Sn = 2^(n+1) - 2^nD. Sn = 2^(n+1) - 2^(n-1)答案:B3. 已知向量a = (3, -2),向量b = (1, 2),求向量a与向量b的数量积。
A. 2B. -2C. 4D. -4答案:B4. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x,求f'(x)。
A. 3x^2 - 6x + 2B. x^2 - 3x + 2C. 3x^2 - 6xD. x^2 - 3x答案:A5. 已知双曲线的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1,其中a > 0,b > 0,求双曲线的离心率e。
A. e = √(1 + b^2/a^2)B. e = √(1 - b^2/a^2)C. e = √(a^2 + b^2)D. e = √(a^2 - b^2)答案:A6. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x),求f(π/4)的值。
A. √2B. 1C. 0D. -1答案:A7. 已知等差数列{an}的首项a1 = 1,公差d = 2,求数列{an}的第10项a10。
B. 20C. 21D. 22答案:A8. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4,求f(x)的最小值。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案:A9. 已知向量a = (2, 3),向量b = (-1, 1),求向量a与向量b的夹角θ。
A. π/3B. π/4D. 2π/3答案:D10. 已知函数f(x) = e^x - e^(-x),求f'(x)。
竞赛数学高中试题及答案

竞赛数学高中试题及答案一、选择题(每题4分,共40分)1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点为x1和x2,则x1 + x2的值为:A. 2B. 3C. 4D. 52. 已知数列{an}是等差数列,且a1 = 2,a3 = 8,则该数列的公差d为:A. 2B. 3C. 4D. 63. 若复数z满足|z - 1| = 2,则z的模|z|的取值范围为:A. [1, 3]B. [0, 3]C. [1, 5]D. [0, 5]4. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2,求f'(x)的值为:A. 3x^2 - 6xB. 3x^2 - 6x + 2C. x^2 - 6x + 2D. x^3 - 3x^2 + 25. 若a,b,c是等比数列,且a + b + c = 14,b^2 = ac,则a + c 的值为:A. 4B. 8C. 10D. 126. 已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c,且满足a^2 + b^2 = c^2,求角C的大小为:A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°7. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c(a ≠ 0)的图像与x轴有两个交点,则判别式Δ的取值范围为:A. Δ > 0B. Δ = 0C. Δ < 0D. Δ ≥ 08. 已知向量a = (1, 2),b = (3, 4),则向量a + b的坐标为:A. (4, 6)B. (-2, -2)C. (2, 6)D. (4, -2)9. 若函数f(x) = sin(x) + cos(x),则f(π/4)的值为:A. √2B. 1C. 2D. 010. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1(a > 0,b > 0),且双曲线C的一条渐近线方程为y = 2x,则a/b的值为:A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/5二、填空题(每题6分,共30分)11. 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn = 3^n - 1,求a5的值为________。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛加试(A卷)试题(含答案)

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联合竞赛加试(A 卷)参考答案及评分标准说明:1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分.2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次,不得增加其他中间档次.一.(本题满分40分)给定正整数r .求最大的实数C ,使得存在一个公比为r 的实数等比数列1{}n n a ,满足n a C 对所有正整数n 成立.(x 表示实数x 到与它最近整数的距离.)解:情形1:r 为奇数.对任意实数x ,显然有12x ,故满足要求的C 不超过12. 又取{}n a 的首项112a ,注意到对任意正整数n ,均有1n r 为奇数,因此1122n n r a .这意味着12C 满足要求.从而满足要求的C 的最大值为12. …………10分 情形2:r 为偶数.