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01张量基础
01张量基础第一章张量基础晶体的物理性质一般是各向异性的，这些性质常常需要用与方向有关的两个可测量的量之间的关系来定义，而用张量来描述，张量是晶体物理的数学基础。
第一章张量基础张量的基本知识张量的变换定律张量的几何表示法晶体对称性对晶体性质的影响晶体物理性质的相互关系1.1 张量的基本知识（1）一、标量与矢量1、标量在物理学中，常遇到这样一些量，如物体的温度、密度等等，它们都与方向无关。
这些无方向的物理量，称为标量（也称零阶张量）。
它们完全由给定的某一数值来确定。
1.1 张量的基本知识（2）2、矢量与方向有关的物理量，称为矢量（也称一阶张量）。
它们不仅有大小，而且有一定的方向。
如电场强度、电位移、温度梯度等都是矢量。
矢量用上方带箭头的字母表示，如电场强度可表示为 E 。
矢量还可以用直角坐标系（x1,x2,x3 ）中三个坐标轴上的分量来决定它的大小和方向，于是就可以 E 写成： E = [E , E , E ]1 2 3——字母的下标1、2、3分别代表x1, x2, x3轴。
这样，当坐标轴选定后，矢量就完全由其在这些轴上的分量来确定。
1.1 张量的基本知识（3）二、二阶张量在各向同性介质中，电场强度矢量 E 和电位移矢量 D 的方向永远保持一致，在电场强度不高的情况下，两者成线形关系，因此，它们间的关系可以直接表示为：D =εEε——介电常数在各向异性介质中，电场强度矢量 E 和电位移矢量 D 的 E 方向经常不一致，因此， D 在三个坐标轴上的分量都与的三个分量相关，此时，它们间的关系可表示为：D1 = ε 11 E1 + ε 12 E 2 + ε 13 E3 D2 = ε 21 E1 + ε 22 E 2 + ε 23 E3 D3 = ε 31 E1 + ε 32 E 2 + ε 33 E31.1 张量的基本知识（4）即D1 ? ? ε 11 ε 12 ? ? ? ? D2 ? = ? ε 21 ε 22 ? D ? ?ε ? 3 ? ? 31 ε 32ε 13 ?? E1 ? ?? ? ε 23 ?? E 2 ? ?E ? ε 33 ? ?? 3 ?ε 11 ε 12 ε 13 方形表ε 21 ε 22 ε 23 就是一个二阶张量。
不可约张量法导论
不可约张量法导论
不可约张量法（Irreducible Tensor Method）是量子力学、相对论物理学和群论等领域中用于处理对称性和旋转不变性问题的重要数学工具。
在理论物理中，特别是在描述原子、分子以及粒子系统的量子态时，张量的概念及其运算规则起着核心作用。
不可约张量是指在特定的群下不能被进一步分解为更小的同类张量的张量。
例如，在三维空间下的旋转群SO(3)作用下，一个不可约张量意味着它不能再通过旋转操作变为两个或更多的相同类型张量之和。
这样的张量具有明确的对称性质和自旋属性，并且它们的变换规律由相应的群表示理论给出。
《不可约张量法导论》是一本介绍这一方法基础概念和应用的教材或参考书，可以帮助读者掌握如何使用不可约张量来解决物理问题，如角动量算符的组合与耦合等。
该书籍通常会涵盖以下内容：
1. 张量的基本定义和分类。
2. 不可约张量的构造和识别。
3. 对于特定群（如旋转群SO(3)）下张量的变换法则。
4. 如何将高阶张量分解为不可约张量。
5. 张量代数和克利福德代数的应用。
6. 角动量理论中的不可约张量及其在量子力学系统中的应用，包括角动量的耦合和Clebsch-Gordan系数等。
学习不可约张量法对于理解物理中的对称性和守恒定律有重要价值，同时也有助于深入研究粒子物理、凝聚态物理等多个领域的复杂问题。
不可约张量算符
不可约张量算符不可约张量算符，也称为张量积算符或张量积投影算符，是量子力学中非常重要的概念。
在描述多粒子系统时，不可约张量算符能够方便地表示不同粒子间的相互作用。
以下是关于不可约张量算符的详细介绍。
什么是不可约张量算符？不可约张量算符可以被描述为一种特殊的线性算符，它描述了两个量子体系的张量积空间中的不可约表示。
不可约张量算符可以用来表示系统的可观测性质、自旋和相互作用等。
它可以分为两个部分，其中一个与单个粒子的自旋有关，而另一个与多个粒子的相互作用有关。
不可约张量算符的作用不可约张量算符可以用来描述多个粒子之间的相互作用。
这些相互作用对应于系统的能量和动量的各种信息。
在多体系统中，每个粒子的自旋和位置必须被考虑到，但是描述相互作用比描述单个粒子的行为更具挑战性。
不可约张量算符可以将描述各个粒子的量子态的张量积空间，转换为与这些量子态相同的新张量积空间。
这样做可以消除两个不同粒子之间相互作用的干扰，从而使物理学家更容易分析多体系统。
不可约张量算符可以自我嵌入，这意味着可以将它们组合在一起，以形成更大的不可约张量算符，以描述更复杂的多粒子系统。
不可约张量算符的组成不可约张量算符由两个部分组成：一个部分涉及不同粒子之间的相互作用，而另一个部分涉及单个粒子的自旋。
第一个部分通常称为张量，而第二个部分称为不变量。
在处理多粒子系统时，不可约张量算符的组成要考虑的因素包括每个粒子的自旋，每个粒子之间的相互作用以及它们之间的空间排列方式。
因此，不可约张量算符由不可约张量的张量积组成。
不可约张量算符的数学表示不可约张量算符可以用数学符号表示为：$$ \hat{T}^{\{l\}}_{q} \otimes \hat{S}^{\{s\}}_{m} $$其中，$ \{l\} $和$ \{s\} $表示量子态，$ q $和$ m $表示它们的量子数。
$ \hat{T}^{\{l\}}_{q} $表示的是不可约张量，它描述的是多个粒子之间的相互作用。
M-张量的若干新性质
M-张量的若干新性质张娅;李耀堂【摘要】应用非负张量的Perron-Frobenius理论，对非奇异M-张量以及M-张量的特征值、半非负性和主子张量进行研究，获得了非奇异M-张量的几个充分必要条件和M-张量的特征值，以及半非负性和主子张量的几个新性质。
%Nonsingular M-tensors and its eigenvalues,half-nonnegativity and principal subtensor of M-tensors are researched by using Perron-Frobenius theory of nonnegative tensor.And some new necessary and sufficient conditions of some nonsingular M-tensor and new properties for the eigenvalue,half-nonnegativity and principal subtensors of M-tensors are obtained.【期刊名称】《昆明学院学报》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】4页(P1-4)【关键词】非负张量;M-张量;特征值;谱半径;主子张量【作者】张娅;李耀堂【作者单位】云南大学数学与统计学院，云南昆明650091;云南大学数学与统计学院，云南昆明650091【正文语种】中文【中图分类】O183.21 定义及相关定理矩阵作为阶数为2的张量已经被广泛研究，尤其是M－矩阵因其具有正稳定性、逆正性等良好的性质而被广泛应用于计算数学、生物学、物理学与数理经济等领域［1］.M－矩阵的结构与非负矩阵密不可分，而它的研究与非负矩阵的 Perron-Frobenius理论又密切相关．2008 年，K．C．Chang，K．Pegarson 和T．Zhang［2］把非负矩阵的 Perron-Frobenius 理论推广到非负张量．2012 年，Liping Zhang，Liqun Qi，Guanglu Zhou［3］定义了M－张量，并探讨了判定Z－张量为非奇异M－张量的条件．2013 年，Weiyang Ding，Liqun Qi，Yimin Wei［4］用非负张量的Perron-Frobenius理论对M－张量的半正性、半非负性、单调性等进行了深入研究.本文在此基础上进一步对非奇异M－张量以及M－张量的特征值、半非负性和主子张量进行研究，获得了非奇异M－张量的几个充分必要条件和M－张量的特征值，以及半非负性和主子张量的几个新性质．设Α=(ai1i2…im)，其中ai1i2…im∈R，1≤ i1，i2，…，im ≤ n，称A为m阶n 维实张量，记为A∈R［m，n］.如果ai1i2…im≥ 0，1 ≤ i1，i2，…，im ≤ n，则称A为非负张量［2］.设I=(ii1…im)∈R［m，n］，如果则称 I为单位张量［5］.设 D=(d i1…im)∈ R［m，n］，如果d i1…im ≠ 0 (＞0)，i1=i2=… =im，其他元素都为零，则称D为(正)对角张量.设Α=( a i1i2…im )∈ R［m，n］，x=(x1，…，xn)T ∈ Cn，分别记 n 维向量若存在(λ，x)∈C×( C n\{0 } )，使得Αxm-1=λx［m-1］，则称λ为张量A的特征值，x为A的对应于λ的特征向量.定义 1［6］设Α=( a i1i2…im ) ∈ R［m，n］，B=( bi1i2…ik )∈ R［k，n］，且m ≥ 2，k ≥ 1.定义张量 A 与 B 的积为( m -1 ) ( k -1 ) +1 阶 n 维张量 C=( ciα1…αm-1)，其中记为C= Α·B，这里 N={1，2，…，n}，Nk-1为数1，2，…，n的所有k-1阶可重复排列所成之集.注1:当k=1时，张量B退化为向量，记B=x=(x1，…，xn)T∈Cn.