勤学早九年级数学上第章旋转专题一点通

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12. 勤学早九年级数学(上)第23章《旋转》专题一点通

一、旋转与角度、长度计算

1(2014龙岩)如图,△ABC中,∠B=70°,∠BAC=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC.当点B的对应点D恰好落在AC上时,求∠CAE的度数(50°)2(2014江宁)如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,在同一平面内,将△ABC绕点C逆时针旋转70°与△EDC重合,恰好使点D在AB上,求∠E的度数(∠E=∠A=35°)3(2014高邮)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB边上,AD=2,DB=5,DE⊥AC于点E,若△ADE绕点D顺时针旋转90°后,点A、E的对应点A'、F恰好在BC边上,求△A'DB 的面积(5)

4(2013常州)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,,点O为Rt△ABC内一点,连接AO、

BO、CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,按下列要求画图(保留画图痕迹):以点B为旋转中心,将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°,得到△A'O'B(得到A,O的对应点分别为点A′,O′),并回答下列问题:∠ABC=_____,∠A'BC=_____,OA十OB+ OC=_____;

(30°;90)

二、作图与计算

5 .(2014宁夏)在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,1),B(-4,5),

C( 5,2).

(1)画出△ABC关于y轴对称的△A

1B

1

C

1

(2)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A

2B

2

C

2

.

6(2014广东)在平面直角坐标系中有△ABC与△A

1B

1

C

1

,其位置如图所示.

(1)将△ABC绕C点按____(填“顺”或“逆”)时针方向旋转____度时与△A

1B

1

C

1

重合;

(2)若将△ABC向右平移2个单位后,只通过一次旋转变换能与△△A

1B

1

C

1

重舍吗?若能,请

直接写出旋转中心的坐标、方向及旋转角度;若不能,请说明理由.

解:(1) 逆;90°

(2)能,绕(0,-1)逆时针旋转90°即可

7. 如图,△A BC二点的坐标分别为A(1,1),B(6,1),C(2,3)

(1)△ABC关于x轴作轴对称变换得到△DEF,则点A的对应点的坐标为________;(1,-1)

(2)将△ABC向左平移7个单位,请画出平移后的△A'B'C′,若M为△ABC内的一点,其坐标为

(a,b),则点M平移后的对应点M′的坐标为_______; (a-7,b)(3) △ABC绕原点逆时针旋转90°得到△MNT,直接写出点B的对应点N的坐标为____;

(-1,6)

(4) 在旋转过程中点B经过的路径长_______;(

2

(5) 在旋转过程中线段AB扫过的面积是_______. (35

4

π

三、图案设计

8. 下图是2002年在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”,它既标志着中国古代的数学成就,

又像一只转动着的风车,欢迎世界各地的数学家们. 请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换,在以下方格纸中设计另两个不同的图案. 画图要求:(1)每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上,且四个三角形都不重叠;(2)所设计的图案(不含方格纸)必须是中心对称图形或轴对称图形.

9. 如图,已知网格中每个正方形的边长都是l,图中的阴影部分图案是由三段以格点为圆心、分别

以小正方形的边长和对角线为半径的圆弧围成.

(1)填空:图中阴影部分的面积是_______;(1)

(2)在网格中以阴影图案为基本图案,借助轴对称、平移或旋转设计一个完整的图案(要求至少

含有两种图形变换)

四、旋转与勾股定理

10. 如图,O是等边△ABC内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段BO绕点B逆时针旋转60°得

到线段BO′.

(1)求点O与O′的距离;(4)

(2)求∠AOB的度数;(150°)

(3)求△ABC面积- △AOC面积的值. (+6)

11. 如图l,在等边△ABC内有一点P,且PA =2,,PC=l,求∠BPC度数和等边△ABC

的边长.

【探究】解题思路是:将△BPC绕点B逆时针旋转60°,如图2所示,连接PP'.

(1)△P'PB是_____三角形,△PP'A是_____三角形,∠BPC=_____°:

【拓展应用】如图3,在正方形ABCD内有一点P,且,PC=1.

(2). 求∠BPC度数的大小;

(3) . 求正方形ABCD的边长.

解:(1)等边,直角,150°;

(2)将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得△BP′A,则△BPC≌△BP′A,∴AP′=PC=1,

BP=BP′,连接PP',在Rt△BP′P中,∵BP=BP′,∠PBP′=90°,∴PP′=2,

∠BP′P=45°,在△A P′P 中,AP′=1,P′P=2,12+22=2,

即P′A 2+ P′P 2=AP2,∴△A P′P是直角三角形,即∠A P′P=90°,∴∠A P′B=135°,

∴∠BPC=∠A P′B=135°.

(3) 过点B作BE⊥AP′交AP′的延长线于点E,∴∠E P′B=45°,∴E P′=BE=1,∴AE=2.

∴在Rt△ABE中,由勾股定理得ABCD

五、利用旋转化散为聚

12. 如图,∠CA E= 45°.AC=6,AE=3,∠DCE= 90°,CD=CE,求AD的长

解:将△DCA绕C点逆时针旋转90°得△ECB,连接BE,可证△ACD≌△BCE,AD=BE,∠BAE=90°,在Rt△ABE中,由勾股定理可得BE=9,则AD=BE=9

13. 如图,在平面直角坐标系中,点P(3,3),两坐标轴的正半轴上有M、N两点,且∠MPN=45°,

求△MON的周长

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