设*2()r m m N .对任意实数 ,我们证明1a 与2a 中必有一数不超过21m m ,从而21m C m . 事实上,设1a k ,其中k 是与1a 最近的整数(之一),且102. 注意到,对任意实数x 及任意整数k ,均有x k x ,以及x x .若021m m ,则121m a k m . 若1212m m ,则22221m m m m ,即21m m r m m ,此时 2121m a a r kr r r m . …………30分 另一方面,取121m a m ,则对任意正整数n ,有1(2)21n n m a m m ,由二项式展开可知11(211)(1)2121n n n m m a m K m m ,其中K 为整数,故21n m a m .这意味着21m C m 满足要求. 从而满足要求的C 的最大值为212(1)m r m r .综上,当r 为奇数时,所求C 的最大值为12;当r 为偶数时,所求C 的最大值为2(1)r r . …………40分二.(本题满分40分)如图,在凸四边形ABCD 中,AC 平分BAD ,点,E F 分别在边,BC CD 上,满足||EF BD .分别延长,FA EA 至点,P Q ,使得过点,,A B P 的圆1 及过点,,A D Q 的圆2 均与直线AC 相切.证明:,,,B P Q D 四点共圆.(答题时请将图画在答卷纸上)证明:由圆1 与AC 相切知180BPA BAC CAD CAF PAC ,故,BP CA 的延长线相交,记交点为L .由||EF BD 知CE CF CB CD.在线段AC 上取点K ,使得CK CE CF CA CB CD ,则||,||KE AB KF AD . …………10分由ABL PAL KAF ,180180BAL BAC CAD AKF ,可知ABL KAF ∽,所以KF AB AL KA. …………20分 同理,记,DQ CA 的延长线交于点L ,则KE AD AL KA. 又由||,||KE AB KF AD 知KE CK KF AB CA AD,即KE AD KF AB . 所以AL AL ,即L 与L 重合.由切割线定理知2LP LB LA LQ LD ,所以,,,B P Q D 四点共圆.…………40分三.(本题满分50分)给定正整数n .在一个3n ×的方格表上,由一些方格构成的集合S 称为“连通的”,如果对S 中任意两个不同的小方格,A B ,存在整数2l ≥及S 中l 个方格12,,,lA C C CB ==,满足iC 与1i C +有公共边(1,2,,1i l −).求具有下述性质的最大整数K :若将该方格表的每个小方格任意染为黑色或白色,总存在一个连通的集合S ,使得S 中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K .解:所求最大的K n =.对一个由小方格构成的集合S ,记b S 是S 中的黑格个数,w S 是S 中的白格个数. 用[,]i j 表示第i 行第j 列处的方格,这里13i ≤≤,1j n ≤≤.对于两个方格[,]A i j =,[,]B i j ′′=, 定义它们之间的距离为(,)||||d A B i i j j ′′=−+−.首先,如果将方格表按国际象棋棋盘一样黑白间隔染色,我们证明对任意连通的集合S ,均有||b w S S n −≤,这表明K n ≤.设[1,1]是黑格,并记{0,1}ε∈,满足(mod 2)n ε≡.先证b w S S n −≤.可不妨设S 包含所有黑格,这是因为若S 不包含所有黑格, 取不属于S 的黑格A 满足(,)d A S 最小,这里(,)min (,)B Sd A S d A B ∈=.易知(,)1d A S =或2.若(,)1d A S =,取{}S S A ′=,则S 仍是连通的,且b w S S ′′−更大. 若(,)2d A S =,则存在与A 相邻的白格C ,而C 与S 中某个方格B 相邻,取{,}S S A B ′= ,则S 仍是连通的,且bw S S ′′−不变. 因而可逐步扩充S ,使得S 包含所有黑格,保持S 的连通性,且b w S S −不减.考虑白格集合{[,]|}k W i j i j k =+=,3,5,,1k n ε++,每个k W 中至少有一个方格属于S ,否则不存在从黑格[1,1]A S =∈到黑格[3,1]B n ε=−+的S 中路径.故1()2w S n ε≥+,而1(3)2b S n ε=+,故b w S S n −≤. …………10分 类似可证w b S S n −≤.同上,可不妨设S 包含所有白格, 从而1(3)2w S n ε=−. 再考虑黑格集合{[,]|}k B i j i j k =+=, 4,6,,2k n ε+−,每个k B 中至少有一个黑格属于S ,否则不存在从白格[1,2]A =到白格[3,]B n ε=−的S 中路径. 从而1()2b S n ε≥−,故w b S S n −≤. …………20分 下面证明K n =具有题述性质,即对任意的染色方案,总存在连通的集合S , 使得b w S S n −≥.设表格中共有X 个黑格和Y 个白格,在第二行中有x 个黑格和y 个白格. 于是3X Y n +=, x y n +=.故()()()()2X y Y x X Y x y n −+−=+−+=.由平均值原理可知max{,}X y Y x n −−≥.不妨设X y n −≥.取S 为第二行中的y 个白格以及所有X 个黑格.由于S 包含第二行中所有方格,因而S 是连通的. 而b S X =,w S y =,b w S S X y n −=−≥.综上所述,max K n =. …………50分四.