由此得张量A与向量x的积Α·x为一个向量，其第i个分量为所以Αxm-1= Α·x.故前面对张量特征值的定义可简写为Αxm-1= Α·x= λx［m-1］.特别，Ixm-1=I·x=x［m-1］，当Α1与Α2为同阶张量时，有(Α1+Α2)·B= Α1·B+ Α2·B.注2［7］:由定义 1 知一个对角张量D=(d)∈ R［m，n］与另一个张量Α=( a )∈ R［m，n］的乘积为:i1…imi1i2…im(D Α)i1i2…im=d i1i1…i1ai1i2…im，并且有(DΑ)xm-1=D(( Α xm-1)［1/m-1］)m-1;一个对角无零元素的对角张量的逆定义为:(D-1)i1i1…i1=di-11i1…i1，其它元素为 0，并且有 (D D-1) xm-1=( D -1D) xm-1=Ixm-1=Ix［m-1］.定义 2［8］设Α=( a i1i2…im )∈ R［m，n］，如果存在一个非空真子集I⊂{1 ，…，n}，使得则称A为可约的;如果A不是可约的，则称A为不可约的.定义 3［9］设Α=( a i1i2…im )∈ R［m，n］，定义Α 的谱半径为ρ(Α)=是Α的特征值 }.定义4［10］设Α=(ai1i2…im )∈R［m，n］，α1，α2，…，αm 为 {1，2，…，n}的m个非空子集，记αi中元素的个数为ni，i=1，2，…，m，则称B=(ai1…im)(ij∈ αj，j=1，…，m)为Α 的一个子张量，记为Α[α1，α2，…，αm].若n1=n2=… =nm，则称 B 为Α 的一个主子张量;若α1= α2= … = αm= α，则简记Α［α1，α2，…，αm］为Α［α］.定义5［8］一个m阶n维张量Α称为对称的，如果这里Gm是m指标的置换群.设Α=( a i1i2…im )∈ R［m，n］，定义 m 次齐次 n 元多项式:定义 6［8］设Α=(ai1i2…im )∈ R［m，n］，称Α为正定的，如果fΑ(x):=Αxm ＞ 0，∀x ∈ Rn\{0}.定义7［4］如果张量Α的所有非主对角元是非正的，即Α有形式Α =sI-B，这里s＞0，B为非负张量(B≥0)，则称Α为Z-张量.定义 8［4］设Α=( a i1i2…im )∈ R［m，n］为 Z- 张量，且Α =sI-B(B ≥0)，如果s≥ ρ(B)，则称Α 为 M-张量;如果s＞ρ(B)，则称Α为非奇异M-张量;如果s=ρ(B)，则称Α为奇异M-张量.定义9［4］如果存在向量x＞0，使得Αxm-1＞0，则称张量Α为半正张量.定义10［4］如果存在向量x＞0，使得Αxm-1≥0，则称张量Α为半非负张量.定理1［2］如果张量Α =( a )∈ R［m，n］非负，则存在λ≥0 及非负向量x≠ 0，使得i1i2…im 00定理 2［2］如果Α=( a )∈ R［m，n］非负不可约，则等式(1)的( λ ，x)满足:i1i2…im 001)λ0＞0是一个特征值;2)x0＞0，即x0的所有元素为正;3)如果λ是有非负特征向量的特征值，那么λ=λ0;4)如果λ是Α的一个特征值，那么λ≤λ0.定理3［3］设Α为Z-张量，则下列几款等价:1)Α是非奇异M-张量;2)Α的每一个实特征值为正;3)Α的每个特征值的实部为正.定理4［4］一个Z-张量为非奇异M-张量当且仅当它是半正的.定理 5［9］设Α =( a i1i2…im )∈R［m，n］为非负张量，那么ρ(Α)为Α的一个特征值，存在相应于ρ(Α)的不为零的非负特征向量x.而且对于任何的x＞0，x∈Rn，有2 非奇异M－张量的性质本节我们给出非奇异M-张量的几个新的性质.定理6设Α为Z-张量且不可约，则下列命题等价:1)存在x＞0，使得Αxm-1＞0，即Α为半正张量;2)存在x＞0，使得Αxm-1≥0且Αxm-1≠0;3)Α为非奇异M-张量.证明1)⇒2)是显然的.现证2)⇒3).设存在x＞0，使Αxm-1=Α·x≥0且Αxm-1=Α·x≠0.将Α表示成Α =sI-B，s＞0，B≥0，且令Τ =B\s，则有Α·x=( s I-B)·x=sI·x-B·x≥0且Α·x≠0，即B·x≤ sI·x，( B \s)·x≤I·x且 ( B \s)·x≠Ix.因为Α不可约，所以B不可约，因而Τ非负不可约，且有Τ·x≤I·x，Τ·x≠I·x.若Τ·x ＜I·x，则Α·x＞0，于是由定理3知Α为非奇异M-张量;若有i，j∈N，i≠j，使得(Txm-1)i=xmi -1，(Txm-1)j=xmj -1，由定理5 知ρ(Τ)＜mkax (Txm-1)k\xmk-1=1，由此知有x ＞ 0，使得Τ·x= ρ(Τ)x［m-1］ =( B \s)·x=( ρ (B)\s) x［m-1］，即ρ(Τ)= ρ(B)\s ＜ 1.所以有ρ(B)＜ s，故Α 为非奇异M-张量.而3)⇒1)是显然的.定理7设Α =( a i1i2…im)∈R［m，n］为非奇异M-张量，D为非负对角张量，则Α+D为非奇异M-张量.证明因为Α为非奇异M-张量，D为非负对角张量，由定理3知Α为半正Z-张量，即存在x＞0，使得Αxm-1=Α·x＞0，于是有由此得Α+D为半正Z-张量，再由定理3知Α+D为非奇异M-张量.定理8设Α为非奇异M-张量，C为Z-张量，且C≥Α，则C为非奇异M-张量.证明因为Α为非奇异M-张量，由定理4知，存在x＞0，使得Αxm-1=Α·x＞0.又因为C为Z-张量且C≥Α，故C·x≥Α·x＞0.再由定理4得C为非奇异M-张量.引理1［5］一个m阶n维实对称张量Α是正定的，当且仅当它的每一个实特征值为正的.定理9设Α为对称Z-张量，则Α为非奇异M-张量当且仅当Α为对称正定的.证明设Α =sI-B，s＞0，B≥0.必要性:如果Α为非奇异M-张量且对称，则Α的每个实特征值为正的，所以Α为对称正定的.充分性:如果Α为对称正定且为对称Z-张量，则Α的每个实特征值为正的，所以Α为非奇异M-张量.定理10设Α为Z-张量，则Α为M-张量当且仅当∀ε＞0，Α+εI为非奇异M-张量.证明由Α为Z-张量知Α =sI-B，s＞0，B≥0.充分性:如果对任意的ε＞0，Α+εI=(s+ε)I-B是非奇异M-张量.那么由定义7知s+ε＞ρ(B)，∀ε ＞0，令ε→0+，得s≥ρ( B ).因此Α是M-张量.必要性:设Α =sI-B为M-张量.则B≥0，s≥ρ(B )，于是对任意ε ＞0，Α+εI=(s+ε)I-B且s+ε＞s≥ρ( B ).因此Α+εI为非奇异M-张量.3 M－张量的特征值、半非负性和主子张量在这里，我们给出M-张量的特征值、半非负性和主子张量的性质.引理2［9］设Α为m阶n维张量，B=a ( Α +bI)，a，b∈R，那么μ是B的一个特征值当且仅当μ=a(λ+b)且λ是Α的一个特征值.在这种情况中，它们有相同的特征向量.定理11［4］设Α为M-张量，则Α的所有主对角元素都非负.定理12设Α =sI-B为Z-张量，s＞0，B≥0，则Α为M-张量当且仅当Α的每个特征值有非负的实部.证明必要性:设Α为M-张量，由定理10知对任意的ε＞0，B=Α+εI为非奇异M-张量.由于Α=B-εI，由引理2知，Α的特征值可表示为λ()Α=λ()B-ε，再由定理3知B的每个特征值λ()B有正的实部，所以Α的每个特征值有非负的实部.充分性:设Α的每个特征值λ()A的实部非负.对任意的ε＞0，令B=Α+εI.由引理2知λ()B=λ()Α+ε，所以B的每个特征值λ()B有正实部，再由定理3知B为非奇异M-张量.于是由定理10知Α为M-张量.定理13设Α为Z-张量，则Α为M-张量当且仅当Α的每个实特征值非负.证明充分性:设Α为Z-张量，则有Α =sI-B，s＞0，B≥0且s-ρ(B)为Α的实特征值.因为Α的每个实特征值非负，所以s-ρ(B)≥0，即s≥ρ(B).故Α为M-张量.必要性可由定理12直接得到.定理14设Α为M-张量，C为Z-张量，且C≥Α，则C为M-张量.证明设Α为M-张量，于是有Α =sI-B，s＞0，B≥0，s≥ρ(B)，且对任给的ε ＞0，Α +εI为非奇异M-张量.由C≥Α知C+εI≥Α+εI.由定理8得C+εI为非奇异M-张量，再由定理10知C为M-张量.定理15设Α为Z-张量且半非负，则Α为M-张量.证明设Α为Z-张量，于是有Α =sI-B，s＞0，B≥0.由于Α半非负，所以存在x＞0，使由此得到s-ρ(B)≥0，故Α为M-张量.定理16设Α为Z-张量，则Α为半非负的当且仅当存在正对角矩阵D=diag( d 1，…，dn)，使得张量ΑDm-1对角占优.证明必要性:设Α为半非负的Z-张量，则存在向量x=(x，…，x)T ＞ 0，使得Αxm-1≥0，即令正对角矩阵D=diag( x1，…，xn)，则上式表明ΑDm-1为对角占优.充分性:设存在正对角矩阵D=diag( d1，…，dn)，使得张量ΑDm-1对角占优，即令向量 x=d1，…，则x＞0.由Α为Z-张量和上式知即Αxm-1≥0.由定义10知，Α为半非负的.定理17设Α为Z-张量，则Α为半非负的当且仅当存在正对角张量D及非负张量E，使得Α=D-E，且存在x＞0，使得 ( D -1E ) xm-1 ≤ x［m-1］.证明设D是Α的对角张量且E=D-Α，显然E≥0，Α =D-E且D-1E=I-D-1Α.必要性:设Α为半非负Z-张量，那么D是正对角张量，且存在X＞0，使得Αxm-1=( D -E) xm-1=Dxm-1-Exm-1≥0，故Dxm-1≥Ex m-1.再由得D为正对角张量得 ( D -1E ) xm-1 ≤ x［m-1］.充分性:如果存在x＞0，使得 ( D -1E) xm-1≤x［m-1］，那么Exm-1≤Dxm-1，即Αxm-1≥0.因此，Α为半非负Z-张量.下面我们给出张量的主子张量的几个性质.引理3［2］设Α与C为m阶n维非负张量，且Α≤C，则ρ(Α)≤ρ(C).