勤学早九年级数学上第章旋转专题一点通

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新人教版九年级上册数学[《旋转》全章复习与巩固--重点题型巩固练习](提高)

新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习《旋转》全章复习与巩固--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ).2. 时钟钟面上的分针从12时开始绕中心旋转120°，则下列说法正确的是( ).A.此时分针指向的数字为3B.此时分针指向的数字为6C.此时分针指向的数字为4D.分针转动3，但时针却未改变3．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（）.A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C4．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=，∠C=120°，则点B′的坐标为（）.A．（3，）B．（3，）C．（，）D．（，）第3题第4题第5题5．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）.A．30，2 B．60，2 C．60， D．60，6.（2015•乌鲁木齐）如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后点P的对应点的坐标是（）A．（，1）B．（1，﹣）C．（2，﹣2）D．（2，﹣2）7．下列图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们的共性是都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（）.A．30° B．45° C．60° D．90°8．在平面直角坐标系中，将点A1(6，1)向左平移4个单位到达点A2的位置，再向上平移3个单位到达点A3的位置，△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转900，则旋转后A3的坐标为( ).A.(-2，1)B.(1，1)C.(-1，1)D.(5，1)二. 填空题9. （2015•扬州）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF=．10.如图，正方形ABCD的边长为4cm，正方形AEFG的边长为1cm．如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C、F两点之间的最小距离为_________ cm．11．绕一定点旋转180°后与原来图形重合的图形是中心对称图形，正六边形就是这样的图形．小明发现将正六边形绕着它的中心旋转一个小于180°的角，也可以使它与原来的正六边形重合，请你写出小明发现的一个旋转角的度数：_____________________.12.如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4cm，以斜边BC上距离B点cm的H为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是＿＿＿cm2．13．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连接AE、DE，△ADE的面积为3，则BC的长为_________．14. 如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，如果AP=3，那么线段PP′的长等于________．15．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），进行如下操作：将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2，如此重复操作下去，得到线段OP3，OP4，…，则：（1）点P5的坐标为__________；（2）落在x轴正半轴上的点P n坐标是_________，其中n满足的条件是________．16．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是__________.三综合题17. 如图，已知，点P是正方ABCD内一点，且AP∶BP∶CP=1∶2∶3．求证：∠APB＝135°．18.如图，已知点D是△ABC的BC边的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且DE⊥DF．求证： BE + CF＞EF19.（2015•黄冈中学自主招生）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是．（结果可以不化简）20.如图14―1，14―2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.⑴如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；③请证明你的上述两猜想.⑵如图14―2，当点E 在AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N ，使得NE=BF ，进而猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系.【答案与解析】一、选择题 1．【答案】C. 2．【答案】C.【解析】分针每5分钟转动30.3．【答案】A.【解析】因为以M 或O 或N 为旋转中心两个图形能够完全重合. 4．【答案】D. 【解析】因为是菱形，所以可得为等腰直角三角形.5．【答案】C.【解析】△BDC 为正三角形，所以△FDC 为直角三角形，∠DCF=30°，DF=1，FC=,即求得.6．【答案】B. 【解析】根据题意画出△AOB 绕着O 点顺时针旋转120°得到的△COD，连接OP ，OQ ，过Q 作QM⊥y 轴，∴∠POQ=120°， ∵AP=OP，∴∠BAO=∠POA=30°， ∴∠MOQ=30°，在Rt△OMQ 中，OQ=OP=2， ∴M Q=1，OM=，则P 的对应点Q 的坐标为（1，﹣），故选B 7．【答案】D. 8.【答案】C.【解析】232,1),A (2,4),A （即旋转90°后3A 坐标为（-1,1）.二、填空题9.【答案】5.【解析】作FG ⊥AC ，根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°， ∵点F 是DE 的中点， ∴FG ∥CD∴GF=CD=AC=3 EG=EC=BC=2 ∵AC=6，EC=BC=4 ∴AE=2 ∴AG=4根据勾股定理，AF=5．10.【答案】【解析】当点F 在正方形ABCD 的对角线AC 上时，CF=AC ﹣AF ，当点F 不在正方形的对角线上时由三角形的三边关系可知AC ﹣AF ＜CF ＜AC+AF ，∴当点F 在正方形ABCD 的对角线AC 上时，C 、F 两点之间的距离最小，∴CF=AC﹣AF=4﹣=．故答案为：11．【答案】60°或120°.【解析】正六边形的中心角是60°.12．【答案】1.【解析】证明△FHC 和△FHG 是等腰直角三角形，且腰长为，即得.13．【答案】5.【解析】做DF ⊥BC,EG ⊥AD,交AD 的延长线于点G ,则AD=BF,可证得△DEG ≌△DCF,即EG=FC,又因为3ADEs△，所以EG=3，即BC=BF+FC=AD+EG=5.14．【答案】【解析】由旋转可知△APP ′是等腰直角三角形，所以PP ′=15．【答案】(1),（2）落在x 轴正半轴上的点P n 坐标是，其中n 满足的条件是n=8k （k=0，1，2，…）16．【答案】(-1，).【解析】首先求得12,P P 的坐标，即可求得3P 坐标.三.解答题17.【解析】证明：将△APB绕点B沿顺时针方向旋转90°至△CP′B位置(如图)，则有△APB≌△CP′B．∴BP′= BP，CP′＝AP，∠PBP′＝90°，∠APB=∠CP′B．设CP′= AP= k，则BP′= BP=2k，CP= 3k，在Rt△BP′P中，BP′= BP= 2k，∴∠BP′P=45°．=(3k)2= CP2，∴∠C P′P=90°，∴∠CP′B=∠CP′P+∠BP′P=90°+45°=135°，即∠APB=135°.18.【解析】证明：将△BDE绕点D沿顺时针方向旋转180°至△CDG位置，则有△BDE≌△CDG．∴BE=CG，ED=DG．∵DE⊥DF，即 DF⊥EG．∴EF=FG，在△FCG中CG+CF＞FG，即BE+CF＞EF．19.【解析】解：（1）如图2，∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C∴△A′BA是等边三角形，∴A′A=AB=BA′=2，在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；故答案是：6．（2）如图3，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．则A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC．∵当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段A'C最短，∴A'C=PA+PB+PC，∴A'C长度即为所求．过A'作A'D⊥CB延长线于D．∵∠A'BA=60°（由旋转可知），∴∠1=30°．∵A'B=4，∴A'D=2，BD=2，∴CD=4+2．在Rt△A'DC中A'C====2+2；∴AP+BP+CP的最小值是：2+2（或不化简为）．故答案是：2+2（或不化简为）．20.【解析】⑴①DE=EF；②NE=BF.③证明：∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，∴DN=EB∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF∴△DNE≌△EBF∴ DE=EF，NE=BF⑵在DA边上截取DN=EB（或截取AN=AE），连结NE，点N就使得NE=BF成立（图略）此时， DE=EF.。

九年级数学上册《旋转》练习与答案

九年级数学上册《旋转》练习一、单选题1．如图，ABC 与A'B'C'是成中心对称，下列说法不正确的是（）A ．ABCA'B'C'SS=B ．AB A'B'=，AC A'C'=，BC B'C'= C ．AB//A'B'，AC //A'C'，BC //B'C'D ．ACOA'B'OSS=2．如图，将Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△A 1B 1C ，连接AA 1，若∠AA 1B 1＝15°，则∠B 的度数是（）A ．75°B ．60°C ．50°D ．45°3．在如图所示的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，在正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转角得到的，点与对应，则角的大小为（）A ．B ．C ．D ．5．下列图形中，绕某个点旋转90°能与自身重合的有( )①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．下列几何图形中，绕其对称中心点旋转任意角度后，所得到的图形都和原图形重合，这个图形是( )A ．正方形B ．正六边形C ．五角星D ．圆7．下列四个图案是小明家在瓷砖厂选购的四种地砖图案，其中既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用平移来分析整个图案的形成过程的是（） A ．B ．C ．D ．8．下列图形中，既是中心对称又是轴对称的图形是（） A ．B ．C ．D ．9．时钟上的分针匀速旋转一周需要60min ，则经过20min ，分针旋转了（）A ．20B ．60C ．90D ．12010．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，BE=CF ，连接CE 、DF ．将△BCE 绕着正方形的中心O 按逆时针方向旋转到△CDF 的位置，则旋转角是A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°二、填空题11．在平面直角坐标系中，P 点关于原点的对称点为P 1（﹣3，﹣83），P 点关于x 轴的对称点为P 2（a ，b ）12．如图，在矩形ABCD 中，AD=3，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转，得到矩形AEFG ，点B 的对应点E 落在CD 上，且DE=EF ，则AB 的长为_____．13．已知点()3,2P ，则点P 关于y 轴的对称点1P 的坐标是________，点P 关于原点O 的对称点2P 的坐标是________．14．已知点()M 2m 1,m 1+-与点N 关于原点对称，若点N 在第二象限，则m 的取值范围是________．15．已知坐标平面上的机器人接受指令“（a ，A ）”﹙a≥0，0°＜A ＜180°﹚后的行动结果为：在原地顺时针旋转A 后，再向面对方向沿直线行走a ．若机器人的位置在原点，面对方向为y 轴的负半轴，则它完成一次指令（2，60°）后，所在位置的坐标为____________. 16．如图，在Rt AOB 中，90A ∠=，60AOB ∠=，在边长为1的小正方形组成的网格中，AOB 的顶点O 、A 均在格点上，点B 在x 轴上，点A 的坐标为()1,2-．()1点A 关于点O 中心对称的点的坐标为________；（2）AOB 绕点O 顺时针旋转60后得到11A OB ，那么点1A 的坐标为________；线段AB 在旋转过程中所扫过的面积是________．三、解答题17．如图，P 是矩形ABCD 下方一点，将△PCD 绕点P 顺时针旋转60°后，恰好点D 与点A 重合，得到△PEA ，连接EB ，问：△ABE 是什么特殊三角形？请说明理由．18．如图，在中，，，点分别在上（点与点不重合），且.将绕点逆时针旋转得到.当的斜边、直角边与分别相交于点（点与点不重合）时，设.（1）求证：；（2）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围.19．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后'''．的A B C20．如图，在平面直角坐标系中，△AOB是边长为2的等边三角形，将△AOB绕着点B按顺时针方向旋转得到△DCB，使得点D落在x轴的正半轴上，连接OC，AD．(1)求证：OC＝AD；(2)求OC的长．21．明明在办手抄报的时候，他想用图形“○○、△△、＝”(两个圆、两个三角形、两条平行线)为构件，构思具有一定意义的图形，他在图中左边方框中已经设计好了一个，你还能构思出其他的图形吗？请你在图中的右框中画出一个与之不同的图形，并写出一两句贴切、诙谐的解说词．22．如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；（2）在图2中，画出一个与△ABC 成轴对称且与△ABC 有公共边的格点三角形；（3）在图3中，画出△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转90°后的三角形．23．如图网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB 、CD 的端点都在小正方形的顶点上．()1图()1中，画一个以线段AB 一边的四边形ABEF ，且四边形ABEF 是面积为7的中心对称图形，点E 、F 都在小正方形的顶点上，并直接写出线段BE 的长；()2在图()2中，画一个以线段CD 为斜边直角三角形CDG ，且CDG 的面积是2，点G在小方形的顶点上．24．等边OAB 在平面直角坐标系中，已知点()2,0A ，将OAB 绕点O 顺时针方向旋转(0360)a a <<得11OA B ．()1求出点B 的坐标；()2当1A 与1B 的纵坐标相同时，求出a 的值； ()3在()2的条件下直接写出点1B 的坐标．25．如图，P 是正ABC 内的一点，若将PAC 绕点A 逆时针旋转到P'AB ，（1）求PAP'∠的度数．（2）若AP 3=，BP 4=，PC 5=，求APB ∠的度数．九（上）数学《旋转》练习答案一、单选题1．如图，ABC 与A'B'C'是成中心对称，下列说法不正确的是（）A ．ABCA'B'C'SS=B ．AB A'B'=，AC A'C'=，BC B'C'= C ．AB//A'B'，AC //A'C'，BC //B'C'D ．ACOA'B'OSS=【答案】D2．如图，将Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△A 1B 1C ，连接AA 1，若∠AA 1B 1＝15°，则∠B 的度数是（）A ．75°B ．60°C ．50°D ．45°【答案】B3．在如图所示的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D4．如图，在正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转角得到的，点与对应，则角的大小为（）A．B．C．D．【答案】C5．下列图形中，绕某个点旋转90°能与自身重合的有( )①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A6．下列几何图形中，绕其对称中心点旋转任意角度后，所得到的图形都和原图形重合，这个图形是( )A．正方形B．正六边形C．五角星D．圆【答案】D7．下列四个图案是小明家在瓷砖厂选购的四种地砖图案，其中既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用平移来分析整个图案的形成过程的是（）A．B．C．D．【答案】C8．下列图形中，既是中心对称又是轴对称的图形是（）A．B．C．D．【答案】D9．时钟上的分针匀速旋转一周需要60min，则经过20min，分针旋转了（）A．20B．60C．90D．120【答案】D10．如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，BE=CF，连接CE、DF．将△BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到△CDF的位置，则旋转角是A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】C二、填空题11．在平面直角坐标系中，P 点关于原点的对称点为P 1（﹣3，﹣83），P 点关于x 轴的对称点为P 2（a ，b ）【答案】﹣2．12．如图，在矩形ABCD 中，AD=3，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转，得到矩形AEFG ，点B 的对应点E 落在CD 上，且DE=EF ，则AB 的长为_____．【答案】13．已知点()3,2P ，则点P 关于y 轴的对称点1P 的坐标是________，点P 关于原点O 的对称点2P 的坐标是________．【答案】()3,2- ()3,2--14．已知点()M 2m 1,m 1+-与点N 关于原点对称，若点N 在第二象限，则m 的取值范围是________．【答案】1m 12-<<.15．已知坐标平面上的机器人接受指令“（a ，A ）”﹙a≥0，0°＜A ＜180°﹚后的行动结果为：在原地顺时针旋转A 后，再向面对方向沿直线行走a ．若机器人的位置在原点，面对方向为y 轴的负半轴，则它完成一次指令（2，60°）后，所在位置的坐标为____________.【答案】（-1）16．如图，在Rt AOB 中，90A ∠=，60AOB ∠=，在边长为1的小正方形组成的网格中，AOB 的顶点O 、A 均在格点上，点B 在x 轴上，点A 的坐标为()1,2-．()1点A 关于点O 中心对称的点的坐标为________；（2）AOB 绕点O 顺时针旋转60后得到11A OB ，那么点1A 的坐标为________；线段AB 在旋转过程中所扫过的面积是________．【答案】()1,2- ()1,2 52π三、解答题17．如图，P 是矩形ABCD 下方一点，将△PCD 绕点P 顺时针旋转60°后，恰好点D 与点A 重合，得到△PEA ，连接EB ，问：△ABE 是什么特殊三角形？请说明理由．【答案】解：△ABE 是等边三角形.理由如下：……………………………………… 1分由旋转得△PAE ≌△PDC∴CD=AE ，PD=PA,∠1=∠2……………………3分 ∵∠DPA=60°∴△PDA 是等边三角形…………4分 ∴∠3＝∠PAD ＝60°.由矩形ABCD 知，CD ＝AB ，∠CDA ＝∠DAB ＝90°. ∴∠1＝∠4＝∠2＝30°………………………6分 ∴AE ＝CD ＝AB ，∠EAB ＝∠2+∠4＝60°, ∴△ABE 为等边三角形…………………………7分 18．如图，在中，，，点分别在上（点与点不重合），且.将绕点逆时针旋转得到.当的斜边、直角边与分别相交于点（点与点不重合）时，设.（1）求证：；（2）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）19．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．画出△ABC绕点O逆时针旋转90°'''．后的A B C【答案】详见解析.20．如图，在平面直角坐标系中，△AOB是边长为2的等边三角形，将△AOB绕着点B按顺时针方向旋转得到△DCB，使得点D落在x轴的正半轴上，连接OC，AD．(1)求证：OC＝AD；(2)求OC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）OC＝2√3.21．明明在办手抄报的时候，他想用图形“○○、△△、＝”(两个圆、两个三角形、两条平行线)为构件，构思具有一定意义的图形，他在图中左边方框中已经设计好了一个，你还能构思出其他的图形吗？请你在图中的右框中画出一个与之不同的图形，并写出一两句贴切、诙谐的解说词．【答案】见解析22．如图，在4×4的方格纸中，△ABC 的三个顶点都在格点上．（1）在图1中，画出一个与△ABC 成中心对称的格点三角形；（2）在图2中，画出一个与△ABC 成轴对称且与△ABC 有公共边的格点三角形；（3）在图3中，画出△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转90°后的三角形．【答案】（1）如图所示见解析；（2）如图所示见解析；（3）如图所示见解析. 23．如图网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB 、CD 的端点都在小正方形的顶点上．()1图()1中，画一个以线段AB 一边的四边形ABEF ，且四边形ABEF 是面积为7的中心对称图形，点E 、F 都在小正方形的顶点上，并直接写出线段BE 的长；()2在图()2中，画一个以线段CD 为斜边直角三角形CDG ，且CDG 的面积是2，点G 在小方形的顶点上．【答案】见解析24．等边OAB 在平面直角坐标系中，已知点()2,0A ，将OAB 绕点O 顺时针方向旋转(0360)a a <<得11OA B ．()1求出点B 的坐标；()2当1A 与1B 的纵坐标相同时，求出a 的值； ()3在()2的条件下直接写出点1B 的坐标．【答案】(1)( . (2) 120a =或300a = (3)( -或(1, 25．如图，P 是正ABC 内的一点，若将PAC 绕点A 逆时针旋转到P'AB ，（1）求PAP'∠的度数．（2）若AP 3=，BP 4=，PC 5=，求APB ∠的度数．【答案】（1）PAP'60∠=；（2）APB 150∠=.。

勤学早数学九年级上册

勤学早数学九年级上册一、一元二次方程。

1. 定义与一般形式。

- 定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。

- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

- 例如方程3x^2-5x + 2 = 0，这里a = 3，b=- 5，c = 2。

2. 解法。

- 直接开平方法。

- 对于形如x^2=k(k≥0)的方程，可以直接开平方得到x=±√(k)。

- 例如方程x^2=9，解得x = 3或x=-3。

- 配方法。

- 步骤：先将方程化为ax^2+bx = - c的形式，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方((b)/(2a))^2，将左边配成完全平方式(x+(b)/(2a))^2，再进行开方求解。

- 例如对于方程x^2+6x - 7 = 0，首先将方程变形为x^2+6x=7，然后在两边加上((6)/(2))^2=9，得到(x + 3)^2=16，开方得x+3=±4，解得x = 1或x=-7。

- 公式法。

- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。

- 例如方程2x^2-3x - 2 = 0，这里a = 2，b=-3，c=-2，代入求根公式x=frac{3±√((-3)^2)-4×2×(-2)}{2×2}=(3±√(9 + 16))/(4)=(3±5)/(4)，解得x = 2或x=-(1)/(2)。

- 因式分解法。

- 把方程化为一边是零，另一边是两个一次因式积的形式(ax + m)(bx +n)=0，则ax + m = 0或bx + n = 0，从而求解。

- 例如方程x^2-3x + 2 = 0，分解因式得(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2。

036.勤学早测试卷目录(16-17) 数学九年级(上、下)

勤学早测试卷（2016-2017）数学九年级（上、下）九年级数学（上册）1.九(上)第21章《一元一次方程》周测（一）2.九(上)第21章《一元二次方程》周测（二）3.九(上)第2l章《一元二次方程》单元检测题（月考一）4.九(上)第2l章《一元二次方程》专题一点通（一）（二）5.九(上)第22章《一次函数》周测（一）6.九(上)第22章《二次函数》周测（二）7.九(上)第22章《二次函数》单元检测题8.九(上)第22章《二次函数》专题一点通（一）（二）9.九(上)第22章《二次函数》专题一点通（三）10.九(上)月考（二）11.九(上)第23章《旋转》单元检测题12.九(上)第23章《旋转》专题一点通13.九(上)期中模拟题（月考三）14.九(上)第24章《圆》周测（一）15.九(上)第24章《圆》周测（二）16.九(上)第24章《圆》周测（三）17.九(上)第24章《圆》单元检测题18.九(上)第24章《圆》专题一点通19.九(上)月考(四)20.九(上)第25章《概率初步》单元检测题21.九(上)第25章《概率初步》专题一点通22.九(上)期末模拟题（月考五）九年级数学（下册）23.九(下)第26章《反比例函数》周测（一）24.九(下)第26章《反比例函数》周测（二）25.九(下)第26章《反比例函数》单元检测题（月考一）26.九(下)第26章《反比例函数》专题一点通27.九(下)第27章《相似》周测（一）28.九(下)第27章《相似》周测（二）29.九(下)第27章《相似》单元检测题30.九(下)第27章《相似》专题一点通31.九(下)月考（二）32.九(下)第28章《三角函数》周测（一）33.九(下)第28章《三角函数》单元检测题34.九(下)第28章《三角函数》专题一点通35.九(下)第29章《投影与视图》单元检测题36.九(下)月考（三）（中考模拟题）。

11. 勤学早九年级数学(上)第23章《旋转》单元检测题

11. 勤学早九年级数学（上）第23章《旋转》单元检测题（考试范围第23章综合测试解答参考时间：120分钟满分1 20分）一、选择题（每小题3分，共30分）l. 下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是(A)2. P(-2，3)关于原点对称的点的坐标是(D)A(3，-2) B(2，3) C(-2，-3) D(2，-3)3. 下列几何图形中，绕其对称中心点旋转任意角度后，所得到的图形都和原图形重合，这个图形是( D )A正方形B正六边形C五角星D圆4. （2015香坊区）如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△A′B'C′，连接BB'，若AC′∥BB'，则∠C′AB ′的度数为(B)A. 45° B . 30° C . 20° D. 15°5. 若点A的坐标为(6，3)，O为坐标原点，将OA绕点O接顺时针方向旋转90°得到OA′，则点A′的坐标为(D)A(3，6) B(-3，6) C(-3，-6) D(3，-6)6. 如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A'B'C，则点P的坐标是(B)A(1，1) B(1，2) C(1，3) D(1，4)7. (2015江东）如图，在正方形网格中，将△ABC顺时针旋转后得到△A'B′C′，则下列4个点中能作为旋转中心的是(A)A. 点PB. 点QC. 点RD. 点S8. 如图，两个边长都为2的正方形A BCD和OPQR，如果O点正好是正方形ABCD的中心，而正方形OPQR可以绕D点旋转，那么它们重叠部分的面积为( C )A．4 B. 2 C. 1 D. 1 29. 如图，正方形ABCD的边长是3cm，一个边长为1cm的小正方形沿着正方形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向是(D)A. ↑B. →C. ↓D. ←10. 如图，P是正方形ABCD内一点，∠APB=135°，BP=1，，则PC 的长是(B)A. B. 3 D . 2二、填空题（每小题3分，共18分）1l. 如图，以点O为旋转中心，将∠l按顺时针方向旋转110 °得到∠2，若∠1= 40°，则∠2的大小为_____度. （40）12. 点A(-3，m)与点A′(n，2)关于原点中心对称，则m+n的值是____ . (1)13. 如图，在平面直角坐标系x Oy中，已知点A(3，4)，将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA'，则点A′的坐标是_______ . (-4，3)14. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°后，得到矩形AB′C′D⊥，若CD=4，AD=3，连接CC′，那么CC′的长是______ . (5)15 . (2015河北）如图，在△ABC中，AB=1，AC=2，现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′，连接AB′，并有AB′=3，则∠A′的度数为_______. (135°)16. 如图，在△BDE中，∠BDE=90°，，点D的坐标是(5，0)，∠BDO=15°，将△BDE旋转到△ABC的位置，点C在BD 上，则旋转中心的坐标为_______ . (3，).三、解答题（共8题，共72分）17. （本题8分）如图，△ABC由△EDC绕C点旋转得到，B、C、E三点在同一条直线上，∠ACD=∠B，求证：△ABC是等腰三角形.解：∠ACD=∠B=∠D，∴AC∥DE，∴∠ACB=∠E=∠A，∴△ABC是等腰三角形.18. (本题8分) 如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B'C，连接AA'，若∠1= 20°，求∠B的度数.解：∠CA'B'= 45°-∠1 = 25°，∠B=90°- ∠BAC= 90°-∠CA'B'=90°-25°=65°.19.（本题8分）如图，在正方形ABCD中，AB=4，点O在AB上，且OB= -1，点P是BC上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转90°得到线段OQ，点Q恰好落在AD上，求BP的长.解：证△AOQ ≌△BPO ，BP=AO=320.（本题8分）如图，在△ABC 中，A(1，-1)、B(l ，-3)、C(4，-3).(1)△1A 1B 1C 是△ABC 关于x 轴的对称图形，则点A 的对称点1A 的坐标是_______; (-1，-1)(2)将△ABC 绕点（0，1)逆时针旋转90 °得到△A 2B 2C 2，则B 点的对应点B 2的坐标是____；（4，2）(3)△1A 1B 1C 与△A 2B 2C 2是否关于某条直线成轴对称？若成轴对称，则对称轴的解析式是_________________ （图略，y= -x+1）21. (本题8分)如图，矩形ABCD 在平面直角坐标系的位置如图，A(0，0)，B(6，0)，D(0，4)(1) 根据图形直接写出点C 的坐标；(2) 已知直线m 经过点P(0，6)且把矩形ABCD 分成面积相等的两部分，请只用直尺准确地画出直线m ，并求该直线m 的解析式.解：（1）C (6，4)（2）m 过四边形ABCD 的中心（3，2），则m 的解析式为y= 4-3x+622.（本题10分）△ABC 中，∠A=36°，将△ABC 绕平面中的某一点D 按顺时针方向旋转一定角度得到△1A 1B 1C ．(1)若旋转后的图形如图所示，请在图中用尺规作出点D ，请保留作图痕迹，不要求写作法；(2)若将△ABC 按顺时针方向旋转到△1A 1B 1C 的旋转角度为α(0°<α<180°)，且AC ⊥1A 1B ，直接写出旋转角度α的值为______ (54°)23. （本题10分）(2016武汉原创题)（1）如图1，四边形ABCD 中，AB=7，BC=3，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD 的长；(2)如图2，在(2)的条件下，当△ACD 在线段AC 的左侧时，求BD 的长.解：（1）将△ABD 绕点A 顺时针旋转90°得△AEC ，连接EB ，则△ABE 为等腰直角三角形，，∠ABF=45°，∵∠ABC=45°，∴∠EBC=90°，∴(2)将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得△AEC ，则△ABE 为等腰直角三角形，-324. （本题12分）(2016武汉改编题)在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且∠EAF =∠CFF =45°(l ) 将△ADF 绕点A 顺时针旋转90 °，得到△ABG （如图1），求证：BE+DF=EF ；(2) 若直线EF 与AB 、AD 的延长线分别交于点M 、N （如图2），求证：222EF ME NF =+(3) 将正方形改为长与宽不相等的矩形，其余条件不变（如图3），直接写出线段EF 、BE 、DF 之间的数量关系.解：（1）略；(2)将△ANF 绕点A 顺时针旋转90°，得到△AMG ；（3)延长EF 、AD 交于点N ，延长FE 、AB 交于点M ，将△ANF 绕点A 顺时针旋转90°，得到△AMG ，则∠GME=45°+45°=90°，再证△AEG ≌△AEF ，得222222EF EG ME MG ME NF ==+=+=2222BE DF +。

九年级(初三)《旋转》知识点及练习(带答案)

旋转一.知识框架二．知识概念1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。

这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

（图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。

）2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。

3．中心对称图形与中心对称：中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。

中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。

4.中心对称的性质：关于中心对称的两个图形是全等形。

关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。

一、精心选一选 (每小题3分，共30分)1．下面的图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．平面直角坐标系内一点P （－2,3）关于原点对称的点的坐标是（）A ．（3，－2）B ． (2,3）C ．（－2，－3）D ． (2，－3）3．3张扑克牌如图1所示放在桌子上，小敏把其中一张旋转180º后得到如图（2）所示，则她所旋转的牌从左数起是（）A ．第一张B ．第二张C ．第三张D ．第四张 4．在下图右侧的四个三角形中，不能由△ABC 经过旋转或平移得到的是（）5．如图3的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（） A ．向右平移7格B ．以AB 的垂直平分线为对称轴作轴对称，再以AB 为对称轴作轴对称C ．绕AB 的中点旋转1800，再以AB 为对称轴作轴对称D ．以AB 为对称轴作轴对称，再向右平移7格6．从数学上对称的角度看，下面几组大写英文字母中，不同于另外三组的一组是（）A ．A N E GB ．K B X NC ．X I H OD ．Z D W H7．如图4，C 是线段BD 上一点，分别以BC 、CD 为边在BD 同侧作等边△ABC 和等边△CDE,AD 交CE 于F ，BE 交AC 于G ，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有( )． A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对8．下列这些复杂的图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们中每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（）A ︒30B ︒45C ︒60D ︒909．如图5所示，图中的一个矩形是另一个矩形顺时针方向旋转90°后形成的个数是（） A ．l 个B ．2个C ．3个D ．4个ABCABCDCDE图4图5图图1210．如图6，ΔABC 和ΔADE 都是等腰直角三角形，∠C 和∠ADE 都是直角，点C 在AE 上，ΔABC 绕着A 点经过逆时针旋转后能够与ΔADE 重合得到图7，再将图23—A —4作为“基本图形”绕着A 点经过逆时针连续旋转得到图7.两次旋转的角度分别为（）A ．45°，90°B ．90°，45°C ．60°，30°D ．30°，60 二、耐心填一填（每小题3分，共24分）11．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过，而且被_____________平分.12．在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这五种图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是_____________．13．时钟上的时针不停地旋转，从上午8时到上午11时，时针旋转的旋转角是_____________． 14．如图8，△ABC 以点A 为旋转中心，按逆时针方向旋转60°，得△AB ′C ′，则△ABB ′是三角形.15．已知ａ＜0，则点Ｐ（ａ2，－ａ＋3）关于原点的对称点Ｐ1在第＿＿＿象限16．如图9，△COD 是△AOB 绕点O 顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C 恰好在AB 上，∠AOD ＝90°，则∠D 的度数是．17．如图10，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆的半径为2，则图中阴影部分的面积是＿＿＿.18．如图,四边形ABCD 中，∠BAD=∠C=90º，AB=AD ，AE ⊥BC 于E ，若线段AE=5，则S 四边形ABCD＝。

九年级数学上册第二十三章旋转笔记重点大全(带答案)