(本题满分50分)设,A B 为正整数,S 是一些正整数构成的一个集合,具有下述性质:(1) 对任意非负整数k ,有k A S ;(2) 若正整数n S ,则n 的每个正约数均属于S ;(3) 若,m n S ,且,m n 互素,则mn S ;(4) 若n S ,则An B S .证明:与B 互素的所有正整数均属于S .证明:先证明下述引理.引理:若n S ,则n B S .引理的证明:对n S ,设1n 是n 的与A 互素的最大约数,并设12n n n ,则2n 的素因子均整除A ,从而12(,)1n n .由条件(1)及(2)知,对任意素数|p A 及任意正整数k ,有k p S .因此,将11k A n 作标准分解,并利用(3)知11k A n S .又2|n n ,而n S ,故由(2)知2n S .因112(,)1k A n n ,故由(3)知112k A n n S ,即1k A n S .再由(4)知k A n B S (对任意正整数k ). ① …………10分 设n B C D ,这里正整数C 的所有素因子均整除A ,正整数D 与A 互素,从而(,)1C D .由(1)及(2)知C S (见上面1k A n S 的证明). 另一方面,因(,)1D A ,故由欧拉定理知()1D D A .因此()()(1)()0(mod )D D A n B A n n B D ,但由①知()D A n B S ,故由(2)知D S .结合C S 及(,)1C D 知CD S ,即n B S .引理证毕. …………40分回到原问题.由(1),取0k 知1S ,故反复用引理知对任意正整数y ,有1By S .对任意*,(,)1n n B N ,存在正整数,x y 使得1nx By ,因此nx S ,因|n nx ,故n S .证毕. …………50分。
数学竞赛高中试题入门及答案

数学竞赛高中试题入门及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 下列哪个数不是整数?A. -3B. 0C. 5D. 2.52. 如果函数\( f(x) = 3x^2 - 5x + 2 \),那么\( f(-1) \)的值是多少?A. 10B. 8C. 6D. 43. 圆的半径为3,圆心在原点,那么圆上任意一点到圆心的距离是多少?A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知三角形ABC的三个内角A、B、C,且A + B + C = 180°,如果角A = 60°,角B = 50°,那么角C是多少度?A. 70°B. 80°C. 90°D. 100°二、填空题(每题5分,共20分)5. 若\( a \),\( b \),\( c \)为三角形的三边,且\( a^2 + b^2 = c^2 \),则该三角形是________。
6. 一个数的平方根是4,那么这个数是________。
7. 一个圆的面积为28.26平方厘米,那么它的半径是________厘米。
8. 已知等差数列\( 3, 7, 11, ... \),第5项的值是________。
三、解答题(每题15分,共30分)9. 证明:如果\( a \),\( b \),\( c \)是正实数,且\( a + b +c = 1 \),那么\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq9 \)。
10. 一个直角三角形的两条直角边长分别为6厘米和8厘米,求斜边的长度。
(使用勾股定理)四、证明题(每题15分,共15分)11. 证明:对于任意正整数\( n \),\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 \)。
五、结束语本试题旨在为高中数学竞赛入门者提供一个基础的练习平台,通过这些题目,学生可以检验自己的数学基础知识和解题技巧。
高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案一、选择题1.若直线l1:y = -2x + 3,直线l2过点(1,5)且与l1垂直,则l2的方程是:A. y = x + 4B. y = -x + 6C. y = x - 4D. y = -x + 4答案:C2.已知集合A = {x | |x - 3|< 2},则A的值是: A. (-∞, 1) U (5, ∞) B. (-∞,1) U (3, ∞) C. (1, 5) D. (1, 5] U (5, ∞)答案:D二、填空题1.若a、b满足a+b=5,且ab=6,则a和b的值分别是____。
答案:2和32.若某几何体的体积V和表面积S满足S=3V,且V>0,则该几何体的体积V的值为____。
答案:1/3三、解答题1.设数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2 = an + 2n,求数列的通项公式。
解答:首先给出数列的前几项: a1 = 1 a2 = 2 a3 = 1 + 2 × 1 = 3 a4 = 2 + 2 × 2 =6 a5 = 3 + 2 × 3 = 9 … 从数列的前几项可以观察到,第n项的值为n^2 - 1。
所以数列的通项公式为an = n^2 - 1。
2.已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2,求f(x)的最小值及取得最小值时的x值。
解答:对于任意x,有f’(x) = 3x^2 - 6x + 4。
令f’(x) = 0,可以解得x = 1。