引理 4［10］设Α=(ai1i2…im )∈ R［m，n］，Α ≥ 0，α ⊂ {1，2，…，n}，Α[α]为Α的主子张量，则ρ(Α［α］)≤ρ(Α).若Α不可约且Α[α]为Α的真主子张量，则ρ(Α［α］)＜ρ(Α).定理18设Α为M-张量，α⊂N，则Α的任意主子张量的实特征值非负.证明设Α为M-张量，则有Α=sI-B，s＞0，B≥0，s≥ρ(B).于是Α[α]=sI[α]-B[α]，由引理4知ρ(B)≥ρ(B[α]).设λ为Α[α]的一个实特征值，由引理2知s-λ为B[α]的一个实特征值.若λ＜0，则s-λ＞s≥ρ(B)≥ρ(B[α])与谱半径的定义矛盾，所以Α[α]的每一个实特征值非负.定理19设Α为不可约奇异M-张量，则下列命题成立:1)存在正向量x＞0，使得Αxm-1=0;2)Α的所有的真主子张量为非奇异M-张量.证明1)设Α为不可约奇异M-张量，则有Α =sI-B，s＞0，B≥0，s=ρ(B)，因为Α不可约，所以B不可约，由非负张量的Perron-Frobenius定理知，存在B的Perron向量x＞0使Bxm-1=B·x=ρ(B)x［m-1］.所以，对此向量x＞0有2)设Α[α]为Α的某真主子张量，即α为N的非空真子集，由Α=sI-B，s＞0，B≥0得Α[α]=sI[α]-B[α].因为Α不可约，所以B非负不可约.由引理4知s=ρ(B)＞ρ(B[α])，所以Α[α]为非奇异M-张量.［参考文献］【相关文献】［1］陈公宁．矩阵理论与应用［M］．第2版．北京:科学出版社，2007．［2］CHANG K C，PEARSON K，ZHANG T．Perron-Frobenius theorem for 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张量的基本概念(我觉得说的比较好,关键是通俗)
简单的说：张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵（方阵）是二阶张量，而三阶张量则好比立体矩阵，更高阶的张量用图形无法表达。
向量是在一个线性空间中定义的量，当这个线性空间的基变换时，向量的分量也跟着变换。
而一个线性空间有一个伴随的对偶空间。
张量是一个同时定义在几个线性空间的量，这几个线性空间的基可同时变换，或者只是只变换几个，此时，张量的分量也跟着变换。
我们一般见到的张量是同时定义在几个线性空间及其对偶空间里的量，在实际的符号表达中，就表现为同时有几个上指标和下指标，也即线性空间及其对偶空间。
张量其实是一种线性代数，即多重线性代数，从字面上理解，也正好是上面提到的“定义在多个线性空间的量”。
在流形中，一点的切空间正好同构于一个欧氏空间，也即，与一个欧氏空间的性质一样。
而这个欧氏空间有一个伴随的对偶空间，所以可以定义张量。
要对流形上张量作微分运算，必须比较流形上相距很近两点的张量的差，这就引出了联络的概念，而联络的概念的引出，需要这两个不同的点的欧氏空间是同构的。
进而发展了张量分析。
现代数学是建立在代数与拓扑基础上的，很多概念如果代数水平不行，是很难理解的。
比如泛函分析、纤维从理论等。
代数方面的知识，最好能掌握抽象代数的概念，进而掌握交换代数的知识。
其实，线性代数是很多现代数学概念的基础，而线性代数的核心就是空间的概念。
而现在，我们国内工科学的线性代数只是讲一讲矩阵、矩阵运算、特征值、特征向量、二次形等等。
线性代数的精髓概念根本涉及不到。
这也就造成了很多同学理解现代数学中很多概念的困难。
现代数学的一个非常重要的方法论就是公理化的方法。
这是希尔伯特在其《几何基础》中最先明确提出的，这本书当初得到了彭加莱的很高的评价。
公理化思想的威力我当初是在学习《实变函数论》这门课时深刻体会到的。
武熙鸿老师的《黎曼几何初步》中，则是处处渗透着公理化的思想，读来颇有味道。
应该这样说，是低阶张量被我们找到了可以比拟的物理意义，但张量本身并不需要具有几何比拟其实，张量是有很强的几何背景的，不管是低阶的，还是高阶的。
数学中什么叫做“张量”？
数学中什么叫做“张量”？对于数域 K 上的 n 维线性空间 V，当给定一组基{ε₁, ε₂, ..., ε_n} 后，其中任意一个向量（也叫矢量）α 都对应唯一的坐标系数(a₁, a₂, ..., a_n) 使得：又有另外一个向量β = b₁ε₁ + b₂ε₂ + ... + b_nε_n，将α 和β 自然相乘，有：令，则有：称ω 为二阶（秩）张量，在 V 确定一组基{ε₁, ε₂, ..., ε_n}后，对应一个系数方阵 Z。
当然，这个定义是非常粗糙的，甚至有如下缺陷：•张量和向量对并不一一对应，例如：下面的一组二维向量对中任何一对之积都一样，即，•如果令 z_{ij} = a_i b_j 则 z_{ij} 会受到限制，例如：对应二维线性空间，有于是，得到 z_{ij} 之间的比例关系：显然就不满足上面的比例关系。
因此，考虑脱离乘法而用 (1) 的形式直接定义张量，但是显然不能是任意n² 个数就可以构成张量的系数矩阵，我们需要找到规律。
我们知道，n 维度线性空间中的向量α ，其坐标向量(a₁, a₂, ..., a_n) 是依赖于基{ε₁, ε₂, ..., ε_n} 的，当基变为{ε₁', ε₂', ..., ε_n'} 后就相应的变为 (a₁', a₂', ..., a_n')。
若已知，{ε₁, ε₂, ..., ε_n} 到{ε₁', ε₂', ..., ε_n'} 过渡矩阵是 T，即：则，有：于是，有：等式两边左乘 (Tᵀ)⁻¹，整理后得到：以上推导说明：向量α 的坐标向量虽然随着基的不同而变化，但是向量α 从未改变，是一个不变量，即：并且，不同基下的坐标向量之间满足(2) 。
受此启发，分析：ω 的系数矩阵 Z = (z_{ij}) 也是依赖于基{ε₁, ε₂, ..., ε_n} 的，当基变为{ε₁', ε₂', ..., ε_n'} 后就相应的变为 Z' = (z_{ij}')，并且有：于是，有：等式两边左乘 (Tᵀ)⁻¹，右乘 T⁻¹，整理后得到：于是，给出二阶张量的正式定义：与 n 维线性空间 V 有关的量ω，在线性空间 V 的基变化时，具有不变性，满足，并且，不同基下的系数矩阵之间满足 (3)，则称ω 为二阶张量。
张量定义及算法
1
可乘张量
设由逆变分量和协变分量所给定的两个矢量 a , b 是已知的，则由等式
i T ik a i b k , Tik ai bk , T.k a i bk , Tki ak b i
确定的都是二阶张量，称为可乘张量. 2
克罗内克尔符号
克罗内克尔符号 ij 是一阶逆变一阶协变的二阶混合张量，这是
[张量的商律] 任一指标 jk， j k' 使
' ' 1 m
k Tlm ail a jmT ijk , Tlmp ail a jm akpT ijk
i1 il il i i i 设 Tji11 jm 和 Tj ' j ' 各为一组 x 和 x 的函数，如果对任意逆变矢量 与 及
因为从
x i x i ij i j x x
可得
ij
x i x i x i x j i j x i x j x i x j
[二阶对称张量与反对称张量]
若张量满足等式
Tik Tki , T ik T ki , Tki Ti k
则分别称为二阶对称协变张量、二阶对称逆变张量和二阶对称混合张量.若张量满足等式
i
x j1 x jl x i1 x im j1 jl j j T i1im x 1 x l x i1 x im
N
j1 jl i1 im
jl 是 x i 的函数， 则量 Ti1j1 im (共有 n 个分量)称为 l 阶逆变(或抗变)m
r1 rl s1 s k r1 rl s1 s k Tp p t t T p p Tt t
1 m 1 h 1 m 1 h
简述张量在模型运行中的作用-概述说明以及解释
简述张量在模型运行中的作用-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述:张量是在数学和物理学中广泛使用的概念，在机器学习和深度学习中也扮演着重要的角色。
张量可以简单地理解为是一个多维数组或矢量，具有多个维度和大小，是数据在计算机中储存和处理的基本单位。
张量的概念和运算规则提供了处理和表示数据的有效方式，同时也为模型的构建和运行提供了重要支持。
在模型运行中，张量具有多种作用和用途。
首先，张量是机器学习算法中输入和输出数据的主要形式。
它们用于表示和传递样本数据、标签以及模型参数。
张量在模型训练和预测过程中，作为数据的载体，承载着输入数据的特征和目标，从而实现了模型对数据进行处理和分析的能力。
其次，张量是计算图中节点之间数据传递的媒介。
计算图是一种表示计算过程的有向无环图，其中的节点表示操作，边表示数据流动。
在计算图中，张量作为操作之间的输入和输出，参与了模型中各个层次的计算和变换。
通过张量的传递和转换，模型可以进行复杂的线性和非线性计算，从而实现对数据的抽象和建模功能。
此外，张量还具有丰富的运算和操作，如加法、乘法、矩阵乘法、卷积等。
这些运算和操作的应用可以实现各种复杂的模型结构和算法，例如神经网络、卷积神经网络、循环神经网络等。
通过这些运算和操作，模型可以对数据进行特征提取、变换和映射，实现对数据的高级表示和理解。
总之，张量在模型运行中发挥着重要的作用。
作为输入数据和模型参数的载体，通过丰富的运算和操作，张量为模型提供了数据处理、特征提取和模型优化的基础。
同时，张量的定义和使用也为模型的构建和训练提供了理论和实践的指导。
然而，要充分利用张量的潜力，我们还需要深入研究其局限性和发展方向，以进一步提升模型的性能和效果。
1.2 文章结构文章结构部分的内容如下：2. 文章结构本文主要分为三个部分：引言，正文和结论。