九年级数学上册第二十三章旋转笔记重点大全单选题1、平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(−5,1)，将OA绕原点按逆时针方向旋转90°得OB，则点B 的坐标为（）A．(−5,1)B．(−1,−5)C．(−5,−1)D．(−1,5)答案：B分析：根据题意证得△AOC≌△OBD，可得结论．解：如图，根据题意得∶∠AOB=90°，∠ACO=∠BDO=90°，OA=OB，∴∠AOC+∠BOD=90°，∠AOC+∠OAC=90°，∴∠BOD=∠OAC，∴△AOC≌△OBD，∴BD=OC，OD=AC，∵点A的坐标为(−5,1)，∴BD=OC=1，OD=AC=5，∴B(−1,−5)．故选：B．小提示：本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，属于中考常考题型．2、如图，正方形OABC的边长为√2，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为（）A．(−√2,0)B．(−√2,0)C．(0,√2)D．(0,2)答案：D分析：连接OB，由正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，推出∠A1OB1=45°，得到△A1OB1为等腰直角三角形，点B1在y轴上，利用勾股定理求出O B1即可．解：连接OB，∵正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，∴∠AOA1=45°，∠AOB=45°，∴∠A1OB1=45°，∴△A1OB1为等腰直角三角形，点B1在y轴上，∵∠B1A1O=90°,A1B1=OA1=√2，∴OB1=√A1B12+OA12=√2+2=2，∴B1（0，2），故选：D．小提示：本题考查了正方形的性质，旋转的性质，特殊三角形的性质．关键是根据旋转角证明点B1在y轴上．3、在平面直角坐标系中，点(3,2)关于原点对称的点的坐标是（）A．(2,3)B．(−3,2)C．(−3,−2)D．(−2,−3)答案：C分析：根据坐标系中对称点与原点的关系判断即可．关于原点对称的一组坐标横纵坐标互为相反数,所以(3,2)关于原点对称的点是(-3,-2),故选C．小提示：本题考查原点对称的性质,关键在于牢记基础知识．4、以图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换，不能得到图（2）的是（）A．绕着OB的中点旋转180°即可B．先绕着点O旋转180°，再向右平移1个单位C．先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位D．只要向右平移1个单位答案：D分析：根据旋转、平移和轴对称的定义进行分析即可．由旋转、平移和轴对称的性质可知：经过A、B、C的变化，图（1）均可得到图（2），经过D的变化不能得到图（2）；故选：D小提示：本题主要考查了旋转、平移和轴对称的性质，熟练地掌握各个性质是解题的关键．5、如图，在平面直角坐标系中，OA1＝OB1，∠A1OB1＝120°，将ΔA1OB1绕点O顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为120°的等腰三角形．第一次变化后得到等腰三角形A2OB2，点A1（1，0）的对应点为A2(−1，−√3)；第二次变化后得到等腰三角形A3OB3，点A2的对应点为A3(−32，3√32)；第三次变化后得到等腰三角形A4OB4，点A3的对应点为A4（4，0）⋯⋯依此规律，则第2022个等腰三角形中，点B2022的坐标是（）A．（2022，0）B．(−2022，−2022√3)C．(−1011，1011√3)D．(−1011，−1011√3)答案：D分析：利用循环的规律，找到第2022个等腰三角形与第一个循环的图形的第几个位置相同，再根据第一个循环中的点坐标进行求值即可．解：由题意可知，旋转规律为4次一个循环，即第2022次为：505个循环余2，∴点B2022位置与B3相同，在第三象限，∵B3坐标为(−32，−3√32)，∴点B2022坐标为(−20222，−2022√32)，即为(−1011，−1011√3)．故选：D．小提示：本题主要考查的是坐标系与几何图形的规律问题，准确找到循环规律是解题的关键．6、如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（）A．AB=AN B．AB∥NC C．∠AMN=∠ACN D．MN⊥AC答案：C分析：根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可．解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN，∴AB=AC，AM=AN，∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意；∵△ABM≌△ACN，∴∠ACN=∠B，而∠CAB不一定等于∠B，∴∠ACN不一定等于∠CAB，∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意；∵△ABM≌△ACN，∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B，∴∠BAC=∠MAN，∵AM=AN，AB=AC，∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等，∴∠B=∠AMN，∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意；∵AM=AN，而AC不一定平分∠MAN，∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意；故选：C．小提示：本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．旋转变换是全等变换，利用旋转不变性是解题的关键．7、在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（）A．y=−x2−4x+5B．y=x2+4x+5C．y=−x2+4x−5D．y=−x2−4x−5答案：A分析：先求出C点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x,y），求出它关于点C对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．解:当x=0时，y=5，∴C（0,5）；设新抛物线上的点的坐标为（x,y），∵原抛物线与新抛物线关于点C成中心对称，由2×0−x=−x，2×5−y=10−y；∴对应的原抛物线上点的坐标为(−x,10−y)；代入原抛物线解析式可得：10−y=(−x)2−4⋅(−x)+5，∴新抛物线的解析式为：y=−x2−4x+5；故选：A．小提示：本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等．8、将△OBA按如图方式放在平面直角坐标系中，其中∠OBA=90°，∠A=30°，顶点A的坐标为(1,√3)，将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点A对应点的坐标为（）A．(−1,√3)B．(−√3,1)C．(−√33,1)D．(−1,√33)答案：A分析：根据旋转性质，可知6次旋转为1个循环，故先需要求出前6次循环对应的A点坐标即可，利用全等三角形性质求出第一次旋转对应的A点坐标，之后第2次旋转，根据图形位置以及OA长，即可求出，第3、4、5次分别利用关于原点中心对称，即可求出，最后一次和A点重合，再判断第2023次属于循环中的第1次，最后即可得出答案．解：由题意可知：6次旋转为1个循环，故只需要求出前6次循环对应的A点坐标即可第一次旋转时：过点A′作x轴的垂线，垂足为C，如下图所示：由A的坐标为(1,√3)可知：OB=1，AB=√3，在RtΔAOB中，∠AOB=90°−∠A=60°，OA=2由旋转性质可知：ΔAOB≌ΔA′OB′，∴∠A′OB′=∠AOB=60°，OA′=OA，∴∠A′OC=180°−∠A′OB′−∠AOB=60°，在ΔA′OC与ΔAOB中：{∠A′OC′=∠AOB=60°∠A′CO=∠ABO=90°OA′=OA∴ΔA′OC′≌ΔAOC(AAS)，∴OC =OB =1，A ′C =AB =√3，∴此时点A 对应坐标为(−1，√3)，当第二次旋转时，如下图所示：此时A 点对应点的坐标为(−2，0)．当第3次旋转时，第3次的点A 对应点与A 点中心对称，故坐标为(−1，−√3)．当第4次旋转时，第4次的点A 对应点与第1次旋转的A 点对应点中心对称，故坐标为(1，−√3)．当第5次旋转时，第5次的点A 对应点与第2次旋转的A 点对应点中心对称，故坐标为(2，0)．第6次旋转时，与A 点重合．故前6次旋转，点A 对应点的坐标分别为：(−1，√3)、(−2，0)、(−1，−√3)、(1，−√3)、(2，0)、(1,√3)．由于2023÷6=337⋅⋅⋅⋅⋅⋅1，故第2023次旋转时，A 点的对应点为(−1，√3)．故选：A ．小提示：本题主要是考查了旋转性质、中心对称求点坐标、三角形全等以及点的坐标特征，熟练利用条件证明全等三角形，；通过旋转和中心对称求解对应点坐标，是求解该题的关键．9、如图，点O 是等边三角形ABC 内一点，OA =2，OB =1，OC =√3，则ΔAOB 与ΔBOC 的面积之和为（）A ．√34B ．√32C ．3√34D ．√3答案：C分析：将ΔAOB绕点B顺时针旋转60°得ΔBCD，连接OD，得到△BOD是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得∠COD=90°，从而求解．解：将ΔAOB绕点B顺时针旋转60°得ΔBCD，连接OD，∴OB=OD，∠BOD=60°，CD=OA=2，∴ΔBOD是等边三角形，∴OD=OB=1，∵OD2+OC2=12+(√3)2=4，CD2=22=4，∴OD2+OC2=CD2，∴∠DOC=90°，∴ΔAOB与ΔBOC的面积之和为S△BOC+S△BCD=S△BOD+S△COD=√34×12+12×1×√3=3√34．故选：C．小提示：本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将ΔAOB与ΔBOC的面积之和转化为S△BOC+S△BCD，是解题的关键．10、已知点P(m−3,m−1)关于原点的对称点P′在第四象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．答案：D分析：先确定点P 所在的象限，然后根据点所在象限的坐标特点列不等式组求解即可．解：∵点P(m −3,m −1)关于原点的对称点P′在第四象限，∴点P 在第二象限，∴ {m −3<0m −1>0，解得：1<m <3，故选：D ．小提示：本题主要考查了点的坐标特征，掌握第二象限的点的横坐标小于零、纵坐标大于零是解答本题的关键．填空题11、△ABC 中，AB =8，AC =6，AD 是BC 边上的中线，则AD 长度的范围是__________．答案：1＜AD ＜7分析：延长AD 至E ，使DE =AD ，连接CE ．根据SAS 证明△ABD ≌△ECD ，得CE =AB ，再根据三角形的三边关系即可求解．解：延长AD 至E ，使DE =AD ，连接CE ．在△ABD 和△ECD 中，{DE =AD∠ADB =∠CDE DB =DC，∴△ABD ≌△ECD （SAS ），∴CE =AB ．在△ACE 中，CE -AC ＜AE ＜CE +AC ，即2＜2AD ＜14，故1＜AD＜7．故答数为：1＜AD＜7．小提示：本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一．12、如图，正方形OABC的边长为2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到正方形OA′B′C′，连接BC′，当点A′恰好落在线段BC′上时，线段BC′的长度是 ___．答案：√6+√2分析：连接OB，过点O作OE⊥C'B于E，则∠OEC'=∠OEB=90°，由正方形OABC绕点O逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到正方形OA′B′C′，所以∠OC'E=45°，OA=OC'=AB=2，∠A=90°，根据勾股定理得到BE的长，从而得到BC'.解：如图，连接OB，过点O作OE⊥C'B于E，则∠OEC'=∠OEB=90°，∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到正方形OA′B′C′，点A′恰好落在线段BC′上，∴∠OC'E=45°，OA=OC'=AB=2，∠A=90°，∴OB=2√2，OE=EC'=√2，在Rt△OBE中，由勾股定理得：BE=√OB2−OE2=√(2√2)2−(√2)2=√6，∴BC'=BE+EC'=√6+√2．所以答案是：√6+√2小提示：本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及勾股定理，解题的关键是作辅助线构造特殊三角形．13、已知坐标系中点A(−2,a)和点B(b,3)关于原点中心对称，则a+b=__________．答案：-1分析：直接利用关于原点对称点的性质，得出a，b的值，即可得出答案．解：∵坐标系中点A（-2，a）和点B（b，3）关于原点中心对称，∴b=2，a=-3，则a+b=2-3=-1．所以答案是：-1．小提示：此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．14、如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（-2，2），C（-1，0）．将△ABC绕某点顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是_____________．答案：（1，-1）分析：由旋转的性质可得A的对应点为D，B的对应点为E，C的对应点为F，同时旋转中心在AD和BE的垂直平分线上，进而求出旋转中心坐标．解：由旋转的性质，得A的对应点为D，B的对应点为E，C的对应点为F作BE和AD的垂直平分线，交点为P∴点P的坐标为（1，-1）所以答案是：（1，-1）小提示：本题考查坐标与图形变化—旋转，图形的旋转需结合旋转角求旋转后的坐标，常见的旋转角有30°，45°，60°，90°，180°．15、若点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，则a＋b＝___．答案：2分析：根据关于原点对称的性质得到a-1+5=0，5+1-b=0，求出a、b，问题得解．解：∵点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，∴a-1+5=0，5+1-b=0，∴a=-4，b=6，∴a+b=2．所以答案是：2小提示：本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟知“两个点关于原点对称，则这两个点的横纵坐标都互为相反数”是解题关键．解答题16、如图，已知等边△ABC中，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你连结EN，并判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE 上？请写出结论，并说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点M在点C右侧时，请你判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论：若不成立，请说明理由．答案：（1）相等，在，理由见解析；（2）成立，证明见解析；（3）成立．分析：（1）连接DE、DF、EF，NF，根据等边三角形的性质和三角形中位线的性质，先证得△DBF是等边三角形，可得△DMB≌△DNF，可得∠DBM=∠DFN，从而得到∠NFD+∠DFE=180°，再由△DMN是等边三角形，从而证得△DMF≌△DNE，得到EN=MF，即可求证；（2）连接DF，NF，EF，等边三角形的性质，可证得△DMB≌△DNF，得到BM=FN，∠DFN=∠FDB=60°，从而NF∥BD，再由EF是△ABC的中位线，可得EF∥BD，从而F在直线NE上，即可求证；（3）连接DF、DE，EF，根据等边三角形的性质和三角形中位线的性质，可得△DBF是等边三角形，从而证得△DNE≌△DMF，即可求证．解：（1）EN=MF，点F在直线NE上，理由如下：如图1，连接DE、DF、EF，NF，∴AB=AC=BC，∠ABC=60°，又∵点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，∴DE、DF、EF为等边△ABC的中位线，DE=12BC,EF=12AB,DF=12AC，∴DE=DF=EF，∴∠FDE=∠DFE=60°∵D、F分别是AB、BC的中点，∴BD=BF，∴△DBF是等边三角形，∴∠BDF=60°，∵△DMN是等边三角形，∴∠MDN=60°，DM=DN，∴∠MDN=∠BDF=60°，DB=DF，∴∠MDN-∠BDN=∠BDF-∠BDN，即∠MDB=∠NDF，在△DMB和△DNF中，∵DM=DN，∠MDB=∠NDF，DB=DF，∴△DMB≌△DNF，∴∠DBM=∠DFN，∵∠ABC=60°，∴∠DBM=120°，∴∠NFD=120°，∴∠NFD+∠DFE=120°+60°=180°，∴N、F、E三点共线，∴F在直线NE上；∴∠MDN=60°，DM=DN，∴∠FDE+∠NDF=∠MDN+∠NDF，∴∠MDF=∠NDE，在△DMF和△DNE中，∵DF=DE，∠MDF=∠NDE，DM=DN，∴△DMF≌△DNE，∴MF=NE，（2）成立，理由如下：如图2，连接DF，NF，EF，∵△ABC是等边三角形且D、F分别是AB、BC的中点，∴∠ABC=60°，BD=BF，∴△DBF是等边三角形，∴∠BDF=∠DBF=60°，∵△DMN是等边三角形，∴∠MDN=60°，DM=DN，∴∠MDN=∠BDF=60°，DB=DF，∴∠MDN-∠FDM=∠BDF-∠FDM，即∠MDB=∠NDF，在△DMB和△DNF中，∵DM=DN，∠MDB=∠NDF，DB=DF，∴△DMB≌△DNF，∴∠DBM=∠DFN=60°，BM=FN，∴∠DFN=∠FDB=60°，∴NF∥BD，∵E，F分别为边AC，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，BF=12BC=12AB，∴EF∥BD，EF=12AB，∴F在直线NE上，BF=EF，∴MF=EN；（3）MF与EN相等的结论仍然成立，理由如下：如图3，连接DF、DE，EF，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，又∵点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，∴DE、DF、EF为等边△ABC的中位线，DE=12BC,EF=12AB,DF=12AC，∴DE=DF=EF，∴△DEF是等边三角形，∴∠FDE=60°，∵△DMN是等边三角形，∴∠MDN=∠FDE=60°，DM=DN，∴∠EDM+∠NDE=∠EDM+∠FDM，∴∠NDE=∠FDM，在△DNE和△DMF中，∵DE=DF，∠NDE=∠FDM，DN=DM，△DNE≌△DMF，∴MF=NE．小提示：本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，熟练掌握等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定是解题的关键．17、已知△ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)在线段AC上任取一点Р（端点除外），连接PD．将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点Р在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？说明理由．(3)在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．答案：(1)见解析(2)∠DPQ大小不变，理由见解析(3)CP=AQ，证明见解析分析：（1）连接BD，由等边三角形的性质可得AC垂直平分BD，继而得出AB=BC=CD=AD，便可证明；（2）连接PB，过点P作PE∥CB交AB于点E，PF⊥AB于点F，可证明△APE是等边三角形，由等腰三角形三线合一证明∠APF=∠EPF，∠QPF=∠BPF，即可求解；（3）由等腰三角形三线合一的性质可得AF = FE，QF = BF，即可证明．（1）连接BD，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∵点B，D关于直线AC对称，∴AC垂直平分BD，∴DC=BC,AD=AB，∴AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）当点Р在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小不发生变化，始终等于60°，理由如下：∵将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处，∴PQ=PD，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，连接PB，过点P作PE∥CB交AB于点E，PF⊥AB于点F，则∠APE=∠ACB=60°,∠AEP=∠ABC=60°，∴∠APE=∠BAC=60°=∠AEP，∴△APE是等边三角形，∴AP=EP=AE，∵PF⊥AB，∴∠APF=∠EPF，∵点B，D关于直线AC对称，点P在线段AC上，∴PB = PD，∠DPA =∠BPA，∴PQ = PD，∵PF⊥AB，∴∠QPF=∠BPF，∴∠QPF -∠APF=∠BPF -∠EPF，即∠QPA = ∠BPE，∴∠DPQ =∠DPA - ∠QPA=∠BPA-∠BPE = ∠APE= 60°；（3）AQ= CP，证明如下：∵AC = AB，AP= AE，∴AC - AP = AB–AE，即CP= BE，∵AP = EP，PF⊥AB，∴AF = FE，∵PQ= PD，PF⊥AB，∴QF = BF，∴QF - AF = BF–EF，即AQ= BE，∴AQ= CP．小提示：本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的判定等，熟练掌握知识点是解题的关键．18、如图所示的两个图形成中心对称，请找出它的对称中点．答案：见解析.分析：根据关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心作图.连接CC′，BB′，两条线段相交于当O，则点O即为对称中点．小提示：本题考查的是中心对称的性质，掌握关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分是解题的关键.。

九年级上册数学旋转必做大题附答案详解

九年级上册数学旋转必做大题附答案详解九年级上册数学旋转必做大题附答案1、已知：P为正方形ABCD内一点，且PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB大小。

2、在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG=CG 且EG⊥CG．（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．3、如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO绕点B逆时针旋转60°得到线段BO′.（1）求点O与O′的距离；（2）证明：∠AOB=150°；（3）求四边形′的面积．（4）直接写出△AOC与△AOB的面积和4、（1）如图1，点P是正方形ABCD内的一点，把△ABP绕点B顺时针方向旋转，使点A与点C重合，点P的对应点是Q．若PA=3，PB=2，PC=5，求∠BQC的度数．（2）点P是等边三角形ABC内的一点，若PA=12，PB=5，PC=13，求∠BPA的度数．5、正方形ABCD中，E是CD边上一点，（1）将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，如图1所示．观察可知：与DE相等的线段是，∠AFB=∠（2）如图2，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且∠PAQ=45°，试通过旋转的方式说明：DQ+BP=PQ（3）在（2）题中，连接BD分别交AP、AQ于M、N，你还能用旋转的思想说明BM2+DN2=MN2．6、已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF．②CF=BC﹣CD．（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F 分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD 三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．7、如图，P是等边△ABC内的一点，且PA = 5，PB =12，PC = 13，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与点P′之间的距离为 .8、已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；（6分）（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（2分）（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F 分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（2分）新课标第一网②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．（5分）9、（1）问题发现如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF、则EF=BE+DF，试说明理由；（2）类比引申如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF；（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC 上，且∠DAE=45°，猜想BD、DE、EC满足的等量关系，并写出推理过程．参考答案一、简答题1、135°(用旋转三角形解决绕点B顺时针旋转三角形BAP得到三角形BCE，连接PE)2、解：（1） EG=CG，EG⊥CG．（2分）（2）EG=CG，EG⊥CG．（2分）证明：延长FE交DC延长线于M，连MG．∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，∴四边形BEMC是矩形．∴BE=CM，∠EMC=90°，又∵BE=EF，∴EF=CM．∵∠EMC=90°，FG=DG，∴MG=FD=FG．∵BC=EM，BC=CD，∴EM=CD．∵EF=CM，∴FM=DM，∴∠F=45°．又FG=DG，∠CMG=∠EMC=45°，∴∠F=∠GMC．∴△GFE≌△GMC．∴EG=CG，∠FGE=∠MGC．（2分）∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，∴MG⊥FD，∴∠FGE+∠EGM=90°，∴∠MGC+∠EGM=90°，即∠EGC=90°，∴EG⊥CG．（2分）3、解：（1）∵等边△ABC，∴AB=CB，∠ABC=600。