再求f’‘(x) = 6x - 6,当x = 1时,f’’(x) = 0。
所以x = 1是f(x)的极小值点。
代入f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2计算得最小值为-2。
所以f(x)的最小值是-2,取得最小值时的x值为1。
四、简答题1.数列的极限是什么?如何判断一个数列的极限存在?答:数列的极限是指当项数趋向无穷大时,数列的项的值趋向的一个确定的数。
高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案一、选择题(每题4分,共40分)1. 如果函数f(x)=x^2-4x+3,那么f(2)的值为:A. -1B. 1C. 3D. 5答案:B2. 已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d=2,那么a5的值为:A. 9B. 10C. 11D. 12答案:A3. 函数y=sin(x)的周期为:A. 2πB. πC. 4πD. 1答案:A4. 已知三角形ABC的三个内角A、B、C满足A+B=2C,那么角C的度数为:A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案:C5. 已知复数z=1+i,那么|z|的值为:B. 2C. √3D. 3答案:A6. 函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[1,2]上是:A. 增函数B. 减函数C. 先减后增D. 先增后减答案:C7. 已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的焦点在x轴上,且a=2,那么b的值为:A. √3C. √5D. 2答案:A8. 已知椭圆C:x^2/4+y^2/3=1,那么椭圆C的离心率为:A. √3/2B. 1/2C. √2/2D. 2/3答案:C9. 已知向量a=(2,1),b=(1,-1),则向量a+2b的坐标为:A. (4, -1)B. (4, 1)C. (2, -1)D. (2, 1)答案:A10. 已知集合A={x|x^2-5x+6=0},B={x|x^2-3x+2=0},则A∩B 的元素个数为:A. 0B. 1C. 2D. 3答案:C二、填空题(每题4分,共20分)11. 已知函数f(x)=x^3+3x^2-9x+5,求f'(x)的值为:______。
答案:3x^2+6x-912. 已知等比数列{bn}的首项b1=2,公比q=3,那么b4的值为:______。
答案:5413. 已知直线l的方程为y=2x+1,求直线l与x轴的交点坐标为:(______,______)。
高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案试题(一)一、 ABC ∆为等边三角形,P 为其内一动点,且120APC ∠=。
AP 交BC 于N 、CP交AB 于M 。
求BMN ∆外心O 的轨迹。
(12分)二、 任意选24个相异且小于88的正奇数,试证:其中必有两个数它们的和是90。
(12分)三、 试证:对实数,,,0a b c d ≥,()()()()()()()()222222224a b c d a b b c c d d a ++++≥++++。
(12分) 四、定义:设A 是二阶整系数方阵,若存在二阶整系数方阵B ,使得1001AB BA I ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦,则称A 可逆。
(13分) (1) A 是二阶整系数方阵。
试证:A 可逆的充要条件为A 的行列式||1A =±。
(2) 设A , B 均为二阶整系数方阵,且,,2,3,4A A B A B A B A B ++++均可逆,试证:5A B +亦可逆。
试题(二) 一、设(1)2(,,)(1)2,,,(1)2x x yz A x y y z z x y y zx x y z z z xy ⎧⎫-+⎪⎪=---=-+∈⎨⎬⎪⎪=-+⎩⎭,试求A 。
(5分)二、记不大于t 的整数中最大的整数为[]t 。
求方程 22[2]2[][]x x x x -+=在03x ≤<内所有实数解。
(5分)三、设a 和b 为实数,且使方程43210x ax bx ax ++++=至少有一个实根,对所有这种数对(,)a b ,求出22a b +的最小可能值。
(6分)四、令N 为自然数集,若函数:f N N →满足(1)()f n f n +>且(())3f f n n =,求(54)f 。
(5分)试题(一)解答一、 【解】令G 为ABC ∆的外心。
因120MPN APC ∠=∠=与B ∠互补,P 在BMN ∆的外接圆上。
因120APC AGC ∠=∠=,A 、P 、G 、C 共圆,且30CPG CAG ∠=∠=。
2023年全国高中数学联合竞赛加 试(A)卷(含答案)