在引言部分，我们将对本文进行概述，介绍文章的目的，并提供一个总结。
在正文部分，我们将详细讨论张量的定义，以及张量在模型中的应用。
不可约张量
二阶张量 Fˆ 、并矢
α
∑ 9个分量 F ′i1i2 =
F (Q ⊗ Q) j1 j2
i1i2 j1 j2
j1 j2
张量的阶数越高，空间转动下变换规律越复杂！
二阶张量 Fˆ
∑ 9个分量 F ′i1i2 =
F (Q ⊗ Q) j1 j2
i1i2 j1 j2
j1 j2
∑ =
F Q Q j1 j2 i1 j1 i2 j2
Tˆ1−1 =
3 8π
(
xˆ r
−
iyˆ r
)
对无穷小转动
Tˆλ′µ =
Dµλ′µ
D=ˆ <(Qλ)TµˆDλˆ′µ|(DˆDdˆ†ϕ(|Qλnµ))===>T1(ˆ1λ=−µ−<−iiλdidµϕϕd′nϕ|n1⋅n⋅−JˆJ⋅ˆ[i)JTˆdˆλ,ϕµTˆ(λn1µ ⋅]+Jˆi|
=δ µ′µ
−
§5 不可约张量
一、张量算符
三维空间的n 阶直角张量（笛卡尔张量）：
3n 个分量，转动变换中按一定规则变化。
零阶张量 Sˆ 、标量
Sˆ′
=
Dˆ (ϕ
n
)SˆDˆ †
(ϕ
n)
=
Sˆ
[Sˆ, Jˆ]= 0
一阶张量
Aˆ ′
=Aˆ D、ˆ (矢ϕ n量) Aˆ Dˆ
†
(ϕ
n
)
=
Q
−1
Aˆ
∑ 3个分量 Aˆi′ = Qαi Aˆα
∑ [Jˆ± ,Tˆλµ ]= (λ µ)(λ ± µ +1) Tˆλµ′ < λµ′ | λ, µ ±1 > µ′=−λ
= (λ µ)(λ ± µ +1)Tˆλ,µ±1
高量5-02 不可约张量算符
1 2
2
1 1
2
2
2
2
m1m2 1 2
1
1 2
2
L'
1
1 2
2
1
1 2
2
1
2
1
1
2
2
2017年1月14日星期六 8时53分2秒
13
四、不可约张量算符的代数运算规则
●乘法和收缩
1 ˆ UTLM ( 1 2 )U ' L' ˆ ˆ ClL D LL ' M Tl ( 1)Tl ( 2) l
17
六、不可约张量算符的Racah定义
●两种定义的等价性
(1) 考虑绕 z 轴转无穷小角 d
1 i ˆ ˆz U J z；U 1 dJ l i ˆ Dm ( ) lm ' | 1 d J 'm z | lm (1 idm) mm' i 1 d
l m （ 1） m
m
1 ˆlm ( 1 )T ˆl m ( 2 ) T 2l 1
(1)
l
ˆlm ( 1 )T ˆl m ( 2 ) 2l 1T00 ( 1 2 ) (1) T
m m
左=常数•零阶张量，在转动下不变→右亦然 ●称式右为两个 l 阶不可约张量的标量积 m ˆ ˆl m ( 2 ) T ( ) T ( ) ( 1 ) T ( ) T l 1 l 2 lm 1 记为
1 l ˆ ˆ U T ( ) U D ( ) T lm m 'm lm ' ( ) 代入 m'
ˆ z ,T ˆlm ] mT ˆlm [J
基于个性化三维心脏-躯干模型的心磁正问题
基于个性化三维心脏-躯干模型的心磁正问题许炜炜; 白明珠; 林强; 胡正珲【期刊名称】《《物理学报》》【年(卷),期】2019(068)017【总页数】10页(P308-317)【关键词】心磁; FitzHugh-Nagumo; 方程; 有限元法; 跨膜电位【作者】许炜炜; 白明珠; 林强; 胡正珲【作者单位】浙江工业大学理学院杭州 310023; 浙江工业大学生物医学物理协同创新中心杭州 310023【正文语种】中文1 引言心磁正问题是通过构建心脏电生理和体表磁场模型,描述心脏电兴奋起搏点激发的心脏电生理活动,并在体表投影磁场的研究过程.这是深入理解心脏体表磁场形成机制的重要手段,使得心磁信号的生成过程有了理论指导.心磁图(magnetocardiography,MCG)作为一种新型无创检测技术,通过记录心脏电生理活动产生体表外的磁场分布变化,来反映心动周期的过程.由于人体组织磁导率接近真空磁导率的特性,MCG不受组织和空间的影响,相比传统多导联心电图(ECG)可捕获更微弱的生物信息,对冠心病及心律失常表现出更高的敏感度和准确度[1,2].而ECG受组织电导率等物理因素制约,抑制了一些不正常的电信号在体表的表现[3].因此我们认为研究心脏电生理活动产生的体表外磁场分布的心磁正问题是必要的.另一方面,可以在完成心磁正问题的前提下,从实测MCG出发,反演重建心脏等效电源或跨膜电位(transmembrane potential,TMP)分布,研究心脏电生理活动过程的心磁逆问题.这或许可以为定位心脏异常信号源头提供帮助[4].然而心磁信号极为微弱,准确测量心磁信号比较困难.传统基于超导量子干涉器件(superconducting quantum interference device,SQUID)的磁力仪制造成本和维护费用高昂,不适于MCG临床推广.但是,近年来原子磁力仪技术发展迅速,在测量极弱磁场方面展现了优异的性能[5],并且原子磁力仪价格大约只有SQUID磁力仪的1/10.何祥等[6]于2017年报道了一种基于非线性磁光旋转效应的脉冲泵浦式铷原子磁力仪,并在常温下清晰地测得了心脏磁场信号,这是国内首次用原子磁力仪实现对心脏磁场信号的探测.随着基于原子磁力仪技术的心磁图仪的发展和实用化,MCG将有希望成为临床上与ECG互为补充的心脏电生理活动检测技术.心磁正问题的研究可以更好地利用原子磁力仪测得的体表外心磁信号,描述心脏的电生理活动,并为后续心磁逆问题提供验证.这也为我们研究心磁正问题提供了动力.在过去几十年里,随着生物医学知识和计算机技术的发展,研究者从细胞离子通道到组织层面的不同尺度研究并开发了多种心脏模型.这些模型不仅可以用于更加深入地了解心律失常等疾病的机理,还可以用于设计新的治疗方法来治疗心脏疾病等.1952年,Hodgkin和Huxley[7]对鱿鱼轴突的刺激反应进行了研究,得出了有关动作电位的复杂关系式,这为之后的心脏电生理学模型的研究奠定了基础[8-10].最早的三维心脏模型由奥克兰大学Nielsen等[11]在1991年基于解剖犬心脏,通过组织学分析建立,这为后续研究者创建心脏计算模型提供了三维几何基础.之后,各国发起“可视人计划”[12],通过人体解剖切片获得高精度的人体组织数据.Xia等[13]在可视人数据基础上,从心脏细胞模型出发建立了代表国际先进水平的Cardiome-CN虚拟心脏电生理数学模型,并将其应用于各类心脏疾病的研究.李心雅等[14]基于波面型仿真算法完成了全心的电生理建模和体表电位标测图(body surface potential mapping,BSPM)仿真,降低了仿真所需的计算量.而医学断层成像技术的普及,为研究人员无创获取个性化的人体心脏几何数据提供了一种便捷的方式.Wang等[4]使用磁共振影像(MRI)数据,结合心电正问题和逆问题,构建了个性化的三维心肌梗死电生理学模型.随着计算机技术的不断发展,越来越精细的心脏电生理学模型开始建立并用于正常心脏状态以及各类心脏疾病的仿真.本研究将建立一个基于三维个性化几何的心磁正问题计算框架,加深对心脏电生理活动演变,以及在躯干表面形成生物磁场的物理过程的理解.本文将对被试的MRI进行图像分割,分离出心脏各腔室与躯干表面,之后对处理好的图片进行三维重建,建立一个个性化的人体心脏和躯干三维几何模型.在该三维几何模型的基础上,用修正后的FitzHugh-Nagumo (FHN)方程建立心脏电生理扩散模型,以求得TMP变化和电兴奋在心脏内的传播过程.之后,以准静态麦克斯韦方程组为基础建立体表外心脏磁场模型,模拟由TMP演变产生的心脏磁场在身体内和空气中的传播过程,求得体表外磁场投影分布.本研究的计算过程将基于伽辽金法(Galerkin method)的有限元分析(finite element analysis,FEA).最后,将通过简化模型,对其解析解与数值解做误差分析,验证心磁计算框架的可行性.2 方法2.1 心脏躯干三维几何模型的构建本研究使用MRI影像数据,通过图像分割与三维重建,建立一个个性化心脏躯干三维几何模型.传统三维心脏数据源来自犬等解剖模型,与真实人体几何存在较大差异.另一方面,侵入式的数据采集方法不利于获取人体心脏数据,因而存在较大局限性.而人体医学断层影像(如CT,MRI等)技术可以无创便捷地从被试者获取医学影像.通过对医学影像进行图像分割与三维重建,即可获得研究所需的三维模型.该模型可以在更贴近真实生理状态的情况下,模拟心脏TMP传播以及由此产生的磁场体表外的分布.本研究根据医学图像中的灰度值范围,通过将二值化后的心脏和躯干MRI影像进行阈值分割,得到目标的基本轮廓,最后将处理好的图像进行三维图像重建[15,16].在不影响心脏和躯干结构的前提下,对重建完成的三维几何进行适当平滑处理,消除图像分割过程中由于偏差等造成的表面不平滑的状况.本研究使用一位26岁健康女性志愿者的平扫MRI数据,构建三维几何模型.其中,心脏图像由18张像素为256×256 ,分辨率为1 mm×1 mm断层分辨率为10 mm 的MRI切片构成; 躯干数据由60张像素为768×504 ,分辨率为1 mm×1 mm,断层分辨率为4 mm的MRI切片构成.使用最大类间方差法[17]对心脏和躯干图像切片依次进行图像分割,结合手绘处理的方式,分离出心脏中心室和心房的内外轮廓和躯干表面轮廓,如图1所示.对分割完成的图像进行体绘制三维重建[15]并利用移动平均滤波器进行平滑处理[12],可以最终得到个性化的心脏和躯干三维结构.重建完成后的心脏结构包括左右心房以及左右心室共四个腔室.与仿真体表处心脏电势分布不同的是,心磁的计算需要考虑体外区域的磁场分布.