九年级数学上册旋转几何综合专题练习(word版

九年级数学上册旋转几何综合专题练习（word 版一、初三数学旋转易错题压轴题（难）1．阅读材料并解答下列问题：如图1，把平面内一条数轴x 绕原点O 逆时针旋转角00)90(θ︒︒<<得到另一条数轴,y x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系.xOy规定：过点P 作y 轴的平行线，交x 轴于点A ，过点P 作x 轴的平行线，交y 轴于点B ，若点A 在x 轴对应的实数为a ，点B 在y 轴对应的实数为b ，则称有序实数对(),a b 为点P 在平面斜坐标系xOy 中的斜坐标．如图2，在平面斜坐标系xOy 中，已知60θ︒=，点P 的斜坐标是()3,6，点C 的斜坐标是()0,6.（1）连接OP ，求线段OP 的长；（2）将线段OP 绕点O 顺时针旋转60︒到OQ （点Q 与点P 对应），求点Q 的斜坐标；（3）若点D 是直线OP 上一动点，在斜坐标系xOy 确定的平面内以点D 为圆心，DC 长为半径作D ，当⊙D 与x 轴相切时，求点D 的斜坐标，【答案】（1）37OP =2）点Q 的斜坐标为（9，3-）；（3）点D 的斜坐标为：（32，3）或（6，12）．【解析】【分析】（1）过点P 作PC ⊥OA ，垂足为C ，由平行线的性质，得∠PAC=60θ=︒，由AP=6，则AC=3，33PC =OP 的长度；（2）根据题意，过点Q 作QE ∥OC ，QF ∥OB ，连接BQ ，由旋转的性质，得到OP=OQ ，∠COP=∠BOQ ，则△COP ≌△BOQ ，则BQ=CP=3，∠OCP=∠OBQ=120°，然后得到△BEQ 是等边三角形，则BE=EQ=BQ=3，则OE=9，OF=3，即可得到点Q 的斜坐标；（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：①当OP 和CM 恰好是平行四边形OMPC 的对角线时，此时点D 是对角线的交点，求出点D 的坐标即可；②取OJ=JN=CJ ，构造直角三角形OCN，作∠CJN的角平分线，与直线OP相交与点D，然后由所学的性质，求出点D的坐标即可．【详解】解：（1）如图，过点P作PC⊥OA，垂足为C，连接OP，∵AP∥OB，∴∠PAC=60θ=︒，∵PC⊥OA，∴∠PCA=90°，∵点P的斜坐标是()3,6，∴OA=3，AP=6，∴1 cos602ACAP︒==，∴3AC=，∴226333PC=-=，336OC=+=，在Rt△OCP中，由勾股定理，得226(33)37OP=+=；（2）根据题意，过点Q作QE∥OC，QF∥OB，连接BQ，如图：由旋转的性质，得OP=OQ，∠POQ=60°，∵∠COP+∠POA=∠POA+∠BOQ=60°，∴∠COP=∠BOQ，∵OB=OC=6，∴△COP≌△BOQ（SAS）；∴CP=BQ=3，∠OCP=∠OBQ=120°，∴∠EBQ=60°，∵EQ∥OC，∴∠BEQ=60°，∴△BEQ是等边三角形，∴BE=EQ=BQ=3，∴OE=6+3=9，OF=EQ=3，∵点Q在第四象限，∴点Q的斜坐标为（9，3 ）；（3）①取OM=PC=3，则四边形OMPC是平行四边形，连接OP、CM，交点为D，如图：由平行四边形的性质，得CD=DM，OD=PD，∴点D为OP的中点，∵点P的坐标为（3，6），∴点D的坐标为（32，3）；②取OJ=JN=CJ，则△OCN是直角三角形，∵∠COJ=60°，∴△OCJ是等边三角形，∴∠CJN=120°，作∠CJN的角平分线，与直线OP相交于点D，作DN⊥x轴，连接CD，如图：∵CJ=JN ，∠CJD=∠NJD ，JP=JP ，∴△CJD ≌△NJD （SAS ），∴∠JCD=∠JND=90°，则由角平分线的性质定理，得CD=ND ；过点D 作DI ∥x 轴，连接DJ ，∵∠DJN=∠COJ=60°，∴OI ∥JD ，∴四边形OJDI 是平行四边形，∴ID=OJ=JN=OC=6，在Rt △JDN 中，∠JDN=30°，∴JD=2JN=12；∴点D 的斜坐标为（6，12）；综合上述，点D 的斜坐标为：（32，3）或（6，12）．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找圆心D 的位置来解决问题，属于中考创新题型．注意运用分类讨论的思想进行解题．2．综合与探究：如图1，Rt AOB 的直角顶点O 在坐标原点，点A 在y 轴正半轴上，点B 在x 轴正半轴上，4OA =，2OB =，将线段AB 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段BC ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，抛物线23y ax x c =++经过点C ，与y 轴交于点(0,2)E ，直线AC 与x 轴交于点H ．（1）求点C 的坐标及抛物线的表达式；（2）如图2，已知点G 是线段AH 上的一个动点，过点G 作AH 的垂线交抛物线于点F （点F 在第一象限），设点G 的横坐标为m ．①点G 的纵坐标用含m 的代数式表示为________；②如图3，当直线FG 经过点B 时，求点F 的坐标，判断四边形ABCF 的形状并证明结论；③在②的前提下，连接FH ，点N 是坐标平面内的点，若以F ，H ，N 为顶点的三角形与FHC 全等，请直接写出点N 的坐标．【答案】（1）点C 的坐标为(6,2)，21322y x x =-++；（2）①143m -+；②点F 的坐标为(4,6)，四边形ABCF 为正方形，证明见解析；③点N 的坐标为(10,4)或4226,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或384,55⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）根据已知条件与旋转的性质证明ABO BCD ≌，根据全等三角形的性质得出点C 的坐标，结合点E 的坐标，根据待定系数法求出抛物线的表达式；（2）①设直线AC 的表达式为y kx b =+，由点A 、C 的坐标求出直线AC 的表达式，进而得解；②过点G 作GM x ⊥轴于点M ，过点F 作FP y ⊥轴，垂足为点P ，PF 的延长线与DC 的延长线交于点Q ，根据等腰三角形三线合一得出AG CG =，结合①由平行线分线段成比例得出点G 的坐标，根据待定系数法求出直线BG 的表达式，结合抛物线的表达式求出点F ；利用勾股定理求出AB BC CF FA ===，结合90ABC ︒∠=可得出结论； ③根据直线AC 的表达式求出点H 的坐标，设点N 坐标为(,)s t ，根据勾股定理分别求出2FC ，2CH ，2FN ，2NH ，然后分两种情况考虑：若△FHC ≌△FHN ，则FN ＝FC ，NH ＝CH ，若△FHC ≌△HFN ，则FN ＝CH ，NH ＝FC ，分别列式求解即可．【详解】解：（1）4=OA ，2OB =，∴点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段BC ，AB BC ∴=，90ABC ︒∠=，90ABO DBC ︒∴∠+∠=，在Rt AOB 中，90ABO OAB ︒∴∠+∠=，=OAB DBC ∴∠∠，CD x ⊥轴于点D ，90BDC ︒∴∠=，90AOB BDC ︒∴∠=∠=．AB BC =，ABO BCD ∴△≌△，2CD OB ∴==，4BD OA ==，6OB BD ∴+=，∴点C 的坐标为(6,2)，∵抛物线23y ax x c =++的图象经过点C ，与y 轴交于点(0,2)E ， 236182c a c =⎧∴⎨++=⎩，解得，122a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的表达式为21322y x x =-++；（2）①设直线AC 的表达式为y kx b =+，∵直线AC 经过点()6,2C ，(0,4)A ，∴624k b b +=⎧⎨=⎩，解得，134k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即143y x =-+， ∴点G 的纵坐标用含m 的代数式表示为：143m -+，故答案为：143m -+．②过点G 作GM x ⊥轴于点M ， OM m ∴=，143GM m =-+， AB BC =，BG AC ⊥，AG CG ∴=，90AOB GMH CDH ︒∠=∠=∠=，OA GMCD ∴， 1OM AG MD GC∴==， 132OM MD OD ∴===，3m ∴=，1433m -+=，∴点G 为(3,3)，设直线BG 的表达式为y kx b =+，将(3,3)G 和(2,0)B 代入表达式得，2033k b k b +=⎧⎨+=⎩， 36k b =⎧∴⎨=-⎩，即表达式为36y x =-，点F 为直线BG 和抛物线的交点，∴得2132362x x x -++=-， 14x ∴=，24x =-（舍去），∴点F 的坐标为(4,6)，过点F 作FP y ⊥轴，垂足为点P ，PF 的延长线与DC 的延长线交于点Q ，4PF ∴=，2AP =，2FQ =，4CQ =，在Rt AFP △中和Rt FCQ △中，根据勾股定理，得25AF FC ==，同理可得25AB BC ==，AB BC CF FA ∴===，∴四边形ABCF 为菱形，90ABC ︒∠=，∴菱形ABCF 为正方形；③∵直线AC ：143y x =-+与x 轴交于点H ， ∴1403x -+=，解得，x ＝12，∴(12,0)H ，∴222(64)(26)20FC =-+-=，222(126)(02)40CH =-+-=，设点N 坐标为(,)s t ，∴222(4)(6)FN s t =-+-，222(12)(0)NH s t =-+-，第一种情况：若△FHC ≌△FHN ，则FN ＝FC ，NH ＝CH ，∴2222(4)(6)20(12)40s t s t ⎧-+-=⎨-+=⎩，解得，11425265s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2262s t =⎧⎨=⎩（即点C ）， ∴4226,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭；第二种情况：若△FHC ≌△HFN ，则FN ＝CH ，NH ＝FC ，∴2222(4)(6)40(12)20s t s t ⎧-+-=⎨-+=⎩，解得，1138545s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22104s t =⎧⎨=⎩， ∴384,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭或(10,4)N ，综上所述，以F ，H ，N 为顶点的三角形与△FHC 全等时，点N 坐标为(10,4)或4226,55⎛⎫⎪⎝⎭或384,55⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题是函数与几何的综合题，考查了待定系数法求函数的表达式，全等三角形的判定与性质，菱形与正方形的判定，旋转的性质，勾股定理等知识，其中对全等三角形存在性的分析，因有一条公共边，可对另外两边进行分类讨论，本题有一定的难度，是中考压轴题．3．我们定义：如图1，在△ABC 看，把AB 点绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC 的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△ABC 的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC 为等边三角形时，AD 与BC 的数量关系为AD= BC ；②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD 长为．猜想论证：（2）在图1中，当△ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明．拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD ，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，DA=6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．【答案】（1）①12；②4；（2）AD=12BC，证明见解析；（3）存在，证明见解析，39．【解析】【分析】（1）①首先证明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得AD=12AB′即可解决问题；②首先证明△BAC≌△B′AC′，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；（2）结论：AD=12BC．如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接E′M，C′M，首先证明四边形AC′MB′是平行四边形，再证明△BAC≌△AB′M，即可解决问题；（3）存在．如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF交PC于O．想办法证明PA=PD，PB=PC，再证明∠APD+∠BPC=180°，即可；【详解】解：（1）①如图2中，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AB=AB′=AC′，∵DB′=DC′，∴AD⊥B′C′，∵∠BAC=60°，∠BAC+∠B′AC′=180°，∴∠B′AC′=120°，∴∠B′=∠C′=30°，∴AD=12A B′=12BC，故答案为12．②如图3中，∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°，∴∠B′AC′=∠BAC=90°，∵AB=AB′，AC=AC′，∴△BAC≌△B′AC′，∴BC=B′C′，∵B′D=DC′，∴AD=12B′C′=12BC=4，故答案为4．（2）结论：AD=12 BC．理由：如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接E′M，C′M∵B′D=DC′，AD=DM，∴四边形AC′MB′是平行四边形，∴AC′=B′M=AC，∵∠BAC+∠B′AC′=180°，∠B′AC′+∠AB′M=180°，∴∠BAC=∠MB′A，∵AB=AB′，∴△BAC≌△AB′M，∴BC=AM，∴AD=12BC．（3）存在．理由：如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF交PC于O．∵∠ADC=150°，∴∠MDC=30°，在Rt△DCM中，∵3，∠DCM=90°，∠MDC=30°，∴CM=2，DM=4，∠M=60°，在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=14，∠MBE=30°，∴EM=1BM=7，2∴DE=EM﹣DM=3，∵AD=6，∴AE=DE，∵BE⊥AD，∴PA=PD，PB=PC，在Rt△CDF中，∵3CF=6，∴tan∠3∴∠CDF=60°=∠CPF，易证△FCP≌△CFD，∴CD=PF，∵CD∥PF，∴四边形CDPF是矩形，∴∠CDP=90°，∴∠ADP=∠ADC﹣∠CDP=60°，∴△ADP是等边三角形，∴∠ADP=60°，∵∠BPF=∠CPF=60°，∴∠BPC=120°，∴∠APD+∠BPC=180°，∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”，在Rt△PDN中，∵∠PDN=90°，PD=AD=6，3，∴2222DN PD++39．=(3)6【点睛】本题考查四边形综合题．4．(1)观察猜想如图(1)，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是BC的中点．以点D为顶点作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG，则线段BG和AE的数量关系是_____；(2)拓展探究将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图2，则(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.(3)解决问题若BC=DE=2，在(2)的旋转过程中，当AE为最大值时，直接写出AF的值．【答案】（1）BG＝AE．（2）成立．如图②，连接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．…………………………………………7分（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°时，BG最大，如图③．若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．∴AF＝【解析】解：（1）BG＝AE．（2）成立．如图②，连接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．Z+X+X+K]因为正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，G点运动的图形是以点D为圆心，DG为半径的圆，故当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°）时，BG最大，如图③．若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．∴AF＝．即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF＝．5．边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上(如图1)，现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中， AB边交DF于点M，BC边交DG于点N.（1）求边DA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时(如图2)，求正方形ABCD旋转的度数；（3）如图3，设△MBN的周长为p，在旋转正方形ABCD的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.【答案】（1）；（2）；（3）不变化，证明见解析.【解析】试题分析：（1）将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中，DA旋转了，从而根据扇形面积公式可求DA在旋转过程中所扫过的面积.（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，根据平行的性质和全等三角形的判定和性质可求正方形ABCD旋转的度数为.（3）延长BA交DE轴于H点，通过证明和可得结论.（1）∵A点第一次落在DF上时停止旋转，∴DA旋转了.∴DA 在旋转过程中所扫过的面积为.（2）∵MN ∥AC ，∴,.∴.∴.又∵，∴. 又∵,∴. ∴.∴.∴旋转过程中，当MN 和AC 平行时，正方形ABCD 旋转的度数为.(3)不变化，证明如下：如图，延长BA 交DE 轴于H 点，则，，∴.又∵.∴． ∴．又∵, ,∴．∴.∴.∴. ∴在旋转正方形ABCD 的过程中，值无变化.考点：1.面动旋转问题；2．正方形的性质；3.扇形面积的计算；4.全等三角形的判定和性质.6．综合与实践问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展教学活动老师给每个小组发了两个等模直角三角形ABC 和DEC ，其中90,2,2ACB DCE AC CD ︒∠=∠===观案发现（1）将两个等腰直角三角形如图①摆放，设DE 的中点是,F AE 的中点是,H BD 的中点是G ，则HFG ∠=______度；操作证明（2）将图①中的DEC 绕点C 顺时针（逆时针）旋转，使点A C E 、、三点在一条直线上，如图②，其余条件不变，小明通过测量发现，此时FH FG =，请你帮助小明证明这个结论. 探究发现（3）将图①中的DEC 绕点C 顺时针（逆时针）旋转，旋转角为()0180αα︒︒<<，DEC 在旋转的过程中，当直线FH 经过点C 时，如图③，请求出线段FG 的长.（4）在旋转过程中，在Rt ABC 和Rt CDE △中，始终有由,AC BC CE CD ⊥⊥，你在图③中还能发现哪两条线段在旋转过程中始终互相垂直？请找出并直接写出这两条线段.【答案】（1）90；（2）证明见解析；（3）31BD =-；（4）AD BE ⊥ 【解析】【分析】（1）根据题意，运用中点的性质找到线段之间的位置关系即可求解；（2）根据旋转的性质及等腰三角形ABC 可知()ACD BCE SAS ∆≅∆，进而通过中位线定理即可得到FH FG =；（3）根据旋转的性质及勾股定理，先求出BF 的长，再由BD BF DF =-即可求出BD 的长；（4）根据旋转的性质及垂直的判定可知AD BE ⊥. 【详解】（1）,,90CE CD AC BC ECA DCB ==∠=∠=︒，BE AD ∴=，F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，G 是BD 的中点， //,//HF AD FG BE ∴， AD BE ⊥，HF GF ∴⊥， 90HFG ∴∠=︒；（2）证明：如下图，连接AD BE ，，由旋转可知CE CD =，90ECD ACD ∠=∠=︒，又∵AC=BC ，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，AD BE ∴=，F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，G 是BD 的中点，11,22FH AD FG BE ∴==，FH FG ∴=；（3）解：由题意可得CF DE CFD CFE ⊥∆∆，，都是等腰直角三角形，2CD =1CF DF ∴==，2BC AC ==，223BF BC CF ∴=-=，31BD BF DF ∴=-=-，G 是BD 的中点，31DG -∴=， 31BD BF DF ∴=-=-；（4）AD BE ⊥.连接AD ，由（3）知，CF DE ⊥， ∵ECD ∆是等腰直角三角形， ∴F 是ED 中点，又∵H 是AE 中点， ∴AD ∥HF ， ∵HF ⊥ED ， ∴AD BE ⊥. 【点睛】本题主要考查了中的的性质，中位线定理，三角形全等，勾股定理等三角形综合证明，熟练掌握三角形的相关知识点是解决本题的关键.错因分析：（1）不能熟练运用重点的性质找到线段之间的关系；（2）未掌握旋转的性质；（3）不能将题目探究中的发现进行推广.7．如图，在直角坐标系中，已知点A （-1，0）、B （0，2），将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°至AC ．（1）点C 的坐标为（，）；（2）若二次函数的图象经过点C ． ①求二次函数的关系式；②当-1≤x≤4时，直接写出函数值y 对应的取值范围；Z_X_X_K]③在此二次函数的图象上是否存在点P （点C 除外），使△ABP 是以AB 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) ∴点C的坐标为(－3，1) ．(2)①∵二次函数的图象经过点C(－3，1)，∴.解得∴二次函数的关系式为②当-1≤x≤4时，≤y≤8；③过点C作CD⊥x轴，垂足为D，i) 当A为直角顶点时，延长CA至点，使，则△是以AB为直角边的等腰直角三角形，过点作⊥轴，∵＝，∠＝∠，∠＝∠＝90°，∴△≌△，∴AE＝AD＝2，＝CD＝1,∴可求得的坐标为(1，－1)，经检验点在二次函数的图象上；ii）当B点为直角顶点时，过点B作直线L⊥BA，在直线L上分别取，得到以AB为直角边的等腰直角△和等腰直角△，作⊥y轴，同理可证△≌△∴BF＝OA＝1，可得点的坐标为（2， 1），经检验点在二次函数的图象上．同理可得点的坐标为（－2， 3），经检验点不在二次函数的图象上综上：二次函数的图象上存在点(1，－1)，（2，1）两点，使得△和△是以AB为直角边的等腰直角三角形．【解析】(1)根据旋转的性质得出C点坐标；（2）①把C点代入求得二次函数的解析式；②利用二次函数的图象得出y的取值范围；③分二种情况进行讨论.8．已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．（1）如图1，求证：△CDE是等边三角形．（2）设OD＝t，①当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．②求t为何值时，△DEB是直角三角形（直接写出结果即可）．【答案】(1)见解析;(2)①见解析;②t＝2或14.【解析】【分析】（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；（2）①当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；②存在，当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形；当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA-DA=6-4=2=t；当6＜t＜10时，此时不存在；当t＞10时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14．【详解】（1）∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；（2）①存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝23，∴△BDE的最小周长＝CD+4＝23+4；②存在，∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意；当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，∴∠BED＝90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB＝60°，∴∠CEB＝30°，∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°，∴DA＝CA＝4，∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，∴t＝2；当6＜t＜10时，由∠DBE＝120°＞90°，∴此时不存在；当t＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，又由（1）知∠CDE＝60°，∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE＝90°，从而∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝4，∴OD＝14，∴t＝14，综上所述：当t＝2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．9．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点. 分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．(1)求证：DE⊥AG；(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角(0°< <360°)得到正方形，如图2．①在旋转过程中，当∠是直角时，求的度数；(注明：当直角边为斜边一半时，这条直角边所对的锐角为30度)②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求长的最大值和此时的度数，直接写出结果不必说明理由．【答案】（1）DE⊥AG （2）①当∠为直角时，α=30°或150°.②315°【解析】分析：（1）延长ED交AG于点H，证明≌，根据等量代换证明结论；（2）根据题意和锐角正弦的概念以及特殊角的三角函数值得到，分两种情况求出的度数；（3）根据正方形的性质分别求出OA和OF的长，根据旋转变换的性质求出AF′长的最大值和此时的度数．详解：如图1，延长ED交AG于点H，点O是正方形ABCD两对角线的交点，，，在和中，，≌，，，，，即；在旋转过程中，成为直角有两种情况：Ⅰ由增大到过程中，当时，，在中，sin∠AGO=，，，，，即；Ⅱ由增大到过程中，当时，同理可求，．综上所述，当时，或．如图3，当旋转到A、O、在一条直线上时，的长最大，正方形ABCD的边长为1，，，，，，，此时．点睛：考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角形函数，旋转变换的性质的综合应用，有一定的综合性，注意分类讨论的思想.10．（问题提出）如图①，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF试证明：AB=DB+AF（类比探究）（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．【答案】证明见解析；（1）AB=BD﹣AF；（2）AF=AB+BD．【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得出△EDB与FEA全等的条件BE=AF，再结合已知条件和旋转的性质推出∠D=∠AEF，∠EBD=∠EAF=120°，得出△EDB≌FEA，所以BD=AF，等量代换即可得出结论．（2）先画出图形证明∴△DEB≌△EFA，方法类似于（1）；（3）画出图形根据图形直接写出结论即可．【详解】（1）证明：DE=CE=CF，△BCE由旋转60°得△ACF，∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，∴△CEF是等边三角形，∴EF=CE，∴DE=EF，∠CAF=∠BAC=60°，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，∵∠DBE=120°，∴∠EAF=∠DBE，又∵A，E，C，F四点共圆，∴∠AEF=∠ACF，又∵ED=DC，∴∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF，∴∠D=∠AEF，∴△EDB≌FEA，∴BD=AF，AB=AE+BF，∴AB=BD+AF．类比探究（1）DE=CE=CF，△BCE由旋转60°得△ACF，∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，∴△CEF是等边三角形，∴EF=CE，∴DE=EF，∠EFC=∠BAC=60°，∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，∴∠FCG=∠FEA，又∠FCG=∠EAD∠D=∠EAD，∴∠D=∠FEA，由旋转知∠CBE=∠CAF=120°，∴∠DBE=∠FAE=60°∴△DEB≌△EFA，∴BD=AE， EB=AF，∴BD=FA+AB．即AB=BD-AF．（2）AF=BD+AB（或AB=AF-BD）如图③，，ED=EC=CF，∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，BC=AC，∴△CEF 是等边三角形，∴EF=EC ，又∵ED=EC ，∴ED=EF ，∵AB=AC ，BC=AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=60°，又∵∠CBE=∠CAF ，∴∠CAF=60°，∴∠EAF=180°-∠CAF-∠BAC=180°-60°-60°=60°∴∠DBE=∠EAF ；∵ED=EC ，∴∠ECD=∠EDC ，∴∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC ，又∵∠EDC=∠EBC+∠BED ，∴∠BDE=∠EBC+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC ， ∵∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC ，∴∠BDE=∠AEF ，在△EDB 和△FEA 中，DBE EAF BDE AEF ED EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△EDB ≌△FEA （AAS ），∴BD=AE ，EB=AF ，∵BE=AB+AE ，∴AF=AB+BD ，即AB ，DB ，AF 之间的数量关系是： AF=AB+BD ．考点：旋转变化，等边三角形，三角形全等，。

人教版数学九年级上学期课时练习-《旋转》全章复习与巩固(知识讲解)(人教版)

专题23.7《旋转》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1、通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形；3、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用；4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．【要点梳理】要点一、旋转1.旋转的概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.特别说明：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA=OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；''').(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△A B C特别说明：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.3.旋转的作图:在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.要点二、特殊的旋转—中心对称1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．特别说明：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．特别说明：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.要点三、平移、轴对称、旋转平移、轴对称、旋转之间的对比【典型例题】类型一、旋转三要素1．如图，E是正方形ABCD的边AB上任意一点（不与点A，B重合），DAE△按逆时针方向旋转后恰好能够与DCF重合．(1)旋转中心是________，旋转角为________；(2)请你判断DFE△的形状，并说明理由．【答案】(1) 点D ；90° (2) 等腰直角三角形，理由见分析【分析】（1）由已知可知，旋转中心为点D ，旋转角∠ADC = 90°，即可求解；（2）由旋转的性质可得DE = DF ，∠EDF = ∠ADC = 90，可得结论． (1)解：由题意得：旋转中心是点D ；旋转角为∠ADC ，在正方形ABCD 中，∠ADC =90°， ∠旋转角为90°；故答案为：点D ；90°(2)解：根据题意得：DE DF =，90EDF ADC ∠=∠=︒，∠DEF 是等腰直角三角形．【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．举一反三：【变式1】在ABC 中，30B ACB ∠+∠=︒，4AB =，ABC 逆时针旋转一定角度后与ADE 重合，且点C 恰好成为AD 中点，如图． (1) 旋转中心是点______，AE =______； (2) 求直线BC 与直线DE 的夹角．【答案】(1) A ,AC (2)30 【分析】（1）根据旋转后A 点与自身对应，则旋转中心为点A ，进而根据12AC AD =，可知AE 与AC 对应，即可求解；（2）延长BC 交ED 于点F ，取AB 中点G ，连接EG ，证明AEG △是等边三角形，进而求得1,120,902EG AB BG EGB BEA ==∠=︒∠=︒在EBF △中，根据三角形内角和定理求得EFB ∠，即直线BC 与直线DE 的夹角．(1)解：∠旋转后A 点与自身对应，∠旋转中心为点A ， 12AC AD =，则AC 旋转后与AD 不对应，则AC 与AE 对应故答案为：A ,AC(2)延长BC 交ED 于点F ，取AB 中点G ，连接EG ，30ABC ACB ∠+∠=︒，4AB =，180150BAC B ACB ∴∠=︒-∠-∠=︒∴ABC 逆时针旋转150︒后与ADE 重合， ∴150CAE BAC ∠=∠=︒,BCA DEA ∠=∠36060EAG EAC DAB ∴∠=︒-∠-∠=︒ G 是AB 的中点，122AG AB ∴== 1,22AD AB AC AD === ∴2AE AC ==∴AEG 是等边三角形60AGE ∴∠=︒ 120EGB ∴∠=︒又2EG AG AE BG ====30∴∠=∠=︒GBE GEB∴∠=∠+∠=︒90BEA BEG GEABEF中∠+∠FBE BEF=∠+∠+∠+∠CBA ABE BEA AED=∠+∠+∠+∠ABE BEA CBA AED()==︒+︒︒12030150∴∠=︒EFB30即直线BC与直线DE的夹角为30【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键．【变式2】如图，点P是正方形ABCD内一点，连接P A，PB，PC，将∠ABP绕点B 顺时针旋转到∠CBP′的位置．（1）旋转中心是点__________，旋转角度是__________．（2）连接PP′，∠BPP′的形状是__________ 三角形．（3）若P A＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的长．【答案】（1）B，90°；（2）等腰直角；（3）6【分析】（1）根据旋转的定义解答；（2）根据旋转的性质可得BP=BP′，又旋转角为90°，然后根据等腰直角三角形的定义判定；（3）∠根据勾股定理列式求出PP′，先根据旋转的性质求出∠BP′C=135°，再求出∠PP′C=90°，然后根据勾股定理列式进行计算即可得解．解：（1）∠P是正方形ABCD内一点，∠ABP绕点B顺时针旋转到∠CBP′的位置，∠旋转中心是点B，点P旋转的度数是90度，故答案为：B ，90°；（2）根据旋转的性质BP=BP′，旋转角为90°，∠∠BPP′是等腰直角三角形；故答案为：等腰直角；（3）在等腰Rt ∠BPP '中，∠PB ＝BP '＝4，∠PP ′= ∠∠BP ′C ＝∠BP A ＝135°，∠∠PP ′C ＝∠BP ′C －∠BP ′P ＝135°－45°＝90°， ∠P 'C ＝P A ＝2 在Rt ∠PP ′C 中，PC 6==【点拨】本题考查旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和正方形的性质．类型二、利用旋转性质求值或证明2．如图，点E 是正方形ABCD 内一点，将BEC △绕点C 顺时针旋转90°至DFC △． (1) 若30EBC ∠=︒，80BCE ∠=︒，求DFC ∠； (2) 若3CE =，求CEF △的面积．【答案】(1) 70DFC ∠=︒ (2) CEF △的面积为92【分析】（1）根据三角形内角和定理，先算出70BEC ∠=︒，根据旋转性质，得出70DFC BEC ∠=∠=︒；（2）根据旋转性质得出90ECF ∠=︒，3CF CE ==，即可算出∠CEF 的面积． (1)解：∠30EBC ∠=︒，80BCE ∠=︒，∠18070BEC EBC BCE ∠=︒-∠-∠=︒，∠将BEC △绕点C 顺时针旋转90°至DFC △， ∠70DFC BEC ∠=∠=︒．(2)∠将BEC △绕点C 顺时针旋转90°至DFC △， ∠90ECF ∠=︒，3CF CE ==， ∠11933222CEF S CE CF ∆=⨯⨯=⨯⨯=．【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，旋转的性质，根据旋转得出90ECF ∠=︒，3CF CE ==，是解题的关键．举一反三：【变式1】已知在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，CD AB ⊥于点D ．在边BC 上取一点E ，连接DE ，将线段DE 绕点E 顺时针旋转90°得到线段EF ，连接AF ，交线段CD 于点G ．(1) 如图，若点E 与点C 重合，求证：FCG ADG △△≌； (2) 探究线段AG 与GF 之间满足的数量关系，并说明理由；(3) 若10AB =，请直接写出点C 与点F 之间的最小距离，不必写解答过程．【答案】(1)见分析(2)AG =GF ，理由见分析(3)5 【分析】（1）根据题意，∠ABC 是等腰直角三角形，CD ∠AB ，所以CD =AD ，根据旋转的性质，CD =CF ，所以CF =AD ，又因为∠GCF =∠GDA =90°，∠CGF =∠DGA ，所以FCG ADG △△≌（ASA ）；（2）作EH ∠BC ，交CD 于点H ，连接FH ，则可证明∠FEH ≌∠CED (SAS )，得到FH =DC =AD ，∠EHF =∠ECD =45°，从而证明∠FHG =90°，又因为对顶角相等，可证明∠FGH≌∠AGD (AAS )，所以AG =GF ；（3）根据（2）中的结论，CF ，所以当CE 取最小值0时CF有最小值5．解：(1)根据题意，∠ABC 是等腰直角三角形，∠CD AB ⊥∠CD 是斜边AB 的中线 ∠CD =AD∠线段DE 绕点E 顺时针旋转90°得到线段EF ∠∠FCG =∠ADG =90°，CD =CF ∠AD =CF在△FCG 和ADG 中FCG ADG CF ADFGC AGD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠FCG ADG △△≌（ASA ） (2)AG =GF ，理由如下：作EH ∠BC ，交CD 于点H ，连接FH ，如图，∠∠ABC 是等腰直角三角形，CD ∠AB∠∠BCD =12ACB ∠=45°，CD =AD =12AB∠EH ∠BC∠∠EHC =∠BCD =45° ∠CE =HE∠∠FED +∠DEH =∠DEH +∠HEC ∠∠FEH =∠DEC 又∠EF =ED∠∠FEH ≌∠CED (SAS )∠FH =DC =AD ，∠EHF =∠ECD =45° ∠∠CHF =∠CHE +∠EHF =45°+45°=90° ∠∠FHG =90°=∠ADG 又∠∠FGH =∠AGD ∠∠FGH ≌∠AGD (AAS ) ∠AG =GF (3)连接CF ，∠FH =AD =12AB =11052⨯=，CH∠CF当CE 最小时CF 最小，CE 最小值为0，∠CF 5=点C 与点F 之间的最小距离为5．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．【变式2】如图，P 是等边ABC 内的一点，且5,4,3PA PB PC ===，将APB △绕点B 逆时针旋转，得到CQB △．(1) 旋转角为_____度； (2) 求点P 与点Q 之间的距离；(3)求BPC∠的度数；S．(4)求ABC的面积ABC【答案】+9．【分析】（1）根据∠QCB是∠P AB绕点B逆时针旋转得到，可知∠ABC为旋转角即可得出答案，（2）连接PQ，根据等边三角形得性质得∠ABC＝60°，BA＝BC，由旋转的性质得BP ＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，于是可判断∠PBQ 是等边三角形，所以PQ＝PB＝4；（3）先利用勾股定理的逆定理证明∠PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，再加上∠BPQ ＝60°，然后计算∠BPQ+∠QPC即可．（4）由直角三角形的性质可求CH，PH的长，由勾股定理和三角形的面积公式可求解．解：(1)∠∠ABC是等边三角形，∠∠ABC＝60°，∠∠QCB是∠P AB绕点B逆时针旋转得到的，∠旋转角为60°故答案为：60；(2)连接PQ，如图1，∠∠ABC是等边三角形，∠∠ABC＝60°，BA＝BC，∠∠QCB是∠P AB绕点B逆时针旋转得到的，∠∠QCB∠∠P AB，∠BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，∠BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，∠∠PBQ是等边三角形，∠PQ＝PB＝4；(3)∠QC ＝5，PC ＝3，PQ ＝4，而32+42＝52， ∠PC 2+PQ 2＝CQ 2，∠∠PCQ 是直角三角形，且∠QPC ＝90°， ∠∠PBQ 是等边三角形， ∠∠BPQ ＝60°，∠∠BPC ＝∠BPQ +∠QPC ＝60°+90°＝150°； (4)如图2，过点C 作CH ∠BP ，交BP 的延长线于H ， ∠∠BPC ＝150°， ∠∠CPH ＝30°， ∠CH 12=PC 32=，PH=， ∠BH ＝4 ∠BC 2＝BH 2+CH 2232⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2425⎛+ ⎝⎭＝ ∠S △ABC =2， ∠S △ABC 25=+=9．【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理的逆定理，掌握旋转的性质是本题的关键．类型三、中心对称图形与轴对称图形3、如图，在平面直角坐标系中，ABC 为格点三角形（顶点为网格线的交点），∠ABC ＝90°，点A 的坐标为（1，4）．已知ABC 与DEF 关于点(),0a 成中心对称（点D ，E ，F 分别为A ，B ，C 的对应点，0a ≥且4a ≠）．连接AF ，CD ．(1) 若0a =，画出此时DEF 的位置；(2) 线段AF 与CD 的位置和大小关系是______；(3) 若四边形AFDC 是一个轴对称图形，则a 的值为______．【答案】(1)见分析(2)AF CD ∥，且AF CD =(3)1 【分析】（1）当0a =时，点（a ，0）即为原点，作出ABC 关于原点成中心对称的图形即可；（2）设对称中心为点P （a ，0），根据中心对称的性质，即可得出结论；（3）当四边形AFDC 是菱形或矩形时，可得出a 的值． (1)如图，DEF 即为所画；(2)如图所示，AF CD ∥，且AF CD =故答案为：AF CD ∥，且AF CD =(3)∠ABC 是直角三角形，且B （1，0），∠ABC 与DEF 关于点()1,0成中心对称时，四边形AFDC 是菱形，如图，∠1,a = 故答案为：1【点拨】本题考查作图-中心对称、轴对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．举一反三：【变式1】已知：BD 是ABC 的角平分线，点E ，F 分别在BC AB ，上，且DE AB ，BE AF =．(1) 如图1，求证：四边形ADEF 是平行四边形；(2) 如图2，若ABC 为等边三角形，在不添加辅助线的情况下，请你直接写出所有是轴对称但不是中心对称的图形．【答案】(1)证明见分析(2)等边ABC ，等边BEF ，等边CDE ，等腰BDE ，等腰梯形ABED ，等腰梯形ACEF【分析】（1）由角平分线可知ABD CBD ∠=∠，由平行可知BDE ABD ∠=∠，可得CBD BDE ∠=∠，DE BE AF ==，进而结论得证；（2）由题意可得四边形ADEF 是菱形，,,D E F 是等边三角形的中点，然后根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；对图中的三角形与四边形的对称性进行判断即可．(1)证明：∠BD 是ABC 的角平分线∠ABD CBD ∠=∠ ∠DE AB ∥ ∠BDE ABD ∠=∠ ∠CBD BDE ∠=∠ ∠DE BE AF == ∠DE AF ∥，DE AF = ∠四边形ADEF 是平行四边形．(2)解：由（1）知四边形ADEF 是平行四边形∠EF AC∠ABC 是等边三角形 ∠60EFB C B ∠=∠=∠=︒ ∠BE EF DE == ∠四边形ADEF 是菱形 ∠,,AF BF BE CE CD AD === ∠,,D E F 是等边三角形的中点 ∠,BG EF BD EF ⊥⊥∠由轴对称图形与中心对称图形的定义可知，是轴对称图形但不是中心对称图形的有：等边ABC ，等边 BEF ，等边CDE △，等腰BDE ，等腰梯形ABED ，等腰梯形ACEF ．【点拨】本题考查了角平分线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，轴对称图形，中心对称图形等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式2】在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，ABC 的顶点都在格点上，请解答下列问题：（1）作出ABC 向左平移4个单位长度后得到的111A B C △，并写出点1C 的坐标；（2）作出ABC 关于原点O 对称的222A B C △，并写出点2C 的坐标；222A B C △可看作111A B C △以点（________，________）为旋转中心，旋转________°得到的．（3）已知ABC 关于直线l 对称的333A B C △的顶点3A 的坐标为()4,2--，请直接写出直线l 的函数解析式________．【答案】（1）图见详解，C 1（-1，2）；（2）图见详解，C 2（-3，-2），（-2，0），180；（3）y =-x【分析】（1）根据平移的性质即可画出ABC 向左平移4个单位后的111A B C △；（2）根据中心对称的性质即可作出ABC 关于原点O 对称的222A B C △，再根据旋转的性质即可得出结论；（3）根据轴对称的性质，可以知道直线必过点（-1，1），即可求出解析式．解：（1）如图所示，点C 1的坐标（-1，2）；（2）如图所示，点C 2的坐标（-3，-2），222A B C △可看作111A B C △以点（-2，0）为旋转中心，旋转180°得到的；（3）因为A 的坐标为（2，4），A 3的坐标为（-4，-2），所以直线必过点（-1，1），所以直线的解析式为y =-x ．【点拨】本题主要考查了平移，轴对称，中心对称的作图，熟练其概念准确的画出图形是解决本题的关键．类型四、直角坐标系中的中心对称图形4、已知∠ABC的三个顶点的坐标分别为A（－5，0）、B（－2，3）、C（－1，0）．(1)画出∠ABC关于坐标原点O成中心对称的∠A′B′C′；(2)将∠ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，画出对应的∠A′′B′′C′′；(3)若以A′、B′、C′、D′为顶点的四边形为平行四边形，则在第四象限中的点D′坐标为．【答案】(1)见分析(2)见分析(3)（6，－2）【分析】（1）根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答；（2）根据网格结构找出点A、B、C绕坐标原点O顺时针旋转90°的点A″、B″、C″的坐标，然后顺次连接即可；（3）根据平行四边形的对边平行且相等解答．(1)如图所示，∠A′B′C′就是求作的图形；(2)如图所示，∠A′′B′′C′′就是求作的三角形；(3)如图所示，点D′坐标为（6，－2）；【点拨】本题考查了利用旋转变换作图，平行四边形的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，△ABC 三个顶点的坐标分别是A （1，1），B （4，2），C （3，4）．(1) 若ABC 经过平移后得到111A B C △，已知点C 的对应点1C 的坐标为()2,4-，画出111A B C △；(2) 请画出△ABC 关于原点对称的△A 2B 2C 2．【答案】(1)见分析(2)见分析【分析】（1）根据C 点的平移方式依次得到A 点和B 点的对应点的位置，顺次相连即可；（2）根据中心对称的定义确定对应点的位置后顺次连接即可． (1)如图，△A 1B 1C 1即为所求． (2)如图，△A 2B 2C 2即为所求．【点拨】本题考查了平面直角坐标系内的图形的平移和中心对称，解题关键是牢记平移作图与中心对称图形的作图方法．【变式2】已知抛物线y ＝﹣2x 2+8x ﹣7．(1) 二次函数的图象与已知抛物线关于y 轴对称，求它的解析式；(2) 二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与已知抛物线关于原点对称，求a ，b ，c 的值．【答案】(1)y ＝﹣2x 2﹣8x ﹣7(2)a ＝2，b ＝8，c ＝7 【分析】（1）抛物线y ＝﹣2x 2+8x ﹣7的图象关于y 轴对称的抛物线x 互为相反数，y 不变进行求解即可；（2）抛物线y ＝﹣2x 2+8x ﹣7的图象关于原点对称的抛物线x 、y 均互为相反数进行求解即可；(1)解：抛物线y ＝﹣2x 2+8x ﹣7的图象关于y 轴对称的抛物线x 互为相反数，y 不变，∠y ＝﹣2（﹣x ）2+8（﹣x ）﹣7＝﹣2x 2﹣8x ﹣7；(2)抛物线y ＝﹣2x 2+8x ﹣7的图象关于原点对称的抛物线x 、y 均互为相反数，∠﹣y ＝﹣2（﹣x ）2+8（﹣x ）﹣7＝﹣2x 2﹣8x ﹣7，即y ＝2x 2+8x +7∠二次函数y ＝ax 2+bx +c 中的a ＝2，b ＝8，c ＝7．【点拨】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．类型五、旋转几何综合拓展5、∠ABC 和∠DEC 是等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，AC BC =，CD CE =．(1)【观察猜想】当∠ABC 和∠DEC 按如图1所示的位置摆放，连接BD 、AE ，延长BD 交AE 于点F ，猜想线段BD 和AE 有怎样的数量关系和位置关系．(2)【探究证明】如图2，将∠DCE 绕着点C 顺时针旋转一定角度()090αα︒<<︒，线段BD 和线段AE 的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．(3)【拓展应用】如图3，在∠ACD 中，45ADC ∠=︒，CD =4=AD ，将AC 绕着点C 逆时针旋转90°至BC ，连接BD ，求BD 的长．【答案】(1)BD AE = ，BD AE ⊥(2)成立，理由见分析(3)【分析】（1）通过证明BCD ACE ≅，即可求证；（2）通过证明BCD ACE ≅，即可求证；（3）过点C 作CH CD ⊥，垂足为C ，交AD 于点H ，根据旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可求解．解：(1)BD AE = ，BD AE ⊥，证明如下：在BCD △和ACE 中，90ACB DCE ∠=∠=︒，AC BC =，CD CE =，BCD ACE ∴≅，,BD AE CBD CAE ∴=∠=∠，90ACB ∠=︒，90CBD BDC ∴∠+∠=︒，BDC ADF ∠=∠，90CAE ADF ∴∠+∠=︒，BD AE ∴⊥；(2)成立，理由如下：∠ACB DEC ∠=∠，∠ACB ACD DCE ACD ∠+∠=∠+∠，即BCD ACE ∠=∠，在BCD △和ACE 中，∠AC BC =，BCD ACE ∠=∠，CD CE =，∠BCD ACE ≌，∠BD AE =，CBD CAE ∠=∠，∠BGC AGF ∠=∠，∠CBD BGC CAE AGF ∠+∠=∠+∠，∠90ACB ∠=︒，∠90CBD BGC ∠+∠=︒，∠90CAE AGF ∠+∠=︒，∠90AFB ∠=︒，∠BD AE ⊥；(3)如图，过点C 作CH CD ⊥，垂足为C ，交AD 于点H ，由旋转性质可得：90ACB ∠=︒，AC BC =，∠CH CD ⊥，∠90DCH ∠=︒，∠90ADC CHD ∠+∠=︒，且45ADC ∠=︒，∠45CHD ∠=︒，∠CHD ADC ∠=∠，∠CD CH ==在Rt DCH 中：2DH =，∠90ACB DCH ∠=∠=︒，∠ACB ACH DCH ACH ∠+∠=∠+∠，即ACD BCH ∠=∠，在ACD △和BCH 中，∠AC BC =，ACD BCH ∠=∠，CD CH =，∠ACD BCH ≌△△，∠4BH AD ==，CBH DAC ∠=∠，∠12CBH DAC ∠+∠=∠+∠，∠90ACB ∠=︒，∠190CBH ∠+∠=︒，∠290DAC ∠+∠=︒，∠90∠=°，BHA∠BH AD⊥，∠BHD△是直角三角形，在Rt BDH中，BD=【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键．举一反三：【变式1】如图1，在∠ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D为∠ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．（1）求证：∠BDA∠∠BFE；（2）∠CD+DF+FE的最小值为；∠当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∠BF．（3）如图2，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．【答案】（1）见解答；（2）；∠见解答；（3）是，∠MPN=30°．【分析】（1）由旋转60°知，∠ABD=∠EBF、AB=AE、BD=BF，故由SAS证出全等即可；（2）∠由两点之间，线段最短知C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，且CD+DF+FE 最小值为CE，再由∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1求出BC和AB，再由旋转知AB=BE，∠CBE=90°，最后根据勾股定理求出CE即可；∠先由∠BDF 为等边三角形得∠BFD =60°，再由C 、D 、F 、E 共线时CD +DF +FE 最小，∠BFE =120°=∠BDA ，最后ADF =∠ADB -∠BDF =120°-60°=60°，即证；（3）由中位线定理知道MN ∠AD 且PN ∠EF ，再设∠BEF =∠BAD =α，∠P AN =β，则∠PNF =60°-α+β，∠FNM =∠F AD =60°+α-β，得∠PNM =120°．（1）证明：∠∠DBF =∠ABE =60°，∠∠DBF -∠ABF =∠ABE -∠ABF ，∠∠ABD =∠EBF ，在∠BDA 与∠BFE 中，BD BF ABD EBF AB BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∠∠BDA ∠∠BFE （SAS ）；（2）∠∠两点之间，线段最短，即C 、D 、F 、E 共线时CD +DF +FE 最小，∠CD +DF +FE 最小值为CE ，∠∠ACB =90°，∠ABC =30°，AC =1，∠BE =AB =2，BC∠∠CBE =∠ABC +∠ABE =90°，∠CE=∠证明：∠BD =BF ，∠DBF =60°，∠∠BDF 为等边三角形，即∠BFD =60°，∠C 、D 、F 、E 共线时CD +DF +FE 最小，∠∠BFE =120°，∠∠BDA ∠∠BFE ，∠∠BDA =120°，∠∠ADF =∠ADB -∠BDF =120°-60°=60°，∠∠ADF =∠BFD ，∠AD ∠BF ；（3）∠MPN 的大小是为定值，理由如下：如图，连接MN ，∠M ，N ，P 分别是DF ，AF ，AE 的中点，∠MN ∠AD 且PN ∠EF ，∠AB =BE 且∠ABE =60°，∠∠ABE 为等边三角形，设∠BEF =∠BAD =α，∠P AN =β，则∠AEF =∠APN =60°-α，∠EAD =60°+α，∠∠PNF =60°-α+β，∠FNM =∠F AD =60°+α-β，∠∠PNM =∠PNF +∠FNM =60°-α+β+60°+α-β=120°，∠∠BDA ∠∠BFE ，∠MN =12AD =12FE =PN ， ∠∠MPN =12(180°-∠PNM )=30°．【点拨】本题是三角形与旋转变换的综合应用，熟练掌握旋转的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定、勾股定理的应用、中位线的性质及等腰、等边三角形的判定与性质是解题关键．【变式2】如图1，正方形ABCD 的边长为4，点P 在边AD 上（P 不与,A D 重合），连接,PB PC ．将线段PB 绕点P 顺时针旋转90°得到PE ，将线段PC 绕点P 逆时针旋转90°得到PF ．连接EF EA FD ,,．（1）求证：∠PDF ∆的面积212S PD =； ∠EA FD =；（2）如图2，EA FD.的延长线交于点M，取EF的中点N，连接MN，求MN的取值范围．【答案】（1）∠见详解；∠见详解；（2）4≤MN＜【分析】≌，即可得到结论；（1）∠过点F作FG∠AD交AD的延长线于点G，证明PFG CPD∠过点E作EH∠DA交DA的延长线于点H，证明PEH BPA≌，可得≌，结合PFG CPDGD=EH，同理：FG=AH，从而得AHE FGD≌，进而即可得到结论；（2）过点F作FG∠AD交AD的延长线于点G，过点E作EH∠DA交DA的延长线于点EF，HG= 2AD=8，EH+FG= AD=4，然后求出当点P与点D重H，可得∠AMD=90°，MN=12合时，EF最大值=P与AD的中点重合时，EF最小值= HG=8，进而即可得到答案．解：（1）∠证明：过点F作FG∠AD交AD的延长线于点G，∠∠FPG+∠PFG=90°，∠FPG+∠CPD=90°，∠∠FPG=∠CPD，又∠∠PGF=∠CDP=90°，PC=PF，∠PFG CPD ≌（AAS ），∠FG =PD ，∠PDF ∆的面积21122S PD FG PD =⋅=； ∠过点E 作EH ∠DA 交DA 的延长线于点H ，∠∠EPH +∠PEH =90°，∠EPH +∠BP A =90°，∠∠PEH =∠BP A ，又∠∠PHE =∠BAP =90°，PB =PE ，∠PEH BPA ≌（AAS ），∠EH =P A ，由∠得：FG =PD ，∠EH +FG =P A +PD =AD =CD ，由∠得：PFG CPD ≌，∠PG =CD ，∠PD +GD = CD = EH +FG ，∠FG + GD = EH +FG ，∠GD =EH ，同理：FG =AH ，又∠∠AHE =∠FGD ，∠AHE FGD ≌，∠EA FD =；（2）过点F 作FG ∠AD 交AD 的延长线于点G ，过点E 作EH ∠DA 交DA 的延长线于点H ，≌，由（1）得：AHE FGD∠∠HAE=∠GFD，∠∠GFD+∠GDF=90°，∠∠HAE+∠GDF=90°，∠∠HAE=∠MAD，∠GDF=∠MDA，∠∠MAD+∠MDA=90°，∠∠AMD=90°，∠点N是EF的中点，EF，∠MN=12∠EH=DG=AP，AH=FG=PD，∠HG=AH+DG+AD=PD+AP+AD=2AD=8，EH+FG=AP+PD=AD=4，当点P与点D重合时，FG=0，EH=4，HG=8，此时EF最大值当点P与AD的中点重合时，FG=2，EH=2，HG=8，此时EF最小值= HG=8，【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，添加辅助线，构造直角全等的直角三角形，是解题的关键．。