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2023年全国高中数学联合竞赛加试(A 卷)参考答案及评分标准说明:1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分.2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次,不得增加其他中间档次.一.(本题满分40分)如图, 是以AB 为直径的固定的半圆弧, 是经过点A 及 上另一个定点T 的定圆,且 的圆心位于ABT 内.设P 是 的弧 TB(不含端点)上的动点,,C D 是 上的两个动点,满足:C 在线段AP 上,,C D 位于直线AB 的异侧,且CD AB .记CDP 的外心为K .证明:(1) 点K 在TDP 的外接圆上;(2) K 为定点. ΩωPD ABT C证明:(1) 易知PCD 为钝角,由K 为CDP 的外心知2(180)2PKD PCD ACD .由于90APB ,CD AB ,故PBA ACD ATD .……………10分 所以2180PTD PKD PTA ATD ACD PTA PBA . 又,K T 位于PD 异侧,因此点K 在TDP 的外接圆上. ……………20分(2) 取 的圆心O ,过点O 作AB 的平行线l ,则l 为CD 的中垂线,点K 在直线l 上. ……………30分由,,,T D P K 共圆及KD KP ,可知K 在DTP 的平分线上,而9090DTB ATD PBA PAB PTB ,故TB 为DTP 的平分线.所以点K 在直线TB 上.显然l 与TB 相交,且l 与TB 均为定直线,故K 为定点. ……………40分 ωΩl D P OK B ATC二.(本题满分40分)正整数n 称为“好数”,如果对任意不同于n 的正整数m ,均有2222n m n m ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭,这里,{}x 表示实数x 的小数部分. 证明:存在无穷多个两两互素的合数均为好数.证明:引理:设n 是正奇数,且2模n 的阶为偶数,则n 是好数.引理的证明:反证法.假设n 不是好数,则存在异于n 的正整数m ,使得2222n m n m .因此22n n 与22m m 写成既约分数后的分母相同.由n 为奇数知22n n 是既约分数,故2m 的最大奇因子为2n ,从而m 的最大奇因子为n .设2t m n ,其中t 为正整数(从而m 是偶数).于是22222m m t m n. 由22222m t n n n可得2222(mod )m t n n ,故 222(mod )m t n n . (*)设2模n 的阶为偶数d .由(*)及阶的基本性质得2(mod )m t n d ,故2m t n 是偶数.但2m t 是偶数,n 是奇数,矛盾.引理得证.……………20分回到原问题.设221(1,2,)k k F k .由于1221k k F ,而k F 221k,因此2模k F 的阶为12k ,是一个偶数.对正整数l ,由221(mod )l k F 可知21(mod )l k F ,故由阶的性质推出,2模2k F 的阶被2模k F 的阶整除,从而也是偶数.因2k F 是奇数,由引理知2k F 是好数.……………30分对任意正整数,()i j i j ,211(,)(,(21)2)(,2)1i i j i i i j i F F F F F F F ,故123,,,F F F 两两互素.所以222123,,,F F F 是两两互素的合数,且均为好数. ……………40分三.(本题满分50分) 求具有下述性质的最小正整数k :若将1,2,,k 中的每个数任意染为红色或者蓝色,则或者存在9个互不相同的红色的数129,,,x x x 满足1289x x x x +++< ,或者存在10个互不相同的蓝色的数1210,,,y y y 满足12910y y y y +++< .解:所求的最小正整数为408.一方面,若407k =时,将1,55,56,,407 染为红色,2,3,,54 染为蓝色,此时最小的8个红数之和为1555661407++++= ,最小的9个蓝数之和为231054+++= ,故不存在满足要求的9个红数或者10个蓝数.对407k <,可在上述例子中删去大于k 的数,则得到不符合要求的例子. 因此407k ≤不满足要求. ……………10分 另一方面,我们证明408k =具有题述性质.反证法.假设存在一种1,2,,408 的染色方法不满足要求,设R 是所有红数的集合,B 是所有蓝数的集合.将R 中的元素从小到大依次记为12,,,m r r r ,B 中的元素从小到大依次记为12,,,n b b b ,408m n +=.对于R ,或者8R ≤,或者128m r r r r +++≥ ;对于B ,或者9B ≤,或者129n b b b b +++≥ .在1,2,,16 中至少有9个蓝色的数或至少有8个红色的数.情形1:1,2,,16 中至少有9个蓝色的数.此时916b ≤.设区间9[1,]b 中共有t 个R 中的元素12,,,(08)t r r r t ≤< .记12t x r r r =+++ ,则112(1)2x t t t ≥+++=+ . 因为12912,,,,,,,t b b b r r r 是9[1,]b 中的所有正整数,故{}{}12912,,,,,,,1,2,,9t b b b r r r t =+ .于是 12912(9)n b b b b t x ≤+++=++++- 1(9)(10)2t t x =++-. (*) ……………20分 特别地,116171362n b ≤⨯⨯=.从而9R ≥. 对任意(1)i i m t ≤≤-,由(*)知1(9)(10)2t i n r b i t t x i +≤+≤++-+.从而 811811(9)(10)2t m t t i r r r r r x t t x i -+=⎛⎫ ⎪≤+++++≤+++-+ ⎪⎝⎭∑ 11(9)(10)(8)(8)(9)(7)22t t t t t t x =++-+---- 111(9)(10)(8)(8)(9)(7)(1)222t t t t t t t t ≤++-+----⋅+ 2819396407t t =-++≤(考虑二次函数对称轴,即知1t =时取得最大). 