本文构建了一个半径为2 m的球形区域将心脏-躯干模型包裹,以模拟人体周围的空气,如图2所示.构建完成后的几何模型将被应用到心脏电生理活动和体表外心脏磁场分布的仿真计算.图1 MRI切片的图像分割 (a) 心脏; (b) 躯干Fig.1.Image segmentation of MRI slices: (a) Heart; (b) torso.图2 个性化心脏-躯干三维几何模型Fig.2.Personalized three-dimensional heart-torso model.2.2 心脏电生理扩散模型根据心脏TMP演变的特点,构建能较好模拟兴奋传导且计算代价较小的电生理扩散模型.心脏去极化和复极化过程中,心肌细胞膜内外离子发生转移,TMP发生变化.不同位置的细胞TMP变化整体上表现为宏观层面的心脏电兴奋传导.FHN模型[18]是一种定性研究心脏电生理学活动的反应扩散系统经典模型,最早由Hodgkin和Huxley[7]通过简化多变量的Hodgkin-Huxley细胞模型得到.与元胞自动机模型模拟电兴奋类似,FHN模型并不直接模拟单个细胞的兴奋特性和细胞之间的偶联关系.由于不必大规模计算心脏细胞兴奋特性,因此可用较小的计算代价仿真心脏电生理活动的TMP动态特性.而基于简单规则的元胞自动机模型对解释电兴奋传导的物理过程不利[19].FHN模型包含描述动作电位产生的细胞模型和心肌兴奋传导的扩散模型,较符合实际的电兴奋传导特征.FHN模型是由两个未知变量的非线性偏微分方程组成的反应扩散系统:其中 u 表示激发变量,变化范围从0到1,ν 表示恢复变量,∇·(D∇u) 表示扩散项,D 表示扩散张量,而 f1(u,v) 和 f2(u,v) 则定义了动作电位的形状.FHN模型存在较多变式,为了更为准确地表示真实心脏TMP变化(如去除原始FHN 模型中实际不存在的过极化现象),本研究采用了Aliev等[20]修正的FHN模型其中参数 a=0.15 ,e=0.01 ,k=8 [21],研究初期忽略心肌纤维的各向异性,即假设扩散张量 D 为单位矩阵.实际的心脏TMP(Vm)范围是-80-20 mV,可以表示为通常认为心脏作为一个孤立的连续体,即没有有功电流流入或流出心脏表面,所以存在纽曼边界条件∂u/∂n=0,其中 n 表示心脏边界的法向量.2.3 体表外心脏磁场模型根据电磁学理论,计算心脏电兴奋产生磁场在体内的传播过程.人体心脏电磁场频率大约在1-100 Hz之间,对这种频率的低频电磁场通常使用准静态电磁学的知识处理[22].在宏观表现为兴奋传导的TMP变化以电流密度的形式,生成磁场在躯干以及体外传播.心磁信号就是心脏磁场在体外的投影积分.心脏中外电流密度 Ji 与TMP之间满足方程:其中σH 表示心脏组织的电导率(下标H是heart的缩写,下同).由于心脏和躯干被视为容积导体,模型中的全电流密度 J 为外电流密度 Ji 与无源容积电流密度之和:其中σ 表示电导率,φ 表示电势.电流密度 J 满足电流守恒定律[8]心脏TMP转化为电流密度的变量 Ji 后,将其应用到准静态麦克斯韦方程.由于心磁问题满足磁准静态场,位移电流 JD 远小于传导电流,即忽略电场变化率引起的磁场变化磁感应强度B满足其中µ 是磁导率.由于人体组织的无磁性,即相对磁导率µr=1 ,µ=µ0µr=µ0.矢量磁位 A 满足B=∇×A,并满足库仑规范,得到由此可得,心脏区域ΩH 和躯干区域ΩT 矢量磁位分别满足:其中σT 表示躯干电导率.由于体外空气域ΩA 的电导率非常小,忽略体外电流,体表外区域矢量磁位满足根据电磁学理论可知,磁场传播在心脏表面ΓH 和体表ΓT 的边界条件都分别满足,磁感应强度法向量方向相同 B1n=B2n ,磁场切线方向相同 H1t=H2t.2.4 模型的有限元仿真计算分别对心脏电生理扩散模型和体表外心脏磁场模型进行数值计算,最终合成完整的心磁正问题计算框架.求解复杂边界下的偏微分方程和物理场问题的数值解通常包括边界元法(boundary element method,BEM)[23]、有限元法(finite element method,FEM)[24]、无网格法(meshfree method)[25]等.本研究采用了FEM对心磁正问题进行计算.由于使用等效积分弱形式的方式相对于变分法使用范围更广泛,能较好地应对偏微分方程和电磁学问题.另外,伽辽金法在加权余数法中拥有更加优异的精度[26],因此本研究采用了伽辽金法对心脏电生理扩散模型和体表外心脏磁场模型进行数值计算.本文采用二阶10节点的四面体单元,对心脏、躯干以及体外空气域进行离散化处理,以便进行有限元计算,如图3所示.为准确仿真心脏电生理活动和体表外磁场分布,并考虑计算成本,采取相对密集的心脏四面体网格与相对稀疏的躯干四面体网格,如图4所示.心脏部分包括9723个四面体单元,躯干部分包括11698个四面体单元,而空气域部分包括10762个四面体单元(图中未显示空气域).图3 二阶10节点四面体单元Fig.3.The second-order tetrahedral element with 10 nodes.图4 离散的心脏-躯干三维模型 (a) 心脏三维模型;(b) 心脏-躯干模型组合Fig.4.Discretized three-dimensional heart-torso model:(a) 3D cardiac model; (b) heart-torso model.本研究采用的单元形函数类型为二阶拉格朗日单元[27].这种单元类型可以更好模拟弯曲的边界,对拥有不规则几何的心脏和躯干模型具有较好的计算精度.伽辽金法的特点是选取形函数作为权函数,最终获得含待定系数的有限元方程,通过计算有限元方程求得相应数值解.本研究首先求得心脏电生理模型中不同坐标和时间的TMP分布.之后将TMP转化为电流密度参数,应用到体表外心脏磁场模型,最终求得在体表外磁场的分布情况.2.5 心磁计算框架的解析解验证本研究分别设计了一维状态的反应扩散模型和三维简化几何的磁场模型,通过求解上述简化模型的精确解,并与相应FEM数值解进行误差分析,最终验证心磁正问题计算框架数值解的可信度.本研究对FHN模型的有限元数值解的准确性进行验证,以保证心脏电生理扩散模型的准确性.为了能简便求得FHN模型解析解,本研究考虑一维条件下的FHN方程,并与对应条件下的伽辽金有限元数值解进行对比.由于FHN方程由两个相互耦合的非线性偏微分方程构成,因此对方程组的求解具有困难.本文考虑适当简化FHN方程组,再对方程进行求解.以原始FHN方程(1)为例,由于在心脏电生理模型中,参数 b 满足 0＜b＜＜1 ,因此可以认为因变量 v 对时间 t 的偏导为0,即 v 为常数,进一步假设 v 为0.FHN方程组可以简化为一个非线性反应扩散方程较多文献对反应扩散方程(12)式有研究,如通过李群法[28]、Tanh法[29]、变系数Bernoulli辅助法[30]等求得反应扩散方程的多个解析解.本文参考Tanh法[29],对反应扩散方程进行精确解计算.假设方程(12)存在行波解,并设u(x,t)=u(ξ),其中ξ=k(x-ct) ,将方程转化为u关于ξ 的常微分方程.可以通过构造Y=tanh2ξ ,变换根据齐次平衡原则得到关于Y的齐次方程.根据方程系数都为0的特性,可以求得若干行波解,具体过程本文不再详述.可以将精确解与对应数值解进行误差分析,验证简化的心脏电生理学模型的精确性.另一方面,为了验证体表外磁场数值解的精确性,本研究建立了一个简易几何的测试模型,并在测试模型下求解基于麦克斯韦方程组的磁场解析解.在BSPM的仿真中,Fischer等[24]采用了同心球模型进行解析验证.即用同心内球的电势分布表示心脏TMP分布情况,通过求解外球电势模拟躯干表面的电势分布.本文首先假定内球中存在均匀并垂直向上的电流密度 Ji.模型内各点磁感应强度已由Geselowitz给出[31]:其中 R 为场点到源点的向量,σi 表示各区域的电导率.直接求解内球电流产生磁场的分布情况存在困难.由于对称性,柱坐标系下内球电流所产生的磁场不存在 r 和 z 方向的磁场分量,即磁场方向为方位角φ 方向.这与有限长直导线产生的磁场方向一致. 假设长度 L ,电流为 I 的直导线等价贡献了内球电流产生的磁场.并假设外球导电率σT 远小于1,即忽略(13)式等号右边的第二项,求解磁场在半径为 R 的外球中的分布.简化后的直导线模型产生的磁感应强度 B 为其中 R 为场点r=(r,φ,z) 到源点r′=(0,0,z′) 的向量 R=r-r′=rer+(z-z′)ez.将(14)式在柱坐标系下进行积分计算:简化(15)式,可以求得(16)式表示有限长直导线模型在大球内的磁场分布的解析解,之后将与对应数值解进行误差分析.3 仿真结果3.1 心脏电生理扩散模型的验证和结果通过Tanh法,求得了一维条件下简化的FHN方程的15个行波解,本文以其中一个解为例将t=0时(17)式求得的 u(x,0) 作为(12)式的初值条件,求解在一维条件下的有限元数值解.分别求得t=20,40,60三个时刻 x 在0-40范围内各134个数据点的数值解.通过与相同时刻、坐标下的解析解进行对比,验证简化后的FHN方程在一维条件下用伽辽金法求解的精确性.定义相对均方根误差(relative root mean squared error,RRMSE)其中 an 为模型解析解,bn 为模型数值解,N 为数值解的所有时间步长或计算节点. 图5显示了FHN方程的解析解与数值解的激发电位曲线图.求得在 t=20,40,60 时,简化的FHN方程解析解与对应数值解之间的 RRMSE 分别为0.39%,0.53%和0.79%,如表1所列.结果显示,在一维条件下用伽辽金法求得简化后的FHN方程的数值解与Tanh法求得的解析解的误差较小,展现了较好的准确性.