人教版九级上第章几何旋转综合题练习含答案

几何旋转综合题练习1、如图，已知ABC 是等边三角形.（1）如图（ 1），点 E 在线段 AB 上，点 D 在射线 CB 上，且 ED=EC. 将BCE绕点C顺时针旋转 60°至ACF ,连结EF.猜想线段AB,DB,AF之间的数量关系;（2）点 E 在线段 BA 的延伸线上，其余条件与（1）中一致，请在图（2）的基础大将图形补充完满，并猜想线段AB,DB,AF 之间的数量关系 ;（3）请选择（ 1）或（ 2）中的一个猜想进行证明 .A F AED B C B C第 21 题图 (1)第 21 题图 (2)2、如图1，△ACB、△AED都为等腰直角三角形，∠AED ＝∠ ACB ＝ 90 °，点 D 在 AB 上，连CE，M、N 分别为 BD 、CE 的中点(1)求证： MN ⊥ CE(2) 如图 2 将△ AED 绕 A 点逆时针旋转30 °，求证： CE ＝ 2MN3、在等腰 Rt △和等腰 Rt△ 1 1 1中 , 斜边 1 1中点O 也是的中点。

ABC A B C B C BC(1) 如图 1，则 AA1与 CC1的数量关系是；地址关系是。

(2)如图 2，将△A1B1C1绕点O顺时针旋转必然角度，上述结论可否仍旧建立，请证明你的结论。

(3)如图 3，在（ 2）的基础上，直线 AA1、CC1交于点P，设AB=4，则PB长的最小值是A A AA1B1PA1C1B C A1BB1OC1C O OB 图 1图 2C1图 3B14、已知，正方形ABCD的边长为4，点E是对角线BD延伸线上一点，AE＝BD．将△ABE A 顺时针旋转α度（ 0°＜α＜ 360 °）获取△ AB′E′，点 B、 E 的对应点分别为 B′、 E′(1)如图 1，当α＝30 °时，求证： B′C＝ DE(2)连结 B′E、 DE ′，当 B′E＝ DE ′时，请用图 2 求α的值(3)如图 3，点 P 为 AB 的中点，点 Q 为线段 B ′E′上随意一点，试试究，在此旋转过程中，线段PQ 长度的取值范围为_______________。

专题23.1图形的旋转-2024-2025学年九年级数学上册举一反三系列(人教版)[含答案]

专题23.1图形的旋转【十大题型】【人教版】【题型1判断生活中的旋转现象】【题型2由旋转的性质判断结论正误】【题型3由旋转的性质进行求解】【题型4由旋转的性质证明线段相等或角相等】【题型5画旋转图形】【题型6旋转对称图形】【题型7旋转求坐标】【题型8旋转中的规律性问题】【题型9由旋转的性质求最值】【题型10 图形的动态旋转】知识点1：旋转在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素．【题型1判断生活中的旋转现象】【例1】（23-24九年级·广西来宾·期末）1．有下列现象：①高层公寓电梯的上升：②传送带的移动；③方向盘的转动；④风车的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【变式1-1】（2024·吉林长春·三模）2．以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换：①只要向右平移1个单位；②先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位；④绕着OB的中点旋转180°即可．其中能得到图（2）的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②【变式1-2】（23-24九年级·广东广州·期末）3．“玉兔”在月球表面行走的动力主要来自太阳光能，要使接收太阳光能最多，就要使光线垂直照射在太阳光板上．现在太阳光如图照射，那么太阳光板绕支点A逆时针最小旋转（）可以使得接收光能最多．A．46°B．44°C．36°D．54°【变式1-3】（23-24九年级·重庆江津·期中）4．如果齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮E旋转的方向（）A．顺时针B．逆时针C．顺时针或逆时针D．不能确定知识点2：旋转的性质（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等．理解以下几点：（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度．（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等．（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置．【题型2 由旋转的性质判断结论正误】【例2】（23-24九年级·四川宜宾·期末）5．如图所示，O 是锐角三角形ABC 内一点，120AOB BOC COA Ð=Ð=Ð=o ，P 是ABC V 内不同于O 的另一点，A BO ¢¢△、A BP ¢¢V 分别由AOB V 、APB △旋转而得，旋转角都为60o ，则下列结论：①O BO ¢V 为等边三角形；②+=¢¢+¢A O O O AO BO ；③+=¢¢+¢A P P P PA PB ；④++³++PA PB PC AO BO CO ．其中正确的有（提示：有一个角是60o 的等腰三角形是等边三角形）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④【变式2-1】（23-24九年级·福建厦门·期末）6．如图，Rt ABC △中，90ACB Ð=°，30ABC Ð=°，M 为直线BC 上的一个动点，将线段AM 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AN ，连接CN ，则当CN 取得最小值时，下列结论正确的是（）A ．直线CN AB ^B ．直线CN 平分ABC ．直线CN 与直线BC 重合D ．直线CN 与直线AC 重合【变式2-2】（23-24九年级·北京大兴·期末）7．如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△DEC ，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，下列四个结论：①AC ＝AD ；②AB ⊥EB ；③BC ＝EC ；④∠A ＝∠EBC ；其中一定正确的是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④【变式2-3】（23-24九年级·江苏南通·阶段练习）8．如图所示，在等边ABC V 中，点D 是边AC 上一点，连接BD ，将BCD △绕着点B 逆时针旋转60°，得到BAE V ，连接ED ，则下列结论中：①AE BC ∥；②60DEB Ð=°；③ADE BDC Ð=Ð；④AED ABD Ð=Ð，其中正确的结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【题型3 由旋转的性质进行求解】【例3】（23-24九年级·贵州六盘水·期末）9．如图，在正方形ABCD 中，将边BC 绕点B 逆时针旋转至点BC ¢，若90,2CC D C D ¢¢Ð=°=，则线段BC ¢的长度为（）A ．4B ．C ．6D ．【变式3-1】（23-24九年级·福建·期末）10．将直角边长为6cm 的等腰直角三角形ABC 绕点A 逆时针旋转15°后得到AB C ¢¢△，则图中阴影部分的面积是 2cm ．【变式3-2】（23-24九年级·吉林长春·期末）11．如图，菱形纸片ABCD 的一内角为60°，边长为2，将它绕对角线的交点O 顺时针旋转90°后到A B C D ¢¢¢¢的位置，则旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为( )A ．8B ．)41C ．)81D ．)41【变式3-3】（23-24九年级·四川成都·期末）12．如图，等腰直角ABC V 中，AC BC =，将线段CA 绕点C 逆时针旋转a °（090a <<）得到线段CA ¢，作点A 关于线段CA ¢所在直线的对称点E ，连接AE 和BE ，分别交线段CA ¢所在直线于点M 和点F ，若1CF =，3FM =，则BF 的长为．【题型4 由旋转的性质证明线段相等或角相等】【例4】（23-24九年级·河南周口·期末）13．【猜测探究】在ABC V 中，ACB a Ð=．点D 是直线AB 上的一个动点，线段CD 绕点C 逆时针旋转α，得到线段CE ，连接DE ，BE ．（1）如图1，当CA CB =，点D 在AB 边上运动时，线段BD ，AB 和BE 之间的数量关系是______；（2）如图2，当CA CB =，点D 运动到AB 的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；【拓展应用】（3）如图3，将ABC V 绕点C 逆时针旋转60°得到DEC V ，DE 交AB 于点F ，连接CF ．若4CF =，1BF =，3DF =，求线段DE 的长．【变式4-1】（23-24九年级·山东济南·期末）14．在等边三角形ABC 的内部有一点D ，连接BD ，CD ，以点B 为中心，把BD 逆时针旋转60°得到BD ¢，连接AD ¢，DD ¢．以点C 为中心，把CD 顺时针旋转60°得到CD ¢¢，连接AD ¢¢，DD ¢¢．(1)判断D BA ¢Ð和DBC Ð的大小关系，并说明理由；(2)求证：D A DC ¢=；(3)求证：四边形AD DD ¢¢¢是平行四边形．【变式4-2】（23-24九年级·安徽·期末）15．如图，在四边形ABCD 中，AC BD ，是对角线，ABC V 是等边三角形，将线段CD 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CE ，连接AE DE ，．(1)求证：BCD ACE Ð=Ð；(2)若30610ADC AD BD Ð=°==，，，求DE 的长．【变式4-3】（23-24九年级·河南信阳·期末）16．在ABC V 中，CA CB =，ACB a Ð=，D 为ABC V 内一点，将CAD V 绕点C 按逆时针方向旋转角a 得到CBE △，点A D ，的对应点分别为点B E ，．(1)如图1，若A D E ，，三点在同一直线上，则CDE Ð=_________（用含a 的代数式表示）；(2)如图2，若A D E ，，三点在同一直线上，90a =°，过点C 作CF AE ^于点F ，探究线段CF AE BE ，，之间的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，连接AE ，若60a =°，CA =2CD =，将DCE △绕点C 旋转一周，当60AEC Ð=°时，BE =____________．知识点2：旋转作图旋转有两条重要性质：任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；对应点到旋转中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键．步骤可分为：①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点； ④接：即连接到所连接的各点．【题型5 画旋转图形】【例5】（23-24九年级·河南洛阳·期末）17．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：(1)画出将ABC V 向下平移5个单位长度后的111A B C △；(2)画出ABC V 关于点B 成中心对称的22A BC V ；(3)画出ABC V 绕点B 逆时针旋转90o 的33A BC △；(4)在直线l 上找一点P ，使ABP V 的周长最小．（说明：在网格中画出图形，标上字母即可）【变式5-1】（23-24九年级·四川成都·期末）18．如图，在平面直角坐标系中xOy ，已知ABC V 三个顶点的坐标分别为()1,3A ，()1,1B -，()2,2C -．(1)画出ABC V 绕原点O 顺时针旋转90°得到的111A B C △；(2)在y 轴上取点P ，使ABP V 的面积是ABC V 面积的32倍，求点P 的坐标．【变式5-2】（23-24九年级·江苏泰州·期末）19．如图，在边长为1的正方形网格中，ABC V 的顶点都在格点上，将ABC V 绕点O 逆时针旋转一定角度后，点C 落在格点C ¢处．(1)旋转角为______ °；(2)在图中画出旋转后的A B C ¢¢¢V ，其中A ¢、B ¢分别是A 、B 的对应点；(3)点O 到直线BB ¢的距离是______ ．【变式5-3】（23-24九年级·辽宁沈阳·期末）20．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，点3,4,()(0,1)A B ---．(1)平移线段AB 得到线段CD ，若点A 的对应点C 的坐标为(3,2)--，点B 的对应点为点D ，在网格中请画出线段CD ，并直接写出点D 的坐标为_______；(2)在（1）的条件下，在网格中请画出将线段CD 绕点D 按逆时针旋转90°后的线段DE ，点C 的对应点为点E ，并直接写出点E 的坐标为_______；(3)在（2）的条件下，线段AB 与线段DE 存在一种变换关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标为_______．【题型6 旋转对称图形】【例6】（23-24九年级·上海松江·期末）21．在正三角形、正方形、正五边形和等腰梯形这四种图形中，是旋转对称图形的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式6-1】（2024·北京西城·模拟预测）22．如图，沿图中的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻折180°后，再将翻折后的正方形绕它的右下顶点按顺时针方向旋转90°，所得到的图形是（）A ．B ．C ．D ．【变式6-2】（2024·河北·模拟预测）23．规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度()0180a a °<°…后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度a 称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O 旋转90°或180°后，能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是；A .矩形；B .正五边形；C .菱形；D .正六边形（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：（填序号）；（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．其中真命题的个数有个；【变式6-3】（23-24九年级·全国·单元测试）24．下列四个图案是小明家在瓷砖厂选购的四种地砖图案，其中既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用平移来分析整个图案的形成过程的是（）A ．B ．C ．D ．【题型7 旋转求坐标】【例7】（2024·天津东丽·二模）25．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到正方形111OA B C ，那么点1B 的坐标是（）A ．()1,1B ．C ．(D ．【变式7-1】（23-24九年级·河北唐山·期中）26．如图，将线段AB 绕点O 顺时针旋转90°得到线段A B ¢¢，那么()1,4A -的对应点A ¢的坐标是．【变式7-2】（23-24九年级·浙江金华·期末）27．如图，正比例函数的图象经过(),2A m -，()2,B n 两点，其中m ，n 为整数，且0,0m n <>.现将线段AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BC ，则点C 的坐标为．【变式7-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）28．在平面直角坐标系中，A （0，3），B （4，0），把△AOB 绕点O 旋转，使点A ，B 分别落在点A ′，B ′处，若A ′B ′∥x 轴，点B ′在第一象限，则点A 的对应点A ′的坐标为（）A ．（912,55-）B ．（129,55-）C ．（1612,55-）D ．（1216,55-）【题型8 旋转中的规律性问题】【例8】（23-24九年级·河南平顶山·期末）29．如图，在平面直角坐标系中，把边长为1的正方形OABC 绕着原点O 顺时针旋转45°得到正方形111OA B C ，按照这样的方式，绕着原点O 连续旋转2024次，得到正方形202420242024OA B C 则点2024A 的坐标是（）A ．(0,1)B ．()0,1-C ．(1,0)D ．【变式8-1】（23-24九年级·浙江杭州·期末）30．将正方体骰子（相对面上的点数1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1.在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换，若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成4次变换后，骰子朝上一面的点数是（）A ．6B ．5C ．3D ．1【变式8-2】（23-24九年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）31．风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成120°角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x 轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为()5,5A ，在一段时间内，叶片每秒绕原点O 顺时针转动90°，则第2024秒时，点A 的对应点2024A 的坐标为（）A ．()5,5B ．()5,5-C ．()5,5--D ．()5,5-【变式8-3】（23-24九年级·广东广州·期末）32．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在y 轴正半轴、x 轴正半轴上，顶点C ，D 在第一象限，已知1OA OB ==，BC =将矩形ABCD 绕点O 逆时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点C 的坐标是（）A ．()3,2B ．(−2,3)C ．()3,2--D ．(−3,2)【题型9 由旋转的性质求最值】【例9】（23-24九年级·江苏南通·期末）33．如图，正方形ABCD 的边长为4，30BCM Ð=°，点E 是直线CM 上一个动点，连接BE ，线段BE 绕点B 顺时针旋转45°得到BF ，则线段DF 长度的最小值等于（）A ．4-B ．2-C ．D ．【变式9-1】（23-24九年级·江苏盐城·期末）34．如图，线段4AC =，点B 为平面上一动点，且90ABC Ð=°，将线段AB 的中点M 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AN ，连接CN ，则线段CN 的最大值为．【变式9-2】（2024·江苏扬州·一模）35．如图，直角ABC V 中，90ACB Ð=°，30A Ð=°，4BC =，点E 是边AC 上一点，将BE 绕点B 顺时针旋转60°到点F ，则CF 长的最小值是．【变式9-3】（23-24九年级·江苏无锡·期末）36．已知在矩形ABCD 中，9AD =，12AB =，O 为矩形的中心，在等腰Rt V AEF 中，90EAF Ð=°，AE AF 6==．则EF 边上的高为；将AEF △绕点A 按顺时针方向旋转一周，连接CE ，取CE 中点M ，连接FM ，则FM 的最大值为．【题型10 图形的动态旋转】【例10】（23-24九年级·安徽合肥·期末）37．将一个三角板如图所示摆放，直线MN 与直线GH 相交于点P ，45MPH Ð=°，现将三角板ABC 绕点A 以每秒3°的速度顺时针旋转，设时间为t 秒，且0150t ££，当t = 时，MN 与三角板的直角边平行．【变式10-1】（23-24九年级·四川成都·期末）38．新定义：已知射线OP 、OQ 为AOB Ð内部的两条射线，如果12POQ AOB Ð=Ð，那么把POQ Ð叫作AOB Ð的幸运角．已知40AOB Ð=°，射线OC 与射线OA 重合，并绕点O 以每秒5°的速度顺时针旋转，射线OD 与射线OB 重合，并绕点O 以每秒3°的速度逆时针旋转，当射线OC 旋转一周时运动停止．在旋转过程中，射线OA ，OB ，OC ，OD 中由两条射线组成的角是另外两条射线组成的角的幸运角时，t = 秒．（本题所有角都指的是小于180°的角）【变式10-2】（23-24九年级·河南平顶山·期末）39．如图，点 D 是等边ABC V 边BC 上一点，且 20BAD Ð=°．将ABD △绕点A 顺时针旋转α（0a ¹）得到AB D ¢¢V ，其中点B ，D 的对应点分别为B D ¢¢，．当直线B D ¢¢经过ABC V 的顶点时，CDD ¢Ð的度数为．【变式10-3】（23-24九年级·江苏无锡·阶段练习）40．如图，在平行四边形ABCD 中，5cm,2cm,120AB BC BCD ==Ð=°，点P 从A 点出发，沿射线AB 以1cm /s 的速度运动，连接CP ，将CP 绕点C 逆时针旋转60°，得到CQ ，连接BQ ．当t = 时，BPQ V 是直角三角形．1．C【分析】根据旋转的定义进行判断即可．【详解】解：①高层公寓电梯的上升，是平移，故不符合要求：②传送带的移动，是平移，故不符合要求；③方向盘的转动，是旋转，故符合要求；④风车的转动，是旋转，故符合要求；⑤钟摆的运动，是旋转，故符合要求；⑥荡秋千运动，是旋转，故符合要求；故选：C．【点睛】本题考查了旋转的定义．解题的关键在于对知识的熟练掌握．2．B【分析】根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的特征结合图形解答即可．【详解】解：由图可知，图（1）先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位，即可得到图（2），故②符合题意；图（1）先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位，即可得到图（2），故③符合题意；图（1）绕着OB的中点旋转180°即可得到图（2），故④符合题意；图（1）只要向右平移1个单位不能得到图（2），故①不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握常见的几种几何变换－平移、翻折、旋转的特征是解题的关键．3．B【分析】根据垂直的定义和旋转方向，计算可得．【详解】解：由题意可得：若要太阳光板于太阳光垂直，则需要绕点A逆时针旋转90°-（180°-134°）=44°，故选：B．【点睛】本题考查了实际生活中的垂直的定义，旋转的定义，解题的关键是理解旋转分为顺时针和逆时针．4．B【分析】根据图示进行分析解答即可．【详解】齿轮A 以逆时针方向旋转，齿轮B 以顺时针方向旋转，齿轮C 以逆时针方向旋转，齿轮D 以顺时针方向旋转，齿轮E 以逆时针方向旋转，故选B ．【点睛】此题考查旋转问题，关键是根据图示进行解答．5．A【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质以及两点之间线段最短．由于A BO ¢¢△，A BP ¢¢V 分别由AOB V 、APB △旋转而得，旋转角都为60°，得到BO BO ¢=，BP BP ¢=，60OBO PBP ¢¢Ð=Ð=°，A O B AOB ¢¢Ð=Ð，O A OA ¢¢=，P A PA ¢¢=，则BOO ¢V 和BPP ¢V 都是等边三角形，得到60BOO BO O ¢¢Ð=Ð=°，OO OB ¢=，而120AOB BOC COA Ð=Ð=Ð=°，再进行判断即可．【详解】解：连PP ¢，如图，Q A BO ¢¢△，A BP ¢¢V 分别由AOB V 、APB △旋转而得，旋转角都为60°，BO BO ¢\=，BP BP ¢=，60OBO PBP ¢¢Ð=Ð=°，A O B AOB ¢¢Ð=Ð，O A OA ¢¢=，P A PA ¢¢=，BOO ¢\V 和BPP ¢V 都是等边三角形，所以①正确；,OO OB O B BP BP PP ¢¢¢¢\====，A O O O AO BO ¢¢¢\+=+，所以②正确；+=¢¢+¢A P P P PA PB ，所以③正确；60BOO BO O ¢¢\Ð=Ð=°，而120AOB BOC COA Ð=Ð=Ð=°，180A O O O OC ¢¢¢\Ð=Ð=°，\A ¢，O ¢，O ，C 在一条直线上，又CP PP P A CA CO OO O A ¢¢¢¢¢¢¢++>=++Q ，\++>++PA PB PC AO BO CO ，所以④错误．故选：A6．B【分析】延长AC 到E ，使得AE AB =，连接NE ，先求出60BAC Ð=°，2AB AC =，由旋转的性质可得AM AN =，60MAN Ð=°，则BAM EAN Ð=Ð，证明()SAS BAM EAN △≌△，得到30AEN ABM ==°∠∠，则点N 在直线EN 运动，故当CN EN ^时，CN 最小，设当CN EN^时，点N 与点H 重合，延长HC 交AB 于F ，证明ACF △是等边三角形，得到AF AC =，则2AB AF =，即直线CN 平分AB ．【详解】解：如图所示，延长AC 到E ，使得AE AB =，连接NE ，∵Rt ABC △中，90ACB Ð=°，30ABC Ð=°，∴18060BAC ACB ABC =°--=°∠∠∠，2AB AC =，由旋转的性质可得AM AN =，60MAN Ð=°，∴BAC MAN Ð=Ð，∴BAM EAN Ð=Ð，∴()SAS BAM EAN △≌△，∴30AEN ABM ==°∠∠，∴点N 在直线EN 运动，∵垂线段最短，∴当CN EN ^时，CN 最小，设当CN EN ^时，点N 与点H 重合，延长HC 交AB 于F ，∴903060ACF HCE ==°-°=°∠∠，∴ACF △是等边三角形，∴AF AC =，∵2AB AC =，∴2AB AF =，∴此时直线CN 平分AB ，【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质等等，确定N 的运动轨迹是解题的关键．7．C【分析】根据旋转的性质，得到对应边相等，旋转角相等，从而去判断命题的正确性．【详解】解：∵旋转，∴AC DC =，但是旋转角不一定是60°，∴ACD V 不一定是等边三角形，∴AC AD =不一定成立，即①不一定正确；∵旋转，∴BC EC =，故③正确；∵旋转，∴ACD BCE Ð=Ð，∵等腰三角形ACD 和等腰三角形BCE 的顶角相等，∴它们的底角也相等，即A EBC Ð=Ð，故④正确；∵90A ABC Ð+Ð=°不一定成立，∴90EBC ABC Ð+Ð=°不一定成立，∴AB EB ^不一定成立，即②不一定正确．故选：C ．【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握图形旋转的性质．8．C【分析】由题意可得∠EAB ＝∠ACB ＝∠ABC ＝60°，BD ＝BE ，∠DBE ＝60°，可判断①②，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和可判断③④．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∠AEB ＝∠BDC∵将△BCD 绕着点B 逆时针旋转60°，得到△BAE ，∴BE ＝BD ，∠DBE ＝60°，∠EAB ＝∠ACB ＝60°∴∠EAB ＝∠ABC ＝60°，△BED 是等边三角形∵△BED 是等边三角形∴∠DEB ＝60°故①②正确∵∠AEB ＝∠BDC ，∠AEB ＝∠AED ＋∠BED ，∠BDC ＝∠BAC ＋∠ABD∴∠AED ＝∠ABD故④正确∵∠BDC ＞60°，∠ADE ＜60°∴∠BDC≠∠ADE故③错误．故答案选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，证明△BED 是等边三角形是本题的关键．9．D【分析】过点B 作BE CC ¢^于E ，如图所示，由旋转性质得到BC BC ¢=，从而得到BCC ¢V 是等腰三角形，结合等腰三角形性质确定BE 是线段CC ¢的垂直平分线，再由正方形性质，利用三角形全等的判定得到()AAS CC D BEC ¢V V ≌，进而由全等性质得到2CE C D ¢==，在Rt CC D ¢△中，由勾股定理求解即可得到答案．【详解】解：过点B 作BE CC ¢^于E ，如图所示：Q 将边BC 绕点B 逆时针旋转至点BC ¢，BC BC ¢\=，由等腰三角形三线合一性质可得BE 是线段CC ¢的垂直平分线，则190,2BC E C E CE CC ¢¢¢Ð=°==，在正方形ABCD 中，BC CD =，90BCD BCE DCE Ð=°=Ð+Ð，CD BC ¢\=，Q 90CC D ¢Ð=°，90CDC DCE ¢\Ð+Ð=°，BCE CDC ¢\Ð=Ð，在CC D ¢△和BEC V 中，90BCE CDC BEC CC D BC CD ¢¢Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î()AAS CC D BEC \¢V V ≌，\2CE C D ¢==，则24CC CE ¢==，在Rt CC D ¢△中，90,2CC D C D ¢¢Ð=°=，4CC ¢=，则由勾股定理可得CD ==，BC CD ¢\==，故选：D ．【点睛】本题考查正方形中求线段长，涉及旋转性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，读懂题意，准确构造出辅助线，灵活运用相关几何性质求解是解决问题的关键．10．【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质．关键是通过旋转的性质判断阴影部分三角形的特点，计算三角形的面积．设AB 与B C ¢¢交于D 点，根据旋转角15CAC ¢Ð=°，等腰直角ABC V 的一锐角45CAB Ð=°，可求C AD ¢Ð，旋转前后对应边相等，对应角相等，6AC AC cm ==¢，90C C ¢Ð=Ð=°，根据勾股定理求得C D ¢，进而根据三角形的面积公式可求阴影部分面积．【详解】解：设AB 与B C ¢¢交于D 点，根据旋转性质得15CAC ¢Ð=°，而45CAB Ð=°，∴30C AD CAB CAC ¢¢Ð=Ð-Ð=°，又∵690AC AC cm C C ¢¢==Ð=Ð=°，，∴2AD C D ¢=，由勾股定理得，222AD C D AC ¢¢-=，即22246C D C D ¢¢-=，∴C D ¢=，∴阴影部分的面积2162=´´=．故答案为：11．C【分析】此题主要考查菱形的性质和直角三角形的性质．根据已知可得重叠部分是个八边形，从而求得其一边长即可得到其周长．【详解】解：2,60,AD A B DAB ==Ð=¢¢°Q 30,DAO B A O \Ð=Ð=¢°¢1,OD OB AO A O ==¢\=¢=1,AB AO B O ¢¢\=-=30,60DAC A B C Ð=°Ð¢=¢°Q 30,DAC AFB \¢Ð=Ð=°,AB B F FD A D \==¢=¢¢1,B F FD \=-¢根据旋转的性质可得阴影部分为各边长相等的八边形，\旋转前后两菱形里鲁部分多边形的周长是1)．故选：C ．12．【分析】过点C 作CH CA ¢^交BE 于点H ，连接AF ，根据题意得到,AF EF AC CE ==，易证CAF CEF Ð=Ð，由等腰三角形的性质推出CBE CEB Ð=Ð，推出CAF CBE Ð=Ð，证明()AAS AFC BHC V V ≌，得到,CF CH AF BH ==，进而证明CHF V 是等腰直角三角形，即可证明AMF V 是等腰直角三角形，推出利用勾股定理即可求出FH AF ====BF 的长．【详解】解：如图，过点C 作CH CA ¢^交BE 于点H ，连接AF ，Q 点E 与点A 关于线段CA ¢所在直线对称，\,AF EF AC CE ==，,CAE CEA FAE FEA \Ð=ÐÐ=Ð，\CAF CEF Ð=Ð，,BC AC AC CE ==Q ，CE BC \=，\CBE CEB Ð=Ð，\CAF CBE Ð=Ð，90ACF ACH BCH ACH Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，ACF BCH \Ð=Ð，\()AAS AFC BHC V V ≌，\,CF CH AF BH ==，\CHF V 是等腰直角三角形，45CFH CHF \Ð=Ð=°，180135BHC AFC CHF \Ð=Ð=°-Ð=°，45AFM \Ð=°\AMF V 是等腰直角三角形，MF AM\=Q 1CF =，3FM =，\FH AF ======\BF BH FH AF FH =+=+=故答案为：【点睛】本题考查了等腰直角三角形判定与性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，对称的性质，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键．13．（1）AB BE DB =+，（2）不成立，见解析；（3）8【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定，（1）由旋转的性质得，CD CE =，ACB DCE a Ð=Ð=，利用等量代换可得ACD BCE Ð=Ð，证得()ACD BCE SAS V V ≌，可得AD BE =，即可得证；（2）由旋转的性质得，ACB DCE a Ð=Ð=，CD CE =，利用等量代换可得ACD BCE Ð=Ð，证得()ACD BCE SAS V V ≌，可得AD BE =，即可证明；（3）在ED 上取一点P ，使EP FB =，由旋转的性质得CB CE =，B E Ð=Ð，证得()CFB CPE SAS V V ≌，可得CF CP =，FCB PCE Ð=Ð，从而可证FCP V 是等边三角形，可得CF FP =，即可求解．【详解】解：（1）由旋转的性质得，CD CE =，ACB DCE a Ð=Ð=，∵=ACD DCB a Ð+Ð，=DCB BCE a Ð+Ð，∴ACD BCE Ð=Ð，又∵CA CB =，∴()ACD BCE SAS V V ≌，∴AD BE =，∵AB AD DB =+，∴AB BE DB =+，故答案为：AB BE DB =+；（2）不成立，理由如下：由旋转的性质得，ACB DCE a Ð=Ð=，CD CE =，∴ACB BCD BCD DCE Ð+Ð=Ð+Ð，即ACD BCE Ð=Ð，又∵CA CB =，∴()ACD BCE SAS V V ≌，∴AD BE =，∵AD AB BD =+，∴=BE AB DB +；（3）在ED 上取一点P ，使EP FB =，由题意得，CB CE =，CBF CEP Ð=Ð，∴()CFB CPE SAS V V ≌，∴CF CP =，FCB PCE Ð=Ð，由题意得，60BCE Ð=°，∴60FCP FCB BCP PCE BCP BCE Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，∴FCP V 是等边三角形，∴CF FP =，∴3418DE DF FP PE DF CF FB =++=++=++=，即线段DE 的长为8．14．(1)D BA DBC ¢Ð=Ð，理由见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据旋转的性质得60DBD ¢Ð=°，BD BD ¢=，则可判断BDD ¢△为等边三角形，再利用ABC V 为等边三角形得到60ABC Ð=°，则可得到D BA DBC ¢Ð=Ð；（2）通过证明ABD CBD ¢≌V V 得到D A DC ¢=；（3）根据旋转的性质得60DCD ¢¢Ð=°，DC D C ¢¢=，则可判断DCD ¢¢△为等边三角形，于是得到DD DC ¢¢=，再与（2）的证明方法一样证明ACD BCD ¢¢≌V V 得到AD BD ¢¢=，于是AD DD ¢¢¢=，加上D A DC DD ¢¢¢==，从而可判断四边形AD DD ¢¢¢是平行四边形．【详解】（1）解：D BA DBC ¢Ð=Ð，理由如下：Q 以点B 为中心，把BD 逆时针旋转60°得到BD ¢，60DBD ¢\Ð=°，BD BD ¢=，BDD ¢\△为等边三角形，BD DD ¢\=，ABC QV 为等边三角形，60ABC \Ð=°，BA BC =，60DBD ABD D BA ¢¢Ð=Ð+Ð=°Q ，60ABC ABD DBC Ð=Ð+Ð=°，D BA DBC ¢\Ð=Ð；（2）证明：在ABD ¢△和CBD △中，BA BC D BA DBC BD BD =ìïÐ=¢¢=Ðíïî，()SAS ABD CBD ¢\≌V V ，D A DC ¢\=；（3）证明：Q 以点C 为中心，把CD 顺时针旋转60°得到CD ¢¢，60DCD ¢¢\Ð=°，DC D C ¢¢=，DCD ¢¢\△为等边三角形，DD DC ¢¢\=，ABC QV 为等边三角形，60ACB Ð=°∴，CA CB =，60DCD ACD D CA ¢¢¢¢Ð=Ð+Ð=°Q ，60ACB ACD DCB Ð=Ð+Ð=°，D CA DCB ¢¢\Ð=Ð，在ACD ¢¢△和BCD △中，CA CB D CA DCB D C DC =ìïÐ=Ðíï=¢¢¢î¢，()SAS ACD BCD ¢¢\≌V V ，AD BD ¢¢\=，由（1）可知：BD DD ¢=AD DD ¢¢¢\=，由（2）可知：D A DC ¢=，又DD DC ¢¢=Q ，D A DD ¢¢¢\=，\四边形AD DD ¢¢¢是平行四边形．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．15．(1)见解析(2)8【分析】（1）根据旋转的性质得到60DCE CE CD Ð=°=，，利用等边三角形的性质得到60ACB AC BC Ð=°=，．则ACB DCE Ð=Ð，即可得到结论；（2）证明()SAS ACE BCD ≌△△．则AE BD =．证明CDE V 是等边三角形．进一步得到90ADE ADC CDE Ð=Ð+Ð=°．在Rt ADE V 中，由勾股定理即可得到DE 的长．【详解】（1）证明：由旋转的性质，知60DCE CE CD Ð=°=，．∵ABC V 是等边三角形，∴60ACB AC BC Ð=°=，．∴ACB DCE Ð=Ð．∴ACB ACD DCE ACD Ð+Ð=Ð+Ð，即BCD ACE Ð=Ð．（2）解：在ACE △和BCD △中，AC BC ACE BCD CE CD =ìïÐ=Ðíï=î，，，∴()SAS ACE BCD ≌△△．∴10AE BD ==．∵60DCE CD CE Ð=°=，，∴CDE V 是等边三角形．∴60CDE Ð=°．∵30ADC Ð=°，∴90ADE ADC CDE Ð=Ð+Ð=°．在Rt ADE V中，8DE ==【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键．16．(1)1802a°-(2)2AE BE CF =+，理由见解析(3)2【分析】（1）根据旋转的性质及三角形的内角和定理即可解答；（2）根据旋转的性质及等腰直角三角形的性质即可解答；（3）根据旋转的性质及等边三角形的性质得到1DH EH ==，再利用勾股定理及全等三角形的性质即可解答．【详解】（1）解：如图1中，∵将CAD V 绕点C 按逆时针方向旋转角a 得到CBE △，∴ACD BCE △△≌，DCE a Ð=，∴CD CE =，∴1802CDE a °-Ð=．故答案为：1802a °-．（2）解：2AE BE CF =+．理由如下：如图2中，∵将CAD V 绕点C 按逆时针方向旋转角90°得到CBE △，∴ACD BCE △△≌，∴AD BE =，CD CE =，90DCE Ð=°，∴CDE V 是等腰直角三角形，∵CF DE ^，∴2DF EF CF ==，∵AE AD DF EF =++，∴2AE BE CF =+．（3）解：如图3中，过点C 作CH DE ^于点H ．∵60a =°，∴ACB △，DCE △都是等边三角形，∴60CED Ð=°，∵60AEC Ð=°，∴60AEC CED Ð=Ð=°，∴A ，D ，E 共线，∵CH DE ^，2CD =，CD DE CE ==，∴1DH EH ==，∴CH ===∵CA =∴3AH ===，∴312AD AH DH =-=-=，∵ACD BCE △△≌，∴2BE AD ==．故答案为：2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．17．(1)图见解析(2)图见解析(3)图见解析(4)图见解析【分析】本题主要考查了利用平移变换，旋转变化作图，熟练掌握作图技巧是解题的关键．（1）根据平移的方向和距离，即可得到ABC V 向下平移5个单位后的图形111A B C △；（2）根据旋转中心，旋转的方向以及角度，即可得到图像；（3）分别找出A C 、对应点，连接即可；（4）找出A 关于直线l 的对称点，连接A B ¢，交直线l 于点P ，此时PA PA ¢=，则PA PB A B ¢+=，使ABP V 的周长最小．【详解】（1）解：111A B C V 即为所求（2）解：222A B C V 即为所求。