又136n b ≤,这与,n m b r 中有一个为408矛盾. ……………40分情形2:1,2,,16 中至少有8个红色的数.论证类似于情形1.此时816r ≤.设区间8[1,]r 中共有s 个B 中的元素12,,,(09)s b b b s ≤< .记1s y b b =++ ,则1(1)2y s s ≥+. 因为12128,,,,,,,s b b b r r r 是8[1,]r 中的所有正整数,故 {}{}12128,,,,,,,1,2,,8s b b b r r r s =+ . 于是1(8)(9)2m r s s y ≤++-. 特别地,116171362m r ≤⨯⨯=.从而10B ≥. 对任意(1)i i n s ≤≤-,有1(8)(9)2s i m b r i s s y i +≤+≤++-+.从而 911911(8)(9)2s n s s i b b b b b y s s y i -+=⎛⎫ ⎪≤+++++≤+++-+ ⎪⎝⎭∑ 11(9)(8)(9)(8)(9)(10)22s s s s y s s =-++--+--111(9)(8)(9)(8)(1)(9)(10)222s s s s s s s s ≤-++--⋅++-- 2727369395s s =-++≤(在2s =时取得最大), 又136m r ≤,这与,n m b r 中有一个为408矛盾.由情形1、2知408k =具有题述性质.综上,所求最小正整数k 为408. ……………50分四.(本题满分50分)设4110a -=+.在20232023⨯的方格表的每个小方格中填入区间[1,]a 中的一个实数.设第i 行的总和为i x ,第i 列的总和为i y ,12023i ≤≤.求122023122023y y y x x x 的最大值(答案用含a 的式子表示). 解:记2023n =,设方格表为(),1,ij a i j n ≤≤,122023122023y y y x x x λ= . 第一步:改变某个ij a 的值仅改变i x 和j y ,设第i 行中除ij a 外其余1n -个数的和为A ,第j 列中除ij a 外其余1n -个数的和为B ,则jij i ij y B a x A a +=+.当A B ≥时,关于ij a 递增,此时可将ij a 调整到,a λ值不减.当A B ≤时,关于ij a 递减,此时可将ij a 调整到1,λ值不减.因此,为求λ的最大值,只需考虑每个小方格中的数均为1或a 的情况. ……………10分第二步:设{}1,,1,ij a a i j n ∈≤≤,只有有限多种可能,我们选取一组ij a 使得λ达到最大值,并且11n nij i j a ==∑∑最小.此时我们有,,1,.i j ij i j a x y a x y ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩(*) 事实上,若i j x y >,而1ij a =,则将ij a 改为a 后,行和及列和变为,i j x y '',则11j j j i i iy y a y x x a x '+-=>'+-, 与λ达到最大矛盾,故ij a a =.若i j x y ≤,而ij a a =,则将ij a 改为1后,λ不减,且11n nij i j a ==∑∑变小,与ij a 的选取矛盾.从而(*)成立.通过交换列,可不妨设12n y y y ≤≤≤ ,这样由(∗)可知每一行中a 排在1的左边,每一行中的数从左至右单调不增.由此可知12n y y y ≥≥≥ .因而只能12n y y y === ,故每一行中的数全都相等(全为1或全为a ).……………20分 第三步:由第二步可知求λ的最大值,可以假定每一行中的数全相等.设有k 行全为a ,有n k -行全为1,0k n ≤≤.此时()()()n nk k n k n k ka n k ka n k na nn a λ-+-+-==. 我们只需求01,,,n λλλ 中的最大值. ()11(1)1111()(1)nn n k k n k n kk a n k a n a ka n k a k a n n a λλ++++--⎛⎫- ⎪==+ ⎪+--+⎝⎭. 因此1111(1)n k k a a k a n λλ+⎛⎫- ⎪≥⇔+≥ ⎪-+⎝⎭ 11(1)n n x x k x n-⇔+≥-+(记n x a =) 2111(1)n n x x x k x n-++++⇔≥-+ 2111n n x x x n k x -++++-⇔≤- 211(1)(1)1n n x x x x x--+++++++=+++ . 记上式右边为y ,则211(2)1n n n n x x y x x ---+-++=+++ . 下面证明(1010,1011)y ∈. ……………30分 首先证明1011y <.1011y < 2021202220222021101110111011x x x x ⇔+++<+++1010101210132021202210111010210101011x x x x x x ⇔+++<++++ .由于220221x x x <<<< ,故101010101012011(1011)101110121011101222k k k x x x =-<⋅⋅<⋅⋅∑101110110k k kx +=<∑. ……………40分 再证明1010y >,等价于证明2021202200(2022)1010kk k k k x x ==->∑∑. 由于2021202100(2022)(2022)10112023k k k k x k ==->-=⨯∑∑, 20222022010101010202310102023k k x x a =<⨯<⨯∑,只需证明1011202310102023a ⨯>⨯,而410111101010a -=+<,故结论成立. 由上面的推导可知1k k λλ+≥当且仅当1010k ≤时成立,从而1011λ最大.故 2023max 101120231011(10111012)2023a aλλ+==. ……………50分。