可以相信本研究通过伽辽金法求解的心脏电生理扩散模型的结果是有保障的.图5 t=20,40,60时,激发电位u的变化实线:FHN方程数值解; 虚线: FHN方程行波解Fig.5.Evolution of excitation potential u at t=20,40,60.Solid line: numerical solution of FHN equation.Dotted line:analytical solution of FHN equation.表1 FHN方程相对均方根误差RRMSETable 1.Relative root mean squared error of FHN equation.时间t=20t=40t=60 RRMSE0.39%0.53%0.79%在求解心脏电生理扩散模型前,需要假定修改的FHN方程初值条件.由于正常功能的心脏是窦性心律的,即窦房结作为心脏正常起搏点,产生激发电位,并形成TMP的传播.因此可以设定在窦房结位置导入一个 u=1 的激发电位,作为FHN方程的初值条件模拟TMP兴奋的激发.之后通过有限元法计算,可得到心脏TMP随时间 t 变化的动态分布.图6所示为在一个完整的心动周期中,心室的TMP分布的演变情况.其中图6(a)-图6(c)表示心室去极化过程,对应时刻分别为t=30,60,90.而图6(d)-图6(f)表示心室复极化过程,对应时刻分别为t=120,150,180.分别取左右心室的心外膜上一点,观察TMP随时间的变化,如图7所示.其中实线表示右心室心外膜上一点的TMP变化,虚线表示左心室心外膜上一点的TMP变化.这与文献中正常心率的心室跨膜电位波形一致[32],表明了以修正的FHN方程为基础的心脏电生理扩散模型是符合真实心脏电生理活动特性的.3.2 体表外磁场的验证和仿真结果如图8(a)显示的是在直导线模型中,中轴面上φ 方向磁感应强度Bφ 的分布情况.图8(b)显示了Bφ 的数值解与解析解的曲线图,其中仿真过程中直导线的线径 r=0.1m 无法忽略.使用相对误差(relative error,RE)求解中轴面上各坐标点的磁场数值解与解析解之间的误差图6 一个心动周期的TMP分布图 (a),(b),(c) 为去极化过程 (t=30,60,90); (d),(e),(f)为复极化过程(t=120,150,180)Fig.6.TMP distribution of a cardiac cycle: (a),(b),(c) Depolarization process (t=30,60,90); (d),(e),(f) repolarization process (t=120,150,180).图7 TMP随时间变化曲线实线: 右心室TMP变化;虚线: 左心室TMP变化Fig.7.TMP time evolution curve,solid line: right ventricular TMP; dashed line: left ventricular TMP.图8 (a) 直导线模型; (b)中轴面磁感应强度的分布,实线: 解析解; 虚线: 数值解Fig.8.(a) Straight wire model; (b) distribution of magnetic field on the axial plane.Solid line: analytical solution;dotted line: numerical solution.其中 an 为模型解析解,bn 为模型数值解.图9显示了中轴面上磁感应强度Bφ 解的相对误差RE分布.其中散点表示中轴面上离导线中心各距离所对应的误差分布.而RE曲线由基于最小二乘法的二次多项式拟合得到.从图9中可以看出,随着离直导线中心距离的增加,RE也随之变大.0.1≤r≤1.0m时,RE 最大为2.85%.对比心脏到体表处的距离,我们认为这个误差是可以接受的.经过直导线模型的计算验证,说明构建的伽辽金法求解体表外心脏磁场模型是可行的.图9 磁场的相对误差分布Fig.9.Relative error distribution of magnetic field. 在心脏电磁场正问题中,为较好地模拟心脏产生的磁场在体表外的分布,通常需要设置各向异性的心脏电导率,而由于躯干电导率对心磁传播影响较小,通常设置为各向同性的躯干电导率.但由于被试的MRI数据不包含心肌纤维取向,因此本研究建立的个性化三维心脏-躯干几何模型前期并未考虑心肌细胞的纤维取向,并设定心脏电导率σH=0.48S/m,躯干电导率σT=0.2 S/m[21].本研究在胸腔前方约5 mm处模拟设置一个探测传感器,仿真计算在该平面的磁场分布情况,即求解体外该平面处的磁场数值解.通过将心脏电生理扩散模型随时间变化的结果应用到静态的体表外心脏磁场模型,即可求得该探测平面的不同时刻的磁感应强度分布状况.图10(a)-图10(h),显示了本研究仿真的垂直于探测平面体表外磁感应强度 Bz 在一个心动周期内的分布状况.从图中可以看出,仿真的心脏磁场在垂直于探测面方向存在两极对称的形态.在同一个心动周期中,随着心脏从去极化向复极化过程的演变,磁场两极相对位置发生了变化.而图10(i)是用9通道心磁图仪采集人体心磁信号,并通过线性插值得到的健康人体表心磁图[33].该心磁地图与心脏功能异常的心磁图在进行了对比,显示正常心磁地图在形态上拥有规则的两极形态特征.对比图10(a)-图10(h)与图10(i),看到本研究仿真模拟得到的心磁图与实测心磁图在形态上是类似的,因此可以定性地表明本研究建立的计算框架是可行的.图10 体表外磁感应强度 Bz 分布 (a)-(h) 模拟的心磁分布图(t=40,60,80,100,120,140,160,180)；(i) 文献中的实测心磁图分布图[26]Fig.10.Extracorporeal magnetic field distribution: (a)-(h) Simulated cardiac magnetic distribution (t=40,60,80,100,120,140,160,180); (i) measured human MCG in the literature.4 讨论和结论本研究构建的几何模型数据来自被试的MRI切片数据.由于MRI切片数据的高精度性以及需求的可定制性,为更好地用于分割重建真实并且各种分辨率的三维心脏-躯干几何模型提供了基础.并且为后续定制化仿真被试的心磁分布与实测心磁图的对比提供了良好的条件.本研究采用修正的FHN方程组作为心脏电生理扩散模型的基础,模拟的心脏跨膜电位传播过程符合心脏电生理实际状况,对深入理解心脏电生理活动过程较为有利.另一方面,反应扩散模型以较小的计算代价仿真心脏电生理活动过程,展现了一定的优势.本研究对心磁正问题计算框架进行了解析解验证.首先,在一维条件下求解简化的FHN方程解析解,与相同情况方程伽辽金有限元法数值解对比.其次,简化体表外心脏磁场模型为直导线模型,求解模型磁感应强度解析解与有限元解对比.通过对上述解的误差分析,证明了该计算框架计算心脏电生理活动和体表磁场的可行性.该计算框架有较好的扩展能力.通过替换所需的心脏-躯干几何模型,可以个性化仿真不同被试者的心脏电生理活动和体表心磁信号.另一方面,可以通过修改FHN方程组参数,甚至修改FHN方程组形式,模拟不同状态或者心律失常等疾病状况下心脏跨膜电位不同或异常波形产生的异常磁场分布,并加以总结和分析.此外,通过设置不同位置的激发电位模拟心脏异常起搏点位置,模拟非窦性心律情况的心磁分布状况.也可以通过抑制心脏中某些位置的兴奋传导,模拟左束支传导阻滞(left bundle branch block,LBBB)或右束支传导阻滞(right bundle branch block,RBBB)等异常传导状态下心脏电生理活动和和心磁信号特征.该计算框架在这些情况都保留了优异的扩展能力.但是,本研究仍然存在一些不足.首先,研究前期的三维心脏几何模型较为简陋,虽然采用了人体真实三维心脏作为模型对象,但是未准确分割出包括窦房结具体形态在内。
张量定义及算法概要
和它们是关于指标 k 协变的二阶张量，分别称为矢量 a i 和 a j 的协变导数，分别记作 a i ;k 和或和张量的绝对微分与平行移动及其协变微分法] 由乘积的微分公式和张量的定义可以推出张量的平行移动规律. 例如，三阶张量的平行移动规律为
四阶张量的平行移动规律
为可以看出,张量平行移动规律中所包含的项数与张量的阶数是相同的, 对于张量的逆变指标, 类似于逆变矢量平行移动的规律; 对于张量的协变指标, 类似于协变矢量平行移动的规律.记
则称 DTijlk 为张量 Tijlk 的绝对微分. [张量的协变导数及其运算法则
称为张量 Tijlk 的协变导数，它是一个五阶张量的分量. 在普通导数中，对于已微分的张量的每个指标再加上一项就可以构成任意张量的协变导数，对于逆变指标，这项的形式是 i
对于协变指标是
协变导数的运算法则如下：若干个同样结构的张量之和的协变导数等于各个张量的协变导数之和，即
满足积的微分法则，即
自平行曲线] i 在仿射联络空间中，如果切于曲线上一点 M0 的每个矢量 a 0 沿这曲线平行移动时是切于这曲线的，则称这曲线为自平行曲线.
dx i 设曲线的方程为 x =x (t, 它的切矢量为，它沿曲线平行移动的条件为 dt i i
这就是联络的自平行曲线的微分方程.设 S i上面的微分方程可写成
jk dt dt dt 2 i 系数 S ijk 显然关于 j 和 k 是对称的，并构成一个仿射联络.称 S ijk 构成伴随于的对称仿射联络， i i 如果关于 j , k 也是对称的，则 S ijk 与一致.。
连续介质力学第二章.