部编版九年级数学上册第二十三章旋转知识点总结(超全)

(名师选题)部编版九年级数学上册第二十三章旋转知识点总结(超全)单选题1、如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2√7，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（）A．（4，2）或（﹣4，2）B．（2√3，﹣4）或（﹣2√3，4）C．（﹣2√3，2）或（2√3，﹣2）D．（2，﹣2√3）或（﹣2，2√3）答案：C分析：先求出点A的坐标，再根据旋转变换中，坐标的变换特征求解；或根据题意画出图形旋转后的位置，根据旋转的性质确定对应点A′的坐标．过点A作AC⊥OB于点C．在Rt△AOC中，AC2=OA2−OC2．在Rt△ABC中，AC2=AB2−CB2=AB2−(OB−OC)2．∴OA2−OC2=AB2−(OB−OC)2．∵OA＝4，OB＝6，AB＝2√7，∴OC=2．∴AC=2√3．∴点A的坐标是(2,2√3)．根据题意画出图形旋转后的位置，如图，∴将△AOB绕原点O顺时针旋转90°时，点A的对应点A′的坐标为(2√3,−2)；将△AOB绕原点O逆时针旋转90°时，点A的对应点A′′的坐标为(−2√3,2)．故选：C．小提示：本题考查了解直角三角形、旋转中点的坐标变换特征及旋转的性质．（a，b）绕原点顺时针旋转90°得到的坐标为（b，-a），绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（－b，a）．2、如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，则下列四个图形中正确的是（）A．B．C．D．答案：B分析：根据绕点B按顺时针方向旋转90°逐项分析即可．A、Rt△A′O′B是由Rt△AOB关于过B点与OB垂直的直线对称得到，故A选项不符合题意；B、Rt△A′O′B是由Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到，故B选项符合题意；C、Rt△A′O′B与Rt△AOB对应点发生了变化，故C选项不符合题意；D、Rt△AOB是由Rt△AOB绕点B按逆时针方向旋转90°后得到，故D选项不符合题意．故选：B．小提示：本题考查旋转变换．解题的关键是弄清旋转的方向和旋转的度数．3、以下有关勾股定理证明的图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．答案：A分析：根据中心对称图形的定义即可得．A、不是中心对称图形，此项符合题意；B、是中心对称图形，此项不符题意；C、是中心对称图形，此项不符题意；D、是中心对称图形，此项不符题意；故选：A．小提示：本题考查了中心对称图形，熟记定义是解题关键．4、在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（）A．Q(3,240°)B．Q(3,−450°)C．Q(3,600°)D．(3,−120°)答案：B分析：根据中心对称的性质解答即可．解：∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°），由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，-120°），（3，600°），故选：B．小提示：本题考查了中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答．5、如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A'B'C，连接AA'，若∠1=25°，则∠BAA'的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°答案：B分析：根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′=45°，再根据三角形的内角和定理可得结果．∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴AC=A′C，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CA′A=45°，∠CA′B′=20°=∠BAC∴∠BAA′=180°-70°-45°=65°，故选：B．小提示：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．6、如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=√3，对角线AC上有一点G（异于A，C），连接DG，将△AGD绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，则BF的长为（）A．√13B．2√13C．√7D．2√7答案：A分析：过点F作FH⊥BA交BA的延长线于点H，则∠FHA=90°，△AGD绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，得∠FAD=60°，AF=AD=2，又由四边形ABCD是矩形，∠BAD=90°，得到∠FAH=30°，在Rt△AFH中，FH=1AF=1，由2勾股定理得AH=√AF2−FH2=√3，得到BH=AH+AB=2√3，再由勾股定理得BF=√FH2+BH2=√12+(2√3)2=√13．解：如图，过点F作FH⊥BA交BA的延长线于点H，则∠FHA=90°，∵△AGD绕点A逆时针旋转60°得到△AEF∴∠FAD=60°，AF=AD=2，∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD=90°∴∠BAF=∠FAD+ ∠BAD=150°∴∠FAH=180°－∠BAF=30°AF=1在Rt△AFH中，FH=12由勾股定理得AH=√AF2−FH2=√3在Rt△BFH中，FH=1，BH=AH+AB=2√3由勾股定理得BF=√FH2+BH2=√12+(2√3)2=√13故BF的长√13．故选：A小提示：本题考查了图形的旋转，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解决此题的关键在于作出正确的辅助线．7、已知点M(a,2)在第二象限，且|a|=1，则点M关于原点对称的点的坐标是（）A．(−2,1)B．(−1,2)C．(2,−1)D．(1,−2)答案：D分析：由题意，先求出a=−1，得到点M的坐标，然后求出关于原点对称的点的坐标即可．解：∵|a|=1，∴a=±1，∵点M(a,2)在第二象限，∴a=−1，∴点M(−1,2)，∴点M关于原点对称的点的坐标是(1,−2)；故选：D小提示：此题主要考查了关于原点对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．8、小明把一副三角板按如图所示叠放在一起，固定三角板ABC，将另一块三角板DEF绕公共顶点B顺时针旋转（旋转角度不超过180°）．若两块三角板有一边平行，则三角板DEF旋转的度数可能是（）A．15°或45°B．15°或45°或90°C．45°或90°或135°D．15°或45°或90°或135°答案：D分析：分四种情况讨论，由平行线的性质和旋转的性质可求解．解：设旋转的度数为α，若DE∥AB，则∠E=∠ABE=90°，∴α=90°-30°-45°=15°，若BE∥AC，则∠ABE=180°-∠A=120°，∴α=120°-30°-45°=45°，若BD∥AC，则∠ACB=∠CBD=90°，∴α=90°，当点C，点B，点E共线时，∵∠ACB=∠DEB=90°，∴AC∥DE，∴α=180°-45°=135°，综上三角板DEF旋转的度数可能是15°或45°或90°或135°．故选：D小提示：本题考查了旋转的性质，平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．填空题AB；G、H分别是BC边9、点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F分别是AB边上的点，且EF＝12BC；若S1,S2分别表示∆EOF和∆GOH的面积，则S1,S2之间的等量关系是______________上的点，且GH＝13答案：2S 1＝3S 2分析：过点O 分别作OM ⊥BC ，垂足为M ，作ON ⊥AB ，垂足为N ，根据点O 是平行四边形ABCD 的对称中心以及平行四边形的面积公式可得AB•ON=BC•OM ，再根据S 1=12EF•ON ，S 2=12GH•OM ，EF ＝12AB ，GH ＝13BC ，则可得到答案．过点O 分别作OM ⊥BC ，垂足为M ，作ON ⊥AB ，垂足为N ，∵点O 是平行四边形ABCD 的对称中心，∴S 平行四边形ABCD =AB•2ON ， S 平行四边形ABCD =BC•2OM ，∴AB•ON=BC•OM ，∵S 1=12EF•ON ，S 2=12GH•OM ，EF ＝12AB ，GH ＝13BC ，∴S 1=14AB•ON ，S 2=16BC•OM ， ∴2S 1＝3S 2，故答案为2S 1＝3S 2．小提示：本题考查了平行四边形的面积，中心对称的性质，正确添加辅助线、准确表示出图形面积是解题的关键．10、如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO 绕原点O 逆时针旋转75°，再沿y 轴方向向上平移1个单位长度，则点B ″的坐标为___________．答案：(−√2,√6+1)##(−√2,1+√6)分析：连接OB，OB′由题意可得∠BOB′=75°，可得出∠COB′=30°，可求出B′的坐标，即可得出点B″的坐标．解：如图：连接OB，OB′，作B′M⊥y轴∵ABCO是正方形，OA=2∴∠COB=45°，OB=2√2∵绕原点O逆时针旋转75°∴∠BOB′=75°∴∠COB′=30°∵OB′=OB=2√2∴MB′=√2，MO=√6∴B′(−√2,√6)∵沿y轴方向向上平移1个单位长度∴B″(−√2,√6+1)所以答案是：(−√2,√6+1)小提示：本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握网格结构，准确确定出对应点的位置是解题的关键．11、如图，BD为▱ABCD的对角线，点P为△ABD内一点，连接PA、PB、PC、PD，若△ABP和△BCP的面积分别为3和13，则△BDP的面积为_________．答案：10分析：由平行四边形和三角形的面积公式及平行四边形的性质可以得到S△BDP=S△BCP−S△ABP,把已知△ABP 和△BCP的面积分别为3和13代入计算即可得到答案．S▱ABCD，解:由平行四边形和三角形的面积公式易得S△ADP+S△BCP=12S▱ABCD，由平行四边形的性质可得S△ABD=12∴S△ADP+S△ABP+S△BDP=1S▱ABCD，2∴S△BCP=S△ABP+S△BDP，∴S△BDP=S△BCP−S△ABP=13−3=10,故答案为10．小提示：本题考查平行四边形的应用,熟练掌握平行四边形和三角形的面积公式及平行四边形的中心对称性是解题关键．解答题12、如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边AD上（P不与A,D重合），连接PB,PC．将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到PE，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到PF．连接EF,EA,FD．（1）求证：PD2；①ΔPDF的面积S=12②EA=FD；（2）如图2，EA.FD的延长线交于点M，取EF的中点N，连接MN，求MN的取值范围．答案：（1）①见详解；②见详解；（2）4≤MN＜2√5分析：（1）①过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，证明△PFG≌△CPD，即可得到结论；②过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，证明△PEH≌△BPA，结合△PFG≌△CPD，可得GD=EH，同理：FG=AH，从而得△AHE≌△FGD，进而即可得到结论；（2）过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，可得∠AMD=90°，MN=12EF，HG= 2AD=8，EH+FG=AD=4，然后求出当点P与点D重合时，EF最大值=4√5，当点P与AD的中点重合时，EF最小值= HG=8，进而即可得到答案．（1）①证明：过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，∵∠FPG+∠PFG=90°，∠FPG+∠CPD=90°，∴∠FPG=∠CPD，又∵∠PGF=∠CDP=90°，PC=PF，∴△PFG≌△CPD（AAS），∴FG=PD，∴ΔPDF的面积S=12PD⋅FG=12PD2；②过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，∵∠EPH+∠PEH=90°，∠EPH +∠BPA=90°，∴∠PEH =∠BPA，又∵∠PHE=∠BAP=90°，PB=PE，∴△PEH≌△BPA（AAS），∴EH=PA，由①得：FG=PD，∴EH+FG=PA+PD=AD=CD，由①得：△PFG≌△CPD，∴PG=CD，∴PD+GD= CD= EH+FG，∴FG+GD= EH+FG，∴GD=EH，同理：FG=AH，又∵∠AHE=∠FGD，∴△AHE≌△FGD，∴EA=FD；（2）过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，由（1）得：△AHE≌△FGD，∴∠HAE=∠GFD，∵∠GFD+∠GDF=90°，∴∠HAE+∠GDF=90°，∵∠HAE=∠MAD，∠GDF=∠MDA，∴∠MAD+∠MDA=90°，∴∠AMD=90°，∵点N是EF的中点，∴MN=1EF，2∵EH=DG=AP，AH=FG=PD，∴HG=AH+DG+AD=PD+AP+AD=2AD=8，EH+FG=AP+PD=AD=4，当点P与点D重合时，FG=0，EH=4，HG=8，此时EF最大值=√42+82=4√5，当点P与AD的中点重合时，FG=2，EH=2，HG=8，此时EF最小值= HG=8，∴MN的取值范围是：4≤MN＜2√5．小提示：本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，添加辅助线，构造直角全等的直角三角形，是解题的关键．13、如图，等腰Rt△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．（1）求∠DCE的度数；（2）若AB＝4，CD＝3AD，求DE的长．答案：（1）90°；（2）2√5分析：（1）根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质即可得∠DCE的度数；（2）根据勾股定理求出AC的长，根据CD＝3AD，可得CD和AD的长，根据旋转的性质可得AD＝EC，再根据勾股定理即可得DE的长．解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAD＝∠BCD＝45°，由旋转的性质可知∠BAD＝∠BCE＝45°，∴∠DCE＝∠BCE＋∠BCA＝45°＋45°＝90°；（2）∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴AC=√AB2+BC2=4√2，∵CD＝3AD，∴AD=√2，DC=3√2，由旋转的性质可知：AD＝EC＝√2，∴DE=√CE2+DC2=2√5．小提示：本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握旋转的性质．。