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浙江省高中数学竞赛试卷说明:本试卷分为A 卷和B 卷:A 卷由本试卷的22题组成,即10道选择题,7道填空题、3道解答题和2道附加题;B 卷由本试卷的前20题组成,即10道选择题,7道填空题和3道解答题。
一、选择题(本大题共有10小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题5分,共50分) 1.化简三角有理式xx x x xx x x 22662244cos sin 2cos sin cos sin sin cos ++++的值为( A )A. 1B. sin cos x x +C. sin cos x xD. 1+sin cos x x解答为 A 。
22442222sin cos )(sin cos sin cos )2sin cos x x x x x x x x ++-+分母=(4422sin cos sin cos x x x x =++。
也可以用特殊值法2.若2:(0,:2p x x q x ++≥≥-,则p 是q 的( B )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 解答为 B 。
p 成立3x ⇔≥-,所以p 成立,推不出q 一定成立。
3.集合P={363,=+++∈x x R x x },则集合R C P 为( D ) A. {6,3}x x x <>或 B. {6,3}x x x <>-或C. {6,3}x x x <->或D. {6,3}x x x <->-或解答:D 。
画数轴,由绝对值的几何意义可得63x -≤≤-,{}63,{6,3}R P x x C P x x x =-≤≤-=<->-或。
4.设a ,b 为两个相互垂直的单位向量。
已知OP =a ,OQ =b ,OR =r a +k b .若△PQR 为等边三角形,则k ,r 的取值为( C )A .12k r -==B .1122k r ±==C .12k r ==D .1122k r -±-±==解答.C. PQ QR PR ==,==。
5. 在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,若BB 1,则CA 1与C 1B 所成的角的大小是( C )A .60°B .75°C .90°D .105°解答:C 。
建立空间直角坐标系,以11A B 所在的直线为x 轴,在平面111A B C 上垂直于11A B的直线为y 轴,1BB 所在的直线为z 轴。
则11(2A C 2C(0,0,1)B ,11111),(0CA C B CA C B =-=∙=。
6.设{}n a ,{}n b 分别为等差数列与等比数列,且11444,1a b a b ====,则以下结论正确的是( A )A. 22a b >B. 33a b <C. 55a b >D. 66a b > 解答:A 。
11444,1a b a b ====设等差数列的公差为d ,等比数列公比为q,由,得223355663,2,0,1,24a b a b a b a b =======-=得。
7.若15,(12)x R x +∈+则的二项式展开式中系数最大的项为( D )A .第8项 B. 第9项 C. 第8项和第9项 D. 第11项解答:D. 11512129322,33r rr r r r r T C T T T T r ++++=≤≤⇒≤≤由,,r=10,第11项最大。
8.设()cos 5xf x =,12111(log ),(log ),(log )e e a f b f c f e πππ===,则下述关系式正确的是( D )。
A .a b c >> B. b c a >> C. c a b >> D. b a c >>解答: D 。
函数()cos 5x f x =为偶函数,在(0,2π)上,()cos f x x =为减函数,而121111log log ,log ,log 2log log ee e e e e ππππππ=-=-=, log 2log 105log 554e e e ππππ<<<<,所以b a c >>。
9.下面为某一立体的三视图,则该立体的体积为( C )A.32π B. 23π C. 43π D. 34π 解答:C. 根据题意,该立体图为圆柱和一个1/4的球的组合体。
10. 设有算法如下:如果输入A=144, B=39,则输出的结果是( B ) A. 144 B. 3 C. 0 D. 12 解答 B (1)A=144,B=39,C=27:(2)A=39,B=27,C=12:(3)A=27,B=12,C=3:(4)A=12,B=3,C=0。
所以A=3。
二、填空题(本大题共有7小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空7分,共49分)11.满足方程2=所有实数解为20102011x ≤≤。
正视图: 半径为1的半圆以及高为1的矩形俯视图: 半径为1的圆解答201=⇒≤,解得20102011x ≤≤。