cmem c1e1 c2e2 c3e3
双重求和
33
S
aij xi xj
i1 j1
简写成
S aij xi xj
展开式（9项）
S a11x1x1 a12 x1x2 a13x1x3
又如，方程
12
2 2
32
111
2 22
333
用指标法表示，可写成
i i i ii i ii i ii
i 不参与求和，只在数值上等于 i
1.2 Kronecker 符号
在卡氏直角坐标系下，Kronecker 符号定义为：
ij
例1： Ai Ak
ki Ai k k Ak Ak
思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能 用任意字母，因此可用变换后的字母 k 表示
例2： Tk j Ti j
ikTk j i iTij Tij 特别地， ik k j ij , ik k j jm im
13 23
ee12
e3 31 31 33 e3
ei eii i （对 i 求和，i’为自由指标）
从坐标变换的角度研究标量、矢量和张量
1.5.2 标量（纯量 Scalar）
在坐标变换时其值保持不变，即满足
(x1, x2 , x3 ) (x1 , x2 , x3 )
第一步用 n j 表示 ni , i j 有换指标的作用
ni i j nj
所以
Ti j nj i jnj 0
流变学第二章 3
Ti j Tji (i, j 1, 2,3)
平衡时应力张量为对称张量，其中只有六个独 立分量。 三个为法向应力分量:T11,T22,T33 三个为剪应力分量： T12=T21 T13=T31 T23=T32
应力张量 应力是作用在单位体积上的表面力。 对于整个体积元，应以9个应力分量来表示其流 变学动力学量。 总的应力张量可以分为各向同性张量和偏张量。 各向同性张量引起体积改变， 偏张量引起形状 改变。
三、几个特殊的张量
a.单位张量 单位张量的表达式
称为克朗内克 符号
1 0 0
0 0 1 0 i j 0 1
1 当i j 0当i j
1 0 0
0 0 1 0 i j 0 1
b.对称张量
二阶张量的下标i与j互换后所代表分量不变， 称为二阶对称张量。即有σ ij=σ ji 二阶对称张量的矩阵表示形式中各元素关于对 角线对称。因而只有六个独立元素。有：
11 12 i j 21 22 31 32
13 11 12 13 23 22 23 33 33
C 反对称张量
二阶反对称张量的分量满足pij=-pji 对角线各元素为零，从而只有三个独立分量，有
或流动的无粘流体都处于这种应力状态。
例2
均匀拉伸或压缩
设流体只受到一个方向的拉力或压力，除此之 外不再有任何其他作用力，各应力分量为：
此时体系处于沿 x1方向的 均匀拉伸或压缩状态。τ0 为拉伸，τ<0 为压缩。
材料在单轴拉伸流场中（纺丝过程）处于这种 应力状态。
张量的阶数
张量的阶数张量是数学中最重要的概念之一，它涉及非常多的应用，从机器学习到物理学都有用到。
张量的阶数是它最重要的特征之一，也是张量的最基本属性。
本文将介绍张量的定义、属性和阶数，以及张量阶数的用途和应用。
一、张量的定义和属性张量（Tensor）是数学中的一个重要概念，它可以看作是一个多维的数据存储容器。
张量是一类多重数组，它描述了一种多元函数的变换表达式，可以表示高阶空间中的一切点。
张量可以按照维数分为一维、二维、三维以及其他更高维数的张量。
张量定义为一个元素序列，每个元素都是一个多重数组，可以用常见的矩阵来表示它，它拥有零个到多个维度，每个维度都有自己的长度。
张量的阶数取决于它的维数，也就是说，一维的张量称为标量（scalar），二维的张量称为向量（vector），三维的张量称为矩阵（matrix），四维以上的张量称为高阶张量（higher order tensor）。
二、张量的阶数张量的阶数就是其维数，也就是张量所包含的元素数量。
在二维张量中，就等于行数乘以列数，在三维张量中，就等于行数乘以列数乘以高数，以此类推。
张量的阶数是它的元素数量，也可以用来表示它的维数，这是张量的最基本属性之一。
张量的阶数在机器学习中有重要的应用：1.量的阶数可以表示输入和输出的维度，可以用来构建合适的神经网络网络结构。
2.量的阶数可以用来衡量网络参数的复杂程度，从而控制网络的大小。
3.量的阶数可以用来控制神经网络中层数的增加，从而提高网络性能。
4.量的阶数可以用来表示神经网络中各层连接关系的复杂度，从而控制网络的复杂度。
三、张量阶数的用途和应用1.量的阶数是机器学习中一个重要的概念，用来表示神经网络的结构，控制网络的大小，控制神经网络中层数的增加，衡量网络参数的复杂程度，以及表示神经网络中各层连接关系的复杂度。
2.量的阶数也可以用来表示高维数据的结构，用于提取特征，并将特征用于学习任务。
3.量的阶数可以用来构建更加复杂的机器学习系统，例如深度神经网络（Deep Neural Network），用来实现更加强大的学习效果。
弹性力学_张量
3 r r1 e1 r2 e 2 r3 e3 ri ei
其中 向量、基矢），r1、r2、r3为r在坐标轴的 投影（分量），都有一个下标。
e1 、e 2 、e3 为坐标的基矢量（单位
x1
i 1
e3
r
e2 e1
x2
记法：
（1）实体记法： r
可表示为
ij
（i=1,2,3; j=1,2,3）
应变张量： x , y , z , xy , yx , yz , zy , zx , xz
11 , 22 , 33 , 12 , 21 , 23 , 32 , 31 , 13
S ai xi a j x j ak xk
or
or
* 1、哑标的符号可以任意改变（仅表示求和）
*2、哑标只能成对出现,否则要加上求和号或特别指出
ai bi xi
双重求和
是违约的，求和时要保留求和号
a b x
i 1
n
i i i
*3、同项中出现两对（或多对）不同哑标表示多重求和
S aij xi x j
2 f 2 f 2 f 2 f , 2 , 2 , f , ij 2 x1 x 2 x3 x1 x 2
(i, j 1,2,3)
约定： 在该约定 下，上述简写表达式后的说明 (i 1,2,3) 或 (i, j 1,2,3)在以后的 写法中将被略去。
i, j, k , 英文字母下标表示三维指标，取值1，2，3.
R3 C3 E3Fra bibliotek规定： 出现双重指标但不求和时，在指标下方加划线 以示区别，或用文字说明（如i不求和）。
张量概念及其基本运算.
ii
2
3
ii
2
( 11
22
33 )2
i1
33
ijij
ij ij
i1 j1
1111 12 12 1313
物理量，可是标量加上向量都不能完整地表达所有 的物理量，所以物理学家使用的数学量的概念就 必须扩大，于是张量就出现了。
2.下标记号法
◆ 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表
示和区别该张量的所有分量。
◆ 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标
号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数 量确定张量的阶次。
u3 x3
(3) ij jk i11k i2 2k i3 3k ik
(4) aij ij a1111 a22 22 a33 33 aii
(5) ai ij a11 j a2 2 j a3 3 j a j (即a1,或a2 ,或a3 )
◆ 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称
为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列， 再求和。
3.求和约定
关于哑标号应理解为取其变程n内所有数值，然后再求和， 这就叫做求和约定。 例如：
3
aibi aibi a1b1 a2b2 a3b3 i 1
3
aijbj aijbj ai1b1 ai2b2 ai3b3 j 1 3
1,
ij
0,
当i j时； 或： 当i j时；
1 0 0
ij 0 1 0
高量5-01不可约张量算符
1 l22
2
C C C D Tˆ ( )Tˆ ( ) LM
L'1 2 L'M
L'
m1m2 12 l1m1l2m2 L' l11l2 2
l1m1l2m2 1 2 M l11 1 l22
2
2020年8月12日星期三
14
3时20分47秒
四、不可约张量算符的代数运算规则
●乘法和收缩
UTˆLM (1 2 )U 1
笛卡儿坐标系，球坐标系，……
●不同坐标系的基矢通过幺正变换相联系
er e e
sin cos cos cos
sin
sin sin cos sin
cos
cos sin
0
ex ey ez
2020年8月12日星期三
5
3时20分47秒
一、球基矢
●在量子力学中为计算方便引入球基矢↓
m'
Tˆlm ( 1 2) Tˆlm ( 1) Tˆlm ( 2)
为l阶不可约张量算符
2020年8月12日星期三
12
3时20分47秒
四、不可约张量算符的代数运算规则
●乘法和收缩
两个张量算符的乘法和收缩按下式定义
TˆLM
(1
2
)
m1m2
C Tˆ LM l1m1l2m2 l1m1
( 1 )Tˆl2 m2
2020年8月12日星期三
1
3时20分46秒
第五章 不可约张量算符
２００４年１１月
2020年8月12日星期三
2
3时20分47秒
§4.1 不可约张量算符的定义 及其代数运算规则
Irreducible Tensor
矩阵张量积不可约性的等价表征
矩阵张量积不可约性的等价表征
矩阵张量积是一种多元积，它是一种多维数组的积，可以用来表示多维数据之间的关系。
矩阵张量积的不可约性是指它不能被简化成更少的维度，也不能被分解成更少的张量积。
矩阵张量积的不可约性可以用来表示复杂的数据关系，这些关系可能不能被简单的线性模型所表示。
例如，在机器学习中，矩阵张量积可以用来表示复杂的特征之间的关系，这些特征可能不能被简单的线性模型所表示。
矩阵张量积的不可约性也可以用来表示复杂的系统之间的关系，这些系统可能不能被简单的模型所表示。
例如，在社会网络分析中，矩阵张量积可以用来表示复杂的社会关系，这些关系可能不能被简单的模型所表示。
矩阵张量积的不可约性也可以用来表示复杂的结构之间的关系，这些结构可能不能被简单的模型所表示。
例如，在计算机视觉中，矩阵张量积可以用来表示复杂的图像结构，这些结构可能不能被简单的模型所表示。
总之，矩阵张量积的不可约性可以用来表示复杂的数据关系，这些关系可能不能被简单的模型所表示。
它可以用来表示复杂的特征之间的关系，也可以用来表示复杂的系统之间的关系，以及复杂的结构之间的关系。
因此，矩阵张量积的不可约性是一种有用的工具，可以用来更好地理解复杂的数据关系。
不可约张量.tmp
§24 不可约张量算符§24—1 张量和张量算符张量描写经典系统的一种与空间转动有关的属性。
张量由一组若干个量所组成，当系统处于空间某一方位时，这组量各取一定的数值，而当系统进行一个转动，处于另一方位时，这组量则取新的数值，新老数值之间按与转动（αβγ）有关的确定的规律进行变换。
例如，在取定一组坐标（i ，j ，k ）之后，系统的位置r 的三个分量123,,r r r 就是一个张量，在转动（αβγ）下它的变化规律是 ()k ki i ir Q r αβγ'=∑式中ki Q 为（22.14）式。