2022年人教版初中数学9年级上册《旋转》全章复习与巩固--巩固练习(基础)及答案

2022年人教版初中数学9年级上册《旋转》全章复习与巩固--巩固练习（基础）一、选择题1．（2020•德州）如图，在△ABC 中，∠CAB=65°，将△ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB ′C ′的位置，使CC ′∥AB ，则旋转角的度数为（）A ．35°B ．40°C ．50°D ．65°2.如图，在等腰直角△ABC 中，B=90°，将△ABC 绕顶点A 逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′,则等于（）.A.60°B.105°C.120°D.135°3.如图，如果一个四边形ABCD 旋转后能与另一个正方形重合，那以该图形所在的平面可以作旋转中心的点有（）个．A、1B、2C、3D、4第2题第3题第4题4．如图，矩形OABC 的顶点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点B 的坐标为（2，1）．如果将矩形0ABC 绕点O 旋转180°旋转后的图形为矩形OA 1B 1C 1，那么点B 1的坐标为（）.A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，﹣l）5.如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为().A.B.C.D.6．右图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的则每次旋转的度数可以是（）.A．90°B．60°C．45°D．30°第5题第6题7．轴对称与平移、旋转的关系不正确的是().A．经过两次翻折(对称轴平行)后的图形可以看作是原图形经过—次平移得到的B．经过两次翻折(对称轴不平行)后的图形可以看作是原图形经过—次平移得到的C．经过两次翻折(对称轴不平行)后的图形可以看作是原图形经过旋转得到的D．经过几次翻折(对称轴有偶数条且平行)后的图形可以看作是经过—次平移得到的8．在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，4)，将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是().A.(-4，3)B.(-3，4)C.(3，-4)D.(4，-3)二.填空题9.正三角形绕中心旋转＿＿度的整倍数之后能和自己重合.10.如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于_________．11．（2020•福州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是．12如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是边CD上一点，点F是CB延长线上一点，且DE＝BF，连结FE,此时△AEF是＿＿＿．如果FB＝1，EC＝2，则正方形ABCD的面积是＿＿．13．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连接AE、DE，△ADE的面积为3，则BC的长为_________．第12题第13题第14题14.如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE=1．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，得△ABE'，连接EE'，则EE'的长等于__________．15.如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1，0），若点A的坐标为（a，b），将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA′，则点A′的坐标是_________．第15题第16题16．如图所示，将△ABC沿AB翻折后形成△ABE，再将△ABE绕点A顺时针旋转一定角度后，使点E与点C重合，若∠1:∠2:∠3＝28:5:3．则此次旋转过程中的旋转角是________．三综合题17．（2020•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB2C2，点C2在AB上．①旋转角为多少度？②写出点B2的坐标．18.如图，在△ABC中，AB=AC，点P是△ABC内一点，且∠APB=∠APC．求证：BP=CP．19.已知：如图在△ABC中，AB=AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC．(1)试猜想AE与BF有何关系？说明理由．(2)若△ABC的面积为3cm2，求四边形ABFE的面积；(3)当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由．20.已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC.（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）.①设AB的长为a，PB的长为b（b<a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.（2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上.【答案与解析】一.选择题1．【答案】C.【解析】∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°．故选C．2．【答案】 B.【解析】∠BAC′=∠BAB′+∠B′AC′=60°+45°=105°.2题图5题图3．【答案】C.【解析】旋转中心的点分别是点D,点C,和线段DC 的中点.4．【答案】C.5．【答案】C.【解析】，∴ADPB s'四边形=332=63⨯∴3=1-3s 阴影.6．【答案】 C.【解析】旋转的角度应该是45°的倍数.7．【答案】 B.8.【答案】 A.【解析】逆时针旋转90°，点A′在第二象限，利用三角形全等可得.二、填空题9.【答案】12O.10.【答案】21-；【解析】∵△ABC 绕点A 顺时针旋转45°得到△A ′B ′C ′，∠BAC=90°，AB=AC=，∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC ′=∠C ′=45°，∴AD ⊥BC ，B ′C ′⊥AB ，∴AD=BC=1，AF=FC ′=AC ′=1，∴图中阴影部分的面积等于：S △AFC ′﹣S △DEC ′=×1×1﹣×（﹣1）2=﹣1．故答案为：21-.11．【答案】31+.【解析】如图，连接AM ，由题意得：CA=CM ，∠ACM=60°，∴△ACM 为等边三角形，∴AM=CM ，∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°；∵∠ABC=90°，AB=BC=，∴AC=2=CM=2，∵AB=BC ，CM=AM ，∴BM 垂直平分AC ，∴BO=AC=1，OM=CM •sin60°=，∴BM=BO+OM=1+，故答案为：1+．12．【答案】等腰直角三角形；9.【解析】由△ABF≌△ADE，得到AF=AE,∠BAF=∠DAE,即△AEF 是等腰直角三角形.12题图13题图13．【答案】5.【解析】做DF⊥BC,EG⊥AD,交AD 的延长线于点G ,则AD=BF,可证得△DEG≌△DCF,即EG=FC,又因为3ADEs=△，所以EG=3，即BC=BF+FC=AD+EG=5.14．【答案】25.【解析】∵AE=2231+=10=AE′，∴EE′=102=25⨯.15．【答案】(b+1,1-a).【解析】因为AC=b，BC=a-1,所以BD=b，A′D=a-1,又因为点B(1,0),所以OD=b+1,A′D=a-1,因为点A′在第四象限，所以点A′（b+1，a-1）.16．【答案】80°.三.解答题17.【解析】解：（1）A （3，2）、B （3，5）、C （1，2）关于x 轴的对称点分别为A 1（3，﹣2），B 1（3，﹣5），C 1（1，﹣2），如图所示，（2）①∵A （3，2）、B （3，5）、C （1，2），∴AB=3，AC=2，BC=，∵，∴AB 2+AC 2=BC 2，∴∠CAB=90°，∵AC 与AC 2的夹角为∠CAC 2，∴旋转角为90°；②∵AB=AB 2=3，∴CB 2=AC+AB 2=5，∴B 2的坐标为（6，2）．18.【解析】证明：将△ABP 沿逆时针旋转至△ACQ 的位置，则有△ABP≌△ACQ．∴AP=AQ，∠APB=∠AQC，BP=CQ．∵∠APB=∠APC，∴∠APC=∠AQC．连结PQ．则有∠1=∠2，∴∠APC-∠2=∠AQC-∠1，即：∠3=∠4，即在△CPQ 中，有CP=CQ．∴BP=CQ.∴BP=CP．19.【解析】，(1)AE 与BF 平行且相等，∵ABC 绕点C 顺时针旋转180°得到△FEC，∴△ABC 与△FEC 关于C 点中心对称，∴AC=CF，BC=CE，∴四边形ABFE 为平行四边形，∴；(2)∵AC=CF，∴S △BCF =S △ABC =3，∵BC=CE，∴S △ABC =S △ACE =3，∴S △CEF =S △BCF =3，∴S □ABFE =3×4=12(cm 2)．(3)当∠ACB=60°时，四边形ABFE 为矩形，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴AB=BC=CA,∴AF=BE,∴平行四边形ABFE 为矩形.20.【解析】（1）①S 阴影=②连结PP′，证△PBP′为等腰直角三角形，从而PC=6;（2）将△PAB 绕点B 顺时针旋转90°到△P′CB 的位置，由勾股逆定理证出∠P′CP=90°，再证∠BPC+∠APB=180°，即点P 在对角线AC 上.《旋转》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形；3、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用；4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．【知识网络】【要点梳理】要点一、旋转1.旋转的概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.2.旋转的性质:(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA=OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；''').(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△A B C要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.3.旋转的作图:在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.要点二、特殊的旋转—中心对称1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合(全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的).2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.要点三、平移、轴对称、旋转平移、轴对称、旋转之间的对比平移轴对称旋转相同点都是全等变换（合同变换），即变换前后的图形全等．不同点定义把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换．把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换．把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换．图形要素平移方向平移距离对称轴旋转中心、旋转方向、旋转角度性质连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角．对应线段平行（或共线）且相等．任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．*对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等．【典型例题】类型一、旋转1.数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°.以上四位同学的回答中，错误的是（）.A．甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】B.【解析】因为圆被平分为8部分,所以旋转45°,90°,135°均能与原图形重合.【总结升华】同一图形的旋转角可以是多个.举一反三：【变式】以图1的边缘所在直线为轴将该图案向右翻折180°后，再按顺时针方向旋转180°，所得到图形是（）.【答案】A.类型二、中心对称2.如图，△A′B′C′是△ABC旋转后得到的图形，请确定旋转中心、旋转角.【答案与解析】∵对应点到旋转中心的距离相等，即OA=OA′∴O点在AA′的垂直平分线上同理O点也在BB′的垂直平分线上∴两条垂直平分线的交点O就是旋转中心，∠AOA′的度数就是旋转角．【总结升华】中心对称的对应点到对称中心的距离相等，所以对称中心在对应点的垂直平分线上.举一反三：【变式】下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）.A．B．C．D．【答案】A.类型三、平移、轴对称、旋转3.（2020•裕华区模拟）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC 绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？【思路点拨】（1）根据旋转的性质可得出OC=OD，结合题意即可证得结论；（2）结合（1）的结论可作出判断；（3）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答．【答案与解析】（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形．（2）解：当α=150°时，△AOD是直角三角形．理由是：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°，∵∠α=150°∠AOB=110°，∠COD=60°，∴∠AOD=360°﹣∠α﹣∠AOB﹣∠COD=360°﹣150°﹣110°﹣60°=40°，∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，∴190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°；②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．∵∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=180°﹣（190°﹣α+α﹣60°）=50°，∴α﹣60°=50°，∴α=110°；③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．∵∠OAD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠AOD==120°﹣，∴190°﹣α=120°﹣，解得α=140°．综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．【总结升华】本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．举一反三：【变式】已知D是等边△ABC外一点,∠BDC=120º.求证：AD=BD+DC.【答案】∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°.将△ABD绕点A逆时针旋转60°，得到△EAC，∴△DAB≌△EAC,即∠ABD=∠ACE,∵四边形ABCD中,∠BDC=120º,∠BAC=60°,∴∠DBA+∠DCA=180°,即∠ACE+∠DCA=180°,点D,C,E三点共线.∴BD+DC=CE+DC=DE.又∵∠DBE=60°.∴△ADE是等边三角形,即DE=AD.∴BD+DC=AD.4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD=CD.求证：BD2=AB2+BC2.【思路点拨】利用AD=CD可以将△BCD绕点D逆时针旋转60°，从而把条件集中到一个三角形中.【答案与解析】证明：∵AD=CD，∠ADC=60°，∴△BCD绕点D逆时针旋转60°，得到△EAD，∴∠BDE=∠CDA=60°，△BCD≌△EAD．∴BC=AE，BD=DE，∠DAE=∠DCB,∴△BDE为等边三角形．∴BE=BD．∵在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，∴∠DCB+∠DAB=270°，即∠DAE+∠DAB=270°．∴∠BAE=90°．∵在Rt△BAE中，，∴．【总结升华】由求证可知应该建立一个直角三角形，再由已知知道有30°，60°的角，有等线段，可以构想通过旋转构建直角三角形.5、正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上（1）如图连结DF、BF，试问：当正方形AEFG绕点A旋转时，DF、BF的长度是否始终相等？若相等请证明；若不相等请举出反例.（2）若将正方形AEFG绕点A顺时针方向旋转，连结DG，在旋转过程中，能否找到一条线段的长度与线段DG的长度相等，并画图加以说明.【答案与解析】(1)如图，DF、BF的长度不是始终相等，当点F旋转到AB边上时，DF>AD>BF.（2）线段BE=DG如图:∵正方形ABCD和正方形AEFG∴AD=AB,AG=AE,∠1+∠2=∠2+∠3∴∠DAG=∠BAE∴△ADG≌△ABE∴DG=BE【总结升华】利用旋转图形的不变性确定全等三角形.举一反三：【变式】（2020•沈阳）如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为，求AK的长？【答案与解析】解：连接BH，如图所示：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，∴∠ABE=60°，在Rt△ABH和Rt△EBH中，，∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），∴∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH，∴AH=×=1，∴EH=1，∴FH=﹣1，在Rt△FKH中，∠FKH=30°，∴KH=2FH=2（﹣1），∴AK=KH﹣AH=2（﹣1）﹣1=2﹣3；故答案为：233 .6.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=900，E、F是BC边上点且∠EAF=45°.求证：．【思路点拨】通过求证可以猜测要证得直角三角形，所以可以考虑旋转.【答案与解析】∵△ABC为等腰直角三角形且∠BAC=90°∴AB=AC，将△CAF绕点A顺时针旋转90°，如图，得到∴∴，，，,∴,连结，则在中，,∴①,又∵,∵.又∵,∴在与中,.∴②,∴由①②得：.【总结升华】旋转性质：旋转前，后的图形全等.《旋转》全章复习与巩固--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是().2.时钟钟面上的分针从12时开始绕中心旋转120°，则下列说法正确的是().A.此时分针指向的数字为3B.此时分针指向的数字为6C.此时分针指向的数字为4D.分针转动3，但时针却未改变3．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（）.A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C4．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=，∠C=120°，则点B′的坐标为（）.A．（3，）B．（3，）C．（，）D．（，）第3题第4题第5题5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）.A．30，2B．60，2C．60，D．60，6.（2020•乌鲁木齐）如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy 中，两条直角边分别与坐标轴重合，P 为斜边的中点．现将此三角板绕点O 顺时针旋转120°后点P 的对应点的坐标是（）A ．（，1）B ．（1，﹣）C ．（2，﹣2）D ．（2，﹣2）7．下列图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们的共性是都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（）.A．30°B．45°C．60°D．90°8．在平面直角坐标系中，将点A 1(6，1)向左平移4个单位到达点A 2的位置，再向上平移3个单位到达点A 3的位置，△A 1A 2A 3绕点A 2逆时针方向旋转900，则旋转后A 3的坐标为().A.(-2，1)B.(1，1)C.(-1，1)D.(5，1)二.填空题9.（2020•扬州）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到△DEC ．若点F 是DE 的中点，连接AF ，则AF=．10.如图，正方形ABCD 的边长为4cm，正方形AEFG 的边长为1cm．如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C、F 两点之间的最小距离为_________cm．11．绕一定点旋转180°后与原来图形重合的图形是中心对称图形，正六边形就是这样的图形．小明发现将正六边形绕着它的中心旋转一个小于180°的角，也可以使它与原来的正六边形重合，请你写出小明发现的一个旋转角的度数：_____________________.12.如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4cm，以斜边BC上距离B点cm的H为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是＿＿＿cm2．13．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连接AE、DE，△ADE的面积为3，则BC的长为_________．14.如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，如果AP=3，那么线段PP′的长等于________．15．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），进行如下操作：将线段OP按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2，如此重复操作下去，得到线段OP3，OP4，…，则：（1）点P5的坐标为__________；（2）落在x轴正半轴上的点Pn坐标是_________，其中n满足的条件是________．16．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将点P绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P 1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是__________.三综合题17.如图，已知，点P是正方ABCD内一点，且AP∶BP∶CP=1∶2∶3．求证：∠APB＝135°．18.如图，已知点D是△ABC的BC边的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且DE⊥DF．求证：BE+CF＞EF19.（2020•黄冈中学自主招生）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是．（结果可以不化简）20.如图14―1，14―2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.⑴如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；③请证明你的上述两猜想.⑵如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系.【答案与解析】一、选择题1．【答案】C.2．【答案】C.【解析】分针每5分钟转动30.3．【答案】A.【解析】因为以M或O或N为旋转中心两个图形能够完全重合.4．【答案】D.【解析】因为是菱形，所以可得为等腰直角三角形. 5．【答案】C.【解析】△BDC为正三角形，所以△FDC为直角三角形，∠DCF=30°，DF=1，FC=,即求得.6．【答案】B.【解析】根据题意画出△AOB绕着O点顺时针旋转120°得到的△COD，连接OP，OQ，过Q作QM⊥y 轴，∴∠POQ=120°，∵AP=OP，∴∠BAO=∠POA=30°，∴∠MOQ=30°，在Rt△OMQ中，OQ=OP=2，∴MQ=1，OM=，则P的对应点Q的坐标为（1，﹣），故选B7．【答案】D.8.【答案】C.【解析】232,1),A (2,4),A （即旋转90°后3A 坐标为（-1,1）.二、填空题9.【答案】5.【解析】作FG ⊥AC ，根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°，∵点F 是DE 的中点，∴FG ∥CD∴GF=CD=AC=3EG=EC=BC=2∵AC=6，EC=BC=4∴AE=2∴AG=4根据勾股定理，AF=5．10.【答案】32；【解析】当点F 在正方形ABCD 的对角线AC 上时，CF=AC﹣AF，当点F 不在正方形的对角线上时由三角形的三边关系可知AC﹣AF＜CF＜AC+AF，∴当点F 在正方形ABCD 的对角线AC 上时，C、F 两点之间的距离最小，∴CF=AC﹣AF=4﹣=32cm．故答案为：32.11．【答案】60°或120°.【解析】正六边形的中心角是60°.12．【答案】1.【解析】证明△FHC 和△FHG 是等腰直角三角形，且腰长为，即得.13．【答案】5.【解析】做DF⊥BC,EG⊥AD,交AD 的延长线于点G ,则AD=BF,可证得△DEG≌△DCF,即EG=FC,又因为3ADEs△，所以EG=3，即BC=BF+FC=AD+EG=5.14．【答案】32.【解析】由旋转可知△APP′是等腰直角三角形，所以PP′=32.15．【答案】(1),（2）落在x 轴正半轴上的点P n 坐标是，其中n 满足的条件是n=8k （k=0，1，2，…）16．【答案】(-1，).【解析】首先求得12,P P 的坐标，即可求得3P 坐标.三.解答题17.【解析】证明：将△APB 绕点B 沿顺时针方向旋转90°至△CP′B 位置(如图)，则有△APB≌△CP′B．∴BP′=BP，CP′＝AP，∠PBP′＝90°，∠APB=∠CP′B．设CP′=AP=k，则BP′=BP=2k，CP=3k，在Rt△BP′P 中，BP′=BP=2k，∴∠BP′P=45°．=(3k)2=CP2，∴∠CP′P=90°，∴∠CP′B=∠CP′P+∠BP′P=90°+45°=135°，即∠APB=135°.18.【解析】证明：将△BDE 绕点D 沿顺时针方向旋转180°至△CDG 位置，则有△BDE≌△CDG．∴BE=CG，ED=DG．∵DE⊥DF，即DF⊥EG．∴EF=FG，在△FCG 中CG+CF＞FG，即BE+CF＞EF．19.【解析】解：（1）如图2，∵△ABP 逆时针旋转60°得到△A ′BC ，∴∠A ′BA=60°，A ′B=AB ，AP=A ′C ∴△A ′BA 是等边三角形，∴A ′A=AB=BA ′=2，在△AA ′C 中，A ′C ＜AA ′+AC ，即AP ＜6，则当点A ′A 、C 三点共线时，A ′C=AA ′+AC ，即AP=6，即AP 的最大值是：6；故答案是：6．（2）如图3，∵Rt △ABC 是等腰三角形，∴AB=BC ．以B 为中心，将△APB 逆时针旋转60°得到△A'P'B ．则A'B=AB=BC=4，PA=P ′A ′，PB=P ′B ，∴PA+PB+PC=P ′A ′+P'B+PC ．∵当A'、P'、P 、C 四点共线时，（P'A+P'B+PC ）最短，即线段A'C 最短，∴A'C=PA+PB+PC ，∴A'C 长度即为所求．过A'作A'D ⊥CB 延长线于D ．∵∠A'BA=60°（由旋转可知），∴∠1=30°．∵A'B=4，∴A'D=2，BD=2，∴CD=4+2．在Rt △A'DC 中A'C====2+2；∴AP+BP+CP的最小值是：2+2（或不化简为）．故答案是：2+2（或不化简为）．20.【解析】⑴①DE=EF；②NE=BF.③证明：∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，∴DN=EB∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF∴△DNE≌△EBF∴DE=EF，NE=BF⑵在DA边上截取DN=EB（或截取AN=AE），连结NE，点N就使得NE=BF成立（图略）此时，DE=EF.《旋转》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1、通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质．2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形．3、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用．4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．【知识网络】【要点梳理】要点一、旋转1.旋转的概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.2.旋转的性质:(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA=OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；''').(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△A B C要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.3.旋转的作图:在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.要点二、特殊的旋转—中心对称1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合(全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的).2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.要点三、平移、轴对称、旋转平移、轴对称、旋转之间的对比平移轴对称旋转相同点都是全等变换（合同变换），即变换前后的图形全等．不同点定义把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换．把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换．把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换．图形要素平移方向平移距离对称轴旋转中心、旋转方向、旋转角度性质连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角．对应线段平行（或共线）且相等．任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．*对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等．【典型例题】类型一、旋转1．如图1，ΔACB 与ΔADE 都是等腰直角三角形，∠ACB 和∠ADE 都是直角，点C 在AE 上，如果ΔACB 经逆时针旋转后能与ΔADE 重合.。

人教版数学九年级上学期课时练习- 《旋转》全章复习与巩固(基础篇)(人教版)

专题23.8 《旋转》全章复习与巩固（基础篇）（专项练习）一、单选题1．2022年冬奥会将在我国北京市和张家口市联合举行，下列历届冬奥会会徽的部分图案中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．下面四个图案中，既包含图形的旋转，又有图形的轴对称设计的是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，△COD 是由△AOB 绕点O 按顺时针方向旋转而得，则旋转角为（）A ．△AODB ．△AOBC ．△BOCD ．△AOC4．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为()5,1-，将OA 绕原点按逆时针方向旋转90︒得OB ，则点B 的坐标为（）A ．()5,1-B ．()1,5--C ．()5,1--D ．()1,5-5．如图，在△ABC 中，△CAB ＝65°，将△ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB 'C '的位置，使CC ′△AB ，则旋转角的度数为（）A ．35°B ．40°C ．50°D ．656．如图，矩形ABCD 的顶点1,0A ，()0,2D ，()5,2B ，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°之后点C 的坐标为（）A ．()4,2-B ．(-C ．()2-D ．(-7．平面直角坐标系内一点P （－2，3）关于原点对称的点的坐标是（） A ．（3，2）B ．（－2，－3）C ．（2，－3）D ．（2，3）8．已知点()2,4P a a --关于原点对称的点在第三象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．9．如图所示，在33⨯的正方形网格中已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的办法有（）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种10．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O 称为极点；从点O 出发引一条射线Ox 称为极轴；线段OP 的长度称为极径．点P 的极坐标就可以用线段OP 的长度以及从Ox 转动到OP 的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P （3，60°）或P （3，-300°）或P （3，420°）等，则点P 关于点O 成中心对称的点Q 的极坐标表示不正确的是（）A ．()3,240Q ︒B ．()3,450Q -︒C ．()3,600Q ︒D ．()3,120-︒二、填空题11．若()23140a b -+-=，则点A （a ，b ）关于原点对称的点的坐标为_______． 12．如图是一个中心对称图形，A 为对称中心，若90C ∠=︒，30B ∠=︒，3AC =，则BB '的长为______．13．如图，△ABC 为等边三角形，D 是△ABC 内一点，若将△ABD 经过旋转后到△ACP 位置，则旋转角等于 _____度．14．如图，ABC 是等边三角形，P 是三角形内一点，3PA =，4PB =，5PC =．则APB ∠的度数为_________．15．如图，将ABC绕点A逆时针旋转120°，得到ADE．若点D在线段BC的延长线上，则B∠=___________．16．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，O是矩形的对称中心，点E、F分别在边AD、BC上，连接OE、OF，若AE=BF=2，则OE+OF的值为__________．17．如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若12AC=，1AB=，90BAC∠=︒，则AE的长是____________．18．把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转α角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中，（1）如图△，当点E在射线CB上时，E点坐标为__________；（2）当△CBD是等边三角形时，旋转角α的度数是__________（α为锐角）．三、解答题19．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，ABC 的顶点都在格点上．(1)将ABC 向左平移6个单位长度得到111A B C △，请画出111A B C △； (2)画出111A B C △关于点O 的中心对称图形222A B C △；(3)若将ABC 绕某一点旋转可得到222A B C △，那么旋转中心的坐标为___________，旋转角度为__________°．20．如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，将Rt ABC △绕点A 旋转一定的角度得到Rt ADE △，且点E 恰好落在边BC 上．(1)求证：AE平分CED∠；(2)连接BD，求证：90∠=︒．DBC21．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，△BAC=30°，将线段CA绕点C逆时针旋转60°，得到线段CD，连接AD，BD．（1）依题意补全图形；（2）若BC=1，求线段BD的长．22．如图，△ABC和△DCE都是等边三角形．探究发现(1)△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由；拓展运用(2)若B、C、E三点不在一条直线上，△ADC=30°，AD=3，CD=2，求BD的长；(3)若△DCE绕点C旋转，△ABC和△DCE的边长分别为1和2，当△BCD的面积最大时，AE的长为______．23．正方形ABCD中，点F为正方形ABCD内的点，BFC△绕着点B按逆时针方向旋△重合．转90︒后与BEA(1)如图①，若正方形ABCD的边长为2，1BE=，FC=AE△BF．(2)如图②，若点F为正方形ABCD对角线AC上的点(点F不与点A、C重合)，试探究AE、AF、BF之间的数量关系并加以证明．24．探究问题：（1）方法感悟：如图△，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足45EAF ∠=︒，连接EF ，求证DE BF EF +=．感悟解题方法，并完成下列填空：将ADE ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到ABG ∆，此时AB 与AD 重合，由旋转可得： AB AD =，BG DE =，12∠=∠，90ABG D ∠=∠=︒， 9090180ABG ABF ∴∠+∠=︒+︒=︒，因此，点G ，B ，F 在同一条直线上．4523904545EAF BAD EAF ∠=︒∴∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒．12∠=∠，1345∴∠+∠=︒．即GAF ∠=∠ ．又AG AE =，AF AF =GAF ∴∆≅ ．∴ EF =，故DE BF EF +=．（2）方法迁移：如图△，将Rt ABC ∆沿斜边翻折得到ADC ∆，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且12EAF DAB ∠=∠．试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想．（3）问题拓展：如图△，在四边形ABCD 中，AB AD =，E ，F 分别为DC ，BC 上的点，满足12EAF DAB ∠=∠，试猜想当B 与D ∠满足什么关系时，可使得DE BF EF +=．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．参考答案1．C【分析】把一个图形绕某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．是中心对称图形，故本选项符合题意；D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．【点拨】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．D【分析】根据轴对称图形和旋转图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；图形旋转的定义：把一个图形绕着某一个点旋转一个角度，这个点就是它的旋转中心，这个角就叫旋转角，行逐一判断即可．解：A 、不是轴对称图形，不符合题意；B 、不包含图形的旋转，不符合题意；C 、只是轴对称图形，没有旋转，不符合题意；D 、既有轴对称，又有旋转，符合题意；故选D.【点拨】此题主要考查图形的旋转以及轴对称图形的概念，熟练掌握，即可解题． 3．D 【分析】根据旋转角的定义：图形在作旋转运动时，一个点与旋转中心的连线，与这个点在旋转后的对应点与旋转中心的连线这两条线的夹角即为旋转角，进行判断即可．解：由图可知，AOC ∠与BOD ∠均为旋转角故选D ．【点拨】本题考查了旋转角的定义．解题的关键在于熟练掌握旋转角的定义． 4．B 【分析】根据题意证得△AOC △△OBD ，可得结论．解：如图，根据题意得△△AOB =90°，△ACO =△BDO =90°，OA =OB ， △△AOC +△BOD =90°，△AOC +△OAC =90°， △△BOD =△OAC ， △△AOC △△OBD ， △BD =OC ，OD =AC ，△点A 的坐标为()5,1-，△BD =OC =1，OD =AC =5，△()1,5B --．故选：B ．【点拨】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，属于中考常考题型．5．C【分析】根据两直线平行，内错角相等可得ACC CAB '∠=∠,根据旋转的性质可得AC AC '=，然后利用等腰三角形两底角相等求得CAC '∠，再根据CAC '∠是旋转角即可求得结论．解：△CC AB '∥，△65ACC CAB '∠=∠=︒，△△ABC 绕点A 旋转得到AB C ''△，△AC AC '=，△180218026550CAC ACC ''∠=︒-∠=︒-⨯︒=︒△50CAC BAB ''∠=∠=︒，即旋转角为50°，故选：C ．【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．6．D【分析】过点B 作BG △x 轴于G ，过点C 作CH △y 轴于H ，根据矩形的性质得到点C 的坐标，求出△COE =45°，OC C 作CE △x 轴于E ，过点C 1作C 1F △x 轴于F ，由旋转得△COC 1=75°，求出△C 1OF =30°，利用勾股定理求出OF ，即可得到答案．解：过点B 作BG △x 轴于G ，过点C 作CH △y 轴于H ，△四边形ABCD 是矩形，△AD =BC ，AB =CD ，AD ∥BC ，△CDA =△DAB =90°，△△HCD =△ADO =△BAG ，△△CHD =△BGA =90°，△△CHD △△AGB （AAS ），△1,0A ，()0,2D ，()5,2B ，△CH =AG =5-1=4，DH =BG =2，△OH =2+2=4，△C （4，4），△OE =CE =4，△△COE =45°，OC如图，过点C 作CE △x 轴于E ，过点C 1作C 1F △x 轴于F ，由旋转得△COC 1=75°，△△C 1OF =30°，△C 1F =12OC 1=12OC ，△OF =△点C 1的坐标为(-，故选：D ．【点拨】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．7．C【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．解：点P（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3）故选：C．【点拨】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．8．D【分析】根据点P(a−2,4−a)关于原点对称的点在第三象限，可得点P在第一象限，因此就可列出不等式，解不等式可得a的取值范围．解：△点P(a−2,4−a)关于原点对称的点在第三象限，△点P在第一象限，△20 40aa-⎧⎨-⎩＞＞，△24＜＜a，则a的取值范围在数轴上表示正确的是：故选：D．【点拨】本题主要考查不等式组的解法，根据不等式组的解集，在数轴上表示即可，关键在于点P的坐标所在的象限．9．C【分析】利用轴对称的性质，以及轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案即可．解：如图所示：5种不同的颜色即为使整个图案构成一个轴对称图形的办法．故选：C．【点拨】此题主要考查了利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称定义得出是解题关键．10．B【分析】根据中心对称的性质解答即可．解：△P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°），由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，-120°），（3，600°），故选：B．【点拨】本题考查了中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答．11．（13，﹣4）【分析】根据绝对值和偶次幂都具有非负性可得3a﹣1＝0，b﹣4＝0，算出a、b的值，再根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．解：由题意得：3a﹣1＝0，b﹣4＝0，解得：a 13=，b ＝4，则点A （13，4）关于原点对称的点的坐标为（13-，﹣4），故答案为：（13-，﹣4）．【点拨】此题主要考查了非负数的性质，以及关于原点对称的点的坐标特点，关键是正确计算出a 、b 的值．12．12【分析】根据含30度角的直角三角形的性质求得AC ，然后根据中心对称的性质即可求解．解：在Rt △ABC 中，△90C ∠=︒，△B =30°，AC =3，△AB =2AC =6，又△点B 和点B ′关于点A 对称，△BB ′=2AB =12．故答案为12．【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，中心对称的性质，掌握以上知识是解题的关键．13．60【分析】根据题意由旋转的性质可得△BAD =△CAP ，即可求△BAC =△DAP =60°，即可求解．解：△△ABC 是等边三角形，△△BAC =60°，△将△ABD 经过一次逆时针旋转后到△ACP 的位置，△△BAD =△CAP ，△△BAC =△BAD +△DAC =60°，△△P AC +△CAD =60°，△△DAP =60°；故旋转角度60度.故答案为：60．【点拨】本题考查旋转的性质，注意掌握变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心．14．150︒【分析】将△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△BCQ，连接PQ，则△BCQ△△BAP，所以△PBQ=60°，BP=BQ，可知△BPQ是等边三角形，从而有PQ=PB=4，而PC=5，CQ=3，由勾股定理逆定理可知△PQC是直角三角形，△PQC=90°，则通过△APB=△PQB +△PQC即可求出．解：把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△BCQ，连接PQ．由旋转性质可知，△BCQ△△BAP△CQ=P A=3，BP=BQ，△BQC=△APB△△PBQ=60°，BP=BQ，△△BPQ是等边三角形，△PQ=PB=4，△PQB=60°△PC=5△在△PQC中，222222435+=+==PQ CQ PC△△PQC是直角三角形△△PQC=90°△△BQC=△PQB +△PQC =60°+90°=150°，△△APB=150°．【点拨】本题综合考查等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理的逆定理、旋转的性质，解题的技巧是通过图形旋转将已知各边转化到同一个三角形中，并构成一个直角三角形．15．30°【分析】根据旋转的性质可得出AB＝AD、△BAD＝120°，再根据等腰三角形的性质可求出△B的度数，此题得解．解：根据旋转的性质，可得：AB＝AD，△BAD＝120°，△△B＝△ADB＝12×（180°−120°）＝30°．故填：30°.【点拨】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出△B的度数是解题的关键．16．【分析】如图，连接，AC，BD．过点O作OM△AD于点M交BC于点N．利用勾股定理，求出OE，可得结论．解：如图，连接，AC，BD．△O是矩形的对称中心，△O也是对角线的交点，过点O作OM△AD于点M交BC于点N．△四边形ABCD是矩形，△OA=OD=OB，△OM△AD，△AM=DM=12AD=12BC=4，△OM=12AB=3，△AE=2，△EM=AM-AE=2，△OE同法可得OF△OE+OF故答案为：【点拨】本题考查中心对称，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．17【分析】根据中心对称的性质AB=DE，DC=AC及△D=90゜，由勾股定理即可求得AE的长．解：△△DEC与△ABC关于点C成中心对称，△△ABC△△DEC，△AB＝DE＝1，AC＝DC＝1，△D＝△BAC＝90°，2△AD＝1，△△D＝90°，△AE【点拨】本题考查了中心对称的性质，勾股定理等知识，熟记中心对称图形的性质是解题关键．18．（4，60°【分析】（1）依题意得，点E在射线CB上，横坐标为4，根据勾股定理可得纵坐标，进而得出点E的坐标．（2）已知△BCD=60°，△BCF=30°，然后可得△α=60°．解：（1）△OC=4，△当点E在射线CB上时，点E横坐标为4，△FC=4，EF=6，△EC=△E（4，，故答案为：（4，；（2）当△CBD是等边三角形时，△BCD=60°，△旋转角a 的度数是60°，故答案为：60°．【点拨】本题考查了旋转的性质，坐标与图形的性质，解决问题的关键是掌握旋转的性质以及矩形的性质．19．(1)作图见分析(2)作图见分析(3)()3,0；180︒【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A ，B ，C 的对应点1A ，1B ，1C 即可；（2）利用中心对称变换的性质分别作出1A ，1B ，1C 的对应点2A ，2B ，2C ；（3）两个三角形成中心对称，对应点连线的交点即为旋转中心.(1)解：如图，点A ，B ，C 的坐标分别是()2,5，()1,1，()4,2，将ABC 向左平移6个单位长度后，点A ，B ，C 的对应点分别为点1A ，1B ，1C ， △点1A ，1B ，1C 的坐标分别是()4,5-，()5,1-，()2,2-，将点1A ，1B ，1C 顺次连接得111A B C △，△111A B C △即为所作；(2)如图，点1A ，1B ，1C 关于点O 的对称点分别为点2A ，2B ，2C ，△点2A ，2B ，2C 的坐标分别是()4,5-，()5,1-，()2,2-，将点2A ，2B ，2C 顺次连接得222A B C △，△222A B C △即为所作；(3)如图，若将ABC 绕某一点旋转可得到222A B C △，那么旋转中心Q 的坐标为()3,0，旋转角度为180︒.故答案为：()3,0；180︒.【点拨】本题考查作图—旋转变换，平移变换等知识，根据旋转的性质可知，对应角都相等，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形，对应点连线都交于一点，交点即为旋转中心；确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离；作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．解题的关键是掌握旋转变换的性质，平移变换的性质.20．(1)证明见分析(2)证明见分析【分析】（1）根据旋转性质得到对应边相等，对应角相等，进而根据等边对等角性质可将角度进行等量转化，最后可证得结论．（2）根据旋转性质以及三角形内角和定理对角度进行等量转化可证得结论．(1)证明：由旋转性质可知：,AE AC AED C =∠=∠AEC C ∴∠=∠AED AEC ∴∠=∠AE ∴平分CED ∠(2)证明：如图所示：由旋转性质可知：,90AD AB DAE BAC =∠=∠=︒,ADB ABD DAE BAE BAC BAE ∴∠=∠∠-∠=∠-∠即DAB EAC ∠=∠=180-2,180-2DAB ABD EAC C ∠︒∠∠=︒∠ABD C ∴∠=∠在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒90ABC C ∴∠+∠=︒90ABC ABD ∴∠+∠=︒即90DBC ∠=︒【点拨】本题考查了三角形的旋转变化，熟练掌握旋转前后图形的对应边相等，对应角相等以及合理利用三角形内角和定理是解决本题的关键．21．（1）见分析；（2）BD =【分析】（1）根据线段旋转的方法，得出60ACD ∠=︒，然后连接AD ，BD 即可得；（2）根据30︒角的直角三角形的性质和勾股定理可得AC =ACD 是等边三角形，再利用勾股定理求解即可．解：（1）根据线段旋转方法，60ACD ∠=︒，如图所示即为所求；（2）△ 90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =，△ 22AB BC ==，△AC△ 线段CA 绕点C 逆时针旋转60°得到线段CD ，△ C A CD =且60ACD ∠=︒，△ ACD 是等边三角形，△ AD AC ==60DAC ∠=︒，△ 90DAB DAC CAB ∠=∠+∠=︒，△ 在Rt ABD 中，BD =【点拨】题目主要考查旋转图形的作法及性质，勾股定理，30︒角的直角三角形的性质，等边三角形的性质等，理解题意，作出图形，综合运用各个定理性质是解题关键．22．(1)全等，证明见分析(2)BD =【分析】（1）依据等式的性质可证明△BCD =△ACE ，然后依据SAS 可证明△ACE △△BCD ；（2）由（1）知：BD =AE ，利用勾股定理计算AE 的长，可得BD 的长；（3）当B 、C 、E 三点在一条直线上时，△BCD 的面积最大，过A 作AF △BC 于F ，先根据平角的定义得△ACD =60°，利用特殊角的三角函数可得AF 的长，最后根据勾股定理可得AE 的长．(1)解：全等，理由是：△△ABC 和△DCE 都是等边三角形，△AC =BC ，DC =EC ，△ACB =△DCE =60°，△△ACB +△ACD =△DCE +△ACD ，即△BCD =△ACE ，在△BCD 和△ACE 中，CD CE BCD ACE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACE △△BCD （ SAS ）；(2)解：如图，由（1）得：△BCD △△ACE ，△BD=AE，△△DCE是等边三角形，△△CDE=60°，CD=DE=2，△△ADC=30°，△△ADE=△ADC+△CDE=30°+60°=90°，在Rt△ADE中，AD=3，DE=2，△AE=△BD(3)解：CD△BC时，△BCD的面积最大，由（1）得△ACE△△BCD，△AE=BD=【点拨】本题是三角形的综合题，主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．23．(1)见分析(2)222AE AF BF+=，见分析2【分析】（1）由旋转的性质可得BE=BF=1，△EBF=△ABC=90°，△AEB=△BFC，由勾股定理的逆定理可证△BFC=90°=△AEB，可得结论；（2）由正方形的性质和旋转的性质可得△EAF=90°，由勾股定理可求解．(1)证明：△△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合，△△BFC△△BEA，△BE=BF=1，△EBF=△ABC=90°，△AEB=△BFC，△BF2+FC2=122=4，BC2=22=4，△BF 2+FC 2=BC 2，△△BFC =90°=△AEB ，△△AEB +△EBF =180°，△AE △BF ；(2)解：AE 2+AF 2=2BF 2，理由如下：△△BFC 绕着点B 按逆时针方向旋转90°后与△BEA 重合，△△BAE =△BCA ，△AC 是正方形ABCD 的角平分线，△△BCA =△BAC =45°，△△EAF =45°+45°=90°，△AE 2+AF 2=EF 2，△△BFC 绕着点B 按逆时针方向旋转90°后与△BEA 重合，△BE =BF ，△EBF =90°，△2BF 2=EF 2，△AE 2+AF 2=2BF 2．【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．24．（1）FAE ；EAF ∆；GF ；（2）DE BF EF +=，证明见分析；（3）当B 与D ∠满足180B D ∠+∠=︒时，可使得DE BF EF +=．【分析】（1）根据已有过程得GAF EAF ∠=∠，又根据SAS 得GAF EAF ∆≅∆，则GF=EF ，故+DE BF EF =；（2）延长CF ，作41∠=∠，等量代换得GAF FAE ∠=∠，用ASA 证明AGB AED ∆≅∆，得AG =AE ，BG DE =，用SAS 证明AGF AEF ∆≅∆，得GF EF =，即可得+DE BF EF =；（3）延长CF ，作21∠=∠，因为180ABC D ∠+∠=︒，180ABC ABG ∠+∠=︒，所以D ABG ∠=∠，根据ASA 证明AGB AED ≌，得BG DE =，AG AE =，根据12EAF DAB ∠=∠得EAF GAF ∠=∠，用SAS 证明AGF AEF △≌△，得GF EF =，DE BF EF +=，当B 与D ∠满足180B D ∠+∠=︒时，可使得DE BF EF +=．证明：（1）将ADE ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到ABG ∆，此时AB 与AD 重合，由旋转可得：AB AD =，BG DE =，12∠=∠，90ABG D ∠=∠=︒，9090180ABG ABF ∴∠+∠=︒+︒=︒，因此，点G ，B ，F 在同一条直线上．45EAF ∠=︒，23904545BAD EAF ∴∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒，12∠=∠，1345∴∠+∠=︒，即GAF EAF ∠=∠，又AG AE =，AF AF =，△GAF EAF ∆≅∆（SAS ），GF EF ∴=，故+DE BF EF =；故答案为：FAE ；EAF ∆；GF ；（2）证明：如图△，延长CF ，作41∠=∠，将Rt ABC 沿斜边翻折得到ADC ∆，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且12EAF DAB ∠=∠， 1235∴∠+∠=∠+∠，2315∠+∠=∠+∠，41∠=∠，2345∴∠+∠=∠+∠，GAF FAE ∠∠∴=，在AGB ∆和AED ∆中，41AB ADABG ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()AGB AED ASA ∴∆≅∆，AG AE ∴=，BG DE =，在AGF ∆和AEF ∆中，AG AE GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AGF AEF SAS ∴∆≅∆，GF EF ∴=，DE BF EF ∴+=；（3）当B 与D ∠满足180B D ∠+∠=︒时，可使得DE BF EF +=．如图△，延长CF ，作21∠=∠，△180ABC D ∠+∠=︒，180ABC ABG ∠+∠=︒，△D ABG ∠=∠，在AGB 和AED 中，21AB AD D ABG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△AGB AED ≌（ASA ），△BG DE =，AG AE =， △12EAF DAB ∠=∠， △EAF GAF ∠=∠，在AGF 和AEF 中，AG AE GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△AGF AEF △≌△（SAS ），△GF EF =，DE BF EF +=，故当B 与D ∠满足180B D ∠+∠=︒时，可使得DE BF EF +=．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形的翻折旋转，正方形的性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．。