12. ,x R ∈ 函数()2sin3cos 23x xf x =+的最小正周期为12π. 解答 2s i n 43c o s ()1223x xf x πππ的周期为,的周期为6,所以函数的周期为。
13. 设P 是圆2236x y +=上一动点,A 点坐标为()20,0。
当P 在圆上运动时,线段PA 的中点M 的轨迹方程为22(10)9x y -+=.解答 设M 的坐标为00(,)(,),x y P x y ,设点坐标为则有 0020,22x yx y +== 00220,2x x y y ⇒=-=,因为P 点在圆上,所以22(220)(2)36x y -+= 所以P 点轨迹为22(10)9x y -+=。
14. 设锐角三角形ABC 的边BC 上有一点D ,使得AD 把△ABC 分成两个等腰三角形,试求△ABC 的最小内角的取值范围为 30<x<45或22.5<x<30. 解答 如图,(1)AD=AC=BD ;(2)DC=AC ,AD=BD 。
在(1)中,设最小的角为x ,则2x<90,得x<45,又x+180-4x<90,得x>30,所以30<x<45;在(2)中,设最小的角为x ,则3x<90,得x<30,又180-4x<90,得x>22.5,所以22.5<x<3015. 设z 是虚数,1w z z =+,且12w -<<,则z 的实部取值范围为112a -<<.解答 设2222120a bi b z a bi a bi b a b a b -=+⇒-<++<⇒-=++2201b a b ⇒=+=或 当0b =,无解;当221112a b a +=⇒-<<。
16. 设442)1()1()(x x x x k x f --+-=。
如果对任何]1,0[∈x ,都有0)(≥x f ,则k 的最小值为1192. 解答 1)1(224+--≥x x x x k 222133131(),124424x x x x x x -+=-+≥=-+因为时最小值为448111,(1)222x x x ≤=-时,取最大值(),所以k 的最小值为1192。
17. 设R q p ∈,,q x p x x f ++=||)(2。
当函数)(x f 的零点多于1个时,)(x f 在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值为 0或q.解答 因为函数q x p x x f ++=||)(2为偶函数,由对称性以及图象知道,)(x f 在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值0或q 。
三、解答题(本大题共有3小题,每题17分,共51分)18. 设数列 ,1,,12,1,,13,22,31,12,21,11kk k -,问:(1)这个数列第2010项的值是多少;(2)在这个数列中,第2010个值为1的项的序号是多少.解(1)将数列分组: ),1,,12,1(,),13,22,31(),12,21(),11(kk k -因为1+2+3+…+62=1953;1+2+3+…+63=2016,所以数列的第2010项属于第63组倒数第7个数,即为577。
--------- 10分(2)由以上分组可以知道,每个奇数组中出现一个1,所以第2010个1出现在第4019组,而第4019组中的1位于该组第2010位,所以第2010个值为1的项的序号为(1+2+3+…+4018)+2010=809428。
------------ 17分19. 设有红、黑、白三种颜色的球各10个。
现将它们全部放入甲、乙两个袋子中,要求每个袋子里三种颜色球都有,且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。
问共有多少种放法。
解:设甲袋中的红、黑、白三种颜色的球数为,,x y z ,则有1,,9x y z ≤≤,且(10)(10)(10)xyz x y z =--- (*1)----------------- 5分即有50050()5()xyz x y z xy yz zx =-+++++。
(*2)于是有 5xyz 。
因此,,x y z 中必有一个取5。
不妨设5x =,代入(*1)式,得到10y z +=。
----------------10分此时,y 可取1,2,…,8,9(相应地z 取 9,8,…,2,1),共9种放法。
同理可得y=5或者z=5时,也各有9种放法,但有x y z ==时二种放法重复。
因此可得共有9×3-2 = 25种放法。
---------------------17分20. 已知椭圆)1(1222>=+a y ax ,Rt ABC ∆以A (0,1)为直角顶点,边AB 、BC与椭圆交于两点B 、C 。
若△ABC 面积的最大值为278,求a 的值。
解: 不妨设AB 的方程()01>+=k kx y ,则AC 的方程为11+-=x k y 。
由⎪⎩⎪⎨⎧=++=11222y ax kx y 得:02)1(2222=++kx a x k a 2222,1B a k x a k -⇒=+ 由222111y x k x y a ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得:2222()20a k x a kx +-=2222,C a k x a k ⇒=+从而有AB AC == --------5分于是 2442222224211(1)2212(1)()()1ABC k k k kSAB AC a a a k a k a k a k∆++===+++++。