与此类似，凡描写经典系统的矢量ν，如动量、角动量等，都满足上式的变换规律：()kki i iQ ναβγν'=∑ （24.1） 此外，还有一些与转动无关的标量s,在转动下是不变的，这也是一种规律：s s '= （24.2）又如并矢式ab ，它有9个分量，在转动下的变换规律是121211112()()k k k k k i i i i i ab a b Q a b αβγ'''==∑1211212,()()i k ki i i i i Q Q ab =⊗∑ （24.3） （ab ）是以双下标12,i i 排序的，这9个量也构成一个张量。
上述在在直角坐标下的分量构成的张量称为直角张量；标量s,矢量v 和并矢ab 分别称为零秩，一秩和二秩直角张量。
同样也可以定义三秩以上的张量；n 秩直角张量的分量数为3n 。
对于微观系统，所有张量的分量都成为算符，而张量本身则成为张量算符。
例如s →S, ν→V, ab →AB这些算符称为直角张量算符。
张量算符在转动下变换的规律（除零秩外）与张量的规律不同，根据（19.15）式，矢量算符的变换为 V =D(Q)V 1D -(Q)=1Q -V 所以一秩直角张量算符的变换为1k ki i i ik iiV Q V VQ -'==∑∑ （24.4）二秩张量算符的变换规律为1212121212,()()()k k i i i i k k i i AB AB Q Q '=⊗∑ （24.5）现在来分析一下二秩直角张量算符。
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§24 不可约张量算符§24—1 张量和张量算符张量描写经典系统的一种与空间转动有关的属性。
张量由一组若干个量所组成，当系统处于空间某一方位时，这组量各取一定的数值，而当系统进行一个转动，处于另一方位时，这组量则取新的数值，新老数值之间按与转动（αβγ）有关的确定的规律进行变换。
例如，在取定一组坐标（i ，j ，k ）之后，系统的位置r 的三个分量123,,r r r 就是一个张量，在转动（αβγ）下它的变化规律是 ()k ki i ir Q r αβγ'=∑式中ki Q 为（22.14）式。
与此类似，凡描写经典系统的矢量ν，如动量、角动量等，都满足上式的变换规律：()kki i iQ ναβγν'=∑ （24.1） 此外，还有一些与转动无关的标量s,在转动下是不变的，这也是一种规律：s s '= （24.2）又如并矢式ab ，它有9个分量，在转动下的变换规律是121211112()()k k k k k i i i i i ab a b Q a b αβγ'''==∑1211212,()()i k ki i i i i Q Q ab =⊗∑ （24.3） （ab ）是以双下标12,i i 排序的，这9个量也构成一个张量。
上述在在直角坐标下的分量构成的张量称为直角张量；标量s,矢量v 和并矢ab 分别称为零秩，一秩和二秩直角张量。
同样也可以定义三秩以上的张量；n 秩直角张量的分量数为3n 。
对于微观系统，所有张量的分量都成为算符，而张量本身则成为张量算符。
例如s →S, ν→V, ab →AB这些算符称为直角张量算符。
张量算符在转动下变换的规律（除零秩外）与张量的规律不同，根据（19.15）式，矢量算符的变换为 V =D(Q)V 1D -(Q)=1Q -V 所以一秩直角张量算符的变换为1k ki i i ik iiV Q V VQ -'==∑∑ （24.4）二秩张量算符的变换规律为1212121212,()()()k k i i i i k k i i AB AB Q Q '=⊗∑ （24.5）现在来分析一下二秩直角张量算符。
我们看到高秩张量算符的变换规律比低秩的要复杂一些。
二秩张量共有9个分量，其变换规律是（24.5）式。
但是，这9个分量中却隐藏着一些变换规律更为简单的量，就是说，这9个分量的适当的线性叠加，它的变换规律可以更为简单。
例如112233()()()AB AB AB A B ++=就是按零秩张量变换的，而下列三个线性叠加：233231131221()()()()()()AB AB AB AB AB AB ---则正好是一秩直角张量A ×B 的三个分量。
于是，提出了一个问题，能不能设法把高秩张量中的那些暗含的低秩的部分分离出来，而只留下变换规律真正复杂的部分？或者也可以这样说，直角张量的分秩方法并不好，能不能把其分量重新组合成另外一种类型的张量，使这种张量按变换的简单和复杂来分秩？为回答这一问题，从群论角度作一分析。
将（24.4）式和群的表示与基矢之间的关系式（20.2）式比较，()ki ki Q Q αβγ=是三维转动群的一个三维不可约表示，而一秩直角张量算符 i V 正好是三个表示基矢。
这三个基矢构成了一个三维矢量空间，空间中的矢量是这三个基矢的各种叠加。
这个空间称为转动群的张量表示空间。
转动群的标准的三维不可约表示是1()m m D αβγ'[见（22.42）式]，其中m '和m 的取值为1，0，-1；而()ki Q αβγ是与1()m m D αβγ'等价的（见练习22.9）：11()()UQ U D αβγαβγ-= （24.6）变换的幺正矩阵U 为0 U = 0 0 1 1U -= 0 0 1 0 （24.7）U 的行序号为m=1，0，-1，列序号为1,2,3i =,而1U -则与之相反。
可见，转动群的标准表示1()m m D αβγ'也是在刚刚建立的张量表示空间中的矩阵，它的表示基矢可以如下求出。
在（24.4）式中加入1U U -,并用1U -右乘，得111()k km k km m m k m k V U V U D αβγ--'''⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑∑∑ （24.8）由此知在上述张量表示空间中，1()m m D αβγ'的表示基矢是m T 1m k km kT V U -=∑（24.9）具体地有11203112))T V iV T V T V iV +--=+===-= （24.10）这时（24.8）式成为1()m m m m m T T D αβγ''''=∑ （24.11）算符{101,,T T T -}构成另外一种类型的张量算符，称为一秩球面张量算符。
它与一秩直角张量算符类似，是转动群的标准三维不可约表示1()m m D αβγ'的表示基矢。
现在来看二秩张量。
二秩直角张量算符12()k k AB 构成一个9维表示空间，荷载着转动群的一个9维表示11D D ⊗。
1212121212,()()()k k i i i i k k i i AB AB Q Q '=⊗∑ （24.12）由此式及（24.9）式，可以在这一表示空间这找到一组表示矩阵11D D ⊗的表示基矢12()a b m m T T ：121212121211,()()()a b m m a b m m m m m m m m T T T T D D '''''''=⊗∑ （24.13） 式中()A B T T 与()AB 的关系可由（24.9）式得出：()()()1212212121211,A B Am Bm m mi i i i m m i i T T T T AB U U --==⊗∑ （24.14）()A B T T 共有9个分量，是一个张量，但我们还不称它们为球面张量。
转动群的9维表示Q Q ⨯和11D D ⊗之间的关系相差一个幺正变换，变换矩阵为U U ⊗。
由(24.6)式有()()()111U U Q Q U U D D -⊗⊗⊗=⊗ (24.15)俩个9维表示都是可约表示，而后者11D D ⊗的优点在于它可以借助于CG 系数简单地约化为三个不可约表示0D 、1D 和2D 的直和。
由（23.26）式知()()()111,jm m jm jmS D Q D Q S D Q -''⎡⎤⊗=⎣⎦ （24.16） 式中S 是CG 系数1212j j m m jmS ，现在121j j ==，所以根据（23.6）式，j 的取值为0，1和2。
上式等号左方也可以写成()()()01200m m m m D Q D Q D Q ''⊕⊕ （24.17）即9×9的可约表示矩阵，可以用幺正矩阵S 约化成为块对角的形式，成为一维的0D 、三维的1D 和五维的2D 三矩阵的直和。
在物理上，这表示俩个121j j ==的角动量耦合为总角动量时，其量子数按（21.6）式取0、1和三值。
现在求约化后的块对角矩阵的表示基矢（仍是9个）。
由（24.14）式和（24.15）式可得()()()'111,A B A B j m j m j m j mm T T S T T S SDD S -'''⎡⎤=⊗⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ （24.18） 次式表明，约化后的9维表示基矢是()()j m A B jm T T T S =⎡⎤⎣⎦()0,1,2j = （24.19）其中21j +个()j m T 按转动群的不可约表示()jm m D Q '变换：()()()()()()()()()()()'000000'1110'222m m m mmm m m m m m T T D Q T T T D Q T T D Q''''''''====∑∑∑ （24.20）这一组9个分量按转动群的不同不可约表示变换，它们是原来9个分量12()i i AB 的线性组合，这正是所要寻找的按变换规律繁简归类的分量。
()j T 称为j 秩的球面不可约张算符，()A B T T 是可约的球面张量算符。
“球面”二字是与“直角”张量算符相区别的，前者按转动群的标准表示D 变换而后者按()Q αβγ及其直积变换。
但通常都省去“球面”二字。
二秩的直角张量算符12()i i AB 与不可约张量算符的关系可由（24.19）和（24.14）二式得出：()()()()1221212121211,,jm A B m m jm i i jm i i m m i i m m T T T S AB U U S --==⊗⎡⎤⎣⎦∑∑ （24.21） 在上式中，0,1,2;,1,,1,j m j j j j ==--+⋅⋅⋅-。
将二秩直角张量算符{}12i i A B 变换成不可约张量算符，其结果为()0:T()0i ii T A B A B ==(24.22) ()1:T()()()())()()()111011x y zx y T A B i A B T A BT A B i A B -⎡⎤=⨯+⨯⎢⎥⎣⎦=⨯⎡⎤=⨯-⨯⎢⎥⎣⎦(24.23)()2:T()()()())()()()2221202122121231212z z z z z z T A B T A B A B T A B A B T A B A B T A B ++++------==+=-=+= (24.24)一秩直角张量（即矢量）算符与不可约张量算符的关系仍如（24.10）式：()()()111011zT T V T +--===(24.25)也可以用同样方法讨论更高秩的张量算符。
§ 24—2 不可约张量算符的定义和性质定义 一个k 秩的不可约张量算符()k T ，是一组21k +个算符()k q T ，,1,,1,q k k k k =--+⋅⋅⋅-（称为()k T 的分量），它们在系统转动()r Q αβγ'=时按下列规律变换：()()()()()()'1kkkk q qq q q qT D Q T D QT D Q-''==∑ 也就是按转动群的不可约表示()kq q D Q '的基矢|jm 〉变换。
k 通常取整数，所以也可以说不可约张量算符()k T 具有在转动下按球谐函数(),kq Y θϕ的规律变换的一组算符作为分量。