部编数学九年级上册23.10《旋转》全章复习与巩固(培优篇)(人教版)含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题23.10 《旋转》全章复习与巩固（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图，阴影部分组成的图案既是关于x 轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O 成中心对称的图形．若点A 的坐标是（1，3），则点M 和点N 的坐标分别是（）A ．M （1，﹣3），N （﹣1，﹣3）B ．M （﹣1，﹣3），N （﹣1，3）C ．M （﹣1，﹣3），N （1，﹣3）D ．M （﹣1，3），N （1，﹣3）2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC BC ==△ABC 绕点A 逆时针旋转60°，得到△ADE ，连接BE ，则12BE AB +的值为（）A B ．C D 3．如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且6PA =，8PB =，10PC =．若将PAC △绕点A 逆时针旋转后，得到MAB △，则APB Ð等于（）．A ．120°B ．135°C ．150°D ．160°4．如图，在Rt ABC V 中，90BAC Ð=°，AB AC =，点D 为BC 的中点，直角MDN Ð绕点D 旋转，DM ，DN 分别与边AB ，AC 交于E ，F 两点，下列结论：①DEF V 是等腰直角三角形；②AE CF =；③12ABC AEDF S S =△四边形；④BE CF EF +=，其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．45．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，CE ＝2BE ，EF ＝2，连按AF ，将线段AF 绕着点A 顺时针旋转90°得到AP ，则线段PE 的最小值为( )A ．B 2C ．4D 16．如图，在平面直角坐标系中，Y OABC 的顶点A 在x 轴上，定点B 的坐标为（8，4），若直线经过点D （2，0），且将平行四边形OABC 分割成面积相等的两部分，则直线DE 的表达式是（）A ．y=x-2B ．y=2x-4C ．y=x-1D ．y=3x-67．如图，已知等腰直角三角形ABC 中，AC=BC ，把AB 绕点B 逆时针旋转一定角度到点D ，连接AD 、DC ，使得∠DAC=∠BDC ，当时，线段AC 的长（）A ．3B ．C ．D 8．对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P （2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A 的坐标为（2，0），点Q 是直线l 上的一点，点A 关于点Q 的对称点为点B ，点B 关于直线l 的对称点为点C ，若点B 由点A 经n 次斜平移后得到，且点C 的坐标为（8，6），则△ABC 的面积是（）A ．12B ．14C ．16D ．189．在平面直角坐标系中，抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ，则该抛物线关于点C 成中心对称的抛物线的表达式为（）A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =---10．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为()2,0，()0,2，()2,0-．一个电动玩具从原点O 出发，第一次跳跃到点1P ，使得点1P 与点O 关于点A 成中心对称；第二次跳跃到点2P ，使得点2P 与点1P 关于点B 成中心对称；第三次跳跃到点3P ，使得点3P 与点2P 关于点C 成中心对称；第四次跳跃到点4P ，使得点4P 与点3P 关于点A 成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点2021P 的坐标是（）.A ．()4,-0B ．()4,0C ．()4,4D ．()0,4-二、填空题11．如图，已知△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC =△ABC 绕点A 逆时针反向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B ，则C′B 的长为_____．12．如图，在Rt △ABC 中，90ACB Ð=o ，30BAC Ð=o ，BC ＝2，线段BC 绕点B 旋转到BD ，连AD ，E 为AD 的中点，连接CE ，则CE 的最大值是___．13．如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，60ABC Ð=°，点E 为射线AD 上一动点，连接BE ，将BE 绕点B 逆时针旋转60°得到BF ，连接AF ，则AF 的最小值是______．14．如图，点P 是等边三角形ABC 内一点，且PA =PB =PC个等边三角形ABC 的边长为________．15．如图，在矩形ABCD 中，5AB =，9BC =，E 是边AB 上一点，2AE =，F 是直线BC 上一动点，将线EF 绕点E 逆时针旋转90°得到线段EG ，连接CG ，DG ，则+CG DG 的最小值是________．16．如图，C 为线段AB 的中点，D 为AB 垂直平分线上一点，连接BD ，将BD 绕点D顺时针旋转60°得到线段DE ，连接AE ，若AB =6AE =，则CD 的长为 __________ ．17．如图所示，抛物线y ＝x 2+2x ﹣3顶点为Q ，交x 轴于点E 、F 两点（F 在E 的右侧），T 是x 轴正半轴上一点，以T 为中心作抛物线y ＝x 2+2x ﹣3的中心对称图形，交x 轴于点K 、L 两点（L 在K 的右侧），已知∠FQL ＝45°，则新抛物线的解析式为 __．18．如图（1），已知小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形AB 1C 1D 1 ；把正方形 A 1 B 1 C 1 D 1 边长按原法延长一倍得到正方形 A 2 B 2 C 2 D 2 (如图1（2）)；以此下去，则正方形 A n B n C n D n 的面积为________．三、解答题19．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为(1，1)．(1)试作出△ABC以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A1B1C；(2)以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点B2的坐标____________；(3)请在x 轴上找一点D 得到▱ACDB ，则点D 的坐标为________，若直线y =32-x +b 平分▱ACDB 的面积，则b =_______．20．如图，一伞状图形，已知120AOB Ð=°，点P 是AOB Ð角平分线上一点，且2OP =，60MPN Ð=°，PM 与OB 交于点F ，PN 与OA 交于点E ．(1)如图一，当PN 与PO 重合时，探索PE ，PF 的数量关系(2)如图二，将MPN Ð在(1)的情形下绕点P 逆时针旋转a 度()060a <<°，继续探索PE ，PF 的数量关系，并求四边形OEPF 的面积．21．在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0,0)O ，点(5,0)A ，点(0,3)B .以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F .（Ⅰ）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；（Ⅱ）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H .①求证ADB AOB V V ≌；②求点H 的坐标.（Ⅲ）记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为KDE V 的面积，求S 的取值范围（直接写出结果即可）.22．[问题提出]（1）如图,ABC ADE V V ①、均为等边三角形，点D E 、分别在边AB AC 、上．将ADE V绕点A 沿顺时针方向旋转，连结BD CE 、．在图②中证明△≌△ADB AEC ．[学以致用]（2）在()1的条件下，当点D E C 、、在同一条直线上时，EDB Ð的大小为度．[拓展延伸]（3）在()1的条件下，连结CD ．若6,4,BC AD ==直接写出DBC △的面积S 的取值范围．23．（1）发现如图，点A 为线段BC 外一动点，且BC a =，AB b =.填空：当点A 位于____________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为_________.（用含a ，b 的式子表示）（2）应用点A 为线段BC 外一动点，且3BC =，1AB =.如图所示，分别以AB ，AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD ，BE .①找出图中与BE 相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE 长的最大值.（3）拓展如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()2,0，点B 的坐标为()5,0，点P 为线段AB 外一动点，且2PA =，PM PB =，90BPM Ð=°，求线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标.24．（1）观察理解：如图 1，ABC D 中，90,ACB AC BC Ð=°=，直线l 过点C ，点,A B 在直线l 同侧， ,BD l AE l ^^，垂足分别为,D E ，由此可得：90AEC CDB Ð=Ð=°，所以90CAE ACE Ð+Ð=°，又因为90ACB Ð=°，所以90BCD ACE Ð+Ð=°，所以CAE BCD Ð=Ð，又因为AC BC =，所以AEC CDB D @D （）；（请填写全等判定的方法）（2）理解应用：如图2，AE AB ^，且,AE AB BC CD =^，且BC CD =，利用（1）中的结论，请按照图中所标的数据计算图中实线所围成的图形的面积S =_________；（3）类比探究：如图 3， Rt ABC D 中，90ACB Ð=°,4AC =，将斜边AB 绕点A 逆时针旋转 90°至AB ¢，连接B C ¢，则AB C ¢D 的面积=_________ .（4）拓展提升：如图4，等边EBC D 中，3EC BC ==cm ，点O 在BC 上，且2OC =cm ，动点P 从点E 沿射线EC 以1cm/s 速度运动，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转 120°得到线段OF ，设点P 运动的时间为t 秒．①当t =________秒时，OF ∥ED ；②当t =________秒时，点F 恰好落在射线EB 上．参考答案1．C解：M 点与A 点关于原点对称，A 点与N 点关于x 轴对称，由平面直角坐标中对称点的规律知：M 点与A 点的横、纵坐标都互为相反数，N 点与A 点的横坐标相同，纵坐标互为相反数．所以M （－1，－3），N （1，－3）．2．C【分析】连接EC ，过E 作EH ⊥BC 于H ，先利用勾股定理、旋转的性质可得2,60AB CAE =Ð=°，再根据等边三角形的判定与性质可得AE CE ==，然后根据勾股定理分别求出EH BE 、，由此即可得出答案．解：连接EC ，过E 作EH ⊥BC 于H ，在Rt △ABC 中，AC BC ==∴2AB ===，∴112AB =，由旋转可知：60AC AE CAE ==Ð=°，∴ACE V 是等边三角形，∴60AC AE EC ACE ===Ð=°，∴30BCE Ð=°，∴12EH EC ==∴CH ==∴BH BC CH =-=，∴1BE =====，∴1112BE AB +=+=故选：C．【点拨】本题考查了勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、，通过作辅助线，构造等边三角形是解题关键．3．C【分析】利用旋转变换的性质、勾股定理及其逆定理、等边三角形判定与性质等知识点，通过旋转的性质得出△APM为等边三角形以及△PMB是直角三角形，从而求得∠APB的度数．解：连接PM，如图，由旋转性质可知，△APC≌△AMB，∴AP=AM，MB=PC=10，∵∠MAP=60°，∴△APM是等边三角形，∴PM=AP=6，∵PB=8，∴MB2=PB2+MP2，∴△PMB是直角三角形，∴∠MPB=90°，∵∠MPA=60°，∴∠APB=150°．【点拨】本题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理及其逆定理、等边三角形判定与性质等知识点，难度较大．通过旋转的性质得出△APM 为等边三角形以及△PMB 是直角三角形是解答本题的第一个关键．4．C【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD =∠B =45°，根据同角的余角相等求出∠ADF =∠BDE ，然后利用“角边角”证明△BDE 和△ADF 全等，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得DE =DF 、BE =AF ，从而得到△DEF 是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出AE =CF ，判断出②正确；根据BE +CF =AF +AE ，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE +CF ＞EF ，判断出④错误．解：∵∠BAC =90°，AB =AC ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∠B =45°，∵点D 为BC 中点，∴AD =CD =BD ，AD ⊥BC ，∠CAD =45°，∴∠CAD =∠B ，∠BDE +∠ADE =∠ADB =90°∵∠MDN 是直角，∴∠ADF +∠ADE =90°，∴∠ADF =∠BDE ，在△BDE 和△ADF 中，CAD B AD BD ADF BDE ÐÐìïíïÐÐî＝＝＝，∴△BDE ≌△ADF （ASA ），∴DE =DF ，BE =AF ，∴△DEF 是等腰直角三角形，故①正确；∵AE =AB -BE ，CF =AC -AF ，∴AE =CF ，故②正确；∵△BDE ≌△ADF∴BDE ADFS S =V V ∴12ADE ADF ADE BDE BDA ABC AEDF S S S S S S S =+=+==△△△△△△四边形故③正确；∵BE +CF =AF +AE ＞EF ，∴BE +CF ＞EF ，故④错误；综上所述，正确的是①②③，故选：C.【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质、三角形的三边关系、同角的余角相等，熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．5．B【分析】连接AE ，过点A 作AG ⊥AE ，截取AG =AE ，连接PG ，GE ，通过SAS 证明△AEF ≌△AGP ，得PG =EF =2，再利用勾股定理求出GE 的长，在△GPE 中，利用三边关系即可得出答案．解：连接AE ，过点A 作AG ⊥AE ，截取AG =AE ，连接PG ，GE ，∵将线段AF 绕着点A 顺时针旋转90°得到AP ，∴AF =AP ，∠PAF =90°，∴∠FAE +∠PAE =∠PAE +∠PAG =90°，∴∠FAE =∠PAG ，在△AEF 和△AGP 中，,AF AP FAE PAG AE AG =ìïÐ=Ðíï=î∴△AEF ≌△AGP （SAS ），∴PG =EF =2，∵BC =3，CE =2BE ，∴BE =1，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：AE ==，∵AG =AE ，∠GAE =90°，∴GE =，在△GPE 中，PE ＞GE -PG ，∴PE 的最小值为GE -PG 2，故选：B ．【点拨】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．6．A【分析】过平行四边形的对称中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分，先求出平行四边形对称中心的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答即可．解：∵点B 的坐标为（8，4），∴平行四边形的对称中心坐标为（4，2），设直线DE 的函数解析式为y=kx+b ，则4220k b k b +=ìí+=î，解得12k b =ìí=-î，∴直线DE 的解析式为y=x-2．故选：A ．【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，熟练掌握过平行四边形的中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分是解题的关键．7．D【分析】如图（见分析），先根据等腰直角三角形的性质可得45,BAC AC AB Ð=°=，再根据旋转的性质、等腰三角形的性质可得,45AB BD ADC BAC =Ð=Ð=°，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得45,BEC ADC BE AD Ð=Ð=°=，从而可得,2,4BE AD AE DE BE AD ^====，最后利用勾股定理即可得．解：如图，过点C 作CE CD ^，交AD 于点E ，连接BE ，ABC Q V 是等腰直角三角形，AC BC =，45,BAC AB \Ð=°==，即AC AB =，由旋转的性质得：AB BD =，BAD BDA \Ð=Ð，DAC B B C C AC AD D \Ð+=ÐÐ+Ð，DAC BDC Ð=ÐQ ，45ADC BAC \Ð=Ð=°，CDE \V是等腰直角三角形，2,45CE CD DE CED \====Ð=°，又90DCE ACB Ð=Ð=°Q ，DCE ACE ACB ACE \Ð+Ð=Ð+Ð，即ACD BCE Ð=Ð，在BCE V 和ACD △中，BC AC BCE ACD CE CD =ìïÐ=Ðíï=î，()BCE ACD SAS \@V V ，45,BEC ADC BE AD \Ð=Ð=°=，90BED BEC CED \Ð=Ð+Ð=°，即BE AD ^，又AB BD =Q ，2AE DE \==（等腰三角形的三线合一），24BE AD DE \===，在Rt ABE △中，AB ==AC AB \===故选：D ．【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、旋转的性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造等腰直角三角形和全等三角形是解题关键．8．A【分析】连接CQ ，根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定得到∠ACB ＝90，延长BC 交x 轴于点E ，过C 点作CF ⊥AE 于点F ，根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可．解：连接CQ ，如图：由中心对称可知，AQ ＝BQ ，由轴对称可知：BQ ＝CQ ，∴AQ ＝CQ ＝BQ ，∴∠QAC ＝∠ACQ ，∠QBC ＝∠QCB ，∵∠QAC +∠ACQ +∠QBC +∠QCB ＝180°，∴∠ACQ +∠QCB ＝90°，∴∠ACB ＝90°，∴△ABC 是直角三角形，延长BC 交x 轴于点E ，过C 点作CF ⊥AE 于点F ，如图，∵A （2，0），C （8，6），∴AF ＝CF ＝6，∴△ACF 是等腰直角三角形，∵18090ACE ACB Ð=°-Ð=°，∴∠AEC ＝45°，∴E 点坐标为（14，0），设直线BE 的解析式为y ＝kx +b ，∵C ，E 点在直线上，可得：14086k b k b ì+=ïí+=ïî，解得：114k b ì=-ïí=ïî，∴y ＝﹣x +14，∵点B 由点A 经n 次斜平移得到，∴点B （n +2，2n ），由2n ＝﹣n ﹣2+14，解得：n ＝4，∴B （6，8），∴△ABC 的面积＝S △ABE ﹣S △ACE ＝12×12×8﹣12×12×6＝12，故选：A ．【点拨】本题考查轴对称的性质，中心对称的性质，等腰三角形的判定与性质，求解一次函数的解析式，得到B 的坐标是解本题的关键．9．A【分析】先求出C 点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x ,y ），求出它关于点C 对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．解：当x =0时，y =5，∴C （0,5）；设新抛物线上的点的坐标为（x ,y ），∵原抛物线与新抛物线关于点C 成中心对称，由20x x ´-=-，2510y y ´-=-；∴对应的原抛物线上点的坐标为(),10x y --；代入原抛物线解析式可得：()()21045y x x -=--×-+，∴新抛物线的解析式为：245y x x =--+；故选：A ．【点拨】本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等．10．A【分析】根据题意，先求出前几次跳跃后1P 、2P 、3P 、4P 、5P 、6P 、7P的坐标，可得出规律，继而可求点2021P 的坐标．解：由题意得：点()14,0P 、()24,4P -、()30,4P -、()44,4P 、()54,0P -、()60,0P 、()74,0P ，∴点P 的坐标的变化规律是6次一个循环，∵20216336...5¸=，∴点2021P 的坐标是()4,-0．故选：A ．【点拨】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律，解题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标并总结出一般规律．11．1【分析】连接BB ′，设BC ′与AB ′交点为D ，根据∠C ＝90°，AC ＝BC =AB=2，根据旋转，得到∠AC ′B ′＝∠ACB ＝90°，AC ′＝AC ＝B ′C ′＝BC ，AB ＝AB ′＝2，∠BAB ′＝60°，推出BC ′垂直平分AB ′，△ABB ′为等边三角形，得到C ′D 12=AB ′＝1，'60ABB Ð=°，推出1''302ABD B BD ABB Ð=Ð=Ð=°，得到BD =′C ′B ＝C ′D ＋BD ＝1．解：连接BB ′，设BC ′与AB ′交点为D ，如图，△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝BC=∴AB===2，∵△ABC绕点A逆时针反向旋转60°到△AB′C′的位置，∴∠AC′B′＝∠ACB＝90°，AC′＝AC＝B′C′＝BC，AB＝AB′＝2，∠BAB′＝60°，∴BC′垂直平分AB′，△ABB′为等边三角形，∴C′D12=AB′＝1，'60ABBÐ=°，∴1''302ABD B BD ABBÐ=Ð=Ð=°，∴BD=∴C′B＝C′D＋BD＝1故答案为1【点拨】本题考查了旋转图形全等的性质，线段垂直平分线判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形边的性质，作辅助线构造出等边三角形，求出'C D，BD的长是解题的关键．12．3【分析】通过已知求得D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动，∵E为AD的中点，∴E在以BA中点为圆心，12B D长为半径的圆上运动，再运用圆外一定点到圆上动点距离的最大值=定点与圆心的距离+圆的半径，求得CE的最大值．解：∵BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，∴BD ＝2，∴112BD =．由题意可知，D 在以B 为圆心，BD 长为半径的圆上运动，∵E 为AD 的中点，∴E 在以BA 中点为圆心，12B D 长为半径的圆上运动，CE 的最大值即C 到BA 中点的距离加上12BD 长．∵90ACB Ð=o ，30BAC Ð=o ，BC ＝2，∴C 到BA 中点的距离即122AB =，又∵112BD =，∴CE 的最大值即1121322AB BD +=+=．故答案为3．【点拨】本题考查了与圆相关的动点问题，正确识别E 点运动轨迹是解题的关键．13【分析】以AB 为边向右作等边△ABK ，连接EK ，证明△ABF ≌△KBE （SAS ），推出AF ＝EK ，根据垂线段最短可知，当KE ⊥AD 时，EK 的值最小，求出EK 即可解决问题．解：如图，以AB 为边向右作等边△ABK ，由60ABC Ð=°可知点K 在BC 上，连接EK ，∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，∴∠ABF＝∠KBE，∴△ABF≌△KBE（SAS），∴AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，EK的值最小，即AF的值最小，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAK＝∠AKB＝60°，∴∠AKE＝30°，∵AB＝AK＝2，AK＝1，∴AE＝12∴EK=，∴AF【点拨】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．14【分析】将三角形BCP绕点B逆时针旋转60°得三角形BDA，过B作BH⊥直线AP于H，先证明三角形BDP为等边三角形，利用勾股定理逆定理得∠DPA=90°，进而得∠BPH=30°，利用勾股定理解直角三角形即可得答案．解：将三角形BCP绕点B逆时针旋转60°，得三角形BDA，BC边落在AB上，过B作BH ⊥直线AP 于H ，如图所示，由旋转知，△BDP 为等边三角形，AD =PC =，∴BP =PD =BD ，∠BPD =60°，∵PA ，∴222PD PA AD +=，∴∠APD =90°，∴∠BPH =30°，∴BH =12BP =，由勾股定理得：AB．【点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定、勾股定理逆定理、旋转变换的应用等知识点，解题关键是作旋转变换，将分散的条件集中在同一三角形中．15．13【分析】将FBE V 绕点E 逆时针旋转90°得到GHE △，延长GH 交BC 于点M ，延长CB 至点N ，使CM NM =，连接DN ，由矩形的条件和旋转的性质可得3EH EB ==，90B BEH EHG Ð=Ð=Ð=°，可说明四边形EBMH 是矩形，然后由正方形的性质可得到12CN =，GM CN ^，从而说明GM 是CN 的垂直平分线，进一步推导出CG DG NG DG ND +=+³，当点N ，G ，D 三点共线时，+CG DG 取最小值，最后由勾股定理可求解．解：将FBE V 绕点E 逆时针旋转90°得到GHE △，延长GH 交BC 于点M ，延长CB 至点N ，使CM NM =，连接DN ，∵在矩形ABCD 中，5AB =，9BC =，2AE =，∴3EB AB AE =-=，90B BCD Ð=Ð=°，5CD =，∴3EH EB ==，90B BEH EHG Ð=Ð=Ð=°，∴90EHM Ð=°，∴四边形EBMH 是矩形，∴3BM EH ==，90BMH Ð=°，∴()229312CN CM ==´-=，GM CN ^，∴GM 是CN 的垂直平分线，∴CG NG =，∵F 是直线BC 上一动点，∴CG DG NG DG ND +=+³，∴当点N ，G ，D 三点共线时，+CG DG 取最小值ND ，在Rt NCD V 中，12CN =，5CD =，13ND ===，∴+CG DG 的最小值是13．故答案为：13．【点拨】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，垂直平分线，三角形三边的关系，勾股定理等知识，采用了转化的思想方法．确定点C 关于GM 的对称点N 是解题的关键．16．9【分析】连接AD 、BE ，过点E 作EH ⊥AB 于H ，由旋转知，DE =DB ，∠BDE =60°，可证△BDE 是等边三角形，利用等边对等角结合三角形内角和为180°求出18018022ADB ADE BAD EAD °-Ð°-ÐÐ=Ð=，，从而得到3601502BDE BAE °-ÐÐ==°，进而可求出∠HAE =30°．再根据含30度角的直角三角形的性质可求出EH ，AH ，再利用勾股定理即可先后求出BE 和CD ．解：如图，连接AD 、BE ，过点E 作EH ⊥AB 于H ，由旋转知，DE =DB ，∠BDE =60°，∴△BDE 是等边三角形，∴BE =BD ．∵C 为AB 中点，点D 在AB 的垂直平分线上，∴AD =BD =DE ，12BC AB ==∴18018022ADB ADE BAD EAD °-Ð°-ÐÐ=Ð=，，∴()36036022ADB ADE BDE BAD EAD °-Ð+Ð°-ÐÐ+Ð==，即3602BDE BAE °-ÐÐ=．∵∠BDE =60°，∴∠BAE =150°，∴∠HAE =180°-150°=30°．∵AE =6，∴132EH AE ==，∴AH ==∴BH AH AB =+=∴BE ==，∴BD =，∴9CD ==．故答案为：9．【点拨】本题考查了图形的旋转，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，勾股定理以及含30°的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．17．y＝﹣x2+18x﹣77【分析】根据顶点式求得Q点的坐标，进而令0y=求得点,E F的坐标，作QP⊥x轴于P，过F点作FM⊥FQ交QL于M．作MN⊥x轴于N，根据∠FQL＝45°，证明△PQF≌△NFM（AAS），进而求得点M的坐标，求得直线QL的解析式为y11133x=-，继而求得L（11，0），T点坐标为（4，0），根据中心对称的性质可得K（7，0），根据交点式即可写出新抛物线的解析式．解：∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴Q（﹣1，﹣4），当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∴E（﹣3，0），F（1，0），作QP⊥x轴于P，过F点作FM⊥FQ交QL于M．作MN⊥x轴于N，如图，∵∠FQL＝45°，∴△QFM为等腰直角三角形，∴FQ＝FM，∵∠PFQ+∠PQF＝90°，∠PFQ+∠MFN＝90°，∴∠PQF＝∠MFN，∴△PQF≌△NFM（AAS），∴PQ＝FN＝4，MN＝PF＝2，∴M（5，﹣2），设直线QL的解析式为y＝kx+b，把Q （﹣1，﹣4），M （5，﹣2）代入得452k b k b -+=-ìí+=-î，解得13113k b ì=ïïíï=-ïî，∴直线QL 的解析式为y 11133x =-，当y ＝0时，11133x -=0，解得x ＝11，∴L （11，0），∵点E （﹣3，0）和点L （11，0）关于T 对称，∴T 点坐标为（4，0），∵点F 与点K 关于T 点对称，∴K （7，0），∵新抛物线与抛物线y ＝x 2+2x ﹣3关于T 对称，∴新抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣7）（x ﹣11），即y ＝﹣x 2+18x ﹣77．故答案为y ＝﹣x 2+18x ﹣77．【点拨】本题考查了二次函数的性质，中心对称的性质，等腰直角三角形的性质与判定，求抛物线的解析式，求得对称中心是解题的关键．18．5n解：根据三角形的面积公式，知每一次延长一倍后，得到的一个直角三角形的面积和延长前的正方形的面积相等，即每一次延长一倍后，得到的图形是延长前的正方形的面积的5倍，从而解答．如图（1），已知小正方形ABCD 的面积为1，则把它的各边延长一倍后，三角形AA 1B 1的面积是1，新正方形A 1B 1C 1D 1的面积是5，从而正方形A 2B 2C 2D 2的面积为5×5=25，正方形A n B n C n D n 的面积为5n ．考点：找规律-图形的变化【点拨】解答此类问题的关键是仔细分析所给图形的特征得到规律，再把这个规律应用于解题.19．(1)见分析(2)画图见分析，B 2(－5，－2)(3)(3，0)，6【分析】（1）分别作出点A、B以C为中心，顺时针旋转90°后的对应点A1、B1即可解答；（2）根据中心对称的坐标特征：横纵坐标互为相反数；求得A2、B2、C2的坐标即可；（3）C点先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，即可得到点D（3，0）；求出平行四边形ACDB的中心坐标，根据中心对称图形的性质可得直线y经过中心坐标，进而求得b；(1)解：如图，分别作出点A、B以C为中心，顺时针旋转90°后的对应点A1、B1，连接相应顶点得△A1B1C即为所求；(2)解：∵A（3，3），B（5，2），C（1，1），∴A、B、C关于原点的对称点坐标为：A2（-3，-3），B2（-5，-2），C2（-1，-1），如图，△A2B2C2即为所求，(3)解：如图，C点先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点D（3，0），连接相应顶点，四边形ACDB为平行四边形；∵A 点先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，可得到点B ，∴BD 可由AB 平移得到，即BD ∥AB ，BD =AB ，∴四边形ACDB 是平行四边形，∵C （1，1），B （5，2），平行四边形是中心对称图形，∴平行四边形ACDB 的中心坐标为（3，32），如图所示，当直线y 经过平行四边形中心时，直线两侧的图形关于中心点对称面积相等，∴（3，32）代入直线y =32-x +b ，可得b =6；【点拨】本题考查了图形旋转，中心对称图形的性质，坐标的平移和对称变换，平行四边形的判定和性质；掌握中心对称图形的性质是解题关键．20．（1）＝PE PF ，证明详见分析；（2）＝PE PF 【分析】（1）根据角平分线定义得到∠POF=60°，推出△PEF 是等边三角形，得到PE=PF ；（2）过点P 作PQ ⊥OA ，PH ⊥OB ，根据角平分线的性质得到PQ=PH ，∠PQO=∠PHO=90°，根据全等三角形的性质得到PE=PF ，S 四边形OEPF =S 四边形OQPH ，求得OQ=1，解：（1）∵120AOB Ð°＝，OP 平分AOB Ð，∴60POF Ð°＝，∵60MPN Ð°＝，∴60MPN FOP ÐÐ°＝＝，∴PEF D 是等边三角形，∴＝PE PF ；（2）过点P 作PQ OA ^，PH OB ^，∵OP 平分AOB Ð，∴PQ PH ＝，90PQO PHO ÐÐ°＝＝，∵120AOB Ð°＝，∴∠QPH ＝60°，∴QPE FPH EPH Ð+Ð+Ð，∴QPE EPF ÐÐ＝，在QPE D 与HPF D 中EQP FHP QPE HPF PQ PH Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴QPE HPF AAS D D ≌（），∴＝PE PF ，OEPF OQPH S S 四边形四边形＝，∵PQ OA ^，PH OB ^，OP 平分AOB Ð，∴30QPO Ð°＝，∴1OQ ＝，QP＝∴112OPQ S D ´´＝∴四边形OEPF 的面积＝2OPQ S D【点拨】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．21．（Ⅰ）点D 的坐标为(1,3).（Ⅱ）①证明见分析；②点H 的坐标为17(,3)5.（Ⅲ）S £分析：（Ⅰ）根据旋转的性质得AD=AO=5,设CD=x ，在直角三角形ACD 中运用勾股定理可CD 的值，从而可确定D 点坐标；（Ⅱ）①根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可；②由①知BAD BAO Ð=Ð，再根据矩形的性质得CBA OAB Ð=Ð.从而BAD CBA Ð=Ð，故BH=AH ，在Rt △ACH 中，运用勾股定理可求得AH 的值，进而求得答案；（ⅢS ££解：（Ⅰ）∵点()5,0A ，点()0,3B ，∴5OA =，3OB =.∵四边形AOBC 是矩形，∴3AC OB ==，5BC OA ==，90OBC C Ð=Ð=°.∵矩形ADEF 是由矩形AOBC 旋转得到的，∴5AD AO ==.在Rt ADC V 中，有222AD AC DC =+，∴DC = 4==.∴1BD BC DC =-=.∴点D 的坐标为()1,3.（Ⅱ）①由四边形ADEF 是矩形，得90ADE Ð=°.又点D 在线段BE 上，得90ADB Ð=°.由（Ⅰ）知，AD AO =，又AB AB =，90AOB Ð=°，∴Rt ADB Rt AOB V V ≌.②由ADB AOB V V ≌，得BAD BAO Ð=Ð.又在矩形AOBC 中，//OA BC ，∴CBA OAB Ð=Ð.∴BAD CBA Ð=Ð.∴BH AH =.设BH t =，则AH t =，5HC BC BH t =-=-.在Rt AHC V 中，有222AH AC HC =+，∴()22235t t =+-.解得175t =.∴175BH =.∴点H 的坐标为17,35æöç÷èø.（ⅢS ££【点拨】本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，灵活运用勾股定理求解是解决本题的关键.22．（1）见分析；（2）60或120；（3）1212S ££【分析】（1）运用SAS 证明△≌△ADB AEC 即可；（2）分“当点E 在线段CD 上”和“当点E 在线段CD 的延长线上”两种情况求出EDB Ð的大小即可；（3）分别求出DBC △的面积最大值和最小值即可得到结论解：（1）,ABC ADE Q V V 均为等边三角形，AD AE \=，AB AC =，DAE BAE BAC BAE \Ð-Ð=Ð-Ð，即BAD CAEÐ=Ð在ADB △和AEC △中AD AE BAD CAEAB AC =ìïÐ=Ðíï=î()ABD ACE SAS \@V V ；（2）当,,D E C 在同一条直线上时，分两种情况：①当点E 在线段CD 上时，如图，∵ADE V 是等边三角形，60ADE AED \Ð=Ð=°，180120AEC AED \Ð=-Ð=°°，由（1）可知，ADB AEC @V V ，120ADB AEC \Ð=Ð=°，1206060EDB ADB ADE \Ð=Ð-=-°=°Ð°②当点E 在线段CD 的延长线上时，如图，ADE Q V是等边三角形，60ADE AED \Ð=Ð=°180120ADC ADE \Ð=-Ð=°°，由（1）可知，ADB AEC@V V 60ADB AEC \Ð=Ð=°，60EDB ADB ADE \Ð=Ð+Ð=° 60120+=°°综上所述，EDB Ð的大小为60°或120°（3）过点A 作AF BC ^于点F ，当点D 在线段AF 上时，点D 到BC 的距离最短，此时，点D 到BC 的距离为线段DF 的长，如图：ABC Q V 是等边三角形，AF BC ^，6BC =6AB BC \==，132BF BC ==AF \==4DF \=此时1164)1222DBC S BC DF =×=´´=V ；当D 在线段FA 的延长线上时，点D 到BC 的距离最大，此时点D 到BC 的距离为线段DF 的长，如图，ABC Q V 是等边三角形，AF BC ^，6BC =6AB BC \==，132BF BC ==，AF \==4AD =Q4DF AF AD \=+=此时，1164)1222DBC S BC DF =×=´´=V ；综上所述，DBC △的面积S 取值是1212S -££【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定．23．（1）CB 的延长线上，a+b ；（2）①DC=BE,理由见分析；②BE 的最大值是4;（3）AM 的最大值是P 的坐标为（）【分析】（1）根据点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，即可得到结论；（2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD ≌△EAB ，根据全等三角形的性质得到CD=BE ；②由于线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM ，将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ，连接AN ，得到△APN。

