高中数学竞赛试卷及详细解答

浙江省高中数学竞赛试卷

说明：本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。

一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1．

化简三角有理式x

x x x x

x x x 22662244cos sin 2cos sin cos sin sin cos ++++的值为（ A ）

A. 1

B. sin cos x x +

C. sin cos x x

D. 1+sin cos x x

解答为 A 。

22442222sin cos )(sin cos sin cos )2sin cos x x x x x x x x ++-+分母=(

4422sin cos sin cos x x x x =++。

也可以用特殊值法

2．

若2

:(0,:2p x x q x ++≥≥-，则p 是q 的（ B ）

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件 解答为 B 。p 成立3x ⇔≥-，所以p 成立，推不出q 一定成立。 3．

集合P={363,=+++∈x x R x x }，则集合R C P 为（ D ） A. {6,3}x x x <>或 B. {6,3}x x x <>-或

C. {6,3}x x x <->或

D. {6,3}x x x <->-或

解答：D 。 画数轴，由绝对值的几何意义可得63x -≤≤-，

{}63,{6,3}R P x x C P x x x =-≤≤-=<->-或。 4．

设a ,b 为两个相互垂直的单位向量。已知OP =a ，OQ =b ，OR =r a +k b .

若△PQR 为等边三角形，则k ，r 的取值为（ C ）

A ．12k r -==

B ．1122k r ±==

C ．12k r ==

D ．1122

k r -±-±==

解答．C. PQ QR PR ==，

=

=。

5． 在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若BB 1，则CA 1与C 1B 所成的角的大

小是( C )

A ．60°

B ．75°

C ．90°

D ．105°

解答：C 。建立空间直角坐标系，以11A B 所在的直线为x 轴，在平面111A B C 上垂直于11A B

的直线为y 轴，1BB 所在的直线为z 轴。则11(

2A C 2C

(0,0,1)B ，11111),(0CA C B CA C B =-=∙=。 6．

设{}n a ，{}n b 分别为等差数列与等比数列，且11444,1a b a b ====，则以

下结论正确的是（ A ）

A. 22a b >

B. 33a b <

C. 55a b >

D. 66a b > 解答：A 。

11444,1a b a b ====设等差数列的公差为d ，等比数列公比为q,由，得

223355663,2,0,1,24

a b a b a b a b =======-=得。

7．

若15,(12)x R x +∈+则的二项式展开式中系数最大的项为（ D ）

A ．第8项 B. 第9项 C. 第8项和第9项 D. 第11项

解答：D. 11512129322,33r r

r r r r r T C T T T T r ++++=≤≤⇒≤≤

由，，r=10，第11项最大。 8．

设()cos 5x

f x =，12111(lo

g ),(log ),(log )e e a f b f c f e πππ

===，则下述关系

式正确的是（ D ）。

A ．a b c >> B. b c a >> C. c a b >> D. b a c >>

解答： D 。函数()cos 5x f x =为偶函数，在（0，2

π

）上，()cos f x x =为减函数，

而

121

111log log ,log ,log 2log log e

e e e e e π

πππ

ππ

=-=-=， log 2log 1

05log 554

e e e ππππ<

<<<，所以b a c >>。

9．

下面为某一立体的三视图，则该立体的体积为（ C ）

A.

32π B. 23π C. 43π D. 34

π 解答：C. 根据题意，该立体图为圆柱和一个1/4的球的组合体。

10. 设有算法如下：

如果输入A=144, B=39,则输出的结果是（ B ） A. 144 B. 3 C. 0 D. 12 解答 B （1）A=144，B=39，C=27：（2）A=39，B=27，C=12：（3）A=27，B=12，C=3：（4）A=12，B=3，C=0。所以A=3。

二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）

11.

满足方程2

=所有实数解为20102011

x ≤≤。

正视图： 半径为1的半圆以及高为1的矩形

俯视图： 半径为1的圆