九年级上册旋转几何综合(篇)(Word版含解析)

九年级上册旋转几何综合（篇）（Word 版含解析）一、初三数学旋转易错题压轴题（难）1．已知抛物线y=ax 2+bx-3a-5经过点A(2，5)（1）求出a 和b 之间的数量关系．（2）已知抛物线的顶点为D 点，直线AD 与y 轴交于(0，-7)①求出此时抛物线的解析式；②点B 为y 轴上任意一点且在直线y=5和直线y=-13之间，连接BD 绕点B 逆时针旋转90°，得到线段BC ，连接AB 、AC ，将AB 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段BH ．截取BC 的中点F 和DH 的中点G ．当点D 、点H 、点C 三点共线时，分别求出点F 和点G 的坐标．【答案】（1）a+2b=10；（2）①y= 2x 2+4x-11，②G 1(478，91-8+)，F 1(-8，33-4+)，G 2(8，-8)，F 2(218，-4) 【解析】【分析】（1）把点A 坐标代入抛物线y=ax 2+bx-3a-5即可得到a 和b 之间的数量关系；（2）①求出直线AD 的解析式，与抛物线y=ax 2+bx-3a-5联立方程组，根据直线与抛物线有两个交点，结合韦达定理求出a ，b ，即可求出解析式；②作AI ⊥y 轴于点I ，HJ ⊥y 轴于点J.设B （0，t ），根据旋转性质表示粗H 、D 、C 坐标，应含t 式子表示直线AD 的解析式，根据D 、H 、C 三点共线，把点C 坐标代入求出131t -4+=，2t -4=，分两类讨论，分别求出G 、F 坐标。

【详解】解：（1）把A （2,5）代入y=ax 2+bx-3a-5得4a+2b-3a-5=5∴a+2b=10∴a 和b 之间的数量关系是a+2b=10（2）①设直线AD 的解析式为y=kx+c∵直线AD 与y 轴交于（0，-7），A （2,5）∴2k c 5{c -7+==解得k 6{c -7==即直线AD 的解析式为y=6x-7 联立抛物线y=ax 2+bx-3a-5与直线AD ：y=6x-7 得2y ax +bx-3a-5{y 6x-7== 消去y 得ax 2+（b-6）x-3a+2=0∵抛物线与直线AD 有两个交点∴由韦达定理可得：x A +x D =b-6-a =2a 2a +，x A x D =-3a 2a+∵A （2,5）∴x A =2即x D =2a -22a +∵x D =b -2a =a-104a ∴2a -22a +=a-104a 解得a=2∴b=10-a 2= 4 ∴此时抛物线的解析式为y= 2x 2+4x-11②如图所示：作AI ⊥y 轴于点I ，HJ ⊥y 轴于点J.设B （0，t ）∵A （2，5），∴AI=2，BJ=5-t∵AB 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段BH∴AB=BH ，∠ABH=90°，∠AIB=∠BJH=90°∵∠IAB+∠IBA=90°，∠ABH+∠IBA+∠JBH=180°∴∠IBA+∠JBH=90°即∠IAB=∠JBH∴△AJB ≌△BJH 即AI=BJ=2，BI=IH=5-t∴H （5-t ，t-2）∵D （-1，-13）∴y B -y D =t+13同理可得：C （t+13，t-1）设DH 的解析式为y=k 1x+b 1∴1111-k b -13{5-t k b t-2+=+=（）解得11t 11k 6-t {t 11b -13-t-6+=+= 即直线AD 的解析式为t 1111y x-13-66t t t ++=-- ∵D 、H 、C 三点共线∴把C （t+13，t-1）代入AD t 1111y x-13-66t t t ++=--得：t 1111t-1t 13-13-66t t t ++=+--（）整理得2t 2+31t+82=0解得131305t -4+=，231-305t -4= 由图可知：①当131305t -+=如图1所示：此时H （51305+，39305-+），C （305-21-，35305-+） ∵点G 为DH 中点，点F 为BC 中点∴G 1（47305+，91305-+），F 1（305-21-，33305-+）由图可知：当231-305t -=如图2所示：此时H （51-305，39-305-），C （30521+，35-305-） ∵点G 为DH 中点，点F 为BC 中点∴G 2（47-305，91-305-），F 2（30521+，33-305-）（14分） ∴综上所述：G 1（47305+，91305-+），F 1（305-21-，33305-+） G 2（47-3058，91-305-8），F 2（305218+，33-305-4）。

12. 勤学九年级数学(上)第23章《旋转》专题一点通

12. 勤学早九年级数学（上）第23章《旋转》专题一点通一、旋转与角度、长度计算1（2014龙岩）如图，△ABC中，∠B=70°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．当点B的对应点D恰好落在AC上时，求∠CAE的度数（50°）2（2014江宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，在同一平面内，将△ABC绕点C逆时针旋转70°与△EDC重合，恰好使点D在AB上，求∠E的度数（∠E=∠A=35°）3（2014高邮）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，AD=2，DB=5，DE⊥AC于点E，若△ADE绕点D顺时针旋转90°后，点A、E的对应点A'、F恰好在BC边上，求△A'DB 的面积（5）4（2013常州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，，点O为Rt△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）：以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A'O'B（得到A，O的对应点分别为点A′，O′），并回答下列问题：∠ABC=_____，∠A'BC=_____，OA十OB+ OC=_____；（30°；90）二、作图与计算5 .（2014宁夏）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2，1)，B(-4，5)，C( 5，2).(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2.6（2014广东）在平面直角坐标系中有△ABC与△A1B1C1，其位置如图所示.（1）将△ABC绕C点按____（填“顺”或“逆”）时针方向旋转____度时与△A1B1C1重合；（2）若将△ABC向右平移2个单位后，只通过一次旋转变换能与△△A1B1C1重舍吗？若能，请直接写出旋转中心的坐标、方向及旋转角度；若不能，请说明理由.解：(1) 逆；90°（2）能，绕(0，-1)逆时针旋转90°即可7. 如图，△A BC二点的坐标分别为A(1，1)，B(6，1)，C(2，3)(1)△ABC关于x轴作轴对称变换得到△DEF，则点A的对应点的坐标为________；（1，-1）(2)将△ABC向左平移7个单位，请画出平移后的△A'B'C′，若M为△ABC内的一点，其坐标为(a，b)，则点M平移后的对应点M′的坐标为_______; （a-7，b）(3) △ABC绕原点逆时针旋转90°得到△MNT，直接写出点B的对应点N的坐标为____；（-1，6）(4) 在旋转过程中点B经过的路径长_______；）(5) 在旋转过程中线段AB扫过的面积是_______. （354π）三、图案设计8. 下图是2002年在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”，它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎世界各地的数学家们. 请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计另两个不同的图案. 画图要求：(1)每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形都不重叠；(2)所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形.9. 如图，已知网格中每个正方形的边长都是l，图中的阴影部分图案是由三段以格点为圆心、分别以小正方形的边长和对角线为半径的圆弧围成.(1)填空：图中阴影部分的面积是_______；（1）(2)在网格中以阴影图案为基本图案，借助轴对称、平移或旋转设计一个完整的图案（要求至少含有两种图形变换）四、旋转与勾股定理10. 如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO绕点B逆时针旋转60°得到线段BO′.(1)求点O与O′的距离；（4）(2)求∠AOB的度数；（150°）(3)求△ABC面积- △AOC面积的值. （+6）11. 如图l，在等边△ABC内有一点P，且PA =2，，PC=l，求∠BPC度数和等边△ABC的边长.【探究】解题思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，如图2所示，连接PP'.(1)△P'PB是_____三角形，△PP'A是_____三角形，∠BPC=_____°：【拓展应用】如图3，在正方形ABCD内有一点P，且，PC=1.(2). 求∠BPC度数的大小；(3) . 求正方形ABCD的边长.解：(1)等边，直角，150°；(2)将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A，∴AP′=PC=1，BP=BP′，连接PP'，在Rt△BP′P中，∵BP=BP′，∠PBP′=90°，∴PP′=2，∠BP′P=45°，在△A P′P 中，AP′=1，P′P=2，12+22=2，即P′A 2+ P′P 2=AP2，∴△A P′P是直角三角形，即∠A P′P=90°，∴∠A P′B=135°，∴∠BPC=∠A P′B=135°.(3) 过点B作BE⊥AP′交AP′的延长线于点E，∴∠E P′B=45°，∴E P′=BE=1，∴AE=2．∴在Rt△ABE中，由勾股定理得ABCD五、利用旋转化散为聚12. 如图，∠CA E= 45°．AC=6，AE=3，∠DCE= 90°，CD=CE，求AD的长解：将△DCA绕C点逆时针旋转90°得△ECB，连接BE，可证△ACD≌△BCE，AD=BE，∠BAE=90°，在Rt△ABE中，由勾股定理可得BE=9，则AD=BE=913. 如图，在平面直角坐标系中，点P（3，3)，两坐标轴的正半轴上有M、N两点，且∠MPN=45°，求△MON的周长解: 过P作PE⊥y轴于点E，将△PEM绕点P按逆时针方向旋转9 0°，得到△PFQ，∵P(3，3)，∴F、Q两点在x轴上，△PFQ≌△PEM，∴∠EPM=∠FPQ，EM= FQ，PM=PQ，∵∠EPF=90°，∠MPN=45°，∴∠EPM+∠NPF=45°，∠FPQ+∠NPF=45°，∴∠NPQ=∠MPN，又PM=PQ，PN=PN，∴△PMN≌△PQN，∴MN=NQ=NF+FQ=NF+EM，∴△MON周长=OM+ON+MN=OM+ON+NF+EM=OM+EM+ON+NF=OE+OF=614. (2016武汉模拟)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC >AD，∠A=90°，AB=BC=12，∠DCF=45°，E是AB上一点．DE=10，求BE的长解：过C 作CF ⊥AD 交AD 的延长线于点 F ，将△BCE 绕点C 顺时针旋转90°得到△FCG ，连接CG ，则四边形ABCF 是正方形，∴BC=CF ，∴△BCE ≌△FCG ，∴CE=CG ，∠BCE=∠FCG .，∵∠DCE=45°，∠BCE+∠DCF=90°-45°= 45°，∠DCG =∠DCF+ ∠FCC =45°=∠DCE ，在△DCG 和△DCE 中，CG=CE ，∠DCG =∠DCE ，CD= CD ，∴△DCG ≌△DCE ，∴DG=DE=10，设BE=x ，则AE=12-x ，DF=10-x ，∴AD=12-(10-x)=2+x ，在Rt △ADE 中，222AD AE DE+=，∴(2+x)2+（12-x ）2=l02，解得x=4或6，即BE 的长为4或6.15.（2016武汉改编题）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在边AB 、BC 、CD 、DA 上，且EG 与FH 的夹角为45°，若正方形ABCD 的边长为1，FH 的长为2，求EG 的长解：过A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，过A 作AN ∥EG 交CD 于点N ，∵AB = l ，AM=FH=2，∴12，将△AND 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABP ，∵EG 与FH 的夹角为45°，∴∠MAN +∠DAN=45°，即∠PAM=∠MAN=45°，从而△APM ≌△ANM ，∴PM=NM ，设DN=x ，则NC=1-x ，MN=PM=12+x ，在Rt △CMN 中，（12+x ）2=14+（1-x ）2，解得：x=13，∴3。

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12. 勤学早九年级数学（上）第23章《旋转》专题一点通
一、旋转与角度、长度计算
1（2014龙岩）如图，△ABC中，∠B=70°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．当点B的对应点D恰好落在AC上时，求∠CAE的度数（50°）2（2014江宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，在同一平面内，将△ABC绕点C逆时针旋转70°与△EDC重合，恰好使点D在AB上，求∠E的度数（∠E=∠A=35°）3（2014高邮）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，AD=2，DB=5，DE⊥AC于点E，若△ADE绕点D顺时针旋转90°后，点A、E的对应点A'、F恰好在BC边上，求△A'DB 的面积（5）
4（2013常州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，，点O为Rt△ABC内一点，连接AO、
BO、CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）：以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A'O'B（得到A，O的对应点分别为点A′，O′），并回答下列问题：∠ABC=_____，∠A'BC=_____，OA十OB+ OC=_____；
（30°；90）
二、作图与计算
5 .（2014宁夏）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2，1)，B(-4，5)，
C( 5，2).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A
1B
1
C
1
；
(2)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A
2B
2
C
2
.
6（2014广东）在平面直角坐标系中有△ABC与△A
1B
1
C
1
，其位置如图所示.
（1）将△ABC绕C点按____（填“顺”或“逆”）时针方向旋转____度时与△A
1B
1
C
1
重合；
（2）若将△ABC向右平移2个单位后，只通过一次旋转变换能与△△A
1B
1
C
1
重舍吗？若能，请
直接写出旋转中心的坐标、方向及旋转角度；若不能，请说明理由.
解：(1) 逆；90°
（2）能，绕(0，-1)逆时针旋转90°即可
7. 如图，△A BC二点的坐标分别为A(1，1)，B(6，1)，C(2，3)
(1)△ABC关于x轴作轴对称变换得到△DEF，则点A的对应点的坐标为________；（1，-1）
(2)将△ABC向左平移7个单位，请画出平移后的△A'B'C′，若M为△ABC内的一点，其坐标为
(a，b)，则点M平移后的对应点M′的坐标为_______; （a-7，b）(3) △ABC绕原点逆时针旋转90°得到△MNT，直接写出点B的对应点N的坐标为____；
（-1，6）
(4) 在旋转过程中点B经过的路径长_______；（
2
）
(5) 在旋转过程中线段AB扫过的面积是_______. （35
4
π
）
三、图案设计
8. 下图是2002年在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”，它既标志着中国古代的数学成就，
又像一只转动着的风车，欢迎世界各地的数学家们. 请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计另两个不同的图案. 画图要求：(1)每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形都不重叠；(2)所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形.
9. 如图，已知网格中每个正方形的边长都是l，图中的阴影部分图案是由三段以格点为圆心、分别
以小正方形的边长和对角线为半径的圆弧围成.
(1)填空：图中阴影部分的面积是_______；（1）
(2)在网格中以阴影图案为基本图案，借助轴对称、平移或旋转设计一个完整的图案（要求至少
含有两种图形变换）
四、旋转与勾股定理
10. 如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO绕点B逆时针旋转60°得
到线段BO′.
(1)求点O与O′的距离；（4）
(2)求∠AOB的度数；（150°）
(3)求△ABC面积- △AOC面积的值. （+6）
11. 如图l，在等边△ABC内有一点P，且PA =2，，PC=l，求∠BPC度数和等边△ABC
的边长.
【探究】解题思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，如图2所示，连接PP'.
(1)△P'PB是_____三角形，△PP'A是_____三角形，∠BPC=_____°：
【拓展应用】如图3，在正方形ABCD内有一点P，且，PC=1.
(2). 求∠BPC度数的大小；
(3) . 求正方形ABCD的边长.
解：(1)等边，直角，150°；
(2)将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A，∴AP′=PC=1，
BP=BP′，连接PP'，在Rt△BP′P中，∵BP=BP′，∠PBP′=90°，∴PP′=2，
∠BP′P=45°，在△A P′P 中，AP′=1，P′P=2，12+22=2，
即P′A 2+ P′P 2=AP2，∴△A P′P是直角三角形，即∠A P′P=90°，∴∠A P′B=135°，
∴∠BPC=∠A P′B=135°.
(3) 过点B作BE⊥AP′交AP′的延长线于点E，∴∠E P′B=45°，∴E P′=BE=1，∴AE=2．
∴在Rt△ABE中，由勾股定理得ABCD
五、利用旋转化散为聚
12. 如图，∠CA E= 45°．AC=6，AE=3，∠DCE= 90°，CD=CE，求AD的长
解：将△DCA绕C点逆时针旋转90°得△ECB，连接BE，可证△ACD≌△BCE，AD=BE，∠BAE=90°，在Rt△ABE中，由勾股定理可得BE=9，则AD=BE=9
13. 如图，在平面直角坐标系中，点P（3，3)，两坐标轴的正半轴上有M、N两点，且∠MPN=45°，
求△MON的周长
解: 过P 作PE ⊥y 轴于点E ，将△PEM 绕点 P 按逆时针方向旋转9 0°，得到△PFQ ，∵P(3，3)，
∴F 、Q 两点在x 轴上，△PFQ ≌△PEM ，∴∠EPM=∠FPQ ，EM= FQ ，PM=PQ ，
∵∠EPF=90°，∠MPN=45°，∴∠EPM+∠NPF=45°，∠FPQ+∠NPF=45°，∴∠NPQ=∠MPN ，又PM=PQ ，PN=PN ，∴△PMN ≌△PQN ，∴MN=NQ=NF+FQ=NF+EM ，
∴△MON 周长=OM+ON+MN=OM+ON+NF+EM=OM+EM+ON+NF=OE+OF=6
14. (2016武汉模拟)如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC >AD ，∠A=90°，AB=BC=12， ∠DCF=45°，E 是AB 上一点．DE=10，求BE 的长
解：过C 作CF ⊥AD 交AD 的延长线于点 F ，将△BCE 绕点C 顺时针旋转90°得到△FCG ，
连接CG ，则四边形ABCF 是正方形，∴BC=CF ，∴△BCE ≌△FCG ，∴CE=CG ，
∠BCE=∠FCG .，∵∠DCE=45°，∠BCE+∠DCF=90°-45°= 45°，∠DCG =∠DCF+ ∠FCC =45°=∠DCE ，在△DCG 和△DCE 中，CG=CE ，∠DCG =∠DCE ，CD= CD ，∴△DCG ≌△DCE ，∴DG=DE=10，设BE=x ，则AE=12-x ，DF=10-x ，∴AD=12-(10-x)=2+x ，在Rt △ADE 中，222AD AE DE +=，∴(2+x)2+（12-x ）2=l02，解得x=4或6，即BE 的长为4或6.
15.（2016武汉改编题）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在边AB 、BC 、CD 、DA 上，
且EG 与FH 的夹角为45°，若正方形ABCD 的边长为1，FH 的长为2
，求EG 的长
解：过A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，过A 作AN ∥EG 交CD 于点N ，∵AB = l ，AM=FH=
2，
∴12
，将△AND 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABP ，∵EG 与FH 的夹角为45°，∴∠MAN +∠DAN=45°，即∠PAM=∠MAN=45°，从而△APM ≌△ANM ，∴PM=NM ，设DN=x ，则NC=1-x ，MN=PM=
12+x ，在Rt △CMN 中，（12+x ）2=14+（1-x ）2，
解得：x